Metode Trapesium untuk Menghitung Integral

(1)

H a l a m a n| 22 PROGRAM STUDI STATISTIKA UNIVERSITAS ISLAM BANDUNG

BAB IV

DEFINIT INTEGRAL

4.1 Trapezoid

Metode trapezoid merupakan metode yang menggunakan pendekatan luas trapezoid dalam menghitung integral. Misalkan kita ingin menghitung integral dengan metode trapezoid pada interval [a,b] dan membagi daerah [a,b] menjadi N interval dengan lebar Δ. Misalkan 𝑎 = 𝑥 , 𝑏 = 𝑥 dan {𝑥 } merupakan partisinya sehingga 𝑎 = 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 < ⋯ < 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 = 𝑏 serta Δ = 𝑥 − 𝑥 . Maka:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑ Δ ⁽ ⁾ ^{( )}

= [𝑓(𝑥 ) + 2𝑓(𝑥 ) + 2𝑓(𝑥 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 )]

= Δ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ + ∑ 𝑓(𝑥 )

Misalkan galat maksimum yang bisa diterima adalah 𝛿, maka banyaknya interval dapat kita tentukan melalui rumus berikut:

𝛿 ≤𝑀(𝑏 − 𝑎)

12𝑁 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑁 = 𝑀(𝑏 − 𝑎) 12𝛿

dimana M merupakan nilai maksimum |𝑓 | pada interval [a,b].

Contoh:

Carilah ∫ 𝑒𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥 dengan pendekatan trapezoid. Bandingkan hasil dan lama waktunya N=4,5,6,1000.

options(digits=10) #mengatur digit desimal int_trap <- function(a,b,N=1000)

{

delta <- (b-a)/N

x <- seq(from=a,to=b,by=delta) fx <- exp(x)

pengali <- rep(2,length(x)) pengali[1] <- 1

pengali[length(pengali)] <- 1 hasil <- sum(fx*pengali)*delta/2

(2)

return(hasil) }

int_trap(a=1,b=2,N=4) int_trap(a=1,b=2,N=5) int_trap(a=1,b=2,N=6) int_trap(a=1,b=2,N=1000) int_trap(a=1,b=2,N=10000)

4.2 Pendekatan Nilai Harapan 4.2.1. Integral Satu Variabel

Konsep 𝐸 𝑔(𝑥) dapat digunakan untuk menghitung integral suatu fungsi 𝑔(𝑥). Integral fungsi 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 didefinisikan sebagai:

𝐼 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

= 𝑔(𝑥) 𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑑𝑥

= [𝑏 − 𝑎] 𝑔(𝑥) 1 𝑏 − 𝑎 𝑑𝑥 = [𝑏 − 𝑎] 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥

dimana 𝑓(𝑥) = ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 yang merupakan fungsi densitas untuk peubah acak seragam/Uniform(a,b), dan ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 merupakan nilai harapan fungsi 𝑔(𝑥) untuk peubah acak X berdistribusi Uniform(a,b). Dengan demikian, kita bisa menggunakan pendekatan nilai harapan untuk menghitung integral suatu fungsi 𝑔(𝑥) dengan pendekatan nilai harapan g(x).

𝐼 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≈ [𝑏 − 𝑎]𝑔(𝑥) 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑔(𝑥) = 1

𝑛 𝑔(𝑥 ) Algoritma menghitung ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 adalah sebagai berikut:

(3)

1) Bangkitkan n bilangan acak dari Uniform(a,b) misalkan 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 dimana n harus besar, misalkan 1.000.000 atau lebih.

2) Hitung 𝑔(𝑥 ) untuk i=1,2,…,n.

3) Hitung rata-rata 𝑔(𝑥 ), yaitu 𝑔(𝑥).

4) Hitung hasil integral I.

Contoh:

Hitunglah ∫ 𝑥 𝑑𝑥.

NH_SATU <- function(a,b,N) {

g <- vector() x <- runif(N,a,b) g <- 1/3*x^3

hasil <- (b-a)*mean(g) return(hasil)

} a <- 5 b <- 10 N <- 1000000 NH_SATU(a,b,N)

4.2.2. Integral Dua Variabel

Misalkan kita punya dua peubah acak bersama X dan Y dengan fungsi densitas bersamanya adalah 𝑔(𝑥, 𝑦) untuk 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑. Integral dari fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) adalah:

𝐼 = 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

= 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎

𝑑 − 𝑐 𝑑 − 𝑐 𝑑𝑥𝑑𝑦

= [𝑏 − 𝑎][𝑑 − 𝑐] 𝑔(𝑥, 𝑦) 1 𝑏 − 𝑎

1

𝑑 − 𝑐 𝑑𝑥𝑑𝑦 Dari persamaan tersebut, 𝑓(𝑥, 𝑦) = ¹

𝑏−𝑎 × ¹

𝑑−𝑐 merupakan fungsi densitas bersama X dan Y Uniform ganda dua, dimana peubah acak X dan Y saling bebas, dan 𝑋~𝑈(𝑎, 𝑏) dan 𝑌~𝑈(𝑐, 𝑑). Sehingga:

(4)

𝐼 = 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ [𝑏 − 𝑎][𝑐 − 𝑑]𝐸 𝑔(𝑥, 𝑦)

dimana 𝐸 𝑔(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑔(𝑥, 𝑦).

Algoritma untuk menghitung integral lipat dua (aproksimasi) adalah sebagai berikut.

1) Tentukan besarnya n yang cukup besar, misalkan n=1.000.000.

2) Bangkitkan bilangan acak 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 dari distribusi U(a,b).

3) Bangkitkan bilangan acak 𝑦 , 𝑦 , … , 𝑦 dari distribusi U(c,d).

4) Hitung 𝑔(𝑥 , 𝑦 ) untuk i=1,2,…,n.

5) Hitung rata-rata 𝑔(𝑥, 𝑦).

6) Hitung integral 𝐼 = [𝑏 − 𝑎][𝑐 − 𝑑]𝑔(𝑥, 𝑦).

Contoh:

Untuk 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑋 − 𝑌 + 𝑋𝑌, hitunglah ∫ ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦.

NH_DUA <- function(a,b,c,d,N) {

g <- vector() x <- runif(N,a,b) y <- runif(N,c,d) g <- 2*x–y+x*y

hasil <- (b-a)*(c-d)*mean(g) return(hasil)

} a <- 4 b <- 8 c <- 5 d <- 10 N <- 1000000 NH_DUA(a,b,c,d,N)