bab 4 aplikasi integral tertentu revisi

BAB IV

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu.

2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu.

3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu

4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu.

Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan 4) luas permukaan.

Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar.

4.1 Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan yf(x) _atau xg(y) _atau yf(x),xg(y)_{yang berbatasan dengan}

sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan dengan persamaan y f(x) _{dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas}

sumbu X atau luasan dengan persamaan x g(y) _{dan sumbu-sumbu koordinat yang}

terletak disebelah kanan sumbu Y. Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.

Gambar 4.1

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan yf(x) _{dan sumbu-sumbu}

koordinat yang terletak di bawah sumbu X atau luasan dengan persamaan x g(y)

dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Y. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

) (x f y

) (y f x

a

x xb

d y

c y

Y

X

X Y

Gambar 4.2

Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya

) ( 2 f x

y  dan y2 g(x). Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar luasan dibawah ini

) (x f y

) (y f x

a

x xb

d y

c y

Y

X

Y

Gambar 4.3

R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva y f(x),x a,x b. _{Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R}

dinyatakan dengan

dx x f R

A

b

a



 ( )

) (

Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk



_

 

_

b

a b

a

dx x f dx x f R

A( ) ( ) ( )

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu X atau sumbu Y , selanjutnya bagilah luasan dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.

c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas persegi panjang

d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk. Y

R

) (x f y

X a

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas luasan.

Contoh:

1) Segitiga ABC terletak pada XOY , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawab

Gambar segitiga ABC adalah

Gambar 4.4

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

A

Diperoleh persamaan

0

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan A R f x dx

2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva _{y4 x}2 _{dan sumbu-sumbu} koordinat.

Jawab

Luasan _{y4 x}2 _{yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah}

Gambar 4.5

Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:

3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva _xy2 _{dan garis x4}

Gambar 4.6

Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan

_



_



4

0

4

0

) ( )

(x dx f x dx f



_



_



4

0

4

0

) ( )

(x dx f x dx f



_



_









4

0

4

0

dx x dx

x



_

4

0

2 x dx

3 32 8 . 3 4 3

2 2

4

0 2 /

3 _{ }

   

 

 x

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :

R

X

Y

4



x

2

Gambar 4.7

Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva xg(y), y c, yd,dan x0

.

Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan dalam bentuk

dy y g R

A

d

c



 ( )

) (

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:





 



d

c d

c

dy y g dx y g R

A( ) ( ) ( )

R

)

(

y

f

x



Y

X

Contoh

1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva _xy2 _{dan garis y2, y2} Jawab

Luasan _xy2 _{dan garis y2, y2 dapat digambarkan sebagai berikut:}

Gambar 4.8

Sehingga luas luasan tersebut adalah

A R g y dy

d

c



 ( )

) (

3 16 3

1 2 2

2

0 3 2

0 2 2

2 2

         







y dy y

dy y

b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah yf(x)_dan )

(x g

y _dengan f(x)g(x)_{pada selang}



a,b



_{. Sepertihalnya luasan yang dibatasi} oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan

R

X

Y

2





y

2

y

x



2



negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva. Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.

Gambar 4.9



f x g x



x

A  

 ( ) ( )

Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:







b

a

dx x g x f R

A( ) ( ( ) ( ))

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan







d

c

dy y g y f R

A( ) ( ( ) ( ))

Soal-soal

Y

a

x



x



b

)

(

)

(

x

g

x

f



x

Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut. 1. Luasan R dibatasi oleh kurva _yx2 _ 2 _dan

_y2_x2 _x 4

2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva y x, y2x _dan x

y 5

3. Luasan R dibatasi oleh kurva y x dan y  x6

4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva yx6_{, y x}3 _{dan 2yx0.} Kemudian hitunglah luasnya.

5. Luasan R dibatasi oleh kurva y2 4 x_{dan y}2 _{4 4x}

4.2 Volume Benda Putar

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh yf(x),xa,xb _{Selanjutnya R}

diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus:

dx y V

b

a

Gambar 4.10

Gambar 4.11

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu y₁ f(x),y₂ g(x),xa,xb. Dengan

2 1 y

y  Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

X Y

b a







 

b

a

dx y y

V 2

2 2 1



Gambar 4.12

b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh xg(x),yc,y d _{Selanjutnya R}

diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu

yaitu: V x dy

d

c

Gambar 4.13

X Y

) (y f x

d y

Gambar 4.14

Gambar 4.15

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu x1 f(x),x2 g(x),yc,yd. Dengan

2 1 x

x  Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:







 

d

c

dy x x

V 2

2 2 1



Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

dx x A V

b

a



 ( )

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

Misal daerah dibatasi oleh yf(x),y0,x1,danxb diputar dengan sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang



a,b



_.

Misal pusat cakram



x0,0



dan jari-jari rf

 

x0 . Maka luas cakram dinyatakan :

 

 

0 2 0 f x x

A 

Oleh karena itu, volume benda putar :









b

a

dx x f V  ( ) 2

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan xg(y),x0, ycdan yd _diputar

mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :









d

c

dy y g V  ( ) 2

Bila daerah yang dibatasi oleh yf

 

x 0 _, yg

 

x 0, f(x)g(x)untuk setiap



a b



x adan x b

x , ,   _{diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:}











b

a

dx x g x f

V _ 2( ) 2( )

Bila daerah yang dibatasi oleh xf

 

y 0,xg

 

y 0, f(y)g(y) _{untuk setiap}



c d



y cdan y d

y , ,   _{diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :}











d

c

dy y g y f

V 2( ) 2( )



Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : _{y x}2 _{dan y}2 _8x diputar mengelilingi

Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang



_0,2



_{, 8x x}2 _.

Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh





 



Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

 



2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

x

dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah



4 x



_dan



2 x



_.

Sehingga volume benda putarnya adalah:









Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan



r r



h rh r

V    

 ₂ ₁ 2



rata rata jari jari



r r r r

r r

dengan 2  1   _,  _{, 2}  ₁ 

2 :

Bila daerah yang dibatasi oleh yf(x), y0,xa,xb _{diputar mengelilingi sumbu}

Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r xdanr x_{dan tinggi tabung}

) (x f

h _{Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah}

 

x dx xf V

b

a



 2

Misal daerah dibatasi oleh kurva

 

x y g

 

x f x g x x



a b



x adanx b f

y ,  , ( ) ( ),  , ,   _{diputar mengelilingi sumbu Y.}

Maka volume benda putar



f x g x



dx x

V

b

a





 2 ( ) ( )

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan xf(y),x0,yc, yd

diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =



f y



dy y

V

d

c



 2 ( )

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

 

y x g

 

y f y g y y



c d



dan y cdan y d f

x ,  , ( ) ( ),  , ,   _{diputar mengelilingi}

sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan



f y g y



dx y

V

d

c





 2 ( ) ( )

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola

Jawab 2

2 x

y   dan di atas parabola y x2 diputar mengelilingi sumbu Y.











   



_

x x x dx

V

1

0

2 2

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang 0y 1 _dibatasi x 2 y_{dan sumbu Y sedang pada selang}

dibatasi 1y2

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =

 









   



_

y dx

_

y dy

V

2 2

1 1

0 2

2

2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh _{y 1 x}2

, sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda

pejal,



_{1 x}2



_{dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ).}

Oleh karena itu, volume benda putar :













6 5 1

1

2 2

0

1

 





_



dx x x V

Gambar 4.16

Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva yf(x). _Berdasarkan

definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur

B P P P P P P P

AP1, 1 2, 3 4,... n2 n1, n1 yang menghubungkan titik-titik pada busur itu.

Jika banyaknya titik-titik pada kurva yf(x)_{banyaknya menuju tak hingga maka}

panjang tiap tali busur tersebut menuju nol.

Selanjutnya jika A(a,c)_dan B(b,d)_{sebarang dua titik pada kurva} yf(x)_dengan

turunan y f(x) _adalah y'f'(x)_{yang masing-masing kontinu pada interval} b

x

a  maka panjang tali busur dinyatakan oleh





       



b

a AB

dx dx dy ds s

2

1

Dengan cara yang sama, jika A(a,c)_dan B(b,d)_{dua titik pada kurva yang}

persamaannya dinyatakan dengan xf(y) _dengan xf(y) _{turunannya adalah} )

( ' ' f y

x  _{yang masing-masing kontinu pada} cyd_{maka panjang busur AB}

dinyatakan oleh

B Pn 

2 P Y

X

) (x f y

i

P

j

P

A

P

_o





Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

2

Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:



1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis y 2x3

antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak. Jawab

Karena y2x3 _diperoleh 2 dx dy

sehingga

 

Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik

2

2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva _y2 _8x2 _{jika A(0,0) dan B(1,2)}

sehingga





Dengan menggunakan substitusi .

Misal m y

90



Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh

1)



2 ₁



3/2

4.4 Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang XOY mengelilingi salah satu sumbu pada bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu

Perhatikan gambar berikut.

Gambar 4.17

Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga terbentuk benda pejal

Gambar 4.18

X X

) (x f y

R

a

x xb

X X

) (x f y

R

a

Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas r1 dan 2

r

Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah

t

kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan si menyatakan panjang potongan

i

ke dan andaikan yi adalah sebuah titik pada potongan si. Karena pita potongan

diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh

. 2 i i

i y s

A    _{Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan dengan}xi  0diperoleh

luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:

i





             



b

a b

a

dt dt dy dt

dx t g yds A

2 2

) ( 2

2

 

Contoh soal

1) Luasan R dibatasi oleh kurva y6x,x 0,x 1 _{diputar mengelilingi sumbu}

x

_.

Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

Gambar 4.19

Karena y6x_maka 6 dx dy

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:

x y6 Y

Y

X X

1



x x1

x y6

 

dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

Gambar 4.20

Karena _{y x}2 _{maka x y sehingga}

y dy

dx 2

1 

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:





b

a

xds A 2

dy dy dx y

2 1

0

1

2 _

     

 

_

dy y y

2 1

0 2

1 1

2 _

      

 

_

dy y y

2 1

0 2

1 1

2 _

      

 

_

X X

Y Y

2 x y

dy

permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan. Jawab

Gambar 4.21

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:



y diputar mengelilingi sumbu x,

dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

2) Sebuah luasan R dibatasi kurva ,1 3

y diputar mengelilingi sumbu x,

dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

3) Sebuah luasan R dibatasi kurva xy3,x0,y0 _{dan diputar mengelilingi}

sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

4) Sebuah luasan R dibatasi kurva _x 9_{ x}2,_3_x3 _{dan diputar mengelilingi}

5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x. Tentukan luas permukaannya.

a) _xt,_yt2,0_t1

b) _x1_{ t}2,_y2_t,0_t1

c) xcost,y sint,0t1