Penggunaan Integral Tentu untuk Mencari Luas Daerah Bidang R

PENGGUNAAN

INTEGRAL TENTU

BY. KELOMPOK 5

Muhammad Fatkhurrozi, Eka Pratama Rahmad Putra, Muhammad Fahmi Hally, Ahmad Thoriq Maudrey Kbarek, Risyah Nauroh Mahdiyah, Rinzani Cyzaria Putri

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

• Daerah di atas sumbu – x

Andaikan 𝑦=𝑓(𝑥) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang 𝑥𝑦 dan andaikan 𝑓 kontinu dan tak negatif pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Perhatikan daerah 𝑅 yang dibatasi oleh grafik – grafik 𝑦=𝑓(𝑥), 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏, dan 𝑦=0. Kita menggunakan acuan 𝑅 sebagai daerah di bawah 𝑦=𝑓(𝑥), antara 𝑥=𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥=𝑏. Luasnya 𝐴(𝑅) diberikan oleh

A(R) = _𝑎^𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

CONTOH 1 (EXAMPLE 1 EBOOK HALAMAN 275)

• Temukan luas wilayah R di bawah 𝑦 = 𝑥⁴ − 2𝑥³ + 2 antara x = -1 dan x = 2

Grafik R ditunjukkan pada gambar 2, perkiraan yang masuk akal untuk area R adalah waktu dasar dan tinggi rata-rata

• Daerah di bawah sumbu – x

Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negatif. Apabila grafik 𝑦=𝑓(𝑥) terletak di bawah sumbu x, maka _𝑎^𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah bilangan negatif, sehingga tidak dapat

menyatakan suatu luas. Akan tetapi bilangan itu adalah negatif dari luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦=𝑓(𝑥),𝑥=𝑎,𝑥=𝑏,dan 𝑦=𝑜

• Contoh 2 : Example 2 ebook halaman 275

• Contoh 3 : Example 3 ebook halaman 276

• Cara pengerjaan yang dapat membantu :

Untuk daerah sederhana yang sudah dibahas sebelumnya, mudah sekali untuk menuliskan integral yang benar. Bilamana meninjau daerah yang lebih rumit, tugas pemilihan integral yang benar jadi lebih sukar. Terdapat suatu cara berpikir yang dapat sangat membantu. Berikut langkah – langkahnya :

• Langkah 1 : Gambarlah daerah yang bersangkutan

• Langkah 2 : Irislah menjadi irisan – irisan kecil ; berilah label pada suatu irisan tertentu

• Langkah 3 : Hampiri luas irisan tertentu ini, dengan menganggap berupa sebuah segi- empat

• Langkah 4 : Jumlahkanlah hampiran – hampiran luas irisan tersebut

• Langkah 5 : Ambillah limit dengan lebar masing – masing irisan mendekati nol, sehingga diperoleh suatu integral tentu

• Secara umum langkah tersebut dapat dipersingkat menjadi tiga langkah, yaitu iris, hampiri, integrasikan.

• Contoh 4 : Example 4, ebook halaman 276

• Daerah di antara Dua Kurva

Perhatikan kurva – kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) pada 𝑎 ≤

≤ 𝑏. Kurva – kurva dan selang itu menentukan daerah yang diperlihatkan pada gambar. Kita menggunakan metode iris, hampiri, dan integrasikan untuk

luasnya. Perhatikan bahwa 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) memberikan tinggi yang benar dari irisan tipis tersebut, walaupun grafik 𝑔 berada di bawah sumbu 𝑥. Sebab dalam kasus ini 𝑔(𝑥) negatif; jadi mengurangkan dengan 𝑔(𝑥) berarti menambahkan dengan bilangan positif. Kalian dapat memeriksa bahwa 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) juga memberikan tinggi yang benar, sekalipun 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dua – duanya negatif.

• Contoh soal : Example 5 ebook halaman 277.

2. VOLUME BENDA PUTAR

Metode Kulit tabung adalah salah satu cara untuk mencari volume benda putar.

Untuk banyak persoalan, metode ini lebih mudah digunakan ketimbang metode lainnya.

Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sepusat. Jika jari – jari dalam adalah 𝑟1 dan jari – jari luar adalah 𝑟2, dan tinggi

tabung adalah ℎ, maka volumenya diberikan oleh :

𝑣 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 ∙ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

= (𝜋𝑟₂² − 𝜋𝑟₁²) ∙ ℎ

= 𝜋 𝑟₂ + 𝑟₁ 𝑟₂ − 𝑟₁ ∙ ℎ

= 2𝜋 ^𝑟2+𝑟1

2 ℎ 𝑟₂ − 𝑟₁

• Persamaan ^𝑟2+𝑟1

2 yang akan kita tandai dengan 𝑟, adalah rata – rata dari 𝑟₁ dan 𝑟₂. Jadi, 𝑉 = 2𝜋 ∙ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎) ∙ (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖) ∙ (𝑡𝑒𝑏𝑎𝑙)

= 2𝜋𝑟ℎΔ𝑟

• Berikut adalah cara untuk mengingat rumus, jika kulit tabung sangat tipis dan fleksibel (seperti kertas), kita dapat memotongnya sepanjang sisi, membuka sehingga membentuk selembar siku empat, kemudian menghitung volumenya dengan menganggap bahwa lembaran ini berbentuk sebuah kotak tipis dengan panjang 2𝜋𝑟, tinggi ℎ, dan tebal Δ𝑟

• Metode kulit tabung

Perhatikan suatu daerah semacam yang diperlihatkan pada Gambar, irislah daerah itu secara tegak dan kemudian putar mengelilingi sumbu 𝑦. Maka akan terbentuk sebuah benda putar dan tiap irisan akan membentuk sebuah potongan yang menyerupai kulit tabung. Untuk memperoleh volume benda ini, kita hitung volume suatu kulit tabung Δ𝑉, jumlahkan, dan kemudian ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. Dan kemudian integralkan.

• Contoh Soal : Example 1 ebook halaman 289

3. PANJANG KURVA

• Definisi :

A. Kurva :

Kurva itu merupakan grafik sebuah fungsi.

Lingkaran menyarankan cara pemikiran lain tentang kurva. Ingatlah kembali dari trigonometri

bahwa : 𝑥 = a cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑎 sin 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 menggambarkan lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑎². Pikirkanlah 𝑡 sebagai waktu dan 𝑥 dan 𝑦 sebagai sebuah partikel pada waktu 𝑡. Peubah 𝑡 disebut parameter. Baik 𝑥 maupun 𝑦 dinyatakan dalam bentuk parameter ini. Kita katakan bahwa 𝑥 = a cos 𝑡, 𝑦 = asin 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. Adalah persamaan parametrik yang menggambarkan lingkaran.

B. Kurva bidang :

Ditentukan oleh sepasang persamaan parametric 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, dengan fungsi 𝑓 dan 𝑔 kita andaikan kontinu pada selang tersebut. Anggap 𝑡 menyatakan waktu. Apabila 𝑡 bertambah dari 𝑎 hingga 𝑏, titik (𝑥, 𝑦) menyelusuri suatu kurva di bidang.

C. Definisi sebuah kurva bidang disebut mulus (smooth) jika kurva ditentukan oleh sepasang persamaan parametric 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, dengan 𝑓′ dan 𝑔′ ada dan kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan 𝑓′(𝑡) dan 𝑔′(𝑡) tidak bersama – sama nol pada selang (𝑎, 𝑏).

D. Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah kurva bidang mulus diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidangnya, maka kurva membentuk suatu permukaan benda putar.

• Jika kurva diberikan secara parametric oleh 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, maka rumus luas permukaan menjadi :

𝐴 = 2𝜋

𝑎 𝑏

𝑦 𝑑𝑠 = 2𝜋

𝑎 𝑏

𝑔(𝑡) [𝑓^′ 𝑡 ]² + [𝑔′(𝑡)]² 𝑑𝑡

• Contoh Soal : example 7 ebook halaman 299