BAB XVI. INTEGRAL

(1)

A. Integral Tak Tentu

1. Rumus Integral Fungsi Aljabar

1.

∫

kxn dx =

1

+

n k

xn+1

+ c ; n ≠ -1 2.

∫

+ n

b ax )

( dx =

) 1 ( 1 + n

a (ax+b)

1

+

n

+ c ; a≠0 dan n ≠ -1 3.

∫

x 1

dx = ln|x| + c

4.

∫

(f(x)dx±g(x)dx) =

∫

f(x)dx ±

∫

g(x)dx

2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri

1.

∫

sin dx = - cos x dx + c x

2.

∫

cos dx = sin x dx + c x

3.

∫

tan dx =x

∫

x x cos sin

dx =

∫

− x x dx d cos cos

dx = - ln |cos x| + c

4.

∫

ctgx dx =

∫

x x sin cos

dx =

∫

x x dx d sin sin

dx = ln |sin x| + c

5.

∫

sin(ax+b)dx = - a 1

cos (ax+b) + c 6.

∫

cos(ax+b)dx =

a 1

sin (ax+b) + c

7.

∫

tan(ax+b)dx = - a 1

ln|cos(ax+b)| + c

8.

∫

ctg(ax+b)dx = a 1

ln|sin(ax+b)| + c

9.

∫

n

sin (ax+b) cos(ax+b) dx =

) 1 ( 1 + n a sin 1 + n (ax+b) +c

10.

∫

n

cos (ax+b)sin(ax+b) dx =

) 1 ( 1 + n a cos 1 + n (ax+b) +c

11.

∫

2sinaxcos bx dx =

∫

a+b x 2

) (

sin dx +

∫

a−b x

2 ) (

sin dx

12.

∫

_{sec x dx = tan x + c}2

13.

∫

sec (ax+b)dx = 2 a 1

tan (ax+b)+ c

14.

∫

2 sec

c x dx = - ctg x + c

15.

∫

2 sec

c (ax+b)dx = -a 1

ctg (ax+b)+ c

16.

∫

tan secx dx = sec x + c x

17.

∫

ctan csecx dx = -csec x + c x

3. Rumus-rumus Integral yang lain

1.

∫

2− 2 x

a dx = 2 1

a2

arc sin ( a x

) + 2 1

x 2 2

x a − + c ( x = a sin θ ; sin θ =

a x

; θ = arc sin ( a x

) ) 2.

∫

2 + 2

x a dx =

2 1

a2ln |x + a2 +x2 | +

2 1

x a2 +x2 +c

3.

∫

2 − 2 a

x dx = - 2 1

a2

ln |x + 2 2

a x − | +

2 1

x x2−a2 + c

4.

∫

− 2 2

x a

dx

= arc sin ( a x

) + c

5.

∫

+ 2 2

x a

dx

= ln |x + a2 +x2 | + c

6.

∫

− 2 2 a x dx

= ln |x + x2−a2 | + c 7.

∫

(2)

16. SOAL-SOAL INTEGRAL

EBTANAS1995 1. Hasil dari

∫

(3x2

– 8x + 4) dx adalah …

A. x3 – 8x2

+ 4x + C B. x3 – 4x2 + 4x + C C. 3x3 – 4x2 + 4x + C D. 3x3

– 8x2

+ 4x + C E. 6x3 – 8x2 + 4x + C jawab:

∫

(3x2

– 8x + 4) dx = x − x +4x+C 2

8 3

3 3 2

= x3 −4x2 +4x+C Jawabannya adalah B

EBTANAS2001 2. Hasil

∫

− 2

9 x

x dx = ….

A. − (9−x2) 9−x2 +C 3

1

B. − (9−x2) 9−x2 +C 3

2

C. (9−x2) 9−x2 +C 3

2

D. −x2 −x2 + (9−x2) 9−x2 +C 9

2 9

) 9 ( 3 2

E. −x2 −x2 + 9−x2 +C 9

1 9

) 9 ( 3 1

jawab:

Misal u = 9 - x2 du = - 2x dx

2 1

− du = x dx

∫

x 9−x2 dx =

∫

9−x2 xdx

=

∫

u − du 2 1 . 2 1

= -

∫

u2du 1

2 1

= - 2 1

2 1 1

1

+

u 2 1 1+

+ C

= - 2 1

. 3 2

u2 3

+ C = - 2

3 2

) 9 ( 3 1

x

− + C

= - (9 2) 9 2 3

1

x

x −

− + C

Jawabannya adalah A UMPTN1991

3.

∫

sin2 x cosx dx=….

A. 2 sin x. cos x + C D. sin3x+C B. cos3x+C

3 1

E. cos x - cos3x+C C. sin3 x+C

3 1

Jawab: cara 1:

∫

n

sin (ax+b) cos(ax+b) dx =

) 1 (

1

+

n

a sin 1

+

n

(ax+b) +c

∫

sin2 x cosx dx=

) 1 2 (

1

+ sin

3 x + c

= 3 1

sin3 x + c

Cara 2:

Misal: u = sin x du = cos x dx

∫

sin2 x cosx dx=

∫

(sin x)2

cos x dx =

∫

u2

du =

3 1

u3 + c =

3 1

sin3 x + c

(3)

UAN2003

4. Hasil

∫

x sin(x2₊1)

dx = … A. – cos (x2+1)+ C D.

2 1

cos (x2+1)+ C B. cos (x2₊1)

+ C E. -2 cos (x2₊1) + C C.

2 1

− cos (x2₊1) + C

jawab: u = x2+1 du = 2x dx

∫

x sin(x2+1) dx = =

∫

2 1

sin u du Æ (karena du = 2x dx) = -

2 1

cos u + c = -

2 1

cos (x2+1) + c

Jawabannya adalah C UAN2003

5.

∫

₂ 1 sin

x

x _{dx = …}

A. sin x2 + c C. sin x 1

+ c E. cos x2 + c B. cos x + c D. cos

x 1

+ c

Jawab: Misal ; u =

x 1

= x−1 du = - x −2 = - 1₂

x dx

∫

2

1 sin

x

x _{dx = -}

∫

_{sin u du}

= cos u + c

= cos x 1

+ c

Jawabannya adalah D

EBTANAS2000

6. Hasil

∫

cos 2x. sin 5x dx = ….

A. - x+ cos3x+c 6

1 7 cos 14

1

B. - x− cos3x+c 6

1 7 cos 14

1

C. x− cos3x+c 6

1 7 cos 14

1

D. x+ cos3x+c 3

1 7 cos 14

1

E. x− cos3x+c 3

1 7 cos 14

1

Jawab :

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) sin A cos B =

2 1

sin (A+B) + sin (A-B)

cos 2x. sin 5x = sin 5x cos 2x =

2 1

{ sin (5x + 2x) + sin (5x – 2x) }

= 2 1

( sin 7x + sin 3x )

∫

cos 2x. sin 5x dx

=

∫

2 1

sin 7x dx +

∫

2 1

sin 3x dx = -

2 1

. 7 1

cos 7x + - 2 1

. 3 1

cos 3x + c

= - 14

1

. cos 7x - 6 1

cos 3x + c

Jawabannya adalah B

UN2006 7. Nilai dari

∫

4

0 2 1

2 2 2 ₊ ₊

+

x x

x

dx =…

(4)

Jawab:

2x + 2 = 2 (x+1) 1 2 2 + +

x

x = 2

) 1

(x+ = x+1

∫

4

0 2 1

2 2 2 ₊ ₊

+

x x

x

dx

=

∫

4

0 1

) 1 ( 2

+ +

x x

dx =

∫

4

0

2 dx

= 2x 4

0

| = 2.4 – 0 = 8

Jawabannya adalah B UAN2007

8. Diketahui

∫

3

a (3x2

+ 2x + 1 ) dx = 25, nilai 2 1

a = …

A. -4 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2 Jawab:

∫

3

a

(3x2+ 2x + 1 ) dx = x3 + x2 + x 3 | a

= 27 + 9 + 3 - (a3 + a2 + a ) = 39 - (a3 + a2 + a ) = 25 (a3

+ a2

+ a ) = 14

Kita lakukan uji coba nilai (trial & error) :

Masukkan nilai 1 Æ a3 + a2 + a = 3 Æ tidak memenuhi 2 Æ a3 + a2 + a = 8 + 4 + 2 = 14 Æ memenuhi -2 Æ a3

+ a2

+ a = -8 + 4 -2 = -6 Æ tidak memenuhi maka a = 2, sehingga

2 1

a = 1

Jawabannya adalah D

EBTANAS1991 9.

∫

2

0 π

sin(2x-π) dx =

A. -1 B. - 2 1

C. 0 D. 2 1

E. 1

Jawab:

∫

2

0 π

sin(2x-π) dx

= - 2 1

cos (2x-π) 2 0 | π

= - 2 1

cos (π - π) – (- 2 1

cos(0 - π) )

= - 2 1

cos 0 – (- 2 1

cos - π )

= - 2 1

. 1 + 2 1

. -1 = - 2 1

- 2 1

= -1

* cos 0 = 1,

* cos - π = cos(π – 2π) = - cos 2π = - cos 360 = - 1 ) jawabannya adalah A

UN2006

10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 2 dan garis y – x – 4 = 0 adalah….

A. 10 6 5

satuan luas D. 20 6 5

satuan luas B. 11

6 5

satuan luas E. 21 6 5

satuan luas

C. 20 6 3

satuan luas

Jawab: y = x2

- 2 ….(1)

(5)

substitusi (1) dan (2) : x + 4 = x2

- 2

⇔ x2- x - 6 = 0

⇔ (x - 3 ) (x +2 ) = 0

titik potong di x = 3 (batas atas) dan x = -2 (batas bawah)

sketsa gambar untuk melihat posisi kurva dan garis, pd gambar terlihat posisi di atas adalah garis, sehingga untuk menghitung luasnya adalah persamaan garis dikurangi kurva (kondisi sebaliknya apabila kurva di atas garis)

∫

−

3

2

(y2 – y1) dx

=

∫

−

3

2

(x + 4) –( x2

- 2) dx

=

∫

−

3

2

(x +4 - x2+ 2) dx

=

∫

−

3

2

(- x2_{+ x + 6) dx} = - 3

3 1

x + 2 2 1

x + 6x 3 2 |

−

= - (27 ( 8)) 3

1 ₋ ₋

+ (9 4) 2

1 ₋

+ 6(3-(-2)) = - (35)

3 1

+ (5) 2 1

+ 6(5) = -

3 35

+ 2 5

+ 30 =

6 180 15 70+ +

−

= 6 125

= 20 6 5

satuan luas

Jawabannya adalah D

UN2007

11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah ….. satuan luas :

A. 20 6 5

C. 7 2 1

E. 5 6 5

B. 13 2 1

D. 6 6 1

jawab:

Titik potong kurva dan garis : 9 - x2 = x + 3

⇔ x2_{+ x – 6 = 0}

⇔ (x + 3 ) ( x – 2) = 0

Titik potongnya adalah x = -3 (batas bawah) dan x = 2 ( batas atas) luasnya =

∫

−

2

3

(pers .kurva – pers garis) dx

=

∫

−

2

3

(9-x2) – (x +3) dx

=

∫

−

2

3

(9 - x2- x – 3) dx

=

∫

−

2

3

(6 - x2- x) dx

= 6x - 3 3 1

x - 2 2 1 x

2

3 |

(6)

= 6 (2-(-3) ) - (8 ( 27)) 3

1 ₋ ₋

- (4 9) 2

1 ₋

= 6 . 5 - (35) 3 1

- ( 5) 2 1 ₋

= 30 -3 35

+ 2 5

=

6 15 70 180− +

= 6 125

= 20 6 5

Jawabannya adalah A

UAN2002

12. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_dan

garis x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600_{. Volume benda putar yang terjadi adalah…}

A. 15 3 2 _π

satuan volume B. 15

5 2 _π

satuan volume C. 14

5 3_π

satuan volume D. 14

5 2 _π

satuan volume E. 10

5 3_π

satuan volume

Jawab:

Mencari titik potong: y = x2 …(1)

x + y – 2 = 0 ⇔y = 2 – x ..(2)

substitusi (1) dan (2) x2_{= 2 – x}

⇔ x2 + x – 2 = 0

⇔ (x + 2 ) (x – 1 ) = 0 x = -2 (batas bawah) atau x = 1 (batas atas) (lihat pada gambar) Mencari volume :

V = π

∫

−

1

2 (y2

2 - y1

2 ) dx

= π

∫

−

1

2

{ (2-x)2 - (x2

)2 } dx

= π

∫

−

1

2

((4 - 4x + x2) - x4 } dx

= π

∫

−

1

2

(4 – 4x + x2 -x4

) dx

= π

∫

−

1

2 (- x4

+ x2

- 4x + 4) dx

= π ( - 5 5 1

x + 3 3 1

x - 2x2+ 4x) 1

2 |

−

= π {(-

3 1 ( )) 32 ( 1 ( 5

1 ₋ ₋ ₊

(1-(-8))-2(1-4)+4(1-(-2))}

= π {(-5 1

33 + 3 1

9 - 2 . (-3) + 4 .3 )

= π (-5 33

+ 3 + 6 + 12 ) = π

(-5 33

+ 21) = π

5 105 33+

−

= π 5 72

= 14 5 2 _π

satuan volume

(7)

UN2007

13. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2

+4 dan y=-2x + 4 diputar 3600

mengelilingi sumbu y adalah….

A. 8π satuan volume B. π

2 13

satuan volume C. 4π satuan volume D. π

3 8

satuan volume E. π

4 5

satuan volume

Jawab:

Mencari titik potong:

Persamaan kurva y= -x2+ 4 ⇔ x2= 4 – y …(1) persamaan garis y = -2x + 4 ⇔2x = 4 – y x =

2 4−y

..(2)

substitusi (1) dan (2)

x2

= 4 – y ⇔ 4

) 4

( 2

y

−

= 4 – y (4-y)2 = 16 – 4y

16 – 8y + y2

= 16 – 4y 16 - 16- 8y+ 4y+ y2=0 - 4y + y2 = 0 y2

- 4 y = 0

y (y - 4) = 0

didapat y = 0 atau y = 4 ( terlihat pada gambar)

mencari Volume:

karena diputar terhadap sumbu y rumusnya menjadi: V = π

∫

4

0 (x1

2 - x2

2 ) dy

= π

∫

4

0

{ (4-y) – 4

) 4 ( −y 2

} dy

= π

∫

4

0

4-y –

4 ) 8

16

( − y+ y2 } dy

= π

∫

4

0 4

) 8

16 4 16

( − y− + y−y2 } dy

= 4

π

∫

4 0

(4y - y2 ) dy

= 4

π

( 2y2- 3 1

y3) 4

0 |

= 4

π

(32 - 3 64

) = 4

π

( 3

64 96−

)

= 4

π

3 32

= 3 8 _π

satuan volume

(8)

8.

∫

+ 2

2 x a

dx =

a 1

arc tan| a x

| + c

4. Integral Parsial

∫

udv = uv -

∫

vdu Didapat dari :

y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’

= v u’ + u v’

dx dy

= v. dx du

+ u . dx dv

(dikalikan dx)

dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv

∫

d(u.v) =

∫

vdu +

∫

udv

u.v =

∫

vdu +

∫

udv

∫

udv = uv -

∫

vdu

B. Integral Tertentu

∫

b

a

x

f( )dx = F(x) b

a

| = F(b) – F(a)

1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu Koordinat

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),

sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat

dibedakan sbb

a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)

L =

∫

b

a

x f( )dx

b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)

L = -

∫

b

a

x

f( )dx =

∫

a

b

x f( )dx

c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x)

L = -

∫

c

a

x

f( )dx +

∫

b

c

x f( )dx

=

∫

a

c

x

f( )dx +

∫

b

c

(9)

d. jika

g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)

L =

∫

b

a

y g( )dy

e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y)

L = -

∫

b

a

y

g( )dy =

∫

a

b

y g( )dy

f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada sebelah kanan sumbu y)

i

L = -

∫

c

a

y

g( )dy +

∫

b

c

y g( )dy

=

∫

a

c

y

g( )dy +

∫

b

c

y g( )dy

2. Luas Daerah Antara Dua Kurva

a. Di atas sumbu x

L =

∫

b

a

y2dx -

∫

b

a

y1dx =

∫

− b

a

(10)

b. Di bawah sumbu x

L = -

∫

b

a

y2dx -

{

-

∫

b

a

y1dx

}

=

∫

b

a

y1dx -

∫

b

a

y2dx

=

∫

− b

a

y y1 2) ( dx

c. Di sebelah kanan sumbu y

L =

∫

b

a

x2dy -

∫

b

a

x1dy =

∫

− b

a

x x2 1) ( dy

3. Volume Benda Putar

a. Diputar terhadap sumbu x maka,

V= π y dx

b

a

∫

2

b. Diputar terhadap sumbu y maka,

V= π x dy

b

a

∫

2