INTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. n 1. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :

Pengantar

 Pengintegralan numerik merupakan alat

atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

 Misalnya dalam termodinamik, model

Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.

INTEGRASI NUMERIK

 Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

 Fungsi yang rumit misal :

dx e x x _0.5x 2 0 2 3 sin 5 . 0 1 ) 1 cos( 2



 _  C x x x dx x C x dx x C b a a dx b ax C b a a dx b ax C a e dx e C n ax dx ax ax ax n n                           | | ln | | ln | | ln 1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( 1 ) sin( 1 1

INTEGRASI NUMERIK

 Perhitungan integral adalah perhitungan

dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

 digunakan untuk menghitung luas daerah

yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

 Penerapan integral : menghitung luas dan

Dasar Pengintegralan Numerik

 Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 0 0 n n i n i i b a x f c x f c x f c x f c dx x f     





 x₀ x₁ x_n-1 x_n x f(x)

0 2 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 13 15

 Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti

saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

 Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan

lebih mendekati jawaban eksak.

Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b a n b a









(

)

(

)

 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial n n 1 n 1 n 1 0 n x a a x a x a x f ( )     _  

 f

_n

(x) bisa fungsi linear

 f

_n

(x) bisa fungsi kuadrat

 f

_n

(x) bisa juga fungsi kubik atau

polinomial yang lebih tinggi

INTEGRASI NUMERIK

 Luas daerah yang

diarsir L dapat dihitung dengan :  L =    b a dx x f

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann

 Luasan yang dibatasi y = f(x) dan

sumbu x

 Luasan dibagi menjadi N bagian pada

range x = [a,b]

 Kemudian dihitung Li : luas setiap

Metode Integral Reimann

 Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan

dituliskan :  Dimana  Didapat

 

 

 

 

 

_i n i i n n x x f x x f x x f x x f x x f L L L L L                



0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 0 ... ..

 

_

 



  n i i b a x f h dx x f 0 h x x x x        _n   _{0 1 2} ...

Contoh

 Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan

sumbu x untuk range x = [0,1]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2



1 0 2 dx x L =

Contoh

 Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

 Secara kalkulus :  Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333  = 0,052    0.1 3,85 0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0 ) ( . 10 0              



 i i x f h L ... 3333 , 0 | 3 1 ₁ 0 3 1 0 2    _ x dx x L

Algoritma Metode Integral

Reimann:

 Definisikan fungsi f(x)

 Tentukan batas bawah dan batas ata

integrasi

 Tentukan jumlah pembagi area N  Hitung h=(b-a)/N  Hitung







N i i

x

f

h

L

0

)

(

.

Metode Integrasi Trapezoida

 Aproksimasi garis lurus (linier)



( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 1 0 0 i 1 0 i i b a x f x f 2 h x f c x f c x f c dx x f     





 x₀ x₁ x f(x) L(x)

Contoh: Aturan Trapesium

 Hitung integral dari

 Solusi eksak  Aturan trapesium 926477 . 5216 ) 1 2 ( 4 1 4 1 2 4 0 2 4 0 2 2 4 0 2        _ 



x e e e x dx xe x x x x dx xe 4 0 x 2



  % . . . . . ) ( ) ( ) ( 12 357 926 5216 66 23847 926 5216 66 23847 e 4 0 2 4 f 0 f 2 0 4 dx xe I 4 8 0 x 2           





Aturan Komposisi

Trapesium

       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0                         _      x₀ x₁ x f(x) x₂ h h h x₃ h x₄ n a b h  

Metode Integrasi

Trapezoida

       _{i i}  _i i i i i i x f f L atau x x f x f L         . 2 1 . 2 1 1 1



   1 0  i i L L    _{n n}  n i i i f f f f f h f f h L        _      0 1 2 1 1 0 1 2 2 ... 2 2 2 1         



  n n i i f f f h L 1 1 0 2 2

Algoritma Metode

Integrasi Trapezoida

 Definisikan y=f(x)

 Tentukan batas bawah (a) dan batas

atas integrasi (b)

 Tentukan jumlah pembagi n  Hitung h=(b-a)/n  Hitung





















  n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

function f = example1(x) % a = 0, b = pi f=x.^2.*sin(2*x); dx x 2 sin x 0 2 ) (





» a=0; b=pi; dx=(b-a)/100; » x=a:dx:b; y=example1(x); » I=trap('example1',a,b,1) I =

-3.7970e-015

» I=trap('example1',a,b,2) I =

-1.4239e-015

» I=trap('example1',a,b,4) I =

-3.8758

» I=trap('example1',a,b,8) I =

-4.6785

» I=trap('example1',a,b,16) I =

-4.8712

» I=trap('example1',a,b,32) I =

-4.9189

» I=trap('example1',a,b,64) I =

-4.9308

» I=trap('example1',a,b,128) I =

-4.9338

» I=trap('example1',a,b,256) I =

-4.9346

» I=trap('example1',a,b,512) I =

-4.9347

» I=trap('example1',a,b,1024) I =

-4.9348

» Q=quad8('example1',a,b) Q =

-4.9348 _MATLAB

function

n = 2 I = -1.4239 e-15 Exact = -4. 9348 dx x 2 sin x 0 2 ) (





n = 4 I = -3.8758 Eksak = -4. 9348 dx x 2 sin x 0 2 ) (





n = 8 I = -4.6785 Eksak = -4. 9348 dx x 2 sin x 0 2 ) (





n = 16 I = -4.8712 Eksak = -4. 9348 dx x 2 sin x 0 2 ) (





 Hitung integral dari I xe dx 4 0 x 2



           . . % ) ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ( . , % . . ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( . , % . . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , % . . ) ( ) ( ) ( , % . . ) ( ) ( , 66 2 95 5355 4 f 75 3 f 2 5 3 f 2 5 0 f 2 25 0 f 2 0 f 2 h I 25 0 h 16 n 50 10 76 5764 4 f 5 3 f 2 3 f 2 5 2 f 2 2 f 2 5 1 f 2 1 f 2 5 0 f 2 0 f 2 h I 5 0 h 8 n 71 39 79 7288 4 f 3 f 2 2 f 2 1 f 2 0 f 2 h I 1 h 4 n 75 132 23 12142 4 f 2 f 2 0 f 2 h I 2 h 2 n 12 357 66 23847 4 f 0 f 2 h I 4 h 1 n                                                              

» x=0:0.04:4; y=example2(x); » x1=0:4:4; y1=example2(x1); » x2=0:2:4; y2=example2(x2); » x3=0:1:4; y3=example2(x3); » x4=0:0.5:4; y4=example2(x4); » H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d'); » set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12);

» xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)'); » I=trap('example2',0,4,1) I = 2.3848e+004 » I=trap('example2',0,4,2) I = 1.2142e+004 » I=trap('example2',0,4,4) I = 7.2888e+003 » I=trap('example2',0,4,8) I = 5.7648e+003 » I=trap('example2',0,4,16) I = 5.3559e+003

dx xe I 4 0 x 2





Aturan Simpson 1/3

 Aproksimasi dengan fungsi parabola

 ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 i 2 0 i i b a x f x f 4 x f 3 h x f c x f c x f c x f c dx x f           x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x)

                                       1 x x 0 x x 1 x x h dx d h x x 2 a b h 2 b a x b x a x let x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1      , , , , ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L           

Aturan Simpson 1/3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L            1 1 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 ) 2 3 ( 2 ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) (                         ξ ξ h x f ξ ξ h x f ξ ξ h x f dξ ξ ξ h x f dξ ξ ( h x f dξ ξ ξ h x f dξ L h dx x f b a 



( ) ( ) ( )



) ( _{0 1 2} b a ₃ f x 4 f x f x h dx x f   



Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi

Simpson

x₀ x₂ x f(x) x₄ h h h x_n-2 x_n n a b h  

…...

h x₃ x₁ x_n-1

Metode Integrasi Simpson

 Dengan menggunakan aturan simpson, luas

dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

 atau dapat dituliskan dengan:



f f

 

h f f

 

h f f

 

h f f



h



f_n f_n

 

h f_n f_n



h L  ₀  ₁  ₁  ₂  ₂  ₃  ₃  ₄   _2  _1  2 _1  3 2 3 ... 2 3 2 3 2 3 2 3               _n genap i i ganjil i i f f f f h L ₀ 4 2 3 N = 0 – n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

 Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2

yang melalui ketiga titik tsb

0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ! 2 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p           

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

 Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 2 3 4 2 2 4 4 6 8 2 4 2 | 4 6 2 ! 2 ) ( ) ( f h f h x hf L f h h f h x hf L f h h h h f h h x hf L f h x h x f h x x f L dx f h h x x f h x f L xdx p dx x f L h x x h h h             _                                   _{  }  _        

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

 Mengingat  Maka selanjutnya 0 1 0 f f f    ) 4 ( 3 3 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 ) 2 ( 3 ) ( 2 2 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 f f f h L f h f h f h L f h f h f h hf hf x hf L f f f h f f h x hf L                   0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2 2 ) ( ) ( f f f f f f f f f f            

Aturan Simpson 3/8

 Aproksimasi dengan fungsi kubik

 ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 i 3 0 i i b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 x f c x f c x f c x f c x f c dx x f             x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x) x₃ h

) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( 3 2 3 1 3 0 3 2 1 0 2 3 2 1 2 0 2 3 1 0 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 3 2 1 x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x L                            



( ₀ ) ( ₁) ( ₂ ) ( ₃ )



b a b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 3 a b h ; L(x)dx f(x)dx       





 Error Pemenggalan 3 a b h ; f 6480 a b f h 80 3 E 4 5 4 5 t        ( )( ) ( ) ( )( )

Aturan Simpson 3/8

Metode Integrasi Gauss

 Metode Newton Code (Trapezoida,

Simpson)  berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

 H sama

 Luas dihitung dari a sampai b

 Mengakibatkan error yang dihasilkan

Metode Integrasi Gauss

 Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang

[-1,1]

 Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

 Misal x₁=-1, x₂=1 dan c₁=c₂=1  menjadi m. trapezoida

 Karena x₁, x_2,,c₁ dan c₂ sembarang maka kita harus memilih nilai

tersebut sehingga error integrasinya min

  2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 1 1           h f f f f h dx x f I ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



  

Metode Integrasi Gauss

 Bagaimana mencari x₁, x_2,,c₁ dan c₂ Persamaan dibawah ini

dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

 f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



   0 3 2 0 2 1 1 1 3 3 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1                     dx x x c x c dx x x c x c dx x x c x c dx c c Didapat 3 1 3 1 1 2 1 2 1      x x c c

Metode Integrasi Gauss

 Persamaan dibawah ini dinamakan

metode Gauss Legendre 2 titik

) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1   



 f f dx x f

Transformasi

 Range [a,b]  [-1,1]  X  u f(x)  g(u) dx du





b a i

f

x

dx

L

(

)



_



1 1

)

( du

u

g

L

_i

Transformasi

du a b dx u a b b a x au bu b a x a a b u x a b u a x u a b a x                             2 2 ) ( ) ( 2 2 ) )( 1 ( 2 ) )( 1 ( 2 2 2 1 a x _b -1 u ₁

Transformasi

du u a b b a f a b du u g                1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) (



  1 1 ) ( duu g L_i



( ) ( )



) ( 2 1 ) (u b a f ₂1 b a u ₂1 b a g     

Analisa

 Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes

(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya

membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

 Lebih teliti dibandingkan dengan metode

Newton-Cotes.

 Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih

dahulu menjadi



 1 1 ) ( duu g

Algoritma Integrasi Kuadratur

Gauss dengan Pendekatan 2 titik

 Definisikan fungsi f(x)

 Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)

 Hitung nilai konversi variabel :

 Tentukan fungsi g(u) dengan:

 Hitung   ( ) 2 1 2 1 a b u a b x    



( ) ( )



) ( 2 1 ) (u b a f ₂1 b a u 1₂ b a g                     3 1 3 1 g g L

Metode Gauss Legendre 3

Titik

 Parameter x₁, x₂ , x₃ ,c₁ ,c₂ dan c₃ dapat dicari dengan

membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

 Dengan cara yang sama didapat

) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2 3 3} 1 1 x f c x f c x f c dx x f I       5 4 3 2 ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; 1 ) ( x x f x x f x x f x x f x x f x f       5 3 ; 0 ; 5 3 9 5 ; 9 8 ; 9 5 3 2 1 3 2 1        x x x c c c

Metode Gauss Legendre 3

Titik

 

_               



 5 3 9 5 0 9 8 5 3 9 5 ) ( 1 1 g g g du u g

Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

Beberapa Penerapan Integrasi

Numerik

 Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

 Menghitung Luas dan Volume

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

 Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai

atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

 Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal

ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000 0 5 10 6 3 15 9

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

 Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung

dengan menggunakan 3 macam metode:

 Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

 Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

 Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5 . 73 2 2 15 1 16 0        _{ }    i i y y y h L 5 . 73 16 0     i i y h L 74 2 4 3 0 16 _              i genap i ganjil i i y y y y h L

Menghitung Luas dan Volume

Benda Putar

 Luas benda putar:

 Volume benda putar:



 b a p f x dx L 2 ( )







 b a p f x dx V  ( ) 2

Contoh :

 Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4

bagian

 bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu

dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

 bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

 Bagian I:  Bagian III: 4 cm 6 cm 7 cm 12 cm 7 cm 5 cm I II III IV satuan dalam cm  (4)(7) 56 2   I L  (4)(7)2 196  I V     12 (12) 288 2   III L      12 12 2 1728  III V

Contoh :

 Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian

area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

 Pada bagian II dan IV: dan

 Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

  2 108 2 2 ) ( 4 1 5 0             i i IV II y y y h L L    2 1187.5 2 4 1 2 2 5 2 0              i i IV II y y y h V V IV II L L  V_II V_IV

Contoh :

 Luas permukaan dari botol adalah:

 Luas = 1758.4 cm2  Volume botol adalah:

 Volume = 13498.86 cm3 4 . 1758 560 108 288 108 56                IV III II I L L L L L      4299 5 . 1187 1728 5 . 1187 196         V_I V_II V_III V_IV V