INTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. n 1. x x. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :

INTEGRASI NUMERIK

 Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu

integral dan turunan(derivative)

 Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang

digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIK

 Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

 Fungsi yang rumit misal :

C x x x dx x C x dx x C b a a dx b ax C b a a dx b ax C a e dx e C n ax dx ax ax ax n n                   













 | | ln | | ln | | ln 1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( 1 ) sin( 1 1 dx e x x _0.5x 2 0 2 3 sin 5 . 0 1 ) 1 cos( 2



 _ 

INTEGRASI NUMERIK

 Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang

digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

 digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi

oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

 Penerapan integral : menghitung luas dan

Dasar Pengintegralan Numerik

 _{Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi}

) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 0 0 n n i n i i b a x f c x f c x f c x f c dx x f     





 x₀ x₁ x_n-1 x_n x f(x)

0 2 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan Numerik

 Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal

belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

 Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b a n b a









(

)

(

)

 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n n 1 n 1 n 1 0 n

x

a

a

x

a

x

a

x

f

(

)











_ 



 f

_n

(x) bisa fungsi linear

 f

_n

(x) bisa fungsi kuadrat

 f

_n

(x) bisa juga fungsi kubik atau

polinomial yang lebih tinggi

INTEGRASI NUMERIK

 Luas daerah yang diarsir L

dapat dihitung dengan :

 L =

 



b a dx x f

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann

 Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

 Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]

 Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana

Metode Integral Reimann

 Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

 Dimana  Didapat

 

 

 

 

 

_i n i i n n x x f x x f x x f x x f x x f L L L L L                



0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 0 ... ..

 

_

 







n i i b a

x

f

h

dx

x

f

0 h x x x x        _n   _{0 1 2} ...

Contoh

 Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk

range x = [0,1] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2



1 0 2 dx x

L =

Contoh

 Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

 Secara kalkulus :  Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052





 

0.1 3,85



0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0 ) ( . 10 0              



 i i x f h L ... 3333 , 0 | 3 1 ₁ 0 3 1 0 2   

_

x dx x L

Algoritma Metode Integral Reimann:

 Definisikan fungsi f(x)

 Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

 Tentukan jumlah pembagi area N

 Hitung h=(b-a)/N  Hitung







N i i

x

f

h

L

0

)

(

.

Metode Integrasi Trapezoida

 Aproksimasi garis lurus (linier)



( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 1 0 0 i 1 0 i i b a x f x f 2 h x f c x f c x f c dx x f     





 x₀ x₁ x f(x) L(x)

Aturan Komposisi Trapesium

       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0                    









_      x₀ x₁ x f(x) x₂ h h h x₃ h x₄ n a b h  

Metode Integrasi Trapezoida

        



  n n i i f f f h L 1 1 0 2 2

   







_{i i}



_i i i i i i x f f L atau x x f x f L         . 2 1 . 2 1 1 1



 



1 0  i i

L

L







_{n n}



n i i i f f f f f h f f h L        _    



0 1 2 1 1 0 1 2 2 ... 2 2 2 1

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida

 Definisikan y=f(x)

 Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

 Tentukan jumlah pembagi n

 Hitung h=(b-a)/n  Hitung





















  n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

Aturan Simpson 1/3

 Aproksimasi dengan fungsi parabola



( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 i 2 0 i i b a x f x f 4 x f 3 h x f c x f c x f c x f c dx x f       





 x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x)

                                       1 x x 0 x x 1 x x h dx d h x x 2 a b h 2 b a x b x a x let x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1      , , , , ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L           

Aturan Simpson 1/3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 ₁ f x₂ 2 1 x f 1 x f 2 1 L            1 1 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 ) 2 3 ( 2 ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) (                   











ξ ξ h x f ξ ξ h x f ξ ξ h x f dξ ξ ξ h x f dξ ξ ( h x f dξ ξ ξ h x f dξ L h dx x f b a 



(

)

(

)

(

)



)

(

_{0 1 2} b a

₃

f

x

4

f

x

f

x

h

dx

x

f









Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Simpson

x₀ x₂ x f(x) x₄ h h h x_n-2 x_n n a b h  

…...

h x₃ x₁ x_n-1

Metode Integrasi Simpson

 Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah

yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

 atau dapat dituliskan dengan:



f f

 

h f f

 

h f f

 

h f f



h



f_n f_n

 

h f_n f_n



h L  ₀  ₁  ₁  ₂  ₂  ₃  ₃  ₄   _2  _1  2 _1  3 2 3 ... 2 3 2 3 2 3 2 3               _n genap i i ganjil i i f f f f h L ₀ 4 2 3 N = 0 – n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

 Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang

melalui ketiga titik tsb

0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ! 2 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p           

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

 Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 2 3 4 2 2 4 4 6 8 2 4 2 | 4 6 2 ! 2 ) ( ) ( f h f h x hf L f h h f h x hf L f h h h h f h h x hf L f h x h x f h x x f L dx f h h x x f h x f L xdx p dx x f L h x x h h h             _                                   _{  }  _        

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

 Mengingat  Maka selanjutnya 0 1 0 f f f    ) 4 ( 3 3 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 ) 2 ( 3 ) ( 2 2 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 f f f h L f h f h f h L f h f h f h hf hf x hf L f f f h f f h x hf L                   0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2

2

)

(

)

(

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

























Aturan Simpson 3/8

 _{Aproksimasi dengan fungsi kubik}



( ) ( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 i 3 0 i i b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 x f c x f c x f c x f c x f c dx x f         





 x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x) x₃ h

) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( 3 2 3 1 3 0 3 2 1 0 2 3 2 1 2 0 2 3 1 0 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 3 2 1 x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x L                            



( ₀ ) ( ₁) ( ₂ ) ( ₃ )



b a b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 3 a b h ; L(x)dx f(x)dx       





 Error Pemenggalan 3 a b h ; f 6480 a b f h 80 3 E 4 5 4 5 t        ( )( ) ( ) ( )( )

Aturan Simpson 3/8

Metode Integrasi Gauss

 Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) 

berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

 H sama

 Luas dihitung dari a sampai b

Metode Integrasi Gauss

 Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

 Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

 Misal x₁=-1, x₂=1 dan c₁=c₂=1  menjadi m. trapezoida

 Karena x₁, x_2,,c₁ dan c₂ sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga

error integrasinya min





2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 1 1        



 h f f f f h dx x f I ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



  

Metode Integrasi Gauss

 Bagaimana mencari x₁, x_2,,c₁ dan c₂ Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi

secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]  f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



   0 3 2 0 2 1 1 1 3 3 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1            









    dx x x c x c dx x x c x c dx x x c x c dx c c Didapat 3 1 3 1 1 2 1 2 1      x x c c

Metode Integrasi Gauss

 Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2

titik ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1   



 f f dx x f

Transformasi

 Range [a,b]  [-1,1]  X  u f(x)  g(u) dx du





b a i

f

x

dx

L

(

)







1 1

)

( du

u

g

L

_i

Transformasi

du a b dx u a b b a x au bu b a x a a b u x a b u a x u a b a x                             2 2 ) ( ) ( 2 2 ) )( 1 ( 2 ) )( 1 ( 2 2 2 1 a x _b -1 u ₁

Transformasi

du u a b b a f a b du u g





             1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) (



( ) ( )



) ( 2 1 ) (u b a f ₂1 b a u ₂1 b a g     







1 1

)

(

u

du

g

L

_i

Analisa

 Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida,

Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih

sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

 Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.  Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu

menjadi



 1 1 ) ( duu g

Tugas

 Carilah perintah dalam bahasa matlab untuk Integrasi