MATEMATIKA - 2 PERTEMUAN PENERAPAN INTEGRAL LUAS DAERAH. Sarjono Puro, MT

MATEMATIKA - 2 PERTEMUAN 11-12

PENERAPAN INTEGRAL

LUAS DAERAH

Sarjono Puro, MT

Dalam menentukan Luas Daerah dan Volume Benda Putar, disarankan untuk menggambar grafiknya terlebih dulu.

Dengan menggambar grafiknya maka Daerah yang diminta akan lebih jelas tampak.

Menentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah utama yang dilakukan adalah memartisi, mengaproksimasi, menjumlahkan, dan menghitung limitnya.

y

a x 0

L_i

x

x

i

y f(x)

f(x_i)

Langkah menghitung luas

3/19

daerah ( lanjutan ) :

5.Tentukan luas persegi panjang ke-i (L

_i

)

6.Jumlahkah luas semua persegi panjang

7. Hitung nilai limit jumlahnya

y

a x 0

L_i

x_i

x y f(x)

f(x_i)

Luas sebuah persegi panjang: L_i = f(x_i) x

Jumlah luas persegi panjang :L   f(x_i) x Limit jumlah : L = lim  f(x_i) x ( n  ∞ )

Home Back Next

Langkah penyelesaian:

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [x_i , x_i+1] dan hitunglah luasnya.

x = 0₀ x₁ = 3/n

x₂ = (3/n) × 2 = 6/n

Jadi x_i = 3i/n dan x_{i + 1} = 3(i +1)/n

y

0

x L_i

3/n

x_i ²

1 f(x)x²

x_i+13 x_i

x₁ x₂ x₃

L i 27 i 1²

n³

n n

3n 3 2

i  

 

^

L  x _i1^{2 3(i1)}

Contoh 1.

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x², sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

Jawab

Perhatikan gambar di bawah ini!

Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian (lebar tidak harus sama) dengan lebar selang ke-i adalah x_i = x_i– x_i-1.

Pada selang [x_i-1, x_i] diambil titik sampel x_k maka jumlah Riemann dituliskan

sebagai :

k k

n

f ( x ) Δ x

k1

y

a

x

0 b

i-1 x_i

x x_k

x_i

Selanjutnya didefinisikan bahwa: ^{b n}

a f ( x ) d x  nl i m  k1f ( x_k) Δ x_k Bentuk _bf ( x ) dxdisebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)

a

=

= 2(2)³ – 2(2)² – [2(-1)³ – 2(-1)²]

= 16 – 8 + 2 - 2 = 8

2

1



^6x2 ^{ 4 x}



^dx



^{2x32x2 2}



_1

2

1



^{6x2  4 x}



^{d x}

Contoh 2.

Hitunglah nilai dari

Jawab

berlaku :

Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka

b

a f(x) d x  F(b)  F(a)

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai



^F(x)



a^b

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a ^x b a

x

0 b

b f ( x ) d x

a

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi

y

Integral

f(x)

Tentukan limitnya

n  

i n

i1f ( x_i)x

f(x)

b n

a n   i1

L   f ( x ) d x  l i m  ^{f ( x}_i ^{) x}_i

Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi L_i  f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(x_i) x_i 6. Nyatakan dalam integral

x 0

y x_i ^{y  f(x)}

x_i a f(x_i)

L_i

a

L  0 f ( x ) d x

Contoh 3.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x², sumbu x, dan garis x = 3

hitung nilainya

y

0

x 3 f(x)x²



Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i² x_i 4. Jumlahkan luasnya L   x_i² x_i 5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim  x_i² x_i

6. Nyatakan dalam integral dan

3 0

L  x dx2

0 3



⁰



⁹



³



3

L  

^x3

 

³³

L_i

x_i

x_i

x_i² Jawab

A Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  (4x_i - x_i²)x_i dan A_j  -(4x_j - x_j²)x_j

4. Jumlahkan : L  (4x_i - x_i²)x_i dan

  -(4x_j - x_j²)x_j

5. Ambil limitnya L = lim  (4x_i - x_i²)x_i dan A = lim  -(4x_j - x_j²)x_j

6. Nyatakan dalam integral

y

0 5 x

f(x)4xx² 0

L  ⁴(4 x  x ) dx ⁵_

4

2 A  (4 x  x ) dx2

x_i

L_i

x_i

4 x_j

A_j

4x_i x_i²

x_j

0( 4 x x²)

Contoh 4.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x², sumbu x, dan garis x = 5

Jawab

⁴  x ) dx² L  (4 x

5 2

A  (4 x  x ) dx

4

y

0 5 x

f(x)4xx²

x_i

L_i

x_i

4 x_j

A_j

4x_i x_i²

x_j

0( 4 x x²) 4

0 3 31 0

L



^{2x 2  x}



3

L  2(4)²  ¹3(4)³  0  3 2  ^{6 4}

5 4 3 31

A 



^{2 x 2  x}



1 3

3 3(4)



A  2(5)²  ¹ (5)³ 



^{2(4)2 }

A  50  ¹²⁵  32  ⁶⁴

3 3

A  ^{6 1}3 1 8

Luasdaerah  32  ⁶⁴  ⁶¹ 18

3 3

Luas daerah 13

Menggambar Grafik

Fungsi linear: y = mx + c

Cari titik potong pada sumbu x dan y.

Fungsi kuadrat: y = ax

²

+ bx + c

Cari titik potong pada sumbu x dan y Cari sumbu simetri: x

_s

= –b/2a

Fungsi kubik:

Turunan pertama = 0

Cek tanda + – + –

Sketsa grafiknya

Fungsi linear: y = mx + c Cari titik potong pd sb. x & y

Contoh:

gambarkan y = 8 – 2x

Buat hubungan x & y :

x y

0 8

4 0

Fungsi kuadrat: y = ax

²

+ bx + c - Cari titik potong pd sumbu x & y - Cari sumbu simetri: x

_s

= –b/2a

Contoh:

Gambarkan y = x

²

– 2x – 8

x y

0 –8

–2 0

4 0

Sb. simetri: x

_s

= –(–2) / 2 . 1 = 1

Menentukan fungsi dari grafik

Fungsi linear/garis lurus:

a) Jika diketahui titik potong dgn sumbu

“angka di sb. x kali dgn y dan angka di sb. y kali dgn x”

b) Diketahui 2 titik sembarang Cari gradien: m = y / x

Pakai rumus: y – y₁ = m(x – x₁) atau y = mx + c Fungsi kuadrat: y = ax² + bx + c

a) Diketahui Puncak dan 1 titik sembarang Pakai: y – y_P = a (x – x_P)² dan cari nilai “a”

b) Diketahui titik potong dgn sumbu x (x₁, 0), (x₂, 0) dan 1 titik lain Pakai: y = a (x – x₁) (x – x₂) dan cari nilai “a”

c) Diketahui 3 titik sembarang

Pakai: y = ax² + bx + c dgn eliminasi 3 var, cari nilai “a, b, c”

A(1, 5)

Luas Daerah

1.

LUAS DAERAH ANTARA DUAKURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian:

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya :

L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

a b

b

a f(x) g(x)



^dx

L 



y f(x)

y g(x)

0

L_i

x

x

f(x)g(x) x

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x² dan garis y = 2 - x Contoh 5.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x² = 2 – x x² + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) =0 diperoleh x = -2 dan x = 1

3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya

L_i (2 - x - x²)x 3. Jumlahkan luasnya

L  (2 - x - x²)x

4. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim (2 - x - x²)x

1

2

6. Nyatakan dalam integral tertentu L  (2  x  x²)dx

0

x

1 2

-1 -2

-3

y x²

1 2 3 4 y 5

L_i

x

x (2x)x²

Jawab

y 2 x y 2x

L  1_( 2  x  x ² ) d x

2

0

x

1 2

-1 -2

-3

y x² y  2x

1 2 3 4 y 5

L_i

x

x (2x)x²

3 2

2 _



1

 ^{x 3}  L  2 x  ^x





 

 ^{(2) 2 (2)}₃ ³ 

2 13

2 3   2(2) L  2(1)  ¹² 

38

1 1

2 3



L 



^{2  }



^



^{ 4  2 }



3 2  3¹  4  2  ⁸ L  2  ¹

L  5  ¹  4 ¹

2 2

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

Luas daerah =

 

^{g ( y )  f ( y )}



d y

c

y

x y g(x) x g(y)

y f(x) x f(y)

d

L_i y

0

c d

g(y) f(y)

Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

y  f(x) y

a b

L_i

x

x

f(x)g(x)

2f(x)

A_i 0

x

y g(x)

a 0

b a

Luas daerah =  2 f ( x ) d x    f(x)  g(x)  dx

Contoh 6.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y² = x, garis x + y = 6, dan sumbu x

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y² = 6 – y y² + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2

3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya

L_i (6 - y -y²)y 3. Jumlahkan luasnya

L  (6 - y -y²)y 5. Tentukan limitnya

L = lim (6 - y - y²)y

6. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah = ²

0



^{6  y  y 2}



^dy

x  y²

x 6 y

2 y 6

x 0

6

L_i y

y

(6y)y²

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

Jawab

Langkah penyelesaian:

Luas daerah = ²

0

 6  y  y

²

^

^{d y}

x  y 2

x 6 y

2 y

6

x 0

6

Li y

y

(6y)y² 2

3 3

 0





 y  y

Luas daerah = ^ 6 y  2

Luas daerah = _{2 3 }



3 ^

 6 ( 2 )  2  2   0





Luas daerah =

 

 3 ^

 1 2  1  8 ^

Luas daerah = 25 3

6.

4 25 2

5 5 ,

2  

A 

L ^



⁴ ^{  } 

3

2 2x 8 dx x

L_B

3 8 8

3

4 3 3 2

 











  

 x x x

12 107 3

8 4

25  

total



Luas

A B

Cari titik potong garis & parabola 2x – 1 = –x

²

+ 2x + 8

x

²

= 9  x

₁

= 3 , x

₂

= –3

–3 3

Titik potong garis & sumbu x 2x – 1 = 0  x = 0,5

0,5

Titik potong parabola & sumbu x –x

²

+ 2x + 8 = 0

x

² –

2x

–

8 = 0  4 ˅ –2

–2 4

7.

6 2 2

2   1 ² 



x x x

2 )

(

x

 

x



g

6 2 2

2  1 ²  



x x x

Titik potong garis & parabola:

(x – 2) ( x + 8) = 0  x = 2 ˅ –8 0 16

6 0

8 2 3

1 ₂     ₂   

 x x x x







 



  



2

8

2 3 8

2

1

x x dx

Luas

2 8 2

3 8

2 3

6 _









  

 x x x

3 64 250

3 96 16 256

3 6

4  



 



  











–0,5x

² –

3x + 8 = 0  D = (–3)

²

– 4 (–0,5) 8 = 25

6

a

2

D Luas



D

3 250 5

, 0 6

25 25

2



 

Luas

Luas arsiran

= trapes besar – trapes kecil 2 2 2

6 2 2

2 6

4   



 



  

 



 



  

Luas arsiran

= trapes besar – trapes kecil

4 2 4

1 4 5

2 3

5  



 



  





 



 

1 2

Pers. garis 1: y = 7 – x Pers. garis 2: y = 6 – 0,5x

saat x = 2  y

₁

= 5 & y

₂

= 5

saat x = 6  y

₁

= 1 & y

₂

= 3

Diskriminan: D = 2

²

– 4 .(–2) .4 = 36

4 9 6

6 36 )

2 ( 6

36 36

6 ^{2 2} 



 



 

 a

D arsiran D

Luas

Pers. garis : y = 2x + 2 Pers. parabola : y = 2x

²

– 2 Atas kurang Bawah:

2x + 2 – (2x

²

– 2) = 0

2x + 4 – 2x

²

= 0

Luas arsiran = 4 + 5 – 8/3 = 19/3

 

3 2 8

3 4 2

3 16

3 2 2 2

2

2

1 2 3

1

2

 



 

 

















 







 ^{x dx x x}

C Luas

Pers. garis : y = 2x + 2 Pers. parabola : y = 2x

²

– 2

Luas A = 0,5 . 2 . 4 = 4

A

B

C

Luas trapesium BC:

= 0,5 (4 + 6) x 1 = 5

Pers. garis : y = –1,5x + 6 Pers. parabola : y = 3 – x

²

3 6 17 3 3

8

4 3 3 3 3

2

3 ²

0 2

2 3 0

2



















  

 



 



  





^{x x dx x x x}

arsiran Luas

Atas – bawah :

–1,5x + 6 – (3 – x

²

) = x

²

– 1,5x + 3

Pers. garis: y = –2x + 6

L

_B

= 0,5 . 1 . 2 = 1

A B

   

2

2 2

2 3

2

2 1

3 2 2 2



  







 













  ^{x dx x}

L

_A

 

3 0 16

3 8

2  



L

_arsir

= 16/3 + 1 = 19/3

Pers. garis: y = x – 2



  





 



    



2 2

3 2

) 2 (

4 x 2 x dx

L

_A

x

2 2 2

3

4 4

2 3

16 _









   

 x x x x





 





 



   



2 2

3 2

4 x x 4 dx x

3 8 32

3 2 1 8 8

3 2

1 8  



 



   











L

_arsir

= 32/3 + 5/3 = 37/3

4 2

3 2





 x x y

A B

3 2 5

2 4

4 2

3 2

 

 



 





 





 



  





  ^{x x x dx}

L

_B

Grafik diputar menjadi 

Parabola : x

²

= y + 3 Garis : y = x + 3

Atas – bawah :

x + 3 – (x

²

– 3 ) = –x

²

+ x + 6

D = 1

²

– 4 . (–1) . 6 = 25

6 125 )

1 ( 6

25 25

6 ^{2 2} 



 

 a

D arsiran D

Luas