Metode Charpit untuk Menentukan Integral

1 BAHAN AJAR 12

METODE CHARPIT

MENENTUKAN INTEGRAL LENGKAP, INTEGRAL SINGULAR, DAN INTEGRAL UMUM

Oleh: Dr. Cece Kustiawan, M.Si.

Program Studi Matematika, FPMIPA, UPI

Seperti sudah dijelaskan sebelumnya, berikut ini disajikan beberapa contoh bagaimana menentukan integral lengkap, integral singular, dan integral umum dengan metode Charpit.

CONTOH-CONTOH

1. Tentukan integral lengkap dari PDP (𝑝²+ 𝑞²)𝑥 = 𝑝𝑧, kemudian tentukan permukaan yang melewati kurva 𝑥 = 0, 𝑧² = 4𝑦.

Solusi

Misalkan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞) = (𝑝²+ 𝑞²)𝑥 − 𝑝𝑧 = 0 (1) Persamaan anak Charpitnya adalah

𝑑𝑝

𝑓_𝑥+𝑝 𝑓_𝑧 = ^𝑑𝑞

𝑓_𝑦+𝑞 𝑓_𝑧= ^𝑑𝑧

−𝑝 𝑓_𝑝−𝑞 𝑓_𝑞= ^𝑑𝑥

−𝑓_𝑝 = ^𝑑𝑦

−𝑓_𝑞 (2)

Dari persamaan (1): 𝑓_𝑥 = (𝑝²+ 𝑞²), 𝑓_𝑦 = 0, 𝑓_𝑧 = −𝑝, 𝑓_𝑝 = 2𝑝𝑥 − 𝑧, 𝑓_𝑞 = 2𝑞𝑥 Kemudian substitusi ke (2), diperoleh

𝑑𝑝

𝑝²+𝑞²−𝑝²= ^𝑑𝑞

0−𝑝𝑞= ^𝑑𝑧

−𝑝(2𝑝𝑥−𝑧)−𝑞(2𝑞𝑥)= ^𝑑𝑥

−2𝑝𝑥+𝑧= ^𝑑𝑦

−2𝑞𝑥

⇒^𝑑𝑝

𝑞² = ^𝑑𝑞

−𝑝𝑞 = ^𝑑𝑧

−2𝑝²𝑥+𝑝𝑧−2𝑞²𝑥= ^𝑑𝑥

−2𝑝𝑥+𝑧= ^𝑑𝑦

−2𝑞𝑥 (3)

Ambil rasional 1 dan 2 dari (3):

𝑑𝑝 𝑞² = ^𝑑𝑞

−𝑝𝑞⇒^𝑑𝑝

𝑞 = ^𝑑𝑞

−𝑝 ⇒ 𝑝 𝑑𝑝 + 𝑞 𝑑𝑞 = 0 Kemudian integralkan, diperoleh

1

2𝑝²+¹₂𝑞² =¹₂𝑎² ⇒ 𝑝²+ 𝑞² = 𝑎² (4)

Dari (1) dan (4): (𝑝²+ 𝑞²)𝑥 − 𝑝𝑧 = 0 ⇒ 𝑎²𝑥 − 𝑝𝑧 = 0

⇒ 𝑝 = 𝑎²𝑥⁄𝑧 (5)

Kemudian substitusi ke (4), diperoleh (^𝑎2𝑥

𝑧 )

2

+ 𝑞² = 𝑎² ⇒ 𝑞² = 𝑎²−^𝑎4𝑥2

𝑧²

⇒ 𝑞² = ^{𝑎2𝑧2−𝑎4𝑥2}

𝑧² = ^𝑎2

𝑧²(𝑧²− 𝑎²𝑥²)

⇒ 𝑞 =^𝑎

𝑧(𝑧²− 𝑎²𝑥²)^{1 2⁄} (6)

2 Nilai 𝑝 dan 𝑞 pada (5) dan (6) substitusi ke persamaan : 𝑑𝑧 = 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑦, diperoleh

𝑑𝑧 =^𝑎2𝑥

𝑧 𝑑𝑥 +^𝑎

𝑧(𝑧²− 𝑎²𝑥²)^{1 2⁄} 𝑑𝑦

⇒ 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑎²𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎(𝑧²− 𝑎²𝑥²)^{1 2⁄} 𝑑𝑦

⇒ ^{𝑧 𝑑𝑧−𝑎2𝑥 𝑑𝑥}

(𝑧²−𝑎²𝑥²)^{1 2⁄} = 𝑎 𝑑𝑦 (7)

Kemudian integralkan.

Misalkan 𝑤 = 𝑧²− 𝑎²𝑥², maka 𝑑𝑤 = 2𝑧 𝑑𝑧 − 2𝑎²𝑥 𝑑𝑥 ⇒ ¹₂𝑑𝑤 = 𝑧 𝑑𝑧 − 𝑎²𝑥 𝑑𝑥, maka

∫𝑧 𝑑𝑧 − 𝑎²𝑥 𝑑𝑥 (𝑧² − 𝑎²𝑥²)^{1 2⁄} = ¹

2∫ 𝑤^{−1 2⁄} 𝑑𝑤 = ¹

2. 2𝑤^{1 2⁄} = 𝑤^{1 2⁄} . Jadi integral dari (7) adalah

𝑤^{1 2⁄} = 𝑎𝑦 + 𝑏

⇒ (𝑧²− 𝑎²𝑥²)^{1 2⁄} = 𝑎𝑦 + 𝑏

⇒ 𝑧² = 𝑎²𝑥²+ (𝑎𝑦 + 𝑏)² (8)

dengan 𝑎, 𝑏 sembarang konstanta.

Ini merupakan integral lengkap.

Selanjutnya tentukan persamaan yang melalui kurva: 𝑥 = 0, 𝑧² = 4𝑦.

Persamaan parameternya adalah: 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑡², 𝑧 = 2𝑡.

Kemudian substitusi ke (8), diperoleh

4𝑡² = 𝑎². 0 + (𝑎𝑡²+ 𝑏)²

⇒ 4𝑡² = 𝑎²𝑡⁴ + 2𝑎𝑏𝑡²+ 𝑏²

⇒ 𝑎²𝑡⁴+ 2𝑎𝑏𝑡²− 4𝑡²+ 𝑏² = 0

⇒ 𝑎²𝑡⁴+ 2(𝑎𝑏 − 2)𝑡²+ 𝑏² = 0 (9) Persamaan ini mempunyai akar yang sama jika diskriminannya = 0, yaitu

4(𝑎𝑏 − 2)²− 4𝑎²𝑏² = 0

⇒ 4(𝑎²𝑏²− 4𝑎𝑏 + 4) − 4𝑎²𝑏² = 0

⇒ −16𝑎𝑏 + 16 = 0

⇒ 𝑎𝑏 = 1 ⇒ 𝑏 = 1 𝑎⁄

Kemudian substitusi ke (8): 𝑧² = 𝑎²𝑥² + (𝑎𝑦 + 𝑏)², diperoleh 𝑧² = 𝑎²𝑥²+ (𝑎𝑦 +¹_𝑎)²

⇒ 𝑧² = 𝑎²𝑥²+ 𝑎²𝑦²+ 2𝑦 +_𝑎2¹

⇒ 𝑎²𝑧² = 𝑎⁴𝑥²+ 𝑎⁴𝑦²+ 2𝑎²𝑦 + 1

⇒ 𝑎⁴(𝑥²+ 𝑦²) + 𝑎²(2𝑦 − 𝑧²) + 1 = 0

3 Persamaan ini dalam parameter 𝑎, maka permukaan yang dicari adalah

(2𝑦 − 𝑧²)²− 4(𝑥²+ 𝑦²) = 0 atau (2𝑦 − 𝑧²)² = 4(𝑥²+ 𝑦²).

2. Tentukan integral lengkap, integral singular, dan integral umum dari PDP (𝑝²+ 𝑞²)𝑦 = 𝑞𝑧

Solusi

Misalkan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞) = (𝑝²+ 𝑞²)𝑦 − 𝑞𝑧 = 0 (1) Persamaan anak Charpitnya adalah

𝑑𝑝

𝑓_𝑥+𝑝 𝑓_𝑧 = ^𝑑𝑞

𝑓_𝑦+𝑞 𝑓_𝑧= ^𝑑𝑧

−𝑝 𝑓_𝑝−𝑞 𝑓_𝑞= ^𝑑𝑥

−𝑓_𝑝 = ^𝑑𝑦

−𝑓_𝑞 (2)

Dari persamaan (1): 𝑓_𝑥 = 0, 𝑓_𝑦 = (𝑝²+ 𝑞²), 𝑓_𝑧 = −𝑞, 𝑓_𝑝 = 2𝑝𝑦, 𝑓_𝑞 = 2𝑞𝑦 − 𝑧 Kemudian substitusi ke (2), diperoleh

𝑑𝑝

0−𝑝𝑞= ^𝑑𝑞

𝑝²+𝑞²−𝑞²= ^𝑑𝑧

−2𝑝²𝑦−𝑞(2𝑞𝑦−𝑧)= ^𝑑𝑥

−2𝑝𝑦= ^𝑑𝑦

−2𝑞𝑦+𝑧

⇒ ^𝑑𝑝

−𝑝𝑞 =^𝑑𝑞

𝑝² = ^𝑑𝑧

−2𝑝²𝑦+𝑞𝑧−2𝑞²𝑦= ^𝑑𝑥

−2𝑝𝑦= ^𝑑𝑦

−2𝑞𝑦+𝑧 (3)

Ambil rasional 1 dan 2 dari (3):

𝑑𝑝

−𝑝𝑞 =𝑑𝑞 𝑝² ⇒ 𝑑𝑝

−𝑞 =𝑑𝑞

𝑝 ⇒ 𝑝 𝑑𝑝 + 𝑞 𝑑𝑞 = 0 Kemudian integralkan, diperoleh

1

2𝑝²+¹₂𝑞² =¹₂𝑎² ⇒ 𝑝²+ 𝑞² = 𝑎² (4)

Dari (1) dan (4): (𝑝²+ 𝑞²)𝑦 − 𝑞𝑧 = 0 ⇒ 𝑎²𝑦 − 𝑞𝑧 = 0

⇒ 𝑞 =𝑎²𝑦

⁄𝑧 (5)

Kemudian substitusi ke (4), diperoleh 𝑝²+ (^𝑎2𝑦

𝑧 )² = 𝑎² ⇒ 𝑝² = 𝑎²−^𝑎4𝑦2

𝑧²

⇒ 𝑝² =^𝑎2𝑧2_𝑧^−𝑎₂ ^4𝑦2= ^𝑎_𝑧2²(𝑧²− 𝑎²𝑦²)

⇒ 𝑝 =^𝑎_𝑧(𝑧²− 𝑎²𝑦²)^{1 2⁄} (6) Nilai 𝑝 dan 𝑞 pada (5) dan (6) substitusi ke persamaan : 𝑑𝑧 = 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑦, diperoleh

𝑑𝑧 =^𝑎

𝑧(𝑧²− 𝑎²𝑦²)^{1 2⁄} 𝑑𝑥 +^𝑎2𝑦

𝑧 𝑑𝑦

⇒ 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑎(𝑧²− 𝑎²𝑦²)^{1 2⁄} 𝑑𝑥 + 𝑎²𝑦 𝑑𝑦

⇒ ^{𝑧 𝑑𝑧−𝑎2𝑦 𝑑𝑦}

(𝑧²−𝑎²𝑦²)^{1 2⁄} = 𝑎 𝑑𝑥 (7)

Kemudian integralkan.

4 Misalkan 𝑤 = 𝑧²− 𝑎²𝑦², maka 𝑑𝑤 = 2𝑧 𝑑𝑧 − 2𝑎²𝑦 𝑑𝑦 ⇒¹₂𝑑𝑤 = 𝑧 𝑑𝑧 − 𝑎²𝑦 𝑑𝑦, maka

∫ 𝑧 𝑑𝑧 − 𝑎²𝑦 𝑑𝑦

(𝑧²− 𝑎²𝑦²)^{1 2⁄} = ¹₂∫ 𝑤^{−1 2⁄} 𝑑𝑤 = ¹₂. 2𝑤^{1 2⁄} = 𝑤^{1 2⁄} . Jadi integral dari (7) adalah

𝑤^{1 2⁄} = 𝑎𝑥 + 𝑏

⇒ (𝑧²− 𝑎²𝑦²)^{1 2⁄} = 𝑎𝑥 + 𝑏

⇒ 𝑧²− 𝑎²𝑦² = (𝑎𝑥 + 𝑏)² (8)

dengan 𝑎, 𝑏 sembarang konstanta.

Ini merupakan integral lengkap dari (1).

Integral singular:

Turunkan (8) tehadap 𝑎 dan 𝑏, diperoleh

−2𝑎𝑦² = 2𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏)

⇒ −𝑎𝑦² = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) (9)

dan 0 = 2(𝑎𝑥 + 𝑏)

⇒ (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0. (10)

Persamaan (9) dan (10) substitusi ke (8), diperoleh 𝑧²+ 𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑎𝑥 + 𝑏)²

⇒ 𝑧²+ 𝑎. 0 = 0 ⇒ 𝑧 = 0.

Ini memenuhi persamaan (1) dan karenanya merupakan integral singular.

Integral umum :

Ganti 𝑏 oleh 𝜙(𝑎) pada persamaan (8), maka

𝑧²− 𝑎²𝑦²= (𝑎𝑥 + 𝜙(𝑎))² (11) Turunkan (11) terhadap 𝑎, diperoleh

−2𝑎𝑦² = 2(𝑎𝑥 + 𝜙(𝑎)). (𝑥 + 𝜙^′(𝑎)) (12) Integral umum diperoleh dengan mengeliminasi 𝑎 dari (11) dan (12).

3. Tentukan integral lengkap dan integral singular dari PDP berikut 2𝑥𝑧 − 𝑝𝑥²− 2𝑞𝑥𝑦 + 𝑝𝑞 = 0 Solusi

Diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞) = 2𝑥𝑧 − 𝑝𝑥²− 2𝑞𝑥𝑦 + 𝑝𝑞 = 0 (1) Persamaan anak Charpitnya adalah

5

𝑑𝑝

𝑓_𝑥+𝑝 𝑓_𝑧 = ^𝑑𝑞

𝑓_𝑦+𝑞 𝑓_𝑧= ^𝑑𝑧

−𝑝 𝑓_𝑝−𝑞 𝑓_𝑞= ^𝑑𝑥

−𝑓_𝑝 = ^𝑑𝑦

−𝑓_𝑞 (2)

Dari persamaan (1):

𝑓_𝑥 = 2𝑧 − 2𝑝𝑥 − 2𝑞𝑦, 𝑓_𝑦 = −2𝑞𝑥, 𝑓_𝑧 = 2𝑥, 𝑓_𝑝 = −𝑥²+ 𝑞, 𝑓_𝑞 = −2𝑥𝑦 + 𝑝 Kemudian substitusi ke (2), diperoleh

𝑑𝑝

(2𝑧−2𝑝𝑥−2𝑞𝑦)+2𝑝𝑥= ^𝑑𝑞

−2𝑞𝑥+2𝑞𝑥= ^𝑑𝑧

−𝑝(−𝑥²+𝑞)−𝑞(−2𝑥𝑦+𝑝)= ^𝑑𝑥

𝑥²−𝑞 = ^𝑑𝑦

2𝑥𝑦−𝑝

⇒ ^𝑑𝑝

2𝑧−2𝑞𝑦=^𝑑𝑞

0 = ^𝑑𝑧

𝑝𝑥²−2𝑝𝑞+2𝑞𝑥𝑦= ^𝑑𝑥

𝑥²−𝑞= ^𝑑𝑦

2𝑥𝑦−𝑝 (3)

Pilih rasional 2 dari (3):

𝑑𝑞 = 0 ⇒ 𝑞 = 𝑎 (4)

Kemudian substitusi ke (1), diperoleh

2𝑥𝑧 − 𝑝𝑥²− 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑝𝑎 = 0

⇒ 2𝑥𝑧 − 2𝑎𝑥𝑦 = 𝑝𝑥²− 𝑝𝑎

⇒ 𝑝(𝑥²− 𝑎) = 2𝑥(𝑧 − 𝑎𝑦)

⇒ 𝑝 =^{2𝑥(𝑧−𝑎𝑦)}

𝑥²−𝑎 (5)

Nilai 𝑝 dan 𝑞 pada (4) dan (5) substitusi ke 𝑑𝑧 = 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑦, maka 𝑑𝑧 =^{2𝑥(𝑧−𝑎𝑦)}

𝑥²−𝑎 𝑑𝑥 + 𝑎 𝑑𝑦

⇒ 𝑑𝑧 − 𝑎 𝑑𝑦 =^{2𝑥(𝑧−𝑎𝑦)}

𝑥²−𝑎 𝑑𝑥

⇒^{𝑑𝑧−𝑎 𝑑𝑦}

𝑧−𝑎𝑦 = ^2𝑥

𝑥²−𝑎 𝑑𝑥 Kemudian integralkan, diperoleh

ln(𝑧 − 𝑎𝑦) = ln(𝑥²− 𝑎) + ln 𝑏

⇒ (𝑧 − 𝑎𝑦) = 𝑏(𝑥²− 𝑎)

⇒ 𝑧 = 𝑎𝑦 + 𝑏(𝑥²− 𝑎) (6)

Ini merupakan integral lengkap, dengan 𝑎, 𝑏 sembarang konstanta.

Integral singular:

Selanjutnya turunkan (6) terhadap 𝑎 dan 𝑏, diperoleh 0 = 𝑦 − 𝑏 dan 0 = 𝑥²− 𝑎

maka 𝑎 = 𝑥² dan 𝑏 = 𝑦

kemudian substitusi ke (6), diperoleh

𝑧 = 𝑥²𝑦 + 𝑦(𝑥²− 𝑥²) ⇒ 𝑧 = 𝑥²𝑦 yang merupakan integral singular.

6 4. Tentukan integral lengkap dari 𝑝𝑥𝑦 + 𝑝𝑞 + 𝑞𝑦 = 𝑦𝑧

Solusi

Diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞) = 𝑝𝑥𝑦 + 𝑝𝑞 + 𝑞𝑦 − 𝑦𝑧 = 0 (1) Persamaan anak Charpitnya adalah

𝑑𝑝

𝑓_𝑥+𝑝 𝑓_𝑧 = ^𝑑𝑞

𝑓_𝑦+𝑞 𝑓_𝑧= ^𝑑𝑧

−𝑝 𝑓_𝑝−𝑞 𝑓_𝑞= ^𝑑𝑥

−𝑓_𝑝 = ^𝑑𝑦

−𝑓_𝑞 (2)

Dari persamaan (1):

𝑓_𝑥 = 𝑝𝑦, 𝑓_𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞 − 𝑧, 𝑓_𝑧 = −𝑦, 𝑓_𝑝 = 𝑥𝑦 + 𝑞, 𝑓_𝑞 = 𝑝 + 𝑦 Kemudian substitusi ke (2), diperoleh

𝑑𝑝

𝑝𝑦−𝑝𝑦= ^𝑑𝑞

(𝑝𝑥+𝑞−𝑧)−𝑞𝑦= ^𝑑𝑧

−𝑝(𝑥𝑦+𝑞)−𝑞(𝑝+𝑦)= ^𝑑𝑥

−(𝑥𝑦+𝑞)= ^𝑑𝑦

−(𝑝+𝑦)

⇒^𝑑𝑝

0 = ^𝑑𝑞

𝑝𝑥+𝑞−𝑧−𝑞𝑦= ^𝑑𝑧

−𝑝(𝑥𝑦+𝑞)−𝑞(𝑝+𝑦)= ^𝑑𝑥

−(𝑥𝑦+𝑞)= ^𝑑𝑦

−(𝑝+𝑦) (3)

Pilih rasional 1 dari (3): 𝑑𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 𝑎 (4)

Kemudian substitusi ke (1), diperoleh

𝑎𝑥𝑦 + 𝑎𝑞 + 𝑞𝑦 − 𝑦𝑧 = 0

⇒ (𝑎 + 𝑦)𝑞 = 𝑦(𝑧 − 𝑎𝑥)

⇒ 𝑞 =^{𝑦(𝑧−𝑎𝑥)}

𝑎+𝑦 (5)

Nilai 𝑝 dan 𝑞 pada (4) dan (5) substitusi ke 𝑑𝑧 = 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑦, diperoleh 𝑑𝑧 = 𝑎 𝑑𝑥 +^{𝑦(𝑧−𝑎𝑥)}

𝑎+𝑦 𝑑𝑦

⇒ 𝑑𝑧 − 𝑎 𝑑𝑥 =^{𝑦(𝑧−𝑎𝑥)}

𝑎+𝑦 𝑑𝑦

⇒^{𝑑𝑧−𝑎 𝑑𝑥}

𝑧−𝑎𝑥 = ^𝑦

𝑎+𝑦 𝑑𝑦 = ^{𝑎+𝑦−𝑎}

𝑎+𝑦 𝑑𝑦 = (1 − ^𝑎

𝑎+𝑦) 𝑑𝑦 Kemudian integralkan, diperoleh

ln(𝑧 − 𝑎𝑥) = 𝑦 − 𝑎 ln(𝑎 + 𝑦) + ln 𝑏

⇒ ln(𝑧 − 𝑎𝑥) + ln(𝑎 + 𝑦)^𝑎− ln 𝑏 = 𝑦

⇒ ln(𝑧−𝑎𝑥)(𝑎+𝑦)^𝑎

𝑏 = 𝑦

⇒ (𝑧 − 𝑎𝑥)(𝑎 + 𝑦)^𝑎 = 𝑏𝑒^𝑦 dengan 𝑎, 𝑏 sembarang konstanta.

5. Tentukan integral lengkap, integral umum, dan integral singular dari persamaan 2(𝑧 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦) − 𝑦𝑝² = 0.

Solusi

7 Misalkan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞) = 2(𝑧 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦) − 𝑦𝑝² = 0 (1) Persamaan anak Charpitnya adalah

𝑑𝑝

𝑓_𝑥+𝑝 𝑓_𝑧 = ^𝑑𝑞

𝑓_𝑦+𝑞 𝑓_𝑧= ^𝑑𝑧

−𝑝 𝑓_𝑝−𝑞 𝑓_𝑞= ^𝑑𝑥

−𝑓_𝑝 = ^𝑑𝑦

−𝑓_𝑞 (2)

Dari persamaan (1):

𝑓_𝑥 = 2𝑝, 𝑓_𝑦 = 2𝑞 − 𝑝², 𝑓_𝑧 = 2, 𝑓_𝑝 = 2𝑥 − 2𝑝𝑦, 𝑓_𝑞 = 2𝑦 Kemudian substitusi ke (2), diperoleh

𝑑𝑝

2𝑝+2𝑝= ^𝑑𝑞

(2𝑞−𝑝²)+2𝑞= ^𝑑𝑧

−𝑝(2𝑥−2𝑝𝑦)−2𝑞𝑦= ^𝑑𝑥

−(2𝑥−2𝑝𝑦)= ^𝑑𝑦

−2𝑦

⇒^𝑑𝑝

4𝑝= ^𝑑𝑞

4𝑞−𝑝² = ^𝑑𝑧

−𝑝(2𝑥−2𝑝𝑦)−2𝑞𝑦= ^𝑑𝑥

−(2𝑥−2𝑝𝑦)= ^𝑑𝑦

−2𝑦 (3)

Pilih rasional pertama dan terakhir dari (3):

𝑑𝑝 4𝑝= ^𝑑𝑦

−2𝑦⇒^𝑑𝑝

2𝑝+^𝑑𝑦

𝑦 = 0 Kemudian integralkan, diperoleh

1

2ln 𝑝 + ln 𝑦 = ¹₂ln 𝑎

⇒ ln 𝑝 + 2 ln 𝑦 = ln 𝑎

⇒ 𝑝𝑦² = 𝑎

⇒ 𝑝 = ^𝑎

𝑦² (4)

Kemudian substitusi ke (1), diperoleh 2 (𝑧 + ^𝑎

𝑦²𝑥 + 𝑞𝑦) − 𝑦 (^𝑎

𝑦²)² = 0

⇒ 𝑧 + ^𝑎

𝑦²𝑥 + 𝑞𝑦 − ^𝑎2

2𝑦³= 0

⇒ 𝑞𝑦 = −𝑧 −^𝑎𝑥

𝑦²+ ^𝑎2

2𝑦³

⇒ 𝑞 = −^𝑧

𝑦−^𝑎𝑥

𝑦³+ ^𝑎2

2𝑦⁴ (5)

Nilai 𝑝 dan 𝑞 dari (4) dan (5) substitusi ke 𝑑𝑧 = 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑦, diperoleh 𝑑𝑧 = (^𝑎

𝑦²) 𝑑𝑥 + (−^𝑧

𝑦−^𝑎𝑥

𝑦³+ ^𝑎2

2𝑦⁴) 𝑑𝑦 Kalikan dengan 𝑦, maka

𝑦 𝑑𝑧 =^𝑎

𝑦 𝑑𝑥 − 𝑧 𝑑𝑦 −^𝑎𝑥

𝑦² 𝑑𝑦 + ^𝑎2

2𝑦³ 𝑑𝑦

⇒ 𝑦 𝑑𝑧 + 𝑧 𝑑𝑦 =^𝑎𝑦_𝑦2 𝑑𝑥 −^𝑎𝑥_𝑦2 𝑑𝑦 +_2𝑦^𝑎2₃ 𝑑𝑦

⇒ (𝑦 𝑑𝑧 + 𝑧 𝑑𝑦) −𝑎(𝑦 𝑑𝑥−𝑥 𝑑𝑦) 𝑦² − ^𝑎2

2𝑦³ 𝑑𝑦 = 0

⇒ 𝑑(𝑦𝑧) − 𝑎 𝑑 (^𝑥

𝑦) − ^𝑎2

2𝑦³ 𝑑𝑦 = 0 (6)

8 Kemudian integralkan, diperoleh

𝑦𝑧 − 𝑎^𝑥

𝑦−^𝑎2

2 (−¹

2𝑦⁻²) = 𝑏

⇒ 𝑦𝑧 −^𝑎𝑥

𝑦 + ^𝑎2

4𝑦² = 𝑏 (7)

Ini merupakan integral lengkap dengan 𝑎 dan 𝑏 sembarang konstanta.

Integral umum:

Untuk mendapatkan integral umum, ganti 𝑏 oleh 𝜙(𝑎) pada (7), diperoleh 𝑦𝑧 −^𝑎𝑥

𝑦 + ^𝑎2

4𝑦² = 𝜙(𝑎) (8)

Kemudian turunkan terhadap 𝑎, diperoleh

−^𝑥

𝑦+ ^2𝑎

4𝑦²= 𝜙^′(𝑎)

⇒ −^𝑥

𝑦+ ^𝑎

2𝑦²= 𝜙^′(𝑎) (9)

Maka integral umum dipeoleh dengan mengeliminasi 𝑎 dari (8) dan (9).

Integral ingular:

Selanjutnya, untuk mendapatkan integral singular, turunkan (7) terhadap 𝑎 dan 𝑏, diperoleh

−^𝑥

𝑦+ ^2𝑎

4𝑦²= 0 ⇒ −^𝑥

𝑦+ ^𝑎

2𝑦²= 0 (10)

dan (terhadap 𝑏), diperoleh

0 = 1 (11)

Persamaan (11) adalah suatu kontradiksi, oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa persamaan (1) tidak mempunyai solusi singular.

Berikut ini beberapa contoh, silahkan dicoba.

6. Tunjukkan bahwa integral lengkap dari persamaan 𝑧² = 𝑝𝑞𝑥𝑦 adalah 𝑧 = 𝑥^𝑎𝑦^{1 𝑎⁄} 𝑏.

7. Gunakan metode Charpit untuk mendapatkan tiga integral lengkap dari persamaan 𝑝𝑞 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦.

[Hint: tiga integral lengkap tersebut diperoleh dari pemilihan rasional pada persamaan anak Charpit].

8. Tentukan integral lengkap dari persamaan 𝑥𝑝 + 3𝑦𝑞 = 2(𝑧 − 𝑥²𝑞²).

[Hasilnya: (𝑧 − 𝑎²) 𝑥⁄ ² = (𝑎𝑦) 𝑥⁄ ³+ 𝑏 atau 𝑧 = 𝑎(𝑎 + 𝑦 𝑥⁄ ) + 𝑏𝑥²].

9 Soal Latihan

1. Tentukan solusi dari persamaan 𝑧 =¹₂(𝑝²+ 𝑞²) + (𝑝 − 𝑥)(𝑞 − 𝑦).

[Solusi: 𝑧 =¹₂((𝑥 + 𝑎)²+ (𝑦 + 𝑏)²) + 𝑎𝑏].

2. Tentukan integral lengkap dari 𝑧 = 𝑝𝑞.

[Solusi: 𝑧 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)].

3. Tentukan integral lengkap dari (𝑝 + 𝑞)(𝑝𝑥 + 𝑞𝑦) = 1.

[Solusi: 𝑧(1 + 𝑎)^{1 2⁄} = 2(𝑎𝑥 + 𝑦)^{1 2⁄} + 𝑏].

4. Tentukan integral lengkap dari (𝑝 + 𝑦)²+ (𝑞 + 𝑥)² = 1.

[Solusi: 𝑧 = 𝑎𝑥 − (1 − 𝑎²)^{1 2⁄} 𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑏].

5. Tentukan integral lengkap dari 𝑧 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑝𝑞.

[Solusi: 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑎𝑏].