PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU

54 | h a n d o u t Indikator Pencapaian Hasil Belajar :

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

Menghitung luas daerah dan volum dari daerah yang dibatasi suatu kurva sederhana pada suatu selang

Ringkasan Materi Perkuliahan

Kita review dulu konsep penjumlahan berulang yang anda miliki 29

4 2

16 9 2 4

2 4 2 3 2 2

















 i

i















 n  i

n n

i 1

) 1 ( ...

3 2 1









 n 

i

an a

i a a 1

2 ...

1

Berikut akan diperlihatkan contoh bagaimana menghitung luas daerah dengan menggunakan gagasan limit.

Teorema :

(Rumus Jumlah Khusus ) Misalkan c adalah konstanta dan

n

bilangan bulat positif, maka :

(a)



 n  i

n 1

1 (b) nc n

i c



 1

(c) 2

) 1 ( 1

 



^{n n n} i

i (d)







  n i

n n

i n

1 6

) 1 2 )(

1 2 (

(e)



 

  n 

i

n i n

1

2 2

) 1 3 (

PENGGUNAAN INTEGRAL

TENTU

55 | h a n d o u t Bagaimana anda menhitung luasan daerah berikut? Ya,,kita bisa menghitung dengan menjumlahkan persegi-persegi yang ada, karena luasan tersebut tidak beraturan.

Begitupun pada konsep yang nanti akan kita pelajari. Kita gunakan kata ” potong- jumlahkan-limit”

Misal akan ditentukan luas daerah

R

yang dibatasi oleh parabola y f(x)x2, sumbu-x dan garis tegak x2.

2

) (x x f

y Benar /tdk bahwa luas daerah  di bawah kurva y= x ² tsb , sumbu x positif dan di atas sumbu y adalah jumlahan dari luas persegi panjang-persegi panjang yang kita buat?

Bagaimana kalau kita buat persegi panjangnya sejumlah tak hingga n, bukankah akan mendekati luas daerah kurva sebenarnya?

Jadi apa yang akan kita lakukan untuk mengitung luas daerah di atas?

 Buat n buah persegi panjang

 Hitung luas

persegipanjangmu

 Jumlahkan

 Buat pendekatan untuk n tak hingga

56 | h a n d o u t Misal x0 x1x2 ...x_n adalah titik-titik pada selang

 

0,2 demikian sehingga panjang setiap selang bagian yang terbentuk oleh titik-titik itu adalah

x n

xi 2





 , i1,2,...,n

x 10 x 2x 3

x

xn1 n

x

0 0

x

x n

x 2

1  x n

x 4

2 2 

x n

x 6

33  ...

n n x n n

x 2

) 1 ( ) 1

1(   

 

22



 



 

 n

n x n n

x 

Pandang persegipanjang ke- i dengan alas



xi1,x_i



, tinggi 2 ) 1

(xi1 xi f

sehingga luasnya f(xi1)x. Gabungan dari semua persegi panjang yang demikian membentuk poligon dalam nD

f(xi1)

x

0x 1x 2x xn1 nx

Poligon dalam Luas A( nD ) dapat dihitung ,

Luas = f(x_i1)x

) 2 (x x f

y 

57 | h a n d o u t 3 2

4 4 3 8

2 ) 3 3 2 3( 3

4

) 1 2 2 )(

3( 3

4

6

) 1 ) 1 ( 2 )(

)(

1 ( 3 8

1 )2 1 3 (

8

1

2 2 ) 2 1 2 (

1 )2 ( 1 1

1) ( )

(

n n

n n n n

n n n n

n n n n

n i

i n

n

i i n n

n n

i xi n

i

i x x n f

D A























 







 



 



 



 



 



 



 





 





 



 











^

Hal yang sama juga bisa kita lakukan jika poligon ( persegi panjang ) yang kita buat berada di luar kurva atau kita sebut penjumlahan untuk poligon luar nL

f( ix )

x

0x 1x 2x xn1 nx

Poligon luar

) 2

(x x

f

y 

Luas = _yf(x)x²

58 | h a n d o u t Jika banyaknya persegi panjang dibuat sejumlah tak hingga banyaknya ( n makin besar ), maka A( nD ) akan makin mendekatiA(R). Dengan bahasa limit kita katakan ( ) lim ( ) lim ( _n)

n n

n AD A R

R

A    

3 2 4 4 3 lim 8 ) ( lim

n n n n

D A n



 

 





3 8 3

4 4 3 lim8 ) (

lim    2 







 A D n n

n n n

Coba kita cek dengan menggunakan 3

8 0 2 3

2 3

0

2  



 



^{x dx x} ...jadi apa yang dapat kita simpulkan?

TEOREMA DASAR KALKULUS

Jika kita membuat n, artinya kita membuat besar 0

Jika f adalah fungsi kontinyu pada interval [a,b] dan F adalah anti derivatif f pada

[a,b], maka



^{b  }

a

a F b F dx x

f( ) ( ) ( )

Dari teorema tersebut dapat kita aplikasikan untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva maupun volum benda putar.

1. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENCARI LUAS DAERAH Luas Daerah Antara Kurva d SUMBU X

Apabila kita mempunyai sebuah kurva seperti gambar berikut :

59 | h a n d o u t Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan x = b (daerah yang diarsir).

Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu dengan membuat beberapa garis vertical (strip) sehingga membentuk persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.

Jumlah luas persegi panjang dari x = a sampai dengan x = b dapat dinyatakan dengan :







 ⁿ

i

xi yi Total

Luas

1

dengan n adalah banyak persegi panjang.





  ⁿ

x i yi xi

Total Luas

0 1

lim 



Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini : x

60 | h a n d o u t





b

a

dx y

L karena y = f(x)





b

a

dx x f

L ( ) = = F(b) – F(a)



^{b   }

a

b

a F b F a

x F dx x

f( ) [ ( )] ( ) ( )

Integral yang dituliskan dalam notasi



^b

a

dx x

f( ) akan menghasilkan nilai tertentu sehingga integral tersebut disebut dengan Integral Tertentu, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral.

Jadi dari bukti di atas dapat diketahui bahwa integral tertentu dapat kita gunakan untuk menghitung luas daerah suatu kurva dengan sumbu koordinat yang dibatasi oleh dua buah garis.

Besar luas daerah yang ditunjukkan pada gambar bernilai negatif, sebab hasil kali perkalian f(x) dan x adalah negatif. Karena luas daerah selalu bernilai positif, maka :







b

a

dx x f

L ( )

Contoh :

Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = 4 – 2x, sumbu X dan garis x = 4

Jawab :

61 | h a n d o u t

4

O 2 X

Y 4

y = 4 - 2x

Daerah yang diarsir berada di bawah sumbu X, maka luasnya :

 

4

) 4 8 ( ) 16 16 (

) 2 2 . 4 ( ) 4 4 . 4 (

4

) 2 4 (

) 2 4 (

2 2

4 2 2 4

2 4

2

















































x x

dx x

dx x L

Jadi, luasnya adalah 4 satuan luas

LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU Y

Lalu bagaimana dengan luas daerah kurva tertutup yang dibatasi sumbu Y ?

O X

Y x=f(y)

a b

Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y, garis y = a dan y = b (daerah yang diarsir) ? Permasalahan ini tidak jauh berbeda dengan luasan kurva yang dibatasi sumbu x. Hanya saja batas atas dan batas bawah kurva adalah koordinat di sumbu y

62 | h a n d o u t

O X

Y x=f(y)

a b

Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu dengan membuat beberapa garis vertikal (strip) sehingga membentuk persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.





  ⁿ

y i xi yi

Total Luas

0 1

lim 



Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini :





b

a

dy x L

Contoh 3: hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y², sumbu Y, garis y

= 1 dan garis y = 2 Jawab :

Y 2 1 O

x = y²

X

63 | h a n d o u t 3

21 3 1 3 8

) 1 3. (1 ) 2 3. (1

3 1

3 3

2

1 3 2

1 2













 



 





y dy y L

Jadi luasnya adalah 3

2 satuan luas. 1

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU X

Misalkan :

f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(x) ≥ g(x) dalam interval tersebut, dengan syarat y1 = f(x) dan y2 = g(x) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)

tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b] adalah :

L = (luas daerah f) – (luas daerah g)



^



 ^b

a

b

a

dx x g dx x f

L ( ) ( )

64 | h a n d o u t



^



b

a

dx x g x f

L ( ( ) ( ))

Contoh : Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x² + 3x dan y = 2x + 2 Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut, sebagai batas atas dan batas bawahnya

x² + 3x = 2x + 2 x² + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 x = -2 atau x = 1

Jadi, batas-batasnya adalah x = -2 dan x = 1

1 2

O X

Y

-2 -1 -3

2 1

1

2 3 2 1

2

2 1

2

2

4

3 2 8 3 4

1 2 2 1

3 1 2 2 1

) 2

(

)]

3 ( ) 2 2 [(





 



  





 



  





  



























x x x

dx x x

dx x x x

L

Jadi luasnya

4

₂¹ satuan luas

65 | h a n d o u t LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU Y

Misalkan :

f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(y) ≥ g(y) dalam interval tersebut, dengan syarat x1 = f(y) dan x2 = g(y) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)

g(y) f(y)

b

O X

Y

a

tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b] adalah :

L = (luas daerah f) – (luas daerah g)



^





b

a

b

a

dy y g dy y f

L ( ) ( )



^



b

a

dy y g y f

L ( ( ) ( ))

Contoh : hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y, garis x = y dan sumbu X

Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut sebagai batas atas dan bawahnya

y = 4 - y 2y = 4 y = 2

Jadi, batas-batasnya adalah y = 0 (karena berbatasan dengan sumbu X) dan y = 2

66 | h a n d o u t Y

2

x = 4 - y O

x = y

X

 

   

4

0 0 4 8 4

) 2 4 (

)]

( ) 4 [(

2 0 2 2

0 2

0





























y y

dy y

dy y y L

Jadi luasnya 4 satuan luas

PENGGUNAAN INTEGRALTENTU UNTUK MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

Dalam bahasan ini kita mencoba untuk mencoba untuk menghitung volume benda putar tersebut dengan metode integral.

Perhatikan bangun-bangun di bawah ini :

Setelah kita putar 360⁰ bagaimanakah bentuknya ? mari kita lihat.

67 | h a n d o u t Untuk menghitung volume benda pejal, langkah-langkah yang digunakan tetap sama yakni potong, hampiri dan integralkan

Apabila suatu daerah rata yang terletak seluruhnya pada satu dari sebuah garis tetap pada bidangnya diputar mengelilingi garis tersebut akan diperoleh benda putar. Garis tersebut dinamakan sumbu putar

Pembahasan berikut ini dibatasi pada benda putar yang diperoleh dengan pemutaran pada sumbu-

x

^{, sumbu-}y atau garis-garis yang sejajar dengannya

VOLUME BENDA PUTAR MENGELILINGI SUMBU X

Perhatikan daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a dan garis x = b yang diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360⁰.

a b

y = f(x)

Untuk mendapatkan volume benda putar tersebut, dibuatlah potongan tabung kecil-kecil sebagai pendekatan volume benda tersebut.

a b

y = f(x)

Perhatikan salah satu potongan tabung !

68 | h a n d o u t

Metode Cakram Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabungdenganjari- jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagaiV r²h atau V f(x)²x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:

V   f(x)²x V = lim  f(x)²x

dx x

f



a



0

)]2

( [

v 

x

h=x x

x y

0 ^x

y

a x ) (x f

) (x f r

Perhatikan benda yang dibentuk dari salah satu potongan tabung tersebut.

Berbentuk apakah? Ya seperti cakram pejal. Lalu apa rumus untuk volum dari suatu cakram:

Tinggi lingkaran

Luas

Volume . ( dengan tinggi = tebal dari cakram =

x)

x y Volume ² 

Volume benda putar tersebut merupakan jumlah potongan tabung-tabung tersebut, sehingga :







 ⁿ

i

i

i x

y V

1

 2

Untuk x yang cukup kecil (mendekati nol) akan dihasilkan pendekatan volume sehingg dapat dinyatakan dengan menggunakan integral sebagai berikut :



 ^b

a

dx y

V  ² =



^b

a

dx x f( )]²

[ Contoh :

hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 3x + 2, sumbu X, garis x = 1 dan x = 4 diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360^o

Jawab :

r=f(x)

69 | h a n d o u t

4 3

O X

Y

2

1 -2

 















291

) 4 6 3 ( ) 16 96 192 (

4 6 3

) 4 12 9 (

) 2 3 (

4 1 2 3 4

1 2 4

1

2 4

1 2







































V

x x x

dx x x

dx x

dx y V

Jadi volumenya adalah 291 satuan volume 

Lalu bagaimana untuk volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.

Perhatikan daerah yang dibatasi kurva x = f(y), garis y = a dan garis y = b yang diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360⁰.

70 | h a n d o u t

Metode Cakram Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x², sumbu y, garis y = 2diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

2

y

y x2

y

x y

y

x y

h=y y

y r

Volume benda putar tersebut merupakan jumlah potongan tabung-tabung tersebut, sehingga :





 ⁿ

i

i

i y

x V

1

2



dengan n adalah jumlah potongan tabung.

Untuk y yang cukup kecil (mendekati nol) akan dihasilkan pendekatan volume yang sempurna, yaitu :





  ⁿ i

i

y xi y

V

1 2 0

lim  



Bentuk tersebut dapat dinyatakan dengan menggunakan integral sebagai berikut :



 ^b

a

dy x

V  ²





b

a

dy x V  ²

71 | h a n d o u t Contoh

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

2 2 1x

y sumbu Y, garis y = 0 dan y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360⁰

Jawab :

2

O X

Y 2

21 x y =

 













4

) 0 ( )

4 (

2 2

2 0 2 2

0 2

0 2 2

2 2 1





















y

dy y

dy x V

y x

x y

Jadi volumenya adalah 4 satuan volume.

VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA DENGAN SUMBU X

Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinyu dan non negatif sedemikian sehingga f(x)  g(x) untuk [a,b] dan L adalah daerah yang dibatasi y1 = f(x), y2 = g(x), garis x = a, serta x = b.

72 | h a n d o u t

a b

y1 = f(x) y2 = g(x) Y

O X

Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360⁰, maka volume benda yang terjadi dapat dinyatakan sebagai berikut :

V = (Volume daerah f(x)) - (Volume daerah g(x))



^





b

a

b

a

dx x g dx x f

V  ( )²  ( )²



^



b

a

dx x g x f

V  ( ( )² ( )²) Contoh :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x² dan y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X satu putaran penuh

Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut x² = x + 2

x² – x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x = 2 atau x = -1

Jadi batas-batas daerahnya adalah x = 2 dan x = -1, sehingga volume yang dimaksud adalah









2

1

2 2 2

1 )

(y y dx

V 

73 | h a n d o u t

 

 

 

   













5 2

5 1 3

1 5

2 3

2

2 1 5 5 2 1

3 3 1 2

1

4 2

2

1

2 2 2

14

4 2 6

8 8 2

4 2

) 4 4 (

) ( ) 2 (





















































x x x x

dx x x

x

dx x x

V

Jadi volumenya adalah 14₅² satuan volume.

VOLUME DENGAN METODE SEL SILINDER

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x², garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral. ⁰

x

1 2

x

x x2

y

x² y

1 2 3 4 Jawab

74 | h a n d o u t

0

x

1 2

x

x

x2

y 

x² y

1 2 3 4

r = x

x

h = x² 0

x

1 2

1 2

y

1 2 3 4

Perhatikan, bagaimana jika persegi panjang ∆x yang berdiri kita putar searah sumbu x. Ya benar kita akan mendapatkan bentuk silinder/tabung yang berlubang ( kulitnya saja). Lalu bagaimana menghitung volumnya?

Volume = f (xi)



x

= R₂²t R₁²t = (R R )(R R ) t

2

2 1 ₂  _{1 2}  ₁ = 2R*(R₂ R₁) t

= 2R*Rt

Jika R * adalah x dan Rx, maka dengan

kita buat n partisi dengan n tak hingga banyaknya, dan dengan Teorema dasar Kalkulus

Volum = 2



^b

a

d x x

xf ( )



75 | h a n d o u t Sehingga dari gambar di atas

∆V  2rhx

V  2(x)(x²)x V   2x³x V = limit  2x³x

Latihan terbimbing :

1. Misal y2x2 pada selang [1,1]

a. Hitung luas poligon dalam dan poligon luar untuk n6

b. Hitung luas daerah dibawah kurva y2x2 pada selang [1,1] dengan menghitung luas poligon dalam dan poligon luar untuk n

2. Tentukan luas dan volumnya

3. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi y= 4-x² ( x 0), x

=0 dan y =0 dan :

a. mengelilingi sumbu y b. mengelilingi sumbu y = 2

4. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi x= 2y 1 , y= 2 , x=0 dan y =0 mengelilingi garis y= 3

dx x V ^



²

0

2 3

 

^

 8

2

2

0

4 4

1 

 x

V