METODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA
LINEAR JENIS KEDUA Fitra Anugrah1∗, Zulkarnain2
1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia
∗math.fitra@gmail.com
ABSTRACT
This article discusses the repeated modified trapezoid method that is the method in approximating some Volterra integral equations of the second kind. This article presents the work of Nadjafi and Heidari [Appl. Math. Comput., 189 (2007), 980-985]. The numerical simulation shows that the repeated modified trapezoid method is better than the trapezoid method.
Keywords: Volterra integral equations, repeated modified trapezoid method, trape-zoid method
ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang metode trapesium terkoreksi komposit yang merupakan metode untuk mengaproksimasi integral pada persamaan integral Volterra linear jenis kedua. Artikel ini menyajikan karya dari Nadjafi dan Heidari [Appl. Math. Comput., 189 (2007), 980-985]. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa metode trapesium terkoreksi komposit ini lebih baik dari metode trapesium. Kata kunci: Persamaan integral Volterra, metode trapesium komposit terkoreksi, metode trapesium
1. PENDAHULUAN
Persamaan integral adalah suatu persamaan dengan fungsi yang tidak diketahui terletak dalam tanda integral. Jika batas integral konstan, maka dinamakan persamaan integral Fredholm, sedangkan jika batas integral berupa variabel maka dinamakan persamaan integral Volterra.
Pada persamaan integral Volterra, jika fungsi yang tidak diketahui hanya berada di dalam tanda integral dinamakan persamaan integral Volterra jenis pertama. Sementara itu jika fungsi yang tidak diketahui ada di luar dan di dalam
tanda integral maka dinamakan persamaan integral Volterra jenis kedua. Bentuk umum persamaan integral Volterra linear jenis kedua adalah [3, h. 24]
u(x) = f (x) + Z x
a
k(x, t)u(t)dt, a≤ x ≤ b, (1) dimana f adalah fungsi yang diketahui dan kontinu pada [a, b], k(x, t) adalah fungsi yang diketahui dan kontinu pada [a, b] dan u adalah fungsi yang akan ditentukan.
Pada persamaan integral Volterra, k(x, t) dinamakan fungsi kernel. Fungsi u(x) tidak dapat diperoleh langsung dengan mengintegralkan ruas kanan persamaan (1) karena ada u(t) yang juga tidak diketahui berada di dalam integral.
Masalah utama dari persamaan integral ini adalah menentukan u(t) yang terdefinisi pada [a, b] dan memenuhi persamaan (1). Metode yang digunakan adalah menghampiri integral pada ruas kanan persamaan (1) dengan metode Trapesium terkoreksi komposit yang diperkenalkan oleh Nadjafi dan Heidari [4].
2. INTERPOLASI POLINOMIAL DAN METODE TRAPESIUM Pada bagian ini dibahas mengenai interpolasi polinomial serta metode trapesium dan erornya.
2.1 Interpolasi Polinomial
Teorema 1 (Polinomial Lagrange) [2, h. 110] Jika x0, x1,· · · , xn ∈ R adalah
(n + 1) bilangan berbeda dan f merupakan suatu fungsi yang nilainya diberikan pada bilangan tersebut, maka terdapat polinomial tunggal P (x) derajat n yang memenuhi
f(xk) = P (xk), untuk setiap k = 0, 1, · · · , n,
sehingga interpolasi polinomial Lagrange diberikan oleh P(x) = f (x0)Ln,0(x) + · · · + f (xn)Ln,n(x) =
n
X
k=0
f(xk)Ln,k(x), (2)
dimana untuk setiap k = 0, 1, · · · , n, Ln,k(x) =
(x − x0)(x − x1) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
(xk− x0)(xk− x1) · · · (xk− xk−1)(xk− xk+1) · · · (xk− xn)
.
Teorema 2 ( Polinomial Hermite ) [1, h. 144-145] Jika f ∈ C1[a, b] dan
x0,· · · , xn ∈ C[a, b] adalah berbeda. Polinomial tunggal dari derajat terkecil yang
memenuhi f dan f′pada x
0,· · · , xnadalah polinomial berderajat paling tinggi 2n+1
diberikan oleh H2n+1(x) = n X j=0 f(xj)Hn,j(x) + n X j=0 f′(x j) ˆHn,j(x),
dimana, untuk Ln,j(x) merupakan koefisien polinomial Lagrange ke j berderajat n
dengan
Hn,j(x) = [1 − 2(x − xj)L′n,j(xj)]Ln,j2 (x)] dan Hˆn,j(x) = (x − xj)L2n,j(x).
Selain itu jika f ∈ C2n+2[a, b], maka
f(x) = H2n+1(x) +
(x − x0)2· · · (x − xn)2
(2n + 1)! f
(2n+2)(ξ(x)),
untuk beberapa ξ(x) yang tidak diketahui pada interval (a, b). 2.2 Metode Trapesium dan Erornya
Metode trapesium adalah pendekatan integral tentu secara numerik yang meng-gunakan interpolasi linear P1(x) untuk mengaproksimasi f (x) [2, h. 194].
Misalkan f (x) kontinu pada [a, b], definisikan titik a = x0, b = x2, dan
c = x1 = a + h dengan h = (b−a)2 , maka dengan menggunakan persamaan (2)
diperoleh P1(x) = (x − b) (a − b) f(a) + (x − a) (b − a) f(b), sehingga Z b a f(x)dx ≈ Z b a P1(x)dx T1(f ) = (b − a) 2 [f (a) + f (b)]. (3)
Persamaan (3) merupakan hampiran integral menggunakan metode Trapesium. Selanjutnya misalkan [a, b] dipartisi sebanyak n subinterval dengan n adalah bilangan genap dan h = b−a
n adalah panjang dari setiap subinterval. Titik-titik
partisi yang dihasilkan adalah
a= x0 < x1 <· · · < xn−1< xn= b,
atau
xj = a + jh, j = 0, 1, · · · , n.
Jumlah Riemann yang merupakan pendekatan untuk integralRxn
x0 f(x)dx, diberikan oleh Z x1 x0 f(x)dx + Z x2 x1 f(x)dx + · · · + Z xn xn−1 f(x)dx. (4)
Dengan menerapkan metode Trapesium untuk setiap subinterval pada persamaan (4), diperoleh Tn(f ) = h 2f(x0) + h n−1 X j=1 f(xn−1) + h 2f(xn). (5)
Persamaan (5) merupakan hampiran integral menggunakan metode Trapesium Komposit.
Teorema 3 (Eror Metode Trapesium) [2, h. 206] Misalkan f ∈ C2[a, b], h = (b−a) n ,
dan xj = a + jh, untuk setiap j = 0, 1, · · · , n. Terdapat ξ ∈ [a, b] sedemikian
hingga metode Trapesium komposit untuk n subinterval dapat ditulis dengan bentuk erornya, yaitu Z b a f(x)dx = h 2 f(a) + 2 n−1 X j=1 f(xj) + f (b) − b− a 12 h 2f′′(ξ),
sehingga eror metode Trapesium Komposit ETn(f ) = −
b− a 12 h
2f′′(ξ).
3. METODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA
LINEAR JENIS KEDUA
Pada bagian ini dibahas metode yang diperkenalkan oleh Nadjafi dan Heidari [4]. Pembahasan dimulai dengan menurunkan modifikasi baru dari metode Trapesium kemudian menyelesaikan persamaan integral Volterra linear jenis kedua dengan metode Trapesium dan metode Trapesium terkoreksi, selanjutnya melakukan simulasi numerik.
3.1 Metode Trapesium Terkoreksi dan Erornya
Metode Trapesium Terkoreksi adalah suatu bentuk modifikasi dari metode Trapesium, dimana metode Trapesium Terkoreksi ini diperoleh dengan meng-gunakan interpolasi polinomial Hermite orde tiga H3(x) untuk mendekati fungsi f .
Misalkan f (x) kontinu pada [a, b], definisikan titik a = x0 = x1 dan b = x2 = x3
dengan jarak yaitu h = (b − a), maka
f(x) = H3(x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)2 + f [x0, x1, x2, x3](x − x0)2(x − x1), sehingga Z b a f(x)dx = Z b a H3(x)dx CT(f ) = (b − a) 2 [f (a) + f (b)] − (b − a)2 12 [f ′(b) − f′(a)]. (6)
Selanjutnya apabila [a, b] dipartisi sebanyak n subinterval dengan n bilangan genap, misalkan h = b−a
n adalah panjang dari setiap subinterval dengan titik-titik
partisi
a= x0 < x1 <· · · < xn−1< xn= b,
yang didefinisikan oleh
xj = a + jh, j = 0, 1, · · · , n,
maka jumlah Riemann yang merupakan pendekatan untuk integral Rxn
x0 f(x)dx, diberikan oleh Z xn x0 f(x)dx = Z x1 x0 f(x)dx + Z x2 x1 f(x)dx + · · · + Z xn xn −1 f(x)dx. (7) Bila diterapkan metode Trapesium terkoreksi untuk setiap subinterval pada persamaan (7), diperoleh CTn(f ) = h 2f(x0) + h n−1 X i=1 f(xi) + h 2f(xn) − h2 12 [f ′(b) − f′(a)]. (8)
Persamaan (8) adalah metode Trapesium Terkoreksi Komposit.
3.2 Penyelesaian Persamaan Integral Volterra Linear Jenis Kedua
Tinjau kembali persamaan (1). Untuk menyelesaikan integral pada persamaan (1) dengan metode Trapesium terkoreksi komposit, interval [a, b] dibagi atas n subinterval xi = a + ih dengan h = b−an . Untuk x = xi, i = 0, 1, · · · , n, penyelesaian
persamaan (1) diperoleh u(xi) = f (xi) + Z x1 x0 k(xi, t0)u(t0)dt + Z x2 x1 k(xi, t1)u(t1)dt + · · · + Z xi xi−1 k(xi, ti)u(ti)dt. (9)
Misalkan i = 1, maka interval [a, x1] adalah subinterval dari [a, b] dengan h = b−an .
Dengan menggunakan metode Trapesium terkoreksi komposit pada persamaan (9) nilai u(x1) adalah
u(x1) = f (x1) + h 2[k(x1, t0)u(t0) + k(x1, t1)u(t1)] − h 2 12 ∂k(x1, t1) ∂t u(t1) + k(x1, t1)u ′(t 1) − ∂k(x1, t0) ∂t u(t0) − k(x1, t0)u ′(t 0) .
Untuk i = 2, interval [a, x2] adalah subinterval dari [a, b] dengan h = b−an dan
dengan menggunakan metode Trapesium terkoreksi komposit pada persamaan (9) nilai u(x2) juga dapat diperoleh sebagai berikut
u(x2) = f (x2) + h 2[k(x2, t0)u(t0) + k(x2, t1)u(t1)] + h 2[k(x2, t1)u(t1) + k(x2, t2)u(t2)] − h 2 12 ∂k(x2, t2) ∂t u(t2) + k(x2, t2)u ′(t 2) − ∂k(x2, t0) ∂t u(t0) − k(x2, t0)u ′(t 0) .
Dengan cara yang sama nilai u(x3), u(x4), · · · , u(xn) dapat diperoleh, sehingga
persamaan umum untuk mencari u(xi) dapat ditulis sebagai berikut
u(xi) = f (xi) + h 2k(xi, t0)u(t0) + h i−1 X j=1 k(xi, tj)u(tj) + h 2k(xi, ti)u(ti) + h 2 12 J(xi, t0)u(t0) + k(xi, t0)u′(t0) − J(xi, ti)u(ti) − k(xi, ti)u′(ti) , (10) dengan J(x, t) = ∂k(x, t) ∂t .
Misalkan u(xi) = ui, f (xi) = fi dan k(xi, tj) = kij maka persamaan (10) menjadi
u0 = f0, (11) ui = fi+ h 2ki0u0+ h i−1 X j=1 kijuj+ h 2kiiui + h 2 12 Ji0u0+ ki0u′0− Jiiui− kiiu′i . (12)
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan Leibnitz [5, h. 17], turunan pertama dari persamaan (1) terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut
u′(x) = f′(x) + Z x a H(x, t)u(t)dt + k(x, x)u(x), (13) dengan H(x, t) = ∂k(x, t) ∂x .
Untuk menyelesaikan persamaan (13), akan dibedakan menjadi dua kasus. Kasus pertama untuk ∂
2k(x, t)
∂x∂t tidak ada. Metode Trapesium komposit digunakan untuk mengaproksimasi integral pada kasus ini. Kasus kedua untuk ∂
2k(x, t)
∂x∂t ada. Metode Trapesium terkoreksi komposit digunakan untuk mengaproksimasi integral pada kasus ini.
Kasus 1. Turunan parsial ∂
2k(x, t)
∂x∂t tidak ada
Dengan menggunakan metode Trapesium komposit untuk mengaproksimasi integral pada ruas kanan persamaan (13), diperoleh
u′ i = fi′+ h 2Hi0u0+ h i−1 X j=1 Hijuj+ h 2Hiiui+ kiiui, (14) untuk i = 0, dari persamaan (14) diperoleh
u′
0 = f0′ + k00u0. (15)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (15) ke persamaan (11) dan persamaan (14) ke persamaan (12), diperoleh persamaan sebagai berikut
u0 =f0, (16) ui = fi+ h2 12(ki0f ′ 0− kiifi′) + h 2ki0+ h2 12(Ji0+ ki0k00− h 2kiiHi0) u0 + h i−1 X j=1 (kij − h2kii 12 Hij)uj+ h 2kii− h2 12(Jii+ k 2 ii+ h 2kiiHii) ui, (17) i= 1,2, · · · , n. Misalkan α1 = fi+ h2 12(ki0f ′ 0− kiifi′) , β1 = h 2ki0+ h2 12(Ji0+ ki0k00− h 2kiiHi0) , δ1 =h i−1 X j=1 (kij − h2kii 12 Hij), γ1 = h 2kii− h2 12(Jii+ k 2 ii+ h 2kiiHii) , maka persamaan (17) dapat disederhanakan menjadi
ui =
α1+ β1u0+ δ1uj
1 − γ1
Persamaan (16) dan (18) adalah penyelesaian persamaan (1) dengan metode Trapesium komposit. Nilai ui dapat diperoleh langsung dengan menggunakan nilai
u0, u1,· · · , ui−1 yang sudah diketahui.
Kasus 2. Turunan parsial ∂
2k(x, t)
∂x∂t ada
Dengan menggunakan metode Trapesium terkoreksi komposit untuk mengaproksi-masi integral pada ruas kanan persamaan (13), diperoleh
u′ i = fi′ + h 2Hi0u0+ h i−1 X j=1 Hijuj + h 2Hiiui+ kiiui +h 2 12[Li0u0+ Hi0u ′ 0− Liiui− Hiiu′0], (19) dengan L(x, t) = ∂ 2k(x, t) ∂x∂t . Untuk i = 0, dari persamaan (14) diperoleh
u′
0 = f0′ + k00u0. (20)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (20) ke persamaan (11) dan persamaan (19) ke persamaan (12), diperoleh persamaan sebagai berikut
u0 =f0, (21) ui = fi+ h2 12ki0f ′ 0− h2k ii 12 + h2H ii (f′ i + h2 12Hi0f ′ 0) + h 2ki0+ h2 12(Ji0+ ki0k00) − h2kii 12 + h2H ii h 2Hi0 + h2 12(Li0+ Hi0k00) u0 + h i−1 X j=1 (kij − h2kii 12 + h2H ii Hij)uj + h 2kii− h2 12Jii− h2kii 12 + h2H ii (kii+ h 2Hii− h2 12Lii) ui. (22) i= 1,2, · · · , n
Misalkan α2 = fi+ h2 12ki0f ′ 0− h2kii 12 + h2H ii (f′ i + h2 12Hi0f ′ 0) , β2 = h 2ki0+ h2 12(Ji0+ ki0k00) − h2k ii 12 + h2H ii h 2Hi0+ h2 12(Li0+ Hi0k00) , δ2 =h i−1 X j=1 (kij− h2k ii 12 + h2H ii Hij), γ2 = h 2kii− h2 12Jii− h2kii 12 + h2H ii (kii+ h 2Hii− h2 12Lii) , maka persamaan (22) dapat disederhanakan menjadi
ui =
α2+ β2u0+ δ2uj
1 − γ2
, i= 1,2, · · · , n. (23) Persamaan (21) dan (23) adalah penyelesaian persamaan (1) dengan metode Trapesium terkoreksi komposit. Nilai ui dapat diperoleh langsung dengan
menggunakan nilai u0, u1,· · · , ui−1 yang sudah diketahui.
3.3 Simulasi Numerik
Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan hasil komputasi dari metode Trapesium komposit dan metode Trapesium terkoreksi komposit. Simulasi numerik ini menggunakan aplikasi MATLAB v8.1. Persamaan integral yang digunakan dalam simulasi numerik ini adalah
u(x) = x +1 5
Z x
0
xtu(t)dt, 0 ≤ x ≤ 2, dengan solusi eksak
u(x) = xex 3 15.
Solusi dengan komputasi numerik disajikan pada Tabel 1, 2 dan 3. Pada tabel, jumlah partisi dinotasikan dengan n, metode Trapesium komposit dengan Tn,
metode Trapesium terkoreksi komposit dengan CTn, eror aproksimasi metode
Trapesium komposit dengan ETn, dan eror aproksimasi dengan metode Trapesium
Tabel 1: Hasil Komputasi untuk n = 4.
x Solusi Eksak T n CT n |ET n| |ECT n|
0 0 0 0 0 0
0.5 0.5041840761 0.5063291139 0.5052255659 0.0021450378 0.0010414898 1.0 1.0689391057 1.0792804797 1.0732524187 0.0103413739 0.0043133130 1.5 1.8784840743 1.9153428231 1.8892052175 0.0368587488 0.0107211432 2.0 3.4092097306 3.5513648178 3.4320497256 0.1421550872 0.0228399949
Tabel 2: Hasil Komputasi untuk n = 20.
x Solusi Eksak T n CT n |ET n| |ECT n|
0 0 0 0 0 0
0.5 0.5041840761 0.5042696939 0.5042259933 0.0000856178 0.0000419172 1.0 1.0689391057 1.0693500009 1.0691142393 0.0004108952 0.0001751335 1.5 1.8784840743 1.8799305328 1.8789282489 0.0014464586 0.0004441747 2.0 3.4092097306 3.4146358950 3.4102114413 0.0054261644 0.0010017107
Tabel 3: Hasil Komputasi untuk n = 200.
x Solusi Eksak T n CT n |ET n| |ECT n|
0 0 0 0 0 0
0.5 0.5041840761 0.5041849322 0.5041844954 0.0000008561 0.0000004193 1.0 1.0689391057 1.0689432135 1.0689408582 0.0000041078 0.0000017524 1.5 1.8784840743 1.8784985274 1.8784885224 0.0000144531 0.0000044481 2.0 3.4092097306 3.4092638894 3.4092197840 0.0000541588 0.0000100533
Pada Tabel 1, 2 dan 3 dapat dilihat bahwa untuk beberapa n yang berbeda, perbandingan nilai hampiran yang dihasilkan oleh kedua metode pada setiap titik x mendekati solusi eksak. Akan tetapi dapat dilihat bahwa metode Trapesium terkoreksi komposit lebih baik dibandingkan dengan metode Trapesium komposit.
4. KESIMPULAN
Untuk menyelesaikan persamaan (1) tidak dapat diintegralkan secara analitik, maka dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode numerik yang disebut metode Trapesium terkoreksi. Metode Trapesium terkoreksi ini dapat diperoleh dengan menggunakan interpolasi polinomial Hermite orde tiga H3(x) untuk
mendekati fungsi yang sebenarnya.
Dengan memodifikasi metode Trapesium diperoleh metode Trapesium terkoreksi yang memberikan nilai hampiran lebih baik dibandingkan dengan metode Trapesium dalam menyelesaikan persamaan (1).
Secara teoritis didukung dengan simulasi numerik, keunggulan metode Trapesium terkoreksi dibandingkan dengan metode Trapesium dapat dilihat dari nilai erornya. Berdasarkan simulasi numerik, dapat disimpulkan secara umum bahwa metode Trapesium terkoreksi komposit lebih baik dibandingkan dengan metode Trapesium dalam menyelesaikan persamaan (1).
Ucapan Terima Kasih
Ucapan terima kasih diberikan kepada Dr. Leli Deswita, M. Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Second Ed., John Wiley and Sons, New York, 1989.
[2] R. L. Burden dan J. D. Faires, Numerical Analysis, Ninth Ed., Brooks Cole, Boston, 2011.
[3] A. J. Jerri, Introduction to Integral Equations with Applications, Second Ed., John Wiley and Sons, New York, 1999.
[4] J. S. Nadjafi dan M. Heidari, Solving linear integral equations of the second kind with repeated modified trapezoid quadrature method, Appl. Math. Comput., 189 (2007), 980-985.
[5] A. M. Wazwaz, Linear and Nonlinear Integral Equations: Methods and Appli-cations, Higher Education Press, Beijing, 2011.
