INTEGRASI NUMERIK C 1. n ax. ax e. cos( 1 1. n 1. x x. 0 Fungsi yang dapat dihitung integralnya : 0 Fungsi yang rumit misal :

INTEGRASI NUMERIK

0

Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting

yaitu integral dan turunan(derivative)

0

Pengintegralan numerik merupakan alat atau

cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk

memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi)

dari pengintegralan yang tidak dapat

INTEGRASI NUMERIK

0 Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

0 Fungsi yang rumit misal :

C x x x dx x C x dx x C b a a dx b ax C b a a dx b ax C a e dx e C n ax dx ax ax ax n n                   













 | | ln | | ln | | ln 1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( 1 ) sin( 1 1

dx

e

x

x

_0.5x 2 0 2 3

sin

5

.

0

1

)

1

cos(

2





_



INTEGRASI NUMERIK

0

Perhitungan integral adalah perhitungan

dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam

banyak keperluan.

0

digunakan untuk menghitung luas daerah

yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

0

Penerapan integral : menghitung luas dan

Dasar Pengintegralan Numerik



Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1 0 0 0 n n i n i i b a

x

f

c

x

f

c

x

f

c

x

f

c

dx

x

f















 x₀ x₁ x_n-1 x_n x f(x)

0 2 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan Numerik

0 Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti

saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

0 Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b a n b a









(

)

(

)

 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n n 1 n 1 n 1 0 n

x

a

a

x

a

x

a

x

f

(

)











_ 



 f

_n

(x) bisa fungsi linear

 f

_n

(x) bisa juga fungsi kubik atau

INTEGRASI NUMERIK

0

Luas daerah yang

diarsir L dapat

dihitung dengan :

0

L =

 



b a dx x f

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann

0 Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

0 Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] 0 Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang

dimana Li=f(xi).

i

x

Metode Integral Reimann

0

Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan

dituliskan :

0

Dimana

0

Didapat

 

 

 

 

 

_i n i i n n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

L

L

L

L

L



































0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 0

...

..

 

_

 







n i i b a

x

f

h

dx

x

f

0

h

x

x

x

x















_n





_{0 1 2}

...

Contoh

0

Hitung luas yang dibatasi y = x

2

dan sumbu x

untuk range x = [0,1]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2



1 0 2 dx x

L =

Contoh

0 Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

0 Secara kalkulus : 0 Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 0 = 0,052





 

0.1 3,85



0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0 ) ( . 10 0              



 i i x f h L ... 3333 , 0 | 3 1 ₁ 0 3 1 0 2   

_

x dx x L

Algoritma Metode Integral

Reimann:

0 Definisikan fungsi f(x)

0 Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

0 Tentukan jumlah pembagi area N

0 Hitung h=(b-a)/N 0 Hitung







N i i

x

f

h

L

0

)

(

.

Metode Integrasi Trapezoida

0 Aproksimasi garis lurus (linier)



(

)

(

)



)

(

)

(

)

(

)

(

1 0 1 1 0 0 i 1 0 i i b a

x

f

x

f

2

h

x

f

c

x

f

c

x

f

c

dx

x

f















 x₀ x₁ x f(x) L(x)

Aturan Komposisi Trapesium















( ) ( ) ( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0                    









_      x₀ x₁ x f(x) x₂ h h h x₃ h x₄ n a b h  

Metode Integrasi

Trapezoida





















  n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

   







_{i i}



_i i i i i i x f f L atau x x f x f L         . 2 1 . 2 1 1 1



 



1 0  i i

L

L







_{n n}



n i i i f f f f f h f f h L        _    



0 1 2 1 1 0 1 2 2 ... 2 2 2 1

Algoritma Metode Integrasi

Trapezoida

0 Definisikan y=f(x)

0 Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

0 Tentukan jumlah pembagi n

0 Hitung h=(b-a)/n 0 Hitung





















  n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

Aturan Simpson 1/3

0 Aproksimasi dengan fungsi parabola



( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 i 2 0 i i b a x f x f 4 x f 3 h x f c x f c x f c x f c dx x f       





 x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x)

                                       1 x x 0 x x 1 x x h dx d h x x 2 a b h 2 b a x b x a x let x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1      , , , , ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) (

Aturan Simpson 1/3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L            1 1 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 ) 2 3 ( 2 ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) (                   











ξ ξ h x f ξ ξ h x f ξ ξ h x f dξ ξ ξ h x f dξ ξ ( h x f dξ ξ ξ h x f dξ L h dx x f b a 



(

)

(

)

(

)



)

(

_{0 1 2} b a

3

f

x

4

f

x

f

x

h

dx

x

f









Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Simpson

x₀ x₂ x f(x) x₄ h h h x_n-2 x_n

n

a

b

h





…...

h x₃ x₁ x_n-1

Metode Integrasi Simpson

0

Dengan menggunakan aturan simpson, luas

dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan

sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

0

atau dapat dituliskan dengan:



f

f

 

h

f

f

 

h

f

f

 

h

f

f



h



f

_n

f

_n

 

h

f

_n

f

_n



h

L



₀



₁



₁



₂



₂



₃



₃



₄





_2



_1



2

_1



3

2

3

...

2

3

2

3

2

3

2

3

           





_n genap i i ganjil i i f f f f h L ₀ 4 2 3 N = 0 – n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

0

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2

yang melalui ketiga titik tsb

0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ! 2 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p           

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

0 Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 2 3 4 2 2 4 4 6 8 2 4 2 | 4 6 2 ! 2 ) ( ) ( f h f h x hf L f h h f h x hf L f h h h h f h h x hf L f h x h x f h x x f L dx f h h x x f h x f L xdx p dx x f L h x x h h h             _                                   _{  }  _     







Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

0 Mengingat 0 Maka selanjutnya 0 1 0

f

f

f







) 4 ( 3 3 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 ) 2 ( 3 ) ( 2 2 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 f f f h L f h f h f h L f h f h f h hf hf x hf L f f f h f f h x hf L                   0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2

2

)

(

)

(

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

























Aturan Simpson 3/8



Aproksimasi dengan fungsi kubik



( ) ( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 i 3 0 i i b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 x f c x f c x f c x f c x f c dx x f         





 x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x) x₃ h

) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( 3 2 3 1 3 0 3 2 1 0 2 3 2 1 2 0 2 3 1 0 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 3 2 1 x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x L                            



(

₀

)

(

₁

)

(

₂

)

(

₃

)



b a b a

x

f

x

f

3

x

f

3

x

f

8

h

3

3

a

b

h

;

L(x)dx

f(x)dx



















 Error Pemenggalan 3 a b h ; f 6480 a b f h 80 3 E 4 5 4 5 t        ( )(



) ( ) ( )(



)

Aturan Simpson 3/8

Metode Integrasi Gauss

0 Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) 

berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

0 H sama

0 Luas dihitung dari a sampai b

Metode Integrasi Gauss

0 Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

0 Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

0 Misal x₁=-1, x₂=1 dan c₁=c₂=1  menjadi m. trapezoida

0 Karena x₁, x_2,,c₁ dan c₂ sembarang maka kita harus memilih nilai

tersebut sehingga error integrasinya min





2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 1 1        



 h f f f f h dx x f I ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



  

Metode Integrasi Gauss

0 Bagaimana mencari x₁, x_2,,c₁ dan c₂ Persamaan dibawah ini dianggap

memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

0 f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



   0 3 2 0 2 1 1 1 3 3 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1            









    dx x x c x c dx x x c x c dx x x c x c dx c c Didapat 3 1 3 1 1 2 1 2 1      x x c c

Metode Integrasi Gauss

0 Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss

Legendre 2 titik ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1   



 f f dx x f

Transformasi

0 Range [a,b]  [-1,1] 0 X  u f(x)  g(u) dx du





b a i

f

x

dx

L

(

)







1 1

)

( du

u

g

L

_i

Transformasi

du

a

b

dx

u

a

b

b

a

x

au

bu

b

a

x

a

a

b

u

x

a

b

u

a

x

u

a

b

a

x











 











































2

2

)

(

)

(

2

2

)

)(

1

(

2

)

)(

1

(

2

2

2

1

a x _b -1 u ₁

Transformasi

du u a b b a f a b du u g





             1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) (



( ) ( )



) ( 2 1 ) (u b a f 1₂ b a u 1₂ b a g     







1 1

)

( du

u

g

L

_i

Analisa

0 Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes

(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode

Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

0 Lebih teliti dibandingkan dengan metode

Newton-Cotes.

0 Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih

dahulu menjadi



 1 1 ) (u du g

Algoritma Integrasi Kuadratur

Gauss dengan Pendekatan 2 titik

0

Definisikan fungsi f(x)

0

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)

0

Hitung nilai konversi variabel :

0

Tentukan fungsi g(u) dengan:

0

Hitung





( ) 2 1 2 1 a b u a b x    



( ) ( )



) ( 2 1 ) (u b a f 1₂ b a u ₂1 b a g                     3 1 3 1 g g L

Metode Gauss Legendre 3

Titik

0 Parameter x₁, x₂ , x₃ ,c₁ ,c₂ dan c₃ dapat dicari dengan

membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

0 Dengan cara yang sama didapat

) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2 3 3} 1 1 x f c x f c x f c dx x f I 



    5 4 3 2 ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; 1 ) ( x x f x x f x x f x x f x x f x f       5 3 ; 0 ; 5 3 9 5 ; 9 8 ; 9 5 3 2 1 3 2 1        x x x c c c

Metode Gauss Legendre 3

Titik

 

_



































5

3

9

5

0

9

8

5

3

9

5

)

(

1 1

g

g

g

du

u

g

Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan

Pendekatan 3 Titik

Beberapa Penerapan Integrasi

Numerik

0 Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar 0 Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

0 Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau

membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

0 Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini

n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000 0 5 10 6 3 15 9

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

0

Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung

dengan menggunakan 3 macam metode:

0 Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

0 Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

0 Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5 . 73 2 2 15 1 16 0             i i y y y h L 5 . 73 16 0  



 i i y h L 74 2 4 3 0 16 _         





  i genap i ganjil i i y y y y h L

Menghitung Luas dan Volume Benda

Putar

0 Luas benda putar:

0 Volume benda putar:





b a p

f

x

dx

L

2



(

)









b a p

f

x

dx

V



(

)

2

Contoh :

0 Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

0 bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu

dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

0 bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

0 Bagian I: 0 Bagian II: 4 cm 6 cm 7 cm 12 cm 7 cm 5 cm I II III IV satuan dalam cm  (4)(7) 56 2   I L  (4)(7)2 196  I V

 





12 (12) 288 2   II L

  

  12 12 3456 2 2   II V

Contoh :

0 Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area ,

misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

0 Pada bagian II dan IV: dan

0 Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

  2 108 2 2 ) ( 4 1 5 0        _{ } 



 i i IV II y y y h L L    2 1187.5 2 4 1 2 2 5 2 0              i i IV II y y y h V V IV II L L  V_II V_IV

Contoh :

0 Luas permukaan dari botol adalah:

0 Luas = 1758.4 cm2 0 Volume botol adalah:

0 Volume = 18924.78 cm3 4 . 1758 560 108 288 108 56          











IV III II I L L L L L      6024 5 . 1187 3456 5 . 1187 196          V_I V_II V_III V_IV V