Pengertian dan Aplikasi

(1)

BAB 1

INTEGRAL BAB 1

INTEGRAL

(2)

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral

dalam pemecahan masalah

(3)

Kompetensi Dasar

 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

 Menggunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar.

(4)

Integral dan

Operasi Pengintegralan

Operasi pendiferensialan adalah proses menentukan turunan dari suatu fungsi F′(x) jika fungsi F(x) diketahui.

Misalkan F(x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat

F′(x) = f(x) atau F(x) dapat didiferensialkan sehingga F′(x) = f(x).

Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai himpunan anti-pendiferensialan (anti-turunan) atau himpunan

pengintegralan dari fungsi F′(x) = f(x).

(5)

Notasi Integral

dengan:

 F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F(x) bersifat F′(x) = f(x)

 f(x) disebut fungsi integran

 C konstanta real sembarang disebut sebagai konstanta pengintegralan

(6)

Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar

(7)

Contoh:



(8)

Integral Tak Tentu dari Fungsi

Trigonometri

(9)

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri dalam Variabel Sudut

( ax + b)

(10)

Contoh:



(11)

MENGHTUNG LUAS DAERAH DI BIDANG DATAR

(12)

Menghitung Luas Daerah Pendekatan dengan Menggunakan Persegi

 Banyak persegi satuan yang berada di dalam daerah C ada 36 buah.

 Banyak persegi satuan yang menutupi daerah C ada 62 buah.

 Maka, luas daerah: 36 < L < 62

(13)

Kurva parabola mempunyai persamaan , maka:

Menghitung Luas Daerah Pendekatan

dengan Menggunakan Persegi Panjang

(14)

 Berdasarkan pengamatan pada Gambar (b), jumlah luas persegi panjang yang terletak di dalam daerah C adalah:

 Berdasarkan pengamatan pada Gambar (c), jumlah luas persegi panjang yang terletak di dalam daerah C adalah:

Maka, nilai luas L adalah:

(15)

Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit

Langkah 1

Membagi [a, b] menjadi n buah sub-interval, maka luas masing-masing persegi:

Langkah 2

Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang. Jadi,

atau jika dinyatakan dalam notasi sigma (∑)

(16)

dengan adalah integral tentu atau integral Riemann, dibaca sebagai integral tentu

ƒ(x)

^terhadap

x

^untuk

x = a

^sampai

x = b.

(17)

Contoh:

menyatakan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva parabola y = ,, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 2.

(18)

MENGHITUNG INTEGRAL TENTU

Teorema Dasar Integral Kalkulus

Notasi Kurung Siku

 a, b : Batas bawah dan batas atas pengintegralan.

 Integral tertutup [a, b] : Wilayah pengintegralan.

(19)

Integral Tentu

Contoh:

(20)

Sifat-Sifat Integral Tentu

(21)

(22)

Langkah 1

Memilih fungsi u = g(x) sehingga dapat diubah menjadi .

Langkah 2

Tentukan fungsi integral umum f(u) yang bersifat F′(du) = ƒ(u).

(23)

Rumus-Rumus:

(24)

Hasil Pengintegralan:

(25)

PENGINTEGRALAN DENGAN RUMUS INTEGRAL PARSIAL

Berhasil atau tidaknya pengintegralan dengan menggunakan rumus integral parsial ditentukan oleh dua hal berikut:

(26)

(27)

Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dengan Sumbu X

atau

(28)

(29)

Luas Daerah yang Dibatasi oleh

Beberapa Kurva

(30)

(31)

MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

Pasangan Daerah di Bidang Datar dengan Benda Putar

(32)

Benda putar adalah suatu benda ruang yang

diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap

garis tertentu (sumbu rotasi)

(33)

Volume Benda Putar dari Daerah yang

Diputar terhadap Sumbu X

(34)

Volume Benda Putar dari Daerah yang

Diputar terhadap Sumbu Y

(35)

Volume Benda Putar dari Daerah Antara

Dua Kurva yang Diputar terhadap Sumbu X

(36)

Volume Benda Putar dari Daerah Antara

Dua Kurva yang Diputar terhadap Sumbu Y