INTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. a 1. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :

INTEGRASI NUMERIK

„ Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting

yaitu integral dan turunan(derivative)

„ Pengintegralan numerik merupakan alat atau

cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran

(aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIK

„ Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

„ Fungsi yang rumit misal :

C x x x dx x C x dx x C b a a dx b ax C b a a dx b ax C a e dx e C n ax dx ax ax ax n n + − = + = + + = + + + − = + + = + + =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ | | ln | | ln | | ln 1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( 1 ) sin( 1 1 dx e x x _0.5x 2 0 2 3 sin 5 . 0 1 ) 1 cos( 2

∫

+ ₊ +

INTEGRASI NUMERIK

„ Perhitungan integral adalah perhitungan

dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

„ digunakan untuk menghitung luas daerah

yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

„ Penerapan integral : menghitung luas dan

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

¾ Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 0 0 n n i n i i b a x f c x f c x f c x f c dx x f + + + = ≈

∑

∫

= x₀ x₁ x_n-1 x_n f(x) x

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

„ Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti

saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

„ Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan

lebih mendekati jawaban eksak.

0 2 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b a n b a

∫

∫

≅

=

(

)

(

)

¾ Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n n 1 n 1 n 1 0 n

x

a

a

x

a

x

a

x

f

(

)

=

+

+

Λ

+

₋ −

+

¾ f

_n

(x) bisa fungsi linear

¾ f

_n

(x) bisa juga fungsi kubik atau

INTEGRASI NUMERIK

„ Luas daerah yang

diarsir L dapat dihitung dengan : „ L =

( )

∫

b a dx x f

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann

„

Luasan yang dibatasi y = f(x) dan

sumbu x

„

Luasan dibagi menjadi N bagian pada

range x = [a,b]

„

Kemudian dihitung Li : luas setiap

Metode Integral Reimann

„ Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan

dituliskan : „ Dimana „ Didapat

( )

( )

( )

( )

( )

_i n i i n n x x f x x f x x f x x f x x f L L L L L ∆ = ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ = + + + + =

∑

=0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 0 ... ..

( )

_∑

( )

∫

=

=

n i i b a

x

f

h

dx

x

f

0 h x x x x = ∆ = ∆ = = ∆ _n = ∆ _{0 1 2} ...

∫

1 0 2 _dx x

L =

Contoh

„ Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan

sumbu x untuk range x = [0,1]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2

Contoh

„ Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

„ Secara kalkulus : „ Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 „ = 0,052

(

)

( )(

0.1 3,85

)

0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0 ) ( . 10 0 = = + + + + + + + + + + = =

∑

= i i x f h L ... 3333 , 0 | 3 1 ₁ 0 3 1 0 2 = = =

_∫

x dx x L

Algoritma Metode Integral

Reimann:

„

Definisikan fungsi f(x)

„

Tentukan batas bawah dan batas ata

integrasi

„

Tentukan jumlah pembagi area N

„

Hitung h=(b-a)/N

„

Hitung

∑

=

=

N i i

x

f

h

L

0

)

(

.

Metode Integrasi Trapezoida

„

Aproksimasi garis lurus (linier)

[

( ) ( )

]

) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 1 0 0 i 1 0 i i b a x f x f 2 h x f c x f c x f c dx x f + = + = ≈

∑

∫

= x₀ x₁ f(x) L(x) x

Aturan

Aturan

Komposisi

Komposisi

Trapesium

Trapesium

[ ] [ ] [ ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0 + + + + + + = + + + + + + = + + + = − −

∫

∫

∫

∫

₋ Λ Λ Λ Λ Λ x₀ x₁ f(x) x x₂ h h h x₃ h x₄ n a b h = −

Metode Integrasi

Trapezoida

( ) ( ) ( ) ( _{i i} ) _i i i i i i x f f L atau x x f x f L ∆ + = ∆ + = + + . 2 1 . 2 1 1 1

∑

− = = 1 0 η i i L L

(

)

(

_{n n}

)

n i i i f f f f f h f f h L = − + = + + + + ₋ + = +

∑

0 1 2 1 1 0 1 2 2 ... 2 2 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + =

∑

− = n n i i f f f h L 1 1 0 2 2

Algoritma Metode

Integrasi Trapezoida

„

Definisikan y=f(x)

„

Tentukan batas bawah (a) dan batas

atas integrasi (b)

„

Tentukan jumlah pembagi n

„

Hitung h=(b-a)/n

„

Hitung

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

∑

− = n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

Aturan

Aturan

Simpson 1/3

Simpson 1/3

„

Aproksimasi dengan fungsi parabola

[

( ) ( ) ( )

]

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 i 2 0 i i b a x f x f 4 x f 3 h x f c x f c x f c x f c dx x f + + = + + = ≈

∑

∫

= x₀ x₁ f(x) x x₂ h h L(x)

Aturan

Aturan

Simpson 1/3

_{Simpson 1/3}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = = ⇒ = − = ⇒ = = − = − = + = = = − − − − + − − − − + − − − − = 1 x x 0 x x 1 x x h dx d h x x 2 a b h 2 b a x b x a x let x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1 ξ ξ ξ ξ ξ , , , , ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L ξ = ξ ξ − + −ξ + ξ ξ +

Aturan

Aturan

Simpson 1/3

_{Simpson 1/3}

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L ξ = ξ ξ − + − ξ + ξ ξ + 1 1 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 ) 2 3 ( 2 ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) ( − − − − − − + + − + − = + + − + − = ≈

∫

∫

∫

∫

∫

ξ ξ h x f ξ ξ h x f ξ ξ h x f dξ ξ ξ h x f dξ ξ ( h x f dξ ξ ξ h x f dξ L h dx x f b a ξ

[

( ) ( ) ( )

]

) ( _{0 1 2} b a 3 f x 4 f x f x h dx x f = + +

∫

Aturan

Aturan

Komposisi

_Komposisi

Simpson

Simpson

x₀ x₂ f(x) x₄ h h h x_n-2 x_n n a b h = −

…...

h x₃ x₁ x_n-1 x

Metode Integrasi Simpson

„ Dengan menggunakan aturan simpson, luas

dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

„ atau dapat dituliskan dengan:

(

f f

) (

h f f

) (

h f f

) (

h f f

)

h

(

f_n f_n

) (

h f_n f_n

)

h L= ₀+ ₁ + ₁+ ₂ + ₂+ ₃ + ₃+ ₄ + + ₋₂+ ₋₁ + 2 ₋₁+ 3 2 3 ... 2 3 2 3 2 3 2 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ∑ ∑ _n genap i i ganjil i i f f f f h L ₀ 4 2 3 N = 0 – n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

„ Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2

yang melalui ketiga titik tsb

0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ! 2 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p = + ∆ + − ∆ = + + − ∆

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

„ Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 2 3 4 2 2 4 4 6 8 2 4 2 | 4 6 2 ! 2 ) ( ) ( f h f h x hf L f h h f h x hf L f h h h h f h h x hf L f h x h x f h x x f L dx f h h x x f h x f L xdx p dx x f L h x x h h h ∆ + ∆ + = ∆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ∆ + = ∆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ∆ + = ∆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ∆ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ∆ +} − _∆ = = = = = ∫ ∫ ∫

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

„ Mengingat „ Maka selanjutnya 0 1 0 f f f = − ∆ ) 4 ( 3 3 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 ) 2 ( 3 ) ( 2 2 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 f f f h L f h f h f h L f h f h f h hf hf x hf L f f f h f f h x hf L + + = + + = + − + − + = + − + − + = 0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2

2

)

(

)

(

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

=

∆

−

∆

=

−

−

−

=

−

+

∆

Aturan

Aturan

Simpson 3/8

_{Simpson 3/8}

¾ Aproksimasi dengan fungsi kubik

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 i 3 0 i i b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 x f c x f c x f c x f c x f c dx x f + + + = + + + = ≈

∑

∫

= x₀ x₁ f(x) x x₂ h h L(x) x₃ h

Aturan

Aturan

Simpson 3/8

Simpson 3/8

) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( 3 2 3 1 3 0 3 2 1 0 2 3 2 1 2 0 2 3 1 0 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 3 2 1 x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x L − − − − − − + − − − − − − + − − − − − − + − − − − − − =

[

( ₀ ) ( ₁) ( ₂ ) ( ₃ )

]

b a b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 3 a b h ; L(x)dx f(x)dx + + + = − = ≈

∫

∫

¾ Error Pemenggalan 3 a b h ; f 6480 a b f h 80 3 E 4 5 4 5 t − = − − = − = ( )(ξ ) ( ) ( )(ξ )

Metode Integrasi Gauss

„

Metode Newton Code (Trapezoida,

Simpson) Æ berdasarkan titik2 data

diskrit. Dengan batasan :

„ H sama

„ Luas dihitung dari a sampai b

„

Mengakibatkan error yang dihasilkan

Metode Integrasi Gauss

„ Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang

[-1,1]

„ Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

„ Misal x₁=-1, x₂=1 dan c₁=c₂=1 Æ menjadi m. trapezoida

„ Karena x₁, x_2,,c₁ dan c₂ sembarang maka kita harus memilih nilai

tersebut sehingga error integrasinya min

( ) 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 1 1 = − + ≈ − + ≈ =

∫

− h f f f f h dx x f I ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I =

∫

≈ + −

Metode Integrasi Gauss

„ Bagaimana mencari x₁, x_2,,c₁ dan c₂ Persamaan dibawah ini

dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

„ f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I =

∫

≈ + − 0 3 2 0 2 1 1 1 3 3 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 = = + = = + = = + = = +

∫

∫

∫

∫

− − − − dx x x c x c dx x x c x c dx x x c x c dx c c Didapat 3 1 3 1 1 2 1 2 1 − = = = = x x c c

Metode Integrasi Gauss

„

Persamaan dibawah ini dinamakan

metode Gauss Legendre 2 titik

) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1 − + =

∫

− f f dx x f

Transformasi

„

Range [a,b] Æ [-1,1]

„

X Æ u f(x) Æ g(u) dx Ædu

∫

=

b a i

f

x

dx

L

(

)

=

₋

∫

1 1

)

(

u

du

g

L

_i

Transformasi

du a b dx u a b b a x au bu b a x a a b u x a b u a x u a b a x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − + + = − + + = + + + = + + = − + = − − 2 2 ) ( ) ( 2 2 ) )( 1 ( 2 ) )( 1 ( 2 2 2 1 a x _b -1 u ₁

Transformasi

du u a b b a f a b du u g

∫

∫

− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − = 1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) (

∫

−

=

1 1

)

(

u

du

g

L

_i

(

( ) ( )

)

) ( 2 1 ) (u b a f 1₂ b a u 1₂ b a g = − − + +

Analisa

„ Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes

(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien

dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

„ Lebih teliti dibandingkan dengan metode

Newton-Cotes.

„ Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih

dahulu menjadi

∫

− 1 1 ) (u du g

Algoritma Integrasi Kuadratur

Gauss dengan Pendekatan 2 titik

„ Definisikan fungsi f(x)

„ Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)

„ Hitung nilai konversi variabel :

„ Tentukan fungsi g(u) dengan:

„ Hitung ( ) ( ) 2 1 2 1 a b u a b x = − + +

(

( ) ( )

)

) ( 2 1 ) (u b a f ₂1 b a u ₂1 b a g = − − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 3 1 3 1 g g L

Metode Gauss Legendre 3

Titik

„ Parameter x₁, x₂ , x₃ ,c₁ ,c₂ dan c₃ dapat dicari dengan

membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

„ Dengan cara yang sama didapat

) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2 3 3} 1 1 x f c x f c x f c dx x f I =

∫

≈ + + − 5 4 3 2 ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; 1 ) ( x x f x x f x x f x x f x x f x f = = = = = = 9 5 ; 9 8 ; 9 5 3 2 1 = c = c = c 5 3 ; 0 ; 5 3 _{2 3} 1 = − x = x = x

Metode Gauss Legendre 3

Titik

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

∫

−

5

3

9

5

0

9

8

5

3

9

5

)

(

1 1

g

g

g

du

u

g

Algoritma Metode Integrasi Gauss

Dengan Pendekatan 3 Titik

Beberapa Penerapan Integrasi

Numerik

„

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

„

Menghitung Luas dan Volume

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

„ Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai

atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

„ Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal

ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000 0 5 10 6 3 15 9

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

„ Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung

dengan menggunakan 3 macam metode:

„ Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

„ Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

„ Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5 . 73 16 0 = = ∑ = i i y h L 5 . 73 2 2 15 1 16 0 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = ∑ = i i y y y h L 74 2 4 3 0 16 ⎟⎟_⎠ = ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + =

∑

∑

= = i genap i ganjil i i y y y y h L

Menghitung Luas dan Volume

Benda Putar

„

Luas benda putar:

„

Volume benda putar:

∫

= b a p f x dx L 2

π

( )

[

]

∫

= b a p f x dx V 2 ) ( π

Contoh :

„ Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4

bagian

„ bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu

dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

„ bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

„ Bagian I: „ Bagian II: 4 cm 6 cm 7 cm 12 cm 7 cm 5 cm I II III IV satuan dalam cm π π(4)(7) 56 2 = = I L π π (4)(7)2 = 196 = I V

( )

π π 12 (12) 288 2 = = II L ( )( ) π π 12 12 3456 2 2 = = II V

Contoh :

„ Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian

area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

„ Pada bagian II dan IV: dan

„ Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

π π 2 108 2 2 ) ( 4 1 5 0 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ∑ = i i IV II y y y h L L ( ) π 2 1187.5π 2 4 1 2 2 5 2 0 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = = ∑ = i i IV II y y y h V V IV II L L = V_II =V_IV

Contoh :

„ Luas permukaan dari botol adalah:

„ Luas = 1758.4 cm2 „ Volume botol adalah:

„ Volume = 18924.78 cm3 4 . 1758 560 108 288 108 56 = = + + + = + + + = π π π π π IV III II I L L L L L π π π π π 6024 5 . 1187 3456 5 . 1187 196 = + + + = + + + = V_I V_II V_III V_IV V