Luas Permukaan Benda Putar and Aplikasi

LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR

DAN

APLIKASI INTEGRAL TENTU PADA FISIKA

OLEH :

KELOMPOK 7 (TUJUH)

GUSRIANTA

HANNAS CP MUNTHE

MAULIDA RAHMI SAGALA

JURUSAN FISIKA

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkatNya makalah yang berjudul “Luas Permukaan Benda Putar dan Aplikasi Integral Tentu Pada Fisika” dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Sehingga menjadi makalah yang diharapkan dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa pada mata kuliah Kalkulus II.

Satu harapan penulis bahwa makalah ini dapat mencapai tingkat pemahaman yang lebih dalam kepada pembaca dan terutama kelompok penulis sendiri. Mudah-mudahan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca serta dapat memberikan kritik dan saran demi perbaikan makalah ini.

Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan makalah ini. Semoga bantuan yang telah diberikan kepada penulis, Tuhan yang akan membalasnya berlipat ganda. Amin

Medan, April 2015 Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR... i

DAFTAR ISI... ii

BAB I PENDAHULUAN... 1

I.1 LATAR BELAKANG... 1

I.2 RUMUSAN MASALAH... 1

I.3 TUJUAN... 1

BAB II PEMBAHASAN... 2

II.1 LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR... 2

II.2 APLIKASI INTEGRAL DALAM FISIKA... 5

BAB III PENUTUP... 7

III.1 KESIMPULAN... 7

III.2 SARAN... 7

BAB I

PENDAHULUAN

I. 1 LATAR BELAKANG

Jika berbicara tentang integral tentulah kita tahu bahwa, sebuah benda yang memiliki permukaan dapat diputar melalui sumbu x ataupun y. Dan selain dalam matematika, integral juga memiliki aplikasi didalam fisika. Seperti menentukan usaha dan tekanan pada zat cair

Yang akan dibahas lebih disini adalah tentang luas permukaan benda putar dan aplikasinya didalam fisika.

I. 2 RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana cara memahami konsep dari menentukan luas permukaan benda putar ?

2. Bagaimana aplikasi integral dalam fisika ?

I. 3 TUJUAN

1. Mampu menggunakan konsep integral.

BAB II

PEMBAHASAN

II.1 LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR

Jika sebuah busur AB diputar terhadap garis yang sebidang, maka akan terbentuk sebuah benda pusar. Misalkan busur AB adalah busur dari lengkung y = f(x) yang kontinu pada interval [a,b] dan memenuhi f(x)≥0 dalam interval tersebut.Jika f(x) diputar terhadap sumbu x, maka akan terbentuk suatu benda putar.

II.1.1 Defenisi 1

Misalkan fungsi f mempunyai turunan yang kontinu pada interval [a,b]. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) pada interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x adalah

S=2π

∫

a b

f (x)

√

1+(f'(x))2dx . Analog dengan cara diatas kita dapat mendefenisikan luas

permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) diputar melalui sumbu y.

Dengan demikian luas permukaan benda putar yang dibatasi kurva y=

√

1−x2 _,

Misalkan fungsi g mempunyai turunan yang kontinu pada interval [c,d]. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva x = g(y) diputar mengeilingi sumbu y pada interval [c,d] adalah

S=2π

∫

Tentukanlah luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y=

√

x pada interval [0,4] diputar mengelilingi sumbu x.

Penyelesaian :

f(x)=y=

√

x → f'_(x)= 1 2

√

x

f

Jika kurva dinyatakan secara parametrik. Misalkan x = f(t) dan y = g(t) pada interval [a,b] maka untuk menentukan luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva ini pada interval [a,b]

diputar mengelilingi sumbu X, adalah S=2π

_∫

a

Hitung permukaan bola berjari-jari a. Penyelesaian :

S=2π a2

∫

II.2 APLIKASI INTEGRAL PADA FISIKA II.2.1 Usaha

Bila F(x) suatu gaya untuk menggerakkan suatu titik sepanjang sumbu x dari x = a sampai x = b, maka usaha :

W=

∫

a b

F(x)dx

Juga rumus diatas berlaku pada per yang diregangkan dengan pertambahan panjang = t dan konstanta kekakuan = k, maka menurut Hukum Hooke f(t) = kt.

Contoh 6 :

Sebuah per panjangnya 25 cm diregangkan menjadi 30 cm dengan gaya F = 45 kg. Ditanyakan usaha untuk meregangkan per dari panjang 35 cm menjadi 45 cm.

Penyelesaian :

k = 0,9 kg/cm

W=k

_∫

t1

t2

t dt → t1 = (35 – 25) cm = 10 cm dan t2 = (45 – 25) cm = 20 cm

W=0,9

_∫

10 20

t dt

W=0,9t 2

2 ¿10 20

II.2.2 Tekanan Dan Gaya Pada Cairan

Asumsikan bahwa sebuah plat ditekan secara vertikal kedalam cairan yang kerapatannya

ρ dari x = a sampai x = b. Untuk a ≤ x ≤ b , misalkan w(x) adalah lebar plat x dan h(x) kedalaman pada saat titik x. Maka total gaya cairan pada dasar tangki dan tekanan zat cairnya adalah:

Lempeng lingkaran jari-jari 3ft dimasukkan kedalam air, sehingga setengah lempeng berada dibawah permukaan air. Hitunglah tekanan zat cair yang bekerja pada lempeng tersebut.

BAB III

PENUTUP

III.1 KESIMPULAN

1. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) pada interval [a,b] diputar

mengelilingi sumbu x adalah S=2π

∫

a b

f(x)

√

1+(f'(x))2dx .

2. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva x = g(y) diputar mengeilingi sumbu y

pada interval [c,d] adalah S=2π

∫

c d

x

√

1+(g'(y))2dy .

3.

Integral tentu pada fisika dapat di aplikasikan untuk mencari usaha (W) dan tekanan pada zat cair (P)

4.

Pemakaian integral pada usaha yaitu :

W=

∫

a b

F(x)dx

5.

Pemakaian integral pada tekanan zat cair yaitu :

F=

∫

a b

ρ .h(x). w(x)dx dan P=

∫

a b

ρ xy dx

III.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

Baisum,M.Hasyim. 1986. Kalkulus. Jakarta : UI Press

Soemartojo,N. 1998. Kalkulus Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga