RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA
KEGIATAN PEMBELAJARAN A.PENDAHULUAN
Melaksanakan vicon menggunakan google meet dengan siswa untuk: 1. Mengkondisikan kelas virtual (whatsapp group dan forum di google
classroom), memberi salam, menanyakan kabar dan mengingatkan pentingnya menaati protocol covid-19
2. Menyampaikan tujuan pembelajaran pertemuan hari ini 3. Membuat apersepsi tentang integral tertentu
4. Memastikan siswa bergabung dengan google classroom dan sudah melakukan presensi kehadiran
B. INTI (PERTEMUAN 1 : Integral Tertentu)
1. Peserta didik mempelajari dan mengidentifikasi konsep integral tertentu melalui PDF, PPT atau video pembelajaran pada link https://www.youtube.com/watch?v=QWh6aygxCns yang telah diunggah pada google classroom.
2. Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk mengidentifikasi hal yang belum dipahami berupa pertanyaan yang berkaitan konsep integral tertentu melaui forum pada google classroom atau whatsapp.
3. Peserta didik menerapkan konsep yang dipelajari untuk menentukan nilai integral tertentu pada LKPD yang diberikan oleh Guru pada google classroom
4. Peserta didik mengerjakan tugas yang telah diberikan di google classroom
C. REFLEKSI DAN KONFIRMASI
1. Merefleksi kegiatan pembelajaran yang telah dilaksanakan. 2. Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan
pada pertemuan berikutnya.
3. Guru memberikan tugas dan memberikan informasi tentang waktu pengumpulannya melalui classroom
4. Guru memberikan review serta mengembalikan tugas yang telah diberikan melalui classroom
5. Kegiatan diakhiri dengan salam lewat forum chat Whatsapp Group dan Forum Google Calssroom
D. PENILAIAN :
1. Penilaian Sikap
Melalui pengamatan perilaku sikap spiritual dan sikap sosial pada saat pembelajaran berlangsung
2. Penilaian Pengetahuan
Melalui soal pilihan ganda dan esai sesuai dengan instrumen
NAMA SEKOLAH SMK NEGERI 1 Purwodadi BIDANG KEAHLIAN Semua Kompetensi Keahlian MATERI Integral Tertentu KELAS / SEMESTER XII / GANJIL ALOKASI WAKTU 1x Pertemuan ( 2x30’) TUJUAN PEMBELAJARAN : Peserta didik diharapkan mampu menentukan nilai integral tertentu secara baik dan benar.
ALAT DAN MEDIA PEMBELAJARAN Alat Pembelajaran: Laptop atau HP Android Media Pembelajaran : Whatsapp, Google Classroom, Google Meet, Email dan Youtube
dan norma penilaian yang sudah di upload pada google classroom
3. Penilaian Keterampilan
Melalui unjuk kerja berdasarkan tugas yang diberikan pada saat pembelajaran
Mengetahui, Purwodadi, Juli 2020 Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
Sukamto, S.Pd, M.M. Sugiharto NIP. 19720302 199512 1 001 NIP.
MODUL
INTEGRAL TERTENTU
Kelas XII Semester Ganjil
Pertemuan 2
Oleh :
Sugiharto
20031518010152SMK Negeri 1 Purwodadi
Tahun Pelajaran 2020/2021
PRAKATA
Konsep Integral banyak digunakan dalam kehidupan, misalnya dalam bidang Ekonomi dan Bisnis. Integral misalnya, bisa digunakan untuk mencari fungsi biaya total, fungsi penerimaan total, surplus konsumen, dan surplus produsen. Pada penyampaian materi yang abstrak seperti Integral diperlukan sumber materi dan sebuah perangkat yang bisa membantu siswa dalam memahami konsep. Kemajuan teknologi informasi memberikan kemudahan kepada para pengajar untuk memanfaatkan teknologi dalam pembelajaran.
Modul ini terintegrasi dengan penggunaan software Maple sehingga diharapkan dapat membantu siswa dalam memahami konsep Integral serta aplikasinya, termasuk dalan bidang kewirausahaan. Software Maple bisa memberikan visualisasi atau gambaran dari fungsi-fungsi yang dipelajari pada Integral sehingga lebih memudahkan siswa dalam memahami konsep. Dengan software Maple, siswa bisa aktif menggali hubungan antara konsep-konsep integral dan representasi grafisnya.
teoremanya. Selain itu, modul ini juga menyajikan contoh soal untuk memberikan gambaran yang lebih jelas tentang teorema-teorema integral. Pada akhir kegiatan, terdapat beberapa Soal Evaluasi untuk mengetahui sejauh mana siswa memahami materi yang telah dipelajari.
Purwodadi, September 2020
Penulis
DESKRIPSI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
Deskripsi
Modul ini lanjutan dari model sebelumnya. Pada modul ini Modul ini berisi bahasan tentang konsep integral tertentu dan sifat - sifatnya.
Petunjuk Penggunaan Modul Bagi Siswa
1. Siswa diharapkan mempunyai kemampuan prasyarat sebelum mempelajari modul ini, yaitu materi Diferensial/Turunan
2. Perhatikan setiap kompetensi dasar dan tujuan pembelajaran pada setiap bab yang Anda pelajari.
3. Pahami isi materi modul ini dengan seksama.
4. Mintalah penjelasan pada guru apabila ada materi yang tidak dapat dipahami. 5. Kerjakan semua soal latihaan yang ada pada masing-masing bab.
6. Kerjakan semua soal evaluasi yang ada pada setiap bab untuk mengukur. pemahaman konsep Anda setelah mempelajari materi pada modul ini. Jika skor yang Anda dapatkan belum mencapai 71% dari skor total, maka pelajarilah kembali materi pada modul ini untuk meningkatkan pemahaman Anda.
7. Bacalah referensi lainnya yang berhubungan dengan materi modul agar Anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
8. Tunjukkan Karakter Bangsa Anda dalam menggunakan dan mempelajari modul ini. Sifat-sifat Karakter Bangsa antara lain:
a. Percaya diri
Percaya dirilah pada kemampuan sendiri dalam mengerjakan soal-soal sehingga Anda bisa mengukur kemampuan Anda sendiri.
b. Bekerja keras dan tidak pantang menyerah
Setiap mendapati soal yang sulit, teruslah berusaha menyelesaikannya. Anda bisa meminta bantuan dari teman maupun guru.
c. Kerjasama
Dalam mempelajari materi dan mengerjakan latihan soal, bekerja sama dengan teman akan memudahkan Anda memahami dan menyelesaikan soal-soal.
d. Mandiri
Saat evaluasi, bersikaplah mandiri sehingga Anda bisa mengetahui sejauh mana Anda memahami materi dan mengaplikasikan materi yang diperoleh dalam soal-soal.
e. Aktif dan Kreatif
Anda harus aktif dalam pembelajaran dan Anda juga bisa berkreasi dengan membuat contoh sendiri dari materi yang dipelajari.
PETA KONSEP
INTEGRAL
Integral Tertentu
A. Kompetensi Inti :3. Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang pengetahuan factual, konseptual, procedural, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan lingkup kajian matematika pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks, berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam konteks pengembangan potensi diri sebagai bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja, warga masyarakat nasional, regional, dan internasional
4. - Melaksanakan tugas spesifik dengan menggunakan alat, informasi, dan prosedur kerja yang lazim dilakukan serta memecahkan masalah sesuai dengan bidang kajian Matematika
- Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas yang terukur sesuai dengan standar kompetensi kerja
- Menunjukkan ketrampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah serta mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung
- Menunjukkan ketrampilan mempersepsi, kesiapan, meniru, membiasakan, gerak mahir, menjadikan gerak alami dalam ranah konkret terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung B. Kompetensi Dasar
3.33 Menentukan nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
4.33 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
C. Indikator Pencapaian Kompetensi
3.33.2 Menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar
4.33.2 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan integral tertentu D. Tujuan Pembelajaran
Menemukan konsep integral tertentu
Menganalisis sifat-sifat integral tertentu
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar
MATERI MODUL
INTEGRAL TERTENTU
A. Konsep Integral Tertentu
Kita siap mendefinisikan integral tertentu, Newton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yang dini dari konsep ini. Tetapi Riemannlah memberikan kita definisi modern.
Gambar di bawah ini memperlihatkan bagian sebuah kurva dengan persamaan y = f ( x ) antara titik - titik dengan koordinat x = a dan x = b. Kita akan menentukan suatu rumus untuk luas L dari daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, sumbu X dan gari - garis x = a dan x = b .
Interval [a, b] dibagi menjadi n interval dengan panjang masing - masing ∆x1, ∆x2, ∆x3, . . . , ∆xn; x1, x2, x3, . . . , xn adalah koordinat x
dari n titik pada sumbu X, yang masing - masing terletak dalam tiap interval itu, sehingga umumnya titik xi terletak dalam interval yang
panjangnya ∆xi; kemudian dibuatlah n persegi panjang seperti terlihat (i) a y = f ( x ) f ( xn) x1 O Y X x2 x3 xn x1 f ( x1) f ( x1) →→ →→ ←← − ∆x1 − b (ii)
dalam gambar ( i ). Pada gambar ( ii ) telah digambar persegi panjang yang pertama dengan skala yang sama. Tinggi persegi panjang itu adalah f ( x1 ), yaitu nilai f di x = x1. Dengan demikian maka :
Luas persegi panjang pertama = f ( x1 ). ∆x1
Luas persegi panjang kedua = f ( x2 ). ∆x2
Luas persegi panjang ketiga = f ( x3 ). ∆x3
. . . Luas persegi panjang terakhir = f ( xn ). ∆xn.
Dengan menggunakan huruf Yunani ∑ ( sigma ), untuk menyingkat “ jumlah dari “, kita mendapatkan :
L ≈
n i i i x x f 1 ). ( ( Jumlah Riemann )Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi interval [a, b], relasi di atas kerap kali ditulis sebagai
L ≈
b x a x x x f( ).Dengan membuat n cukup besar, ini ekuivalen dengan membuat
∆x cukup kecil. Kita definisikan
x b a x x f x x L lim ( ). 0Sebagai penyederhanaan, kita tulis untuk limit tersebut
b a dx x fL ( ) ( Rumus Luas daerah ) yang menjadi cikal bakal definisi Integral Tertentu.
Definisi :
Andaikan f suatu fungsi yang terdefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika
b x a x b a x x x f dx x f( ) lim ( ).Teorema (1.7)
( Teorema Dasar Kalkulus ). Andaikan f kontinu ( karenanya terintegralkan ) pada [a, b] dan andaikan F sebarang anti turunan dari f. Maka :
B. Sifat - Sifat Integral Tertentu
Untuk sifat - sifat integral tertentu, Sifat - Sifat : 1.
b a b a dx x f k dx x kf( ) ( ) , k adalah konstanta 2.
b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )] ( ) ( ) [ 3.
b
a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )] ( ) ( ) [ 4.
b a a b dx x f dx x f( ) ( ) 5.
b a c b c a dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) Contoh :Tentukan nilai integral tertentu 1.
3 1 2dx 2.
x dx 2 1 2 6 3.
2 0 2 ) 1 4 3 ( x x dx 4. dx x x
4 1 2 1
b aa
F
b
F
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
5.
2 0 sin 3 xdx 6.
2 3 ) 1 cos 2 ( dx x Penyelesaian : 1.
3 1 2dx =
2x13 2.
2 1 2 6x dx =
2x3 12 . . . .sifat ( 1 ) = 2.3 - 2.1 = 2(2)3 - 2(1)3 = 6 - 2 = 2.8 - 2.1 = 4 = 16 - 2 = 14 3.
2 0 2 ) 1 4 3 ( x x dx =
20 2 3 2x x x . . . sifat ( 2 ) = [ (2)3 + 2 (2)3 + 2 ]- [(0)3 + 2(0)2 + 0] = [ 8 + 2.8 + 2] - [ 0 + 0 + 0 ] = 8 + 16 + 2 - 0 = 26 4. dx x x
4 1 2 1 = dx x x 2 4 1 ) 1 (
, diubah kepangkat negatif = x x 2dx 4 1 2 1 ) 1 (
, diubah kedalam perpangkatan = (x x )dx 4 1 2 3 2
, hasil dari sifat distributif = 4 1 2 1 x x , . . . . sifat ( 3 ) = ) 1 2 1 1 ( ) 4 2 4 1 ( = ( 3) 4 5 = 3 4 5 = 4 7 5.
2 0 sin 3 xdx = 2 0 ] cos [ 3 x =3 ) ( cos0)] 2 cos [( =3 ( 0 - (- 1)) = 3 6.
2 3 ) 1 cos 2 ( dx x =
2 3 sin 2 x x = (2sin 2 + 2 ) - (2sin 3 + 3 ) = ( 2. 1 + 2 ) - ( 2. 3 2 1 + 3 ) = 2 + 2 - 3 - 3 = 2 - 3 + 6 Latihan Soal 1
Dengan mempelajari uraian dimuka, Siswa diharapkan memperoleh pengertian yang baik tentang konsep integral tertentu dan sifat - sifatnya. Kerjakan soal - soal ini secara individual, seandainya ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajar kalian.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar !
1. Nilai dari
2 0 5dx . . . A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 10 2. Nilai dari
2 2 3 3x dx . . . A. 0 B. 6 C. 12 D. 16 E. 24 3. Nilai dari
3 2 ) 3 5 ( x dx . . . A. 4 B. 7 C. 11 D. 14 E. 23 4. Nilai dari
2 1 2 ) 2 (x x dx . . . A. -3 B. 2 1 2 C. 2 1 1 D. 2 1 1 E. 3 5. Nilai dari
4 2 ) sin 2 cos 6 ( dx x x = . . . A. 62 2 B. 64 2 C. 64 2 D. 64 2 E. 62 2 6. Nilai dari
dx x x 2 1 2 2 4 . . . A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 E. 0 7. Nilai dari
t 2dt 1 0 ) 1 ( . . . A. 2 5 B. 2 1 C. 0 D. 6 1 E. 2 3 8. Nilai dari
x xdx 1 0 3 2 . . .A. 5 3 B. 7 3 C. - 1 D. 5 3 E. 7 3 9. Nilai a yang memenuhi
3 ) 1 2 ( a dx x 6 A. -1 B. 0 C. 1 D. 0 atau -1 E. 0 atau 1 10.Jika f (x) = ax + b,
1 0 1 ) (x dx f dan
2 1 5 ) (x dx f , maka a + b = . . . A. 5 B. 4 C. 3 D. -3 E. -4RANGKUMAN
Pelopor - Pelopor Kalkulus diantaranya : Newton , Leibniz dan Riemann,
Reimannlah yang mendefinisikan integral tertentu paling modern, dengan konsep Jumlah Luasnya.
Rumus Integral Tertentu
Sifat - Sifat Integral Tertentu :
b
aa
F
b
F
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
1.
b
a b a dx x f k dx x kf( ) ( ) , k adalah konstanta 2.
b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )] ( ) ( ) [ 3.
b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )] ( ) ( ) [ 4.
b a a b dx x f dx x f( ) ( ) 5.
b a c b c a dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( )SOAL EVALUASI
Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar !
1. Nilai dari
b a dx x f( ) . . . A.
c a c b dx x f dx x f( ) ( ) B.
c a c b dx x f dx x f( ) ( ) C.
c a a c dx x f dx x f( ) ( ) D.
b c a b dx x f dx x f( ) ( ) E.
a b c a dx x f dx x f( ) ( )2. Apabila f ( x ) dapat diintegralkan pada selang axb, maka berlaku . . .
A.
b a b F a F dx x f( ) ( ) ( ) B.
b a a b b a x f dx x f dx x f( ) ( ) 2 ( )C.
b a a b F dx x f( ) 2 ( ) 2 D.
b a a b dx x f dx x f( ) ( ) 0 E.
b a a b dx x f dx x f( ) ( ) 0 3. Nilai dari
3 1 4xdx . . . A. 8 B. 16 C. 18 D. 20 E. 32 4. Nilai dari
1 2 ) 4 2 ( x dx . . . A. -15 B. -10 C. -9 D. 10 E. 15 5. Nilai dari
0 3 2 ) 1 2 3 ( x x dx . . . A. -39 B. -21 C. 21 D. 27 E. 39 6. Nilai dari
2 0 ) sin 6 cos 8 ( dx x x . . . A. -2 B. 2 C. 10 D. 14 E. 16 7. Nilai dari
dx x x ) 1 2 ( 2 2 1 3 . . . A. 8 1 B. 4 1 C. 4 3 D. 4 7 E. 4 9 8. Nilai dari
( x2)dx 4 1 . . . A. 3 2 6 B. 8 C. 3 2 10 D. 3 2 14 E. 16 9. Nilai
3 2 ) 2 2 3 ( p dx x x 40, maka nilai p 2 1 . . . A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 E. 4 10.Jika
3 0 5 ) (x dx h dan
3 0 4 ) (x dx g , maka
g(x)dx4h(x)]dx 2 1 0 3 . . . A. 9 B. 15 C. 18 D. 21 E. 24 46KRITERIA KEBERHASILAN Rumus :
Tingkat penguasaan = x 100%
Arti tingkat penguasaan :
90 % - 100 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik
70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang
Apabila tingkat penguasaan kalian mencapai KKM, kalian berhasil dan akan lebih mudah untuk mengikuti pembelajaran berikutnya, Ok ! Tetapi apabila tingkat penguasaan di bawah KKM, kalian masih harus mengulang kembali
Jumlah jawaban benar 10
KUNCI JAWABAN A. Latihan Soal 1 1. E 2. A 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8. B 9. E 10. C B. SoalEvaluasi No Soal Penyelesaian Kunci Jawaban 1 Gunakan Teorema ( 7.1 ) B
2 Gunakan Teorema ( 7.1 ) dan sifat - Sifat Integral
Tertentu D 3 Seperti contoh B 4 Seperti contoh A 5 Seperti contoh E 6 - B 7
dx x x ) 1 2 ( 2 2 1 3
2 1 2 3 ) 2 ( x x dx, mengubah pangkatpositif menjadi pangkat negatif, silahkan lanjutkan, bisa !!! B 8
( x 2)dx 4 1 dx x 2) ( 4 1 2 1
, mengubah bentuk akar ke bentuk perpangkatan, silahkan lanjutkan . . .C
9 Seperti Soal latihan 1 nomor 9, silahkan kalian
buka kembali materi suku banyak di kelas XI C 10
3 0 5 ) (x dx h →
0 3 5 ) (x dx h ,
3 0 4 ) (x dx g →
0 3 4 ) (x dx g ....sifat 4 2 ) ( 2 1 0 3
g x dx ,
0 3 20 ) ( 4h x dx ,
g(x)dx4h(x)]dx 2 1 0 3 -2 - (-20)=18 CREFERENSI
Buku Matematika Pegangan Guru Kelas XII. 2015. Jakarta.Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia.
Buku Matematika Pegangan Siswa Kelas XII.2015.Jakarta. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia
BPPTKPU. 2010. Bahan Ajar Mandiri. Bandung : Balai Pelatihan Pendidikan Tenaga Kependidikan Umum. Provinsi Jawa Barat
Kasmina dkk. 2008. Matematika 3. Jakarta: Erlangga
Purcell, E.J. 1990. Integral dan Geometri Analitis. Jilid 1. ( edisi ke 4 ) ( Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, & Rawuh ). Jakarta : Erlangga
Soemartojo, N. dkk.. 1992 . Integral II. Jakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan
Setiawan, T. dkk.. 2007. Seri Integral 1000 Bank Soal SMA/MA Bandung : Yrama Widya Tampomas Husein.2008. Seribupena Matematika SMA Kelas XII. Jakarta : Erlangga
