METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL DAN INTEGRO-DIFERENSIAL
VOLTERRA LINEAR DAN NONLINEAR Nasrin 1∗, Zulkarnain2
1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293, Indonesia
∗nasrin ur11@yahoo.com
ABSTRACT
This article discusses the application of variational iteration method for solving linear and nonlinear Volterra integral and integro-differential equations. The application process begins by converting the equation to be solved to an equivalent of integro-differential equations, followed by forming a correction functions of variational iteration method for the integro-differential equation. Then the iteration is performed to obtain the solution of the linear and nonlinear Volterra integral and integro-differential equation. The theoretical study is applied to some examples of the linear and nonlinear Volterra integral and integro-differential equation and the results obtained demonstrate the effectiveness of the discussed method.
Keywords: Variational iteration method, Volterra integral equations, Volterra integro-differential equations.
ABSTRAK
Artikel ini mendiskusikan penerapan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan integral dan integro-diferensial Volterra linear dan nonlinear. Proses penerapan dimulai dengan mengkonversi persamaan yang akan diselesaikan ke persamaan integro-diferensial yang ekivalen, kemudian dilanjutkan dengan mem-bentuk fungsi koreksi metode iterasi variasional untuk persamaan integro-diferensial tersebut. Dari fungsi iterasi ini dilakukan iterasi untuk mendapatkan penyelesa-ian persamaan integral dan integro-diferensial Volterra linear dan nonlinear. Ka-jian teoritis ini diterapkan untuk beberapa contoh persamaan integral dan integro-diferensial Volterra linear dan nonlinear dan hasil yang diperoleh menunjukkan keefektifan metode yang didiskusikan.
Kata kunci: Metode iterasi variasional, persamaan integral Volterra, persamaan integro-diferensial Volterra.
1. PENDAHULUAN
Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan terpenting di dunia dan juga banyak diterapkan dalam berbagai bidang ilmu. Banyak diantara permasalahan yang muncul dapat diselesaikan secara matematis. Salah satu permasalahan yang muncul adalah berbentuk persamaan integral. Secara umum, terdapat dua jenis persamaan integral yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Fredholm.
Tidak semua permasalahan yang dimodelkan ke bentuk persamaan integral dapat diselesaikan dengan mudah, bahkan terdapat suatu persamaan integral yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, terlebih lagi untuk persamaan integral non-linear yang rumit. Oleh kerena itu, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik sangat sulit diselesaikan. Perbedaan antara metode analitik dengan metode numerik adalah solusi yang dihasilkan. Bila metode analitik menghasilkan solusi berupa solusi eksak, sedangkan metode numerik menghasilkan solusi berupa solusi hampiran atau solusi pendekatan terhadap solusi sejati. sehingga, solusi numerik dinamakan solusi hampiran (approximation solution).
Terdapat beberapa metode secara numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral, diantaranya metode adomian dan metode iterasi variasional. Wazwaz [4] telah menjelaskan metode Adomian dan metode iterasi variasional serta membandingkan hasil dari metode yang digunakan. Metode iterasi variasional adalah metode yang dapat diaplikasikan ke berbagai permasalahan sains dan telah dijelaskan pada [2]. Dalam metode iterasi variasional memberikan solusi yang kovergen secara cepat dan tepat, juga mungkin memberikan solusi eksak jika solusi eksaknya ada.
Artikel ini merupakan kajian ulang dari artikel yang ditulis oleh Wazwaz [5]. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan metode iterasi variasional. Selanjutnya di bagian tiga dan empat dibahas tentang penerapan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan integral dan integro diferensial Volterra beserta beberapa contoh.
2. METODE ITERASI VARIASIONAL
Metode iterasi variasional yang ditemukan oleh Ji-Huan He, digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan linear dan nonlinear, homogen dan nonhomogen [3, h. 82]. Metode ini memberikan aproksimasi yang konvergen ke solusi eksak.
Perhatikan persamaan diferensial berikut
L(u(t)) +N(u(t)) =g(t), (1) dimanaLdanN adalah operator linear dan nonlinear, dang(t) fungsi analitik yang diketahui.
Bentuk umum fungsi koreksi dari persamaan (1), sebagai berikut un+1(x) =un(x) +
∫ x
0
dimana λ(t) adalah Lagrange multiplier, ˜un(t) adalah variasi terbatas [1] yang
berarti akan diperlakukan sebagai konstanta, sehingga δu˜n(t) = 0, dimana δ adalah
turunan variasional.
Berikut bentuk umum dari persamaan diferensial biasa dengan Lagrange mul-tiplier, dan fungsi koreksinya adalah
u(n)+f(u(t), u′(t), u′′(t),· · · , u(n)(x)) = 0, λ= (−1)n 1 (n−1)!(t−x) (n−1), un+1 =un+ (−1)n ∫x 0 1 (n−1)!(t−x) (n−1)[u′′′ n +f(un,· · · , u (n) n )]dt, (3) untuk n ≥1.
3. Penerapan Metode Iterasi Variasional untuk Menyelesaikan Persamaan Integral Volterra
Penyelesaian Persamaan Integral Volterra Linear
Bentuk standar persamaan integral Volterra linear jenis kedua diberikan sebagai berikut
u(x) =f(x) +λ ∫ x
a
K(x, t)u(t)dt. (4) Untuk mengaplikasikan metode iterasi variasional (2), konversi persamaan integral Volterra (4) menjadi persamaan integro-diferensial Volterra yang ekivalen, yaitu dengan menurunkan kedua ruas persamaan (4) terhadap x, diperoleh
u′(x) =f′(x) +K(x, x)u(x) + ∫ x
0
∂(K(x, t))
∂x u(t)dt. (5) Fungsi koreksi untuk persamaan integro-diferensial Volterra (5) adalah sebagai berikut un+1(x) =un(x) + ∫ x 0 λ(t) ( u′n(t)−f′(t)−K(t, t)un(t)− ∫ t 0 ∂(K(t, r)) ∂t dr ) dt, (6) dimana Lagrange multiplier λ(t) tergantung pada orde persamaan, yang dapat ditentukan dari persamaan (3).
Bentuk standar persamaan integral Volterra linear jenis pertama diberikan sebagai berikut
f(x) = ∫ x
0
K(x, t)u(t)dt. (7) Untuk mengaplikasikan metode iterasi variasional (2), konversi persamaan integral Volterra (7) menjadi persamaan integral Volterra jenis kedua yang ekivalen, yaitu
dengan menurunkan kedua ruas persamaan (7) terhadap x diperoleh u′(x) =f ′′(x)K(x, x)−f(x)K′(x, x) (K(x, x))2 − K′(x, x) (K(x, x))2 ∫ x 0 ∂(K(x, t)) ∂x u(t)dt − 1 K(x, x) ∂ ∂x ∫ x 0 ∂(K(x, t)) ∂x u(t)dt. (8)
Fungsi koreksi untuk persamaan integro-diferensial Volterra (8) adalah un+1(x) = un(x)+ ∫ x 0 λ(t) ( u′n(t)− f ′′(t)K(t, t)−f(t)K′(t, t) (K(t, t))2 + K′(x, x) (K(x, x))2 ∫ t 0 ∂(K(t, r)) ∂t u(r)dr− 1 K(t, t) ∂ ∂t ∫ t 0 ∂(K(t, r)) ∂t u(r)dr ) dt, (9) dimana Lagrange multiplier λ(t) tergantung pada orde persamaan, yang dapat ditentukan dari persamaan (3).
Penyelesaian Persamaan Integral Volterra Nonlinear
Bentuk standar persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua diberikan sebagai berikut
u(x) =f(x) + ∫ x
0
K(x, t)F(u(t))dt. (10) Dari pembahasan sebelumnya untuk mengaplikasikan metode iterasi variasional (2), persamaan integral Volterra (10) dikonversi menjadi persamaan integro-diferensial Volterra yang ekivalen, yaitu dengan menurunkan kedua ruas pada persamaan (10) terhadap x, diperoleh u′(x) =f′(x) +K(x, x)F(u(x)) + ∫ x 0 ∂(K(x, t)) ∂x F(u(t))dt. (11) Metode iterasi variasional memberikan fungsi koreksi untuk persamaan integro-diferensial Volterra (11) sebagai berikut
un+1(x) =un(x) + ∫ x 0 λ(t) ( u′(t)−f′(t)−K(t, t)F(un(t))− ∫ t 0 ∂(K(t, r)) ∂t dr ) dt, (12) dimana Lagrange multiplier λ(t) tergantung pada orde persamaan, yang dapat diperoleh dari persamaan (3).
4. Penerapan Metode Iterasi Variasional untuk Menyelesaikan Persamaan Integro-Diferensial Volterra
Penyelesaian Persamaan Integro-Diferensial Volterra Linear
Bentuk standar dari persamaan integro-diferensial Volterra jenis kedua yang diberikan sebagai berikut
u(k)(x) =f(x) + ∫ x
a
K(x, t)u(t)dt. (13) Fungsi koreksi untuk persamaan integro-diferensial Volterra (13) sebagai berikut
un+1(x) =un(x) + ∫ x 0 λ(t) ( u(nk)(t)−f(t)− ∫ t 0 K(t, r)un(t)dr ) dt, (14) dimana Lagrange multiplier λ(t) tergantung pada orde persamaan, dan dapat ditentukan dari persamaan (3).
Bentuk standar persamaan integro-diferensial Volterra linear jenis pertama diberikan sebagai berikut [3, h. 203]
f(x) = ∫ x
0
K(x, t)u(k)(t)dt, K(x, t)̸= 0. (15) Untuk mengaplikasikan metode iterasi variasional (2) pada persamaan integro-diferensial Volterra linear jenis pertama (15), konversi persamaan integro-integro-diferensial Volterra (15) menjadi persamaan integro-diferensial Volterra jenis kedua yang ekivalen, yaitu dengan menurunkan kedua ruas persamaan (15) terhadapxdiperoleh
u(k)(x) = f ′(x) K(x, x)− 1 K(x, x) ∫ x 0 ∂(K(x, t)) dx u (k)(t)dt, K(x, x)̸= 0. (16) metode iterasi variasional memberikan fungsi koreksi untuk persamaan integro-diferensial Volterra (16) sebagai berikut
un+1(x) =un(x) + ∫ x 0 λ(t) ( u(k)(t)− f ′(t) K(t, t) + 1 K(t, t) ∫ t 0 ∂(K(t, r)) dt u (k)(r)dr ) dt, (17) dimana Lagrange multiplier λ(t) tergantung pada orde persamaan, dan dapat diperoleh dari persamaan (3).
Penyelesaian Persamaan Integro-Diferensial Volterra Nonlinear
Bentuk umum persamaan integro-diferensial Volterra nonlinear jenis kedua yang diberikan sebagai berikut
u(k)(x) = f(x) + ∫ x
0
Fungsi koreksi dari persamaan integro-diferensial Volterra nonlinear (18) sebagai berikut un+1(x) =un(x) + ∫ x 0 λ(t) ( u(nk)(t)−f(t)− ∫ t 0 K(t, r)F(un(r))dr ) dt, (19) dimana Lagrange multiplier λ(t) tergantung pada orde persamaan, yang dapat ditentukan dari persamaan (3).
Contoh 1 Temukan solusi u(x) dari persamaan integral Volterra linear jenis kedua dengan menggunakan metode iterasi variasional [5]
u(x) = 1 +x+ 1 3!x 3− ∫ x 0 (x−t)u(t)dt. (20) Untuk menentukan solusi untuk persamaan (20), maka persamaan (20) harus diturunkan terhadap x, sehingga diperoleh persamaan integro-diferensial sebagai berikut u′(x) = 1 + 1 2!x 2− ∫ x 0 u(t)dt, u(0) = 1. (21) Kemudian x = 0 disubstitusikan ke persamaan (20), sehingga diperoleh nilai awal u(0) = 1. Dari persamaan (6) dapat ditentukan fungsi koreksi untuk persamaan (21) yaitu un+1(x) =un(x)− ∫ x 0 ( u′n(t)−1−1 2t 2+ ∫ t 0 un(r)dr ) dt, (22)
dimana λ(t) = −1, karena merupakan persamaan integro-diferensial orde pertama (21). Untuk suku pertamau0(x) diperoleh dari nilai awalu(0) = 1, sehingga dengan menggunakan persamaan (22) diperoleh
u0(x) =1, u1(x) =1 +x− 1 2!x 2+ 1 3!x 3, u2(x) =1 +x− 1 2!x 2+ 1 4!x 4 − 1 5!x 5, u3(x) =1 +x− 1 2!x 2+ 1 4!x 4 − 1 5!x 5+ 1 5!x 5− 1 6!t 6+ 1 7!t 7, .. . =...
sehingga dapat ditulis suku ke−n sebagai berikut un(x) =x+ ( 1− 1 2!x 2 + 1 4!x 4− 1 6!x 6 +· · ·+(−1) n (2n)!x 2n ) .
Solusi eksak untuk persamaan (20) dengan menggunakan metode iterasi varia-sional adalah
u(x) = lim
n→∞un(x)
u(x) =x+ cos(x).
Contoh 2 Temukan solusi u(x) dari persamaan integral Volterra linear jenis per-tama berikut dengan menggunakan metode iterasi variasional [3, h. 116]
9x2+ 5x3 = ∫ x
0
(10x−10t+ 6)u(t)dt. (23) Untuk menentukan solusi untuk persamaan (23), maka persamaan (23) harus diturunkan terhadap x, sehingga diperoleh persamaan integral Volterra jenis kedua sebagai berikut u(x) =3x+ 5 2x 2− 5 3 ∫ x 0 u(t)dt. (24)
Untuk menentukan fungsi koreksi, kedua ruas pada persamaan (24) diturunkan terhadap x, maka diperoleh integro-diferensial Volterra sebagai berikut
u′(x) =3 + 5x− 5
3u(x), u(0) = 0. (25) Dengan mensubstitusikan x = 0 ke persamaan (24), diperoleh u(0) = 0. Dari persamaan (9) diperoleh fungsi koreksi untuk persamaan (25) yaitu
un+1(x) =un(x)− ∫ x 0 ( u′n(t)−3−5t+5 3un(t) ) dt, (26)
dimana λ(t) =−1, karena merupakan persamaan integro-diferensial orde pertama. Untuk suku pertama u0(x) diperoleh dari nilai awalu(0) = 0, dengan menggunakan persamaan (26) dapat diperoleh
u0(x) =0, u1(x) =3x+5 2x 2 , u2(x) =3x− 25 18x 3 , u3(x) =3x+ 125 216x 4, .. . =...
sehingga dapat ditulis suku ke−n sebagai berikut un(x) = ( 3x+a bx n+1− · · · ) ,
jika n→ ∞ maka a
b = 0, sehingga a bx
n+1 = 0.
Solusi eksak untuk persamaan (23) dengan menggunakan metode iterasi varia-sional adalah
u(x) = lim
n→∞un(x)
u(x) =3x.
Contoh 3 Temukan solusi u(x) persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua berikut dengan menggunakan metode iterasi variasional [3, h. 308]
u(x) = 4x− 16 3 x 3− 4 3x 4+ ∫ x 0 (x−t−1)u2(t)dt. (27) Untuk menentukan solusi untuk persamaan (27), maka persamaan (27) ditu-runkan terhadap x, diperoleh
u′(x) = 4−16x2−16 3 x 3+u2(t) + ∫ x 0 u2(t)dt, u(0) = 0. (28) Substitusikan x = 0 ke persamaan (27), sehingga diperoleh u(0) = 0. Dari persamaan (12) didapatkan fungsi koreksi dari persamaan (28) yaitu
un+1(x) = un(x)− ∫ x 0 ( u′n(t)−4 + 16t2+ 16 3 t 3 −u2 n(t)− ∫ t 0 u2(r)dr ) dt, (29) dimana λ(t) =−1, karena merupakan persamaan integro-diferensial orde pertama. Untuk suku pertama u0(x) diperoleh dari nilai awal u(0) = 0, dari persamaan (26) sehingga diperoleh u0(x) =0, u1(x) =4x− 16 3 x 3− 4 3x 4, u2(x) =4x+ ( − 16 3 x 3 + 16 3 x 3 ) + ( − 4 3x 4 + 4 3x 4 ) −128 15x 5 −16 5 x 6 +· · · , u3(x) =4x+ ( − 128 15 x 5 +128 15x 5 ) + ( −16 5 x 6 +16 5x 6 ) +1424 105 x 7 +· · · ,
dari nilai u2(x) terlihat bahwa− 16
3 x
3 saling mengeliminasi dengan 16 3 x
3 dan−4 3x
4 saling mengeliminasi dengan −4
3x 4, dan pada u 3(x) terlihat bahwa − 128 15 x 5 saling mengeliminasi dengan 128 15 x 5 dan −16 5 x
6 saling mengeliminasi dengan 16 5 x
6 dan seterusnya. Berdasarkan teori Noise Term[3, h. 78] , maka
u(x) = lim
n→∞un(x)
Contoh 4 Temukan solusi u(x) dari persamaan integro-diferensial Volterra linear jenis kedua berikut dengan menggunakan metode iterasi variasional [3, h. 182]
u′(x) = 1 + ∫ x
0
u(t)dt, u(0) = 1. (30) Untuk menentukan solusi persamaan (30), yaitu dengan menentukan fungsi ko-reksi terlebih dahulu. Dari persamaan (14) dapat ditentukan fungsi koko-reksi dari persamaan (30) yaitu un+1(x) =un(x)− ∫ x 0 ( u′n(t)−1− ∫ t 0 un(r)dr ) dt, (31)
dimanaλ(t) =−1, karena merupakan persamaan integro-diferrensial orde pertama. Untuk suku pertama u0(x) diperoleh dari nilai awalu(0) = 1, dengan menggunakan persamaan (31) diperoleh u0(x) =1, u1(x) =1 +x+ 1 2!x 2, u2(x) =1 +x+ 1 2!x 2 + 1 3!x 3 + 1 4!x 4 , u3(x) =1 +x+ 1 2!x 2 + 1 3!x 3 + 1 4!x 4 + 1 5!x 5 + 1 6!x 6 ,
sehingga dapat ditulis suku ke−n sebagai berikut un(x) = ( 1 +x+ 1 2!x 2+ 1 3!x 3+ 1 4!x 4+ 1 5!x 5+ 1 6!x 6+· · ·+ 1 n!x n ) .
Solusi eksak untuk persamaan (30) dengan menggunakan metode iterasi varia-sional adalah
u(x) = lim
n→∞un(x)
u(x) =ex.
Contoh 5 Temukan solusi u(x) dari persamaan integro-diferensial Volterra linear jenis pertama berikut dengan menggunakan metode iterasi variasion [3, h. 207]
∫ x
0
(x−t+ 1)u′(t)dt=ex+1 2x
2−1, u(0) = 1. (32) Untuk menentukan solusi untuk persamaan (32), maka kedua ruas dari per-samaan (32) diturunkan terhadapx, sehingga diperoleh persamaan integro-diferensial jenis kedua sebagai berikut
u′(x) = ex+x− ∫ x
0
Dari persamaan (17) dapat diperoleh fungsi koreksi dari persamaan (33) yaitu un+1(x) = un(x)− ∫ x 0 ( u′n(t)−et−t+ ∫ t 0 u′n(r)dr ) dt, (34)
dimanaλ(t) =−1, karena merupakan persamaan integro-diferrensial orde pertama. Untuk suku pertama u0(x) diperoleh dari nilai awalu(0) = 1, dengan menggunakan persamaan fungsi koreksi (34) dapat diperoleh
u0(x) =1, u1(x) =ex+ 1 2x 2 , u2(x) =1 +x+ 1 2!x 2− 1 3!x 3 , u3(x) =ex− 1 3!x 3 + 1 4!x 4 , u4(x) =1 +x+ 1 2!x 2+ 1 4!x 4− 1 5!x 5, u5(x) =1 +x+ 1 2!x 2+ 1 4!x 4+ 1 6!x 6+· · · , .. . =...
sehingga dapat ditentukan suku ke−n sebagai berikut un(x) = ( 1 +x+ 1 2!x 2 + 1 4!x 4 + 1 6!x 6 +· · ·+ 1 (2n)!x 2n ) , un(x) =x+ ( 1 + 1 2!x 2 + 1 4!x 4 + 1 6!x 6 +· · ·+ 1 (2n)!x 2n ) ,
dengan menggunakan metode iterasi variasional diperoleh solusi eksak dari persamaan (32) sebagai berikut
u(x) = lim
n→∞un(x)
u(x) =x+ coshx.
Contoh 6 Temukan solusi u(x) dari persamaan integro-diferensial Volterra nonlin-ear jenis kedua berikut dengan menggunakan metode iterasi variasional
u′(x) = 4−16x2−16 3 x 3+u2(t) + ∫ x 0 u2(t)dt, u(0) = 0. (35) Untuk menentukan solusi untuk persamaan (35), yaitu dengan menentukan fungsi koreksi terlebih dahulu. Dari persamaan (19) dapat ditentukan fungsi koreksi dari persamaan (35) yaitu un+1(x) = un(x)− ∫ x 0 ( u′n(t)−4 + 16t2+ 16 3 t 3 −u2 n(t)− ∫ t 0 u2(r)dr ) dt, (36)
dimana λ(t) =−1, karena merupakan persamaan integro-diferensial orde pertama. Untuk suku pertama u0(x) diperoleh dari nilai awal u(0) = 0, dari persamaan (26) dapat diperoleh u0(x) =0, u1(x) =4x− 16 3 x 3− 4 3x 4, u2(x) =4x+ ( − 16 3 x 3 +16 3 x 3 ) + ( − 4 3x 4 + 4 3x 4 ) − 128 15x 5− 16 5x 6 − · · · , u3(x) =4x+ ( − 128 15 x 5 +128 15x 5 ) + ( − 16 5x 6 +16 5 x 6 ) +1424 105 x 7 +· · · ,
dari nilai u2(x) terlihat bahwa−16 3 x
3 saling mengeliminasi dengan 16 3 x
3 dan−4 3x
4 saling mengeliminasi dengan −4
3x 4, dan pada u 3(x) terlihat bahwa − 128 15 x 5 saling mengeliminasi dengan 128 15 x 5 dan −16 5 x
6 saling mengeliminasi dengan 16 5 x
6 dan seterusnya. Berdasarkan teori Noise Term[3, h. 78] , maka
u(x) = lim
n→∞un(x)
u(x) =4x.
Dari contoh yang telah diselesaikan terlihat bahwa metode iterasi variasional sangat baik dalam menyelesaikan persamaan integral dan integro-diferensial Volterra linear dan nonlinear. Hanya dengan beberapa iterasi sudah didapat nilai aproksimasi yang mendekati nilai eksak. Hal ini telah memperlihatkan efisiensi solusi numerik dengan menggunakan metode iterasi variasional.
Ucapan Terimakasih
Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Imran M., M.Sc. yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga dalam memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] He, J. H. 2007. Variational iteration method - Some recent result and new interpretations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 207: 3-17.
[2] He, J. H. & X. H. Wu. 2007. Variational iteration method: New development and aplications.Computers and Mathematics with Applications, 54: 881-894. [3] Wazwaz, A. M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equation Methods and
Applications,Springer. Berlin.
[4] Wazwaz, A. M. 2007. A comparison between the variational iteration method and Adomian decomposition method. Journal of Computational and Applied Mathematics, 207: 129-136.
[5] Wazwaz, A. M. 2010. The variational iteration method for solving linear and nonlinear Volterra integral and integro-differential equations.International Journal of Computer Mathematics, 87: 1131-1141.
