BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan peralatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan sosial maupun di bidang teknik.
Kata matematika berasal dari kata “mathema” dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan atau belajar.” Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika yaitu studi tentang struktur, ruang, dan perubahan. Pelajaran tentang struktur yang sangat umum dimulai dalam bilangan natural dan bilangan bulat, serta operasi aritmatikanya, yang semuanya dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Ilmu tentang ruang berawal dari geometri. Dan pengertian dari perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu hal yang biasa dalam ilmu alam dan kalkulus.
Dalam kehidupan sehari-hari, mungkin kita pernah mengalami kesulitan dalam beberapa masalah. Seperti beberapa contoh kasus di bawah ini:
1. Sebuah kolam renang berbentuk oval, berapakah volume air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut?
2. Sebuah tangki berbentuk trapesium diisi penuh dengan air, berapakah total gaya yang diperlukan untuk memompa seluruh air pada tangki tersebut, di mana ketinggian tangki tersebut adalah 3 meter?
Berdasarkan beberapa contoh di atas, perhitungan biasa tidak mungkin bisa menjawab pertanyaan di atas, untuk menjawabnya kita harus menggunakan salah satu cabang dari kalkulus, yaitu integral. Integral memiliki peranan yang penting khususnya dalam bidang teknik dan sains. Berdasarkan uraian di atas, maka karya tulis ini bertujuan untuk membahas aplikasi integral pada kehidupan sehari-hari serta perhitungannya.
1.2 Permasalahan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan karya tulis ini adalah: 1. Bagaimana integral dapat diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari?
2. Bagaimana menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang dijumpai sehari-hari dengan menggunakan integral?
1.3. Tujuan
Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan daripada karya tulis ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari aplikasi-aplikasi perhitungan integral dalam kehidupan sehari-hari.
2. Mempelajari cara-cara untuk menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan integral.
1.4. Manfaat
Karya tulis ini diharapkan memiliki beberapa manfaat seperti : 1. Mengetahui aplikasi-aplikasi integral di dalam kehidupan sehari-hari.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Pengertian Integral
Integral yang biasa disebut juga “hitung integral” atau “kalkulus integral” dapat digunakan untuk mencari luas suatu daerah. Dalam kalkulus integral dapat diartikan sebagai operasi invers dari turunan disebut juga anti turunan atau anti diferensial. Integral dilambangkan oleh “ʃ” yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(x) dari F’(x).
Suatu fungsi F disebut anti turunan dari suatu fungsi f pada selang I, jika untuk setiap nilai x di dalam I, berlaku F’(x) = f(fx). Berdasarkan pengertian bahwa integral adalah invers dari operasi pendiferensialan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut. Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat di diferensialkan pada interval I, sedemikian sehingga , maka anti turunan dari f(x adalah F(x) + C dengan C konstanta sembarang.
2.2. Jenis-Jenis Integral
2.2.1. Integral Tak Tentu
Anti pendiferensialan adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi yang diberikan. Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut.
ʃ f(x)dx = F(x) + C Keterangan :
ʃ = operasi antiturunan atau lambang integral C = konstanta integrasi
f(x) = fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannya F(x) = fungsi hasil integral
Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Rumus-rumus integral tak tentu fungsi Aljabar : 1) ʃ dx = x + c 2) ʃ adx = ax + c 3) ʃ axn dx = x n+1 + C, C ≠ 1 4) ʃ a f(x) dx = a ʃ f(x) dx 5) ʃ [ f(x) ± g(x) ] dx = ʃ f(x) dx ± g(x) dx
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri : 1) ʃ cos x dx = sin x + c
2) ʃ sin x dx = - cos x + c 3) ʃ tan x dx = - ln ǀcos xǀ + c
4) ʃ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + c
2.2.2. Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pada selang tutup (a,b) maka integral tentu (integral Riemann) dari f dari a sampai b dinyatakan oleh :
∑
Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan disebut tanda integral tentu.
Berikut sifat-sifat integral tertentu : 1) f (x) dx = 0 2) f (x) dx = - f (x) dx 3) k dx = k (b - a) 4) k f(x) dx = k f (x) dx 5) [f (x) ± g (x)] dx = f (x) dx ± g (x) dx 6) f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx; a<b<c 7) f (x) dx g (x) dx; jika f (x) dx ≥ g (x) dx 8) f (x) dx ≥ 0, jika f (x) ≥ 0
2.3. Cara menghitung Integral Cara Subsitusi
Cara subtitusi pada integral dilakukan apabila satu bentuk integral tidak dapat langsung diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral. Integral bentuk ini terlebih dahulu diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral, yaitu dengan cara mensubtitusikan variabel baru, yaitu dengan mensubtitusikan u = f (x).
ʃ f(x)nd[f(x)] = ʃ undu = un-1 + c, dengann ≠ 1 Contoh :
Tentukan integral dari ʃ 6x2 (2x3 - 4)2dx
Misal u = 2x3 – 4 → du = 6x2 dx dx =
Sehingga, ʃ 6x2 (2x3 - 4)2dx = 6x2u4
= u4 du = u5
Cara Parsial
Cara parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi. Menghitung integral parsial didefinisikan sebagai berikut.
ʃ u dv = uv - ʃ v du Contoh : Tentukanlah ʃ x√ Misal u = x → du = dx dv = √ → v = ʃ√ dx = ʃ (2 + x)1/2d(2 + x) = (2 + x)3/2 + c Sehingga, ʃ x√ = x • (2 + x)3/2 - ʃ (2 + x)3/2dx = x (2 + x) - ʃ (2 + x) d(2 + x) = x (2 + x) - • (2 + x)5/2 + c = x (2 + x) 3/2 - (2 + x)5/2 + c
BAB III
PEMBAHASAN
Aplikasi Integral pada kehidupan sehari-hari. Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.
Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada keterangan yang diberikan.
3.1. Bidang Ekonomi
Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.
Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibriumatau pada tingkat harga tertentu.
3.1.1. Surplus Konsumen
Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).
Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.
3.1.2. Surplus Produsen
Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.
Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:
3.2. Bidang Teknologi
- Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu.
- Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.
- Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.
- Pada bidang Teknik penggunaan integral dapat membantu programer dalam pembuatan aplikasi dari mesin – mesin yang handal.
3.3. Bidang Matematika
Pada bidang matematika Integral dapat diaplikasikan dalam banyak hal, diantaranya: - Menghitung luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu. - Menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu. - Menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu. - Menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu.
