1 Integral

PASTA FISIKA – 12 SMA IPA

1. INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu

1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri 1.  dx = x + c

2.  a dx = a  dx = ax + c

3.  xn _{dx =}

1

n+1

x

n+1

+ c

4.  sin ax dx = – 1

a cos ax + c

5.  cos ax dx = 1

a sin ax + c

6.  sec2 _{ax dx =} 1

a _{tan ax + c}

7.  [ f(x)  g(x) ] dx =  f(x) dx  g(x) dx Catatan

1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan a. 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B)

b. –2sinAsinB = cos(A + B) – cos(A – B)

c. sin2_{A =} 1

2

{1−cos2

A

}

d. cos2_{A =} 1

2

{1+

cos2

A

}

e. sin 2A = 2sin A  cos A

2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran

Jika bentuk integran :  u v dx, dengan u dan v masing–masing adalah fungsi dalam

variabel x

Teknik pengintegralan yang bisa digunakan adalah: a. Metode substitusi

jika u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du b. Metode Parsial dengan TANZALIN

Jika u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/E52

(4x + 3)(4x2 _{+ 6x – 9)}9 _dx

A.

1

10

_(4x2 _{+ 6x – 9)}10 _{+ C}

SOAL PENYELESAIAN

B.

1

15

_{(2x – 3 )}10 _{+ C}

C.

1

20

_{(2x – 3)}10 _{+ C}

D.

1

20

_{(4 x}2 _{+ 6x – 9)}10 _{+ C}

E.

1

30

_{(4 x}2 _{+ 6x – 9)}10 _{+ C}

Jawab : D

2. UN 2006

Hasil dari (x – 3)(x2 _{– 6x + 1)}–3

dx = …

A.

−

1 8

(

x

2

−

6

x

+

1

)

−4

+

c

B.

−

1 4

(

x

2

−

6

x

+

1

)

−4

+

c

C.

−

1 2

(

x

2

−

6

x

+

1

)

−4

+

c

D.

−

1 4

(

x

2

−

6

x

+

1

)

−2

+

c

E.

−

1 2

(

x

2

−

6

x

+

1

)

−2

+

c

Jawab : D

3. UN 2011 PAKET 46

Hasil

∫

6

x

√

3

x

2

+

5

dx

= …

A.

2 3

(

6

x

2

+

5

)

√

6

x

2

+

5

+

c

B.

2 3

(

3

x

2

+

5

)

√

3

x

2

+

5

+

c

C.

2 3

(

x

2

+

5

)

√

x

2

+

5

+

c

D.

3 2

(

x

2

+

5

)

√

x

2

+

5

+

c

E.

3 2

(

3

x

2

+

5

)

√

3

x

2

+

5

+

c

SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2012/D49

Hasil dari

∫

3

x

√

3

x

2

+

1

dx = …

A.

−

2

3

(3

x

2

+1

)

√

3

x

2

+1

+ C

B.

−

1

2

(

3

x

2

+1

)

√

3

x

2

+1

+ C

C.

1

3

(3

x

2

+1

)

√

3

x

2

+1

+ C

D.

1

2

(3

x

2

+1

)

√

3

x

2

+1

+ C

E.

2

3

(3

x

2

+1

)

√

3

x

2

+1

+ C Jawab : C

5. UN 2012/A13

Hasil dari

∫

3

x

−

1

(

3

x

2

−

2

x

+

7

)

7 _dx =…..

A.

1

3

(

3

x

2

−

2

x

+

7

)

7

+

C

B.

1

4

(

3

x

2

−

2

x

+

7

)

6

+

C

C.

1

6

(

3

x

2

−

2

x

+

7

)

6

+

C

D.

−

1

12

(

3

x

2

−

2

x

+

7

)

6

+

C

E.

−

1

12

(

3

x

2

−

2

x

+

7

)

7

+

C

Jawab : D

6. UN 2011 PAKET 12

Hasil

∫

2

x

+

3

√

3

x

2

+

9

x

−

1

dx

= …

A.

2

√

3

x

2

+

9

x

−

1

+

c

B.

1 3

√

3

x

SOAL PENYELESAIAN

C.

2 3

√

3

x

2

+

9

x

−

1

+

c

D.

1 2

√

3

x

2

+

9

x

−

1

+

c

E.

3 2

√

3

x

2

+

9

x

−

1

+

c

Jawab : C 7. UN 2012/B25

Hasil dari

∫

7

2

x

2

√

(

2

x

3

−

5

)

5

dx

= ...

A. 3 7 7

√

(

2

x

3

−

5

)

3

+ C

B. 6 7 6

√

(

2

x

3

−

5

)

7 _{+ C}

C. 6 7 7

√

(

2

x

3

−

5

)

6 _{+ C}

D. 7 6 7

√

(

2

x

3

−

5

)

2

+ C

E. 7 6 2

√

(

2

x

3

−

5

)

7

+ C Jawab : E

8. UN 2008 PAKET A/B

Hasil dari sin2 _{x cos x dx = …}

A. 1

3 _cos3 _{x + C D.} 1 3 _sin3

x + C

B. −13 cos3 x + C E. 3 sin3 x +

C

C. −13 sin3 x + C Jawab : D

9. UN 2011 PAKET 46

Hasil sin3 _{3x cos 3x dx = …}

A. 1 4

sin

4

3

x

+

c

B. 3 4

sin

4

3

x

+

c

C.

4 sin

4

3

x

+

c

D.

1 3

sin

4

3

x

+

c

E. 1 12

sin

4

3

x

+

c

Jawab : e

10.UN 2010 PAKET A

Hasil  (sin2 _{x – cos}2 _{x) dx}

adalah …

A. ½ cos 2x + C D. ½ sin 2x + C

B. –2 cos 2x + C E. – ½ sin 2x + C

SOAL PENYELESAIAN 11.UAN 2003

Hasil

∫

x

√

x

+1

dx

= … A.

2

5(x+1)

√

x+1− 2 3(x+1)

2

√

_x+1+c

B. 2 15

(

3

x

2

+

x

−

2

)

√

x

+

1

+

c

C. 2 15

(

3

x

2

+

x

+

4

)

√

x

+

1

+

c

D. 2 15

(

3

x

2

−

x

−

2

)

√

x

+

1

+

c

E. 2 5

(

x

2

+

x

−

2

)

√

x

+

1

+

c

Jawab : B 12.UN 2004

Hasil dari

∫

x

2

sin2

x dx

= …

A. –

1

2 _x2 _{cos 2x –}

1

2 _{x sin 2x +} 1

4 _{cos 2x + c}

B. –

1

2 _x2 _{cos 2x +}

1

2 _{x sin 2x –} 1

4 _{cos 2x + c}

C. –

1

2 _x2 _{cos 2x +}

1

2 _{x sin 2x}

+

1

4 _{cos 2x + c}

D.

1

2 _x2 _{cos 2x –}

1

2 _{x sin 2x –} 1

4 _{cos 2x + c}

E.

1

2 _x2 _{cos 2x –}

1

2 _{x sin 2x +} 1

4 _{cos 2x + c}

Jawab : C 13.UN 2005

Hasil dari

∫

(

x

2

+

1

)

cos

x dx

= … A. x2 _{sin x + 2x cos x + c}

B. (x2 _{– 1) sin x + 2x cos x + c}

C. (x2 _{+ 3) sin x – 2x cos x + c}

D. 2x2 _{cos x + 2x}2 _{sin x + c}

E. 2x sin x – (x2 _{– 1)cos x + c}

Jawab : B

2) Penggunaan Integral Tak Tentu

f(x) = f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:

y = 

dy

dx

dx

_{, dengan} dy

dx _{adalah turunan pertama y}

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2004

Gradien garis singgung suatu kurva adalah

m =

dy

dx _{= 2x – 3. kurva itu}

melalui titik (3,2). Persamaan kurva tersebut adalah …

A. y = x2 _{– 3x – 2 D. y = x}2 _{+ 3x}

+ 2

B. y = x2 _{– 3x + 2 E. y = x}2 _{+ 3x –}

1

C.

y = x2 _{+ 3x – 2}

Jawab : B

2. UAN 2003

Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan turunannya f’(x) = x2 _{+ 1,}

maka grafiknya

y = f(x) memotong sumbu Y di titik …

A. (0, 0) D. (0, 1)

B. (0,

1

3 _{) E. (0, 2)}

C. (0,

2

3 _{) Jawab : C}

B. INTEGRAL TENTU

Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:

L =

∫

a b

f(x)dx=[F(x)]_ab=F(b)−F(a)

, dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)

1) Integral Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 46

Hasil

∫

1 3

(

x

2

+

1₆

)

dx

= …

A. 9 1 3

D. 10

3

SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012/A13

Nilai dari

∫

1 2

(4

x

2

−

x

+5

)

dx

=....

A.

33

6

D

.

65

6

B.

44

6

E

.

77

6

C.

55

6

Jawab : D

3. UN 2007 PAKET B

Diketahui

∫

1 p

(

3

t

2

+

6

t

−

2

)

dt

= 14.

Nilai (–4p) = …

A. –6 D. –16 B. –8 E. –32 C. –24 Jawab : B 4. EBTANAS 2002

∫

2 a

(

4

x

2

+1)

dx

₌

1

a

_{. Nilai a}2 ₌

…

A. –5 D. 3 B. –3 E. 5 C. 1 Jawab : E 5. UN 2012/B25

Nilai dari

∫

0

1 3π

(

sin 2

x

+

3cos

x

)

dx

= ...

A. 3

4

+

2

√

3

_D. 2

4

(

1

+

2

√

3

)

B. 3

4

+

3

√

3

_E. 3

4

(

1

+

2

√

3

)

C. 1

SOAL PENYELESAIAN Jawab : E

6. UN 2011 PAKET 12

Hasil

∫

0 π

(

sin3

x

+cos

x

)

dx

= …

A. 10

3 _D.

2 3

B. 8

3 _E.

1 3

C. 4

3 _{Jawab : D} 7. UN 2011 PAKET 46

Hasil

∫

0

π

2

(

2sin

x

−

cos 2

x

)

dx

= …

A.

−

5 2

B. 3 2

C. 2

D. 1 E. 5

2 Jawab : D

8. UN 2012/E52

Nilai

∫

0 π 2

sin

(2

x

−

π

)

dx =… A. – 2 B. –1 C. 0 D. 2 E. 4 Jawab : C

9. UN 2010 PAKET B

Hasil dari

∫

1 2π 2 3π

cos

(3

x

−

π

)

dx

= …

A. –1 B. – 1

3 _{C. 0}

D. 1

3 _{E. 1 Jawab} : B

SOAL PENYELESAIAN

∫

0

π

6

sin

(

x

+

π₃

)

cos

(

x

+

π₃

)

dx

= …

A. –

1

4 _D.

1 4

B. –

1

8 _E.

3 8

C.

1

8 _{Jawab : C}

2) Penggunan Integral Tentu a) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1

L =

∫

a b

f(x)dx

, untuk f(x)  0

b. Luas daerah L pada gb. 2

L = –

∫

a b

f(x)dx

, atau

L = |

∫

a b

f(x)dx|

untuk f(x)

 0

c. Luas daerah L pada gb. 3

L =

∫

a b

{f(x)−g(x)}dx

,

dengan f(x)  g(x)

CATATAN

Jika luas hanya di batasi oleh dua kurva dan fungsinya berbentuk kuadrat, maka luas nya bisa di cari dengan menggunakan rumus:

L =

D

√

D

6

a

2 _{, D = determinan persamaan kuadrat dari (f(x) – g(x))}

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 _{– 4x + 3 dan y = 3 – x}

adalah…

A.

41

6

_B.

19

3

C.

9

2

D.

8

3

E

.

11

6

_{Jawab :}

SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012/B25

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 _{– 4x + 3 dan y = x – 1}

adalah ...

A.

41

6

_{sat. luas D.}

8

3

_sat. luas

B.

19

3

_{sat. luas E.}

11

6

_sat. luas

C.

9

2

_{sat. luas Jawab : C} 3. UN 2009 PAKET A/B

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola

y = x2 _{– 6x + 8, garis y = x – 2}

dan sumbu X dapat dinyatakan dengan …

A.

∫

2 4

−(x2−6x+8)dx

+

∫

3 4

((x−2)−(x2−6x+8))

B.

∫

2 4

−(x2−6x+8)dx

C.

∫

3 4

(

1

3(x−3)−(x

2_−6x+8)

)

_dx

D.

∫

3 4

−(x2_−6x+8)dx

+

∫

4 5

(

(x−3)−(x2−6x+8)

)

dx

E.

∫

2 4

(x−2)dx

SOAL PENYELESAIAN

∫

4 5

(

(x−2)−(x2_−6x+8)

)

_dx

Jawab : e 4. EBTANAS 2002

Luas daerah yang dibatasi parabola

y = 8 – x2 _{dan garis y = 2x}

adalah …

A. 36 B. 41

1

3 _{C. 41} 2

3

D. 46 E. 46

2

3 _{Jawab :}

A

5. UN 2012/D49

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 _{+ 3x + 4, dan y = 1 – x}

adalah….

A.

2

3

_{sat. luas D.}

8

3

_sat. luas

B.

4

3

_{sat. luas E.}

15

3

_sat. luas

C.

7

4

_{sat. luas Jawab : B} 6. UAN 2003

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 _{– 9x + 15 dan y = –x}2 ₊

7x – 15 adalah …

A. 2

2

3 _{B. 2} 2 5

C. 2

1 3

D. 3

2

3 _{E. 4} 1 3

Jawab : A

7. UN 2008 PAKET A/B

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y =

√

x

+

1

, sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah …

A. 6 satuan luas

B. 6 2

3 _{satuan luas}

C. 17 1

SOAL PENYELESAIAN D. 18 satuan luas

E. 18 2

3 _{satuan luas} Jawab : c

8. UN 2011 PAKET 46

Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{, y = x + 2, sumbu Y}

dikuadran I adalah …

A 2

3 _{satuan luas}

B. 4

3 _{satuan luas}

C. 6

3 _{satuan luas}

D. 8

3 _{satuan luas}

E. 10

3 _{satuan luas} Jawab : E

9. UN 2010 PAKET B

Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3_{, y = x, x =}

0, dan garis x = 2 adalah …

A. 2 1

4 _{satuan luas}

B. 2 1

2 _{satuan luas}

C. 3 1

4 _{satuan luas}

D. 3 1

2 _{satuan luas}

E. 4 1

4 _{satuan luas}

Jawab : b 10.UAN 2003

Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2_{, sumbu}

Y, dan

garis x + y = 12 adalah … A. 57,5 B. 51,5 C. 49,5 D. 25,5 E. 22,5 Jawab : E

V =

π

∫

a b

(f(x))2dx

atau V =

π

∫

a b

y2_dx

V =

π

∫

c d

(g(y))2dy

atau V =

π

∫

c d

x2_dy

V =

π

∫

a b

{(f2_(x)−g2_(x)}dx

atau V =

π

∫

a b

(y₁2_−y 2 2_)dx

V =

π

∫

c d

{f2_(y)−g2_(y)}dy

atau V =

π

∫

c d

(x₁2_−x 2 2_)dy

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/B25

Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

dengan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ...

A. 2  satuan volume

B. 3151  satuan volume

C. 4154  satuan volume

D. 12154  satuan volume

E. 14152  satuan volume

Jawab : C

2. UN 2011 PAKET 12

Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{, garis y =2x}

dikuadran I diputar 360

terhadap sumbu X adalah …

A. 20

15

π

_{satuan volum}

B. 30

15

π

_{satuan volum}

C. 54

15

π

_{satuan volum}

D. 64

SOAL PENYELESAIAN

E. 144

15

π

_{satuan volum} Jawab : D

3. N 2012/D49

Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang di batasi oleh kurva y = –x2

dan y = –2x di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ….

A.

3

11

15

π

_{satuan volume}

B.

4

4

15

π

_{satuan volume}

C.

6

11

15

π

_{satuan volume}

D.

6

6

15

π

_{satuan volume}

E.

17

1

15

π

_{satuan volume} Jawab : B

4. UN 2012/A13

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 _{dan y = 4x – 3 diputar}

360 mengelilingi sumbu X adalah

A.

13

11

15

π

satuan volume

B.

13

4

15

π

satuan volume

C.

12

11

15

π

satuan volume

D.

12

7

15

π

satuan volume

E.

12

4

15

π

satuan volume Jawab : E

5. UN 2009 PAKET A/B

SOAL PENYELESAIAN Jika daerah yang diarsir pada

gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volume

A.

123

15 π D. 43 15π

B.

83

15π E. 35 15π

C. 7715π Jawab : C

6. UN 2008 PAKET A/B

Daerah yang dibatasi oleh kurva

y = 4 – x, x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

A. 4 2

3



_{satuan volume}

B. 6 1

3



_{satuan volume}

C. 8 2

3



_{satuan volume}

D. 10 2

3



_{satuan volume}

E. 12 1

3



_{satuan volume} Jawab : C

7. UN 2007 PAKET A

Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

y = 2x dan parabola y = x2

diputar sejauh 360º

mengelilingi sumbu X adalah …

A. 325  satuan volume

B. 6415  satuan volume

SOAL PENYELESAIAN

D.

48

15  _{satuan volume}

E.

32

15  _{satuan volume}

Jawab : B

8. UN 2007 PAKET A

Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 _{+ 1 dan y = 3 diputar}

mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah …

A. 2 satuan volum.

B. 2 1

2  _{satuan volum.} C. 3 satuan volum.

D. 4 1

3  _{satuan volum.} E. 5 satuan volum. Jawab : A

9. UN 2005

Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2

dan y2 _{= 8x diputar 360º}

mengelilingi sumbu Y adalah …

A. 2

4

5 _{ satuan volum}

B. 3

4

5 _{ satuan volum}

C. 4

4

5 _{ satuan volum}

D. 5

4

5 _{ satuan volum}

E. 9

4

5 _{ satuan volum}

Jawab : C 10.UAN 2003

Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan kurva

y =

√

4

−

x

diputar terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …

A.

π

∫

0 2

(

4−

y

2

)

2

SOAL PENYELESAIAN

B.

π

∫

0 2

√

4−

y

2

dy satuan volume

C.

π

∫

0 2

(4−

y

2

)

dy satuan volume

D.

2

π

∫

0 2

(

4−

y

2

)

2

dy satuan volume

E.

2

π

∫

0 2

(

4

−

y

2

)

dy satuan volume