LUAS DAERAH, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA POLAR KARDIODA DENGAN INTEGRAL NUMERIK METODE TRAPESIUM & METODE SIMPSON

(1)

LUAS DAERAH, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA POLAR KARDIODA DENGAN INTEGRAL NUMERIK METODE TRAPESIUM & METODE SIMPSON

Tomi Tristiono 1

1 _{adalah Dosen Fakultas Teknik Universitas Merdeka Madiun} Abstract

The mathematical formulation of this paper using numerical methods technique to solve integral problems. Trapesium methods applied trapezium function but Simpson methods used parabolic function to solve integral problems f(x) in the interval a ≤ x ≤ b. The aim of this paper will find area of the region bounded by the curve shape cardioid, center of mass with constant density and moment of inertia about the origin of plate shape cardioid. Methods of this research will apply Trapesium & Simpson numerical integration formula to find area under the appropriate curve accompanied by integral the problems. Exact solution of problems were solved by double integrals in polar coordinates and the mathematic problems were looked very difficult, but if its solved by Trapesium or Simpson numerical integration formula the problems will give us same result and we can see the comparision that applying of the numerical method will simplify and make easier to find solutions.

Key word : numerical integration, Exact solution PENDAHULUAN.

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution), yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim) (Zuhair, 2008).

Metode analitik disebut juga metode sejati karena ia memberi kita solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol! Sayangnya, metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta bermatra rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanjar serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai

praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.

Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).

Integral Numerik Metode Trapesium & Metode Simpson.

Integral Numerik adalah suatu metode yang dipergunakan untuk menyelesaikan

(2)

persamaan integral secara pendekatan. Adapun metode pendekatan yang paling dasar dalam memecahkan masalah integral secara numerik adalah metode Trapesium dengan rumus (Supriyanto, 2007):

[

]

"( ) 12 ) ( ) ( 2 ) ( 3 1 0 f

ξ

h x f x f h dx x f b a − + =

∫

(1)

dimana x0 = a, x1 = b dan h = b − a. Karena bagian error pada trapesium adalah f′′,

maka pendekatan trapesium bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan kedua-nya bernilai nol (f′′ = 0).

Aturan Integral pendekatan trapesium adalah metode dengan konsep mencari pendekatan luas daerah yang terletak fungsi f(x) sebagai daerah yang berbentuk trapesium pada selang interval a ≤ x ≤ b dan berada di atas sumbu x (wikipedia, 2007).

Gambar 1. Pendekatan luas daerah

dengan sebuah trapesium _{Gambar 2. Pendekatan luas daerah} dengan aturan Simpson From wikipedia, free Ecyclopedia Secara umum rumus integral trapesium

dengan lebar pias – pias yang uniform dapat dinyatakan dengan formula sebagai berikut :

(

( ) 2( ) 2 ( ) ... 2 ( ) ( )

)

2 ) ( ₀ ₁ ₂ _n₁ _n b a x f x f x f x f x f n h dx x f ≈ + + + + ₋ +

∫

(2) dengan n h k a xk = + untuk nilai k = 0,1, 2, . . ., n.

Error pada pengintegralan trapesium dapat dinyatakan dengan :

) ( " 12 2 3

ξ

f n h err=− (3)

Adapun metode pendekatan yang lebih baik dalam memecahkan masalah integral secara numerik adalah metode Simpson dengan rumus (Supriyanto, 2008):

(

( ) 4 ( ) ( )

)

3 ) (x dx h f x₀ f x₁ f x₂ f b a + + ≈

∫

(4) dengan x0 =a, x2=b dan x1=a+h dimana h= (b – a)/2.

Error pada pengintegralan Simpson dapat dinyatakan dengan ) ( 90 4 5

ξ

f h err =− (5)

(3)

1. Kardioda

Gambar kurva sebuah kardioda dapat disajikan dalam bentuk fungsi sebuah persaman dalam sistem koordinat kutub. Sebuah kardioda r = 2(1 +cos θ) kurvanya seperti tampak pada Gambar 3 yang dilukis

dengan bantuan software matematika Matlab 6.5. Variabel dependent r menyatakan jari-jari sedangkan variabel independent θ menyatakan sudut yang bergerak pada selang interval 0 ≤ θ ≤ 2π (Soehardjo, 1995).

Gambar 3. Sebuah kardioda r = 2(1 +cos θ)

METODE PENELITIAN.

Tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah :

a. Analisa permasalahan integral lipat dua kardioda pada koordinat kutub.

b. Formulasi dan menyusun algoritma untuk meyelesaikan permasalahan dengan integrasi numerik.

c. Pemrograman algoritma ke dalam program komputer dengan

menggunakan bahasa

pemrograman matematika Matlab. d. Program komputer dijalankan untuk

uji coba.

e. Evaluasi bila program sudah selesai dijalankan, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan nilai eksak untuk menaksir kualitas solusi numerik

PEMBAHASAN.

Secara umum integral trapesium dengan lebar pias – pias yang uniform dapat dinyatakan dengan program aplikasi matematika Matlab yaitu :

function [F] = trap(f,a,b,n) %f=name of function, a=start value,b=end value, n=number of iterations h=(b-a)./n; S=f(a); i=1:1:n-1; x=a+h.*i; y=f(x); S=S+2.*sum(y); S=S+f(b); F=h.*S./2; F; End function [F] = simpson(f,a,b,n)

%f=name of function, a=start value, b=end value, n=number of iterations h=(b-a)/n; S=f(a); i=1:2:n-1; x=a+h.*i; y=f(x); S=S+4*sum(y); y=f(x); S=S+2*sum(y); S=S+f(b); P=h*S/3; end

(4)

Gambar 4. Gambar area kurva

y = cos (θ) Gambar 5. Gambar area kurva _{y = 1 + cos (θ)} Pada proses untuk mendapatkan luas

daerah kardioda dengan fungsi r = 2(1 +cos θ) maka harus diselesaikan integral persamaan 6, berikut :

∫

= + = π θ

θ

2 0 2 2 1₍₂₍₁ _cos ₎₎ d L (6)

Gambar 5. Area di bawah fungsi f(θ )= ½ * (2(1 +cos θ))^2

Gambar 6. Area pada fungsi f(θ )= 1/3 *cos θ * (2(1 +cos θ))^3

pada 0 ≤ θ≤ ½ π

Gambar 7 Area pada fungsi f(θ )= 1/3 *cos θ * (2(1 +cos θ))^3

pada ½ π≤ θ≤ (3/2) π

Gambar 8 Area pada fungsi f(θ )= 1/3 *cos θ * (2(1 +cos θ))^3

(5)

Sedangkan untuk mendapatkan titik berat bidang datar homogen berbentuk kardioda maka perlu dicari nilai My yaitu momen statis terhadap sumbu y. Momen statis terhadap sumbu x tidak perlu dicari karena koordinat titik berat y=0, dan perlu diselesaikan integral pada Persamaan 7, yaitu:

∫

= + = π θ

θ

2 0 3 3 1_cos ₍₂₍₁ _cos ₎₎ _d M_y dan L M x= y (7)

Untuk mendapatkan momen inersia polar maka perlu diselesaikan integral Persamaan 8 :

∫

= + = π θ

θ

2 0 4 4 1₍₂₍₁ _cos ₎₎ _d I (8)

Gambar 9. Area di bawah fungsi f(θ )= 1/4 * (2(1 +cos θ))^4

Permasalahan pengintegralan pada Persamaan 6, Persamaan 7, dan Persamaan 8 diselesaikan secara pengintegralan numerik dengan metode trapesium, sehingga diperoleh hasilnya adalah sebagai berikut:

a. Luas kardioda L = 18.8496. b. Momen statis terhadap sumbu y

pada 0 ≤ θ≤ ½ π maka My

=15.8391

Momen statis terhadap sumbu y pada ½ π ≤ θ≤ 3₂_{π maka M}

y =

-0.1803

Momen statis terhadap sumbu y pada 3₂_{π ≤ θ≤ 2 π maka M}

y

=15.8391

Momen statis total terhadap sumbu y pada 0 ≤ θ≤ 2 π maka My =31.4159 Dan L M x= y =1.6667, sehingga koordinat titik berat Z(x,y)= Z(1.6667; 0)

(6)

Tabel 1. Perbandingan Hasil Numerik dan Hasil Eksak Permasalahan

Matematis

Luas kardioda Momen statis terhadap sumbu y

Momen inersia polar I Hasil Eksak 6 π = 18.8496 10 π = 31.4159 35 π =109.9557 Hasil Numerik Metoda Trapesium n = 3 18.8496 31.4159 109.9557 Hasil Numerik Metoda Simpson n= 10 18.8496 31.4159 109.9557 KESIMPULAN.

Luas daerah, titik berat dan momen inersia polar kardioda dapat diselesaikan secara numerik dengan metode trapesium dan metode simpson serta dapat memberikan hasil relative sama pada empat digit di belakang desimal, namun prosesnya menjadi sangat mudah bila dibandingkan penyelesaian secara eksak pengintegralan untuk mencari luas daerah, titik berat dan momen inersia polar yang memerlukan langkah-langkah yang sangat panjang dan rumit.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada LPPM Universitas Merdeka Madiun. DAFTAR PUSTAKA

Apostol, Tom IN, 1968, Calculus, Volume II, second edition, John Wiley & son, New York.

Jerome, K, 2000. Elementary Calculus, An Infinitesimal Approach, Second edition, University of Wisconsin. Soehardjo, 1995. Diktat Matematika III, Soehardjo Press, Surabaya.

Suparno, Supriyanto, 2008, Komputasi untuk Sains dan Teknik, UI Press, Jakarta.

Thomas, 2000, Calculus & Analytic Geometry, John Wiley & son, New York. wikipedia, 2007.

Zuhair, 2008, Metode Numerik, Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana, Jakarta