METODE TRAPESIUM NONLINEAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU ABSTRACT

METODE TRAPESIUM NONLINEAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

Rahman Dodi^1∗, Musraini M²

1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2 Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

∗dodirahman@ymail.com

ABSTRACT

This article discusses a class of nonlinear trapezoidal method based on the harmonic, contraharmonic, heronian, square root and centroidal mean to solve an initial value problem. The discussion includes the way to derive the formula and applying Taylor expansion to obtain the error of the methods. Computational tests using an example support the analytical results.

Keywords: Initial value problems, numerical methods, trapezoidal formulas.

ABSTRAK

Artikel ini membahas suatu kelas metode trapesium nonlinear berdasarkan rata- rata harmonik, kontra harmonik, heronian, akar kuadrat dan centroidal untuk menyelesaikan masalah nilai awal. Pembahasan meliputi penurunan formula dan galat dari metode yang didiskusikan. Uji komputasi dengan menggunakan satu contoh mendukung hasil analitik yang dikemukakan.

Kata kunci: Persoalan nilai awal, metode numerik, metode trapesium.

1. PENDAHULUAN

Dalam matematika persoalan persamaan diferensial orde satu ditulis sebagai berikut:

y^′ = f (x, y), dengan syarat awal

y(x0) = y0,

dimana f (x, y) merupakan fungsi yang kontiniu dalam domain D yang memuat titik (x0, y₀). Secara teoritis deret Taylor dapat digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan diferensial. Namun penggunaan deret Taylor mengharuskan mencari terlebih dahulu turunan-turunan dengan fungsi yang lebih tinggi untuk

memperoleh hasil yang cukup teliti. Cara yang lebih efesien adalah menggunakan metode trapesium yang tidak memerlukan turunan. Bentuk umum metode Trape- sium untuk menyelesaikan persamaan di atas adalah

y_n+1− yn= h

2(fn+ fn+1), (1)

atau

y_n+1− yn= h f_n+ fn+1

2



, (2)

yang berbentuk rata-rata aritmatik (AM ) dari fn dan fn+1. Rata-rata aritmatik pada persamaan (2) diganti dengan rata-rata lainnya maka akan diperoleh metode bertipe lain yang berbeda dengan trapesium.

Pada artikel ini penulis membahas trapesium nonlinear berdasarkan berbagai rata-rata baru yaitu rata-rata Harmonik (HaM), rata-rata Kontraharmonik (CoM), rata-rata Heronian (HeM), rata-rata Akar Kuadrat (AKM ) dan rata-rata Centroidal (CeM) yang merupakan bagian dari tulisan Wazwaz [4] dalam artikelnya yang berjudul ”On The Numerical Solution Of y^′ = f (x, y) by a Class of Nonlinear Trapezoidal Formulas”.

2. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA ARITMATIK Perhatikan persamaan diferensial orde satu

dy

dx = f (x, y), (3)

dengan syarat awal

y(x0) = y0. (4)

Untuk memperoleh solusi aproksimasi, diintegralkan kedua ruas persamaan (3) pada [xn, x_n+1] diperoleh

Z xn+1

xn

dy=

Z xn+1

xn

f(x, y(x))dx. (5)

Kemudian ditaksir ruas kanan dengan metode trapesium diperoleh y(x_n+1) − y(xn) = (x_n+1− xn)

2



f(x, y(x)) + f (x_n+1, y(x_n+1))



. (6)

Dengan menyusun ulang persamaan (6) dan menyatakan y(xn+1) = yn+1, y(xn) = y_n, f (xn, y(xn) = fn dan f (xn+1, y(xn+1)) = fn+1 diperoleh bentuk umum metode trapesium

y_n+1 = yn+ h 2



f_n+ fn+1



. (7)

Persamaan (7) dapat dinyatakan dengan

y_n+1^AM = yn+ h fn+ fn+1

2



, (8)

yang merupakan rata-rata aritmatik (AM ). Dengan demikian persamaan (8) dina- makan Metode Trapesium Rata-rata Aritmatik (AM ).

Aproksimasi numerik persamaan (8) akan menghasilkan galat di setiap langkah iterasi. Untuk memperoleh galat yang dihasilkan persamaan (8), fn+1diekspansikan secara Taylor disekitas x = x_n sampai h³ diperoleh

f_n+1 = y_n^′ + hy_n^′′+ h² y^′′′_n 2



+ h³ yn⁽⁴⁾

6



. (9)

Selanjutnya disubsitusikan persamaan (9) ke persamaan (8) dan mengingat

f_n= y^′_n, (10)

diperoleh

y_n+1^AM = yn+ hy^′_n+ h² 1 2



y_n^′′+ h³ y_n^′′′

4



+ h⁴ yn⁽⁴⁾

12



. (11)

Selanjutnya diekspansi yn+1 menggunakan deret Taylor sekitar x = xn sampai h⁴ diperoleh

y_n+1 = yn+ hy_n^′ + h² y_n^′′

2



+ h³ y^′′′_n 6



+ h⁴ y⁽⁴⁾n

24



. (12)

Dengan membandingkan persamaan (11) dengan persamaan (12) diperoleh galat Metode Trapesium Rata-rata Aritmatik (AM ), yaitu

Galat_AM = h³ 1 12y_n^′′′



+ O(h⁴). (13)

3. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA GEOMETRI Metode Trapesium Rata-rata Geometri diperoleh dengan mengganti rata-rata Aritmatik (AM ) dengan nilai rata-rata Geometri (GM ) pada persamaan (8) sehingga diperoleh Metode Trapesium Rata-rata Geometri Sebagai berikut

y^GM_n+1= yn+ hpf_nf_n+1. (14) Untuk mendapat galat metode trapesium rata-rata geometri, disubsitusikan persamaan (9) dan (10) ke dalam persamaan (14) diperoleh

y^GM_n+1= yn+ hy_n^′ + h² 1 2



(y^′′_n) + h³ 1

4(y^′′′_n)³− 1 8

(y^′′_n)² y_n^′



+ h⁴ 1 12y⁽⁴⁾_n −

1 8

y_n^′′y_n^′′′

y_n^′ + 1 16

(y_n^′′′)³ (y_n^′′)²



. (15)

Selanjutnya dengan membandingan persamaan (15) dengan persamaan (12) maka diperoleh Galat Metode Trapesium Rata-rata Geometri sebagai berikut

Galat_GM = h³



− 1

12y_n^′′′+1 8

(y_n^′′)² y_n^′



. (16)

4. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA HARMONIK Diketahui bahwa rata-rata harmonik (HaM) [4] didefinisikan oleh

H_aM = (GM )² AM .

Dengan mengkuadratkan persamaan (14) dan membaginya dengan (8) kemudian disederhanakan diperoleh

y_n+1^HaM = yn+ 2hfnf_n+1 f_n+ fn+1

. (17)

Selanjutnya untuk menentukan galat metode trapesium rata-rata Harmonik dan menghindari adanya pembagian bilangan dalam bentuk polinomial, maka persamaan (17) dapat ditulis kembali dalam bentuk

y_n+1^HaM = yn+ pembilang

penyebut , (18)

dengan pembilang = 2hfnf_n+1 dan penyebut = fn+ fn+1.

Selanjutnya menghitung nilai pembilang dan penyebut dan dengan bantuan deret geometri maka diperoleh persamaan Metode Rata-rata Harmonik sebagai berikut

y^H_n+1^aM = yn+ hy^′_n+ 1

2h²y^′′_n+ h³



− (y_n^′′)²

y_n^′ +1 4y_n^′′′



+ h⁴ 1 8

(y_n^′′)³ (y_n^′)² −

1 4

y^′′_ny^′′′_n y_n^′ + 1

12y⁽⁴⁾_n



. (19)

Dengan membandingkan persamaan (19) dengan persamaan (12), maka diperoleh galat metode trapesium rata-rata harmonik sebagai berikut

Galat_HaM = h³ 1 4

(y_n^′′)² y_n^′ −

1 12y_n^′



. (20)

5. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA KONTRAHARMONIK

Diketahui bahwa rata-rata harmonik (HaM) [4] diberikan oleh C_oM = 2(AM )²− (GM )²

(AM )

Dengan menghitung ruas kanan persamaan di atas menggunakan persamaan (8) dan persamaan (14) menghasilkan

(yn+1− yn)²

(yn+1− yn) = 2h²f_nf_n+1 h(fn+ fn+1),

sehingga metode trapesium rata-rata kontraharmonik (CoM) diperoleh y^C_n+1^oM = y_n+ h f_n²+ f_n+1²

f_n+ fn+1



. (21)

Analog dengan metode trapesium rata-rata harmonik untuk menghindari pembagian polinomial maka persamaan (21) dapat ditulis

y_n+1^CoM = yn+ pembilang

penyebut , (22)

dengan pembilang = f_n²+ f_n+1² dan penyebut = f_n+ f_n+1.

Selanjutnya dengan menemukan pembilang dan penyebut pada persamaan (22) diperoleh

y^CoM_n+1 = yn+ hy^′_n+1

2h²y^′′_n+ h³ 1

4y_n^′′′+1 4

(y_n^′′)² y^′_n



+ h⁴ 1 12y⁽⁴⁾_n −

1 8

(y^′′)³_n (y_n^′)² + 1

4

(y_n^′)²y_n^′′′

y_n^′



. (23)

Dengan membandingkan hasil persamaan (23) dengan persamaan (12), maka diper- oleh galat metode trapesium rata-rata kontraharmonik sebagai berikut

Galat_CoM = h³



− 1 12y_n^′′′−

1 4

(y_n^′′)² y^′_n



. (24)

6. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA HERONIAN Persamaan umum Rata-rata Heronian (HeM) berdasarkan [4] dapat dinyatakan sebagai berikut :

H_eM = 2(AM ) + (GM )

3 (25)

Dengan mensubsitusikan (14) dan persamaan (8) ke persamaan (25) diperoleh y_n+1^HeM = yn+h

3



f_n+ fn+1+pf_nf_n+1

. (26)

Untuk menghindari bentuk akar pada persamaan (26) dinyatakan pf_nf_n+1 = y_n^′



1 + hy_n^′′

y_n^′ +h² 2

 y^′′′_n y_n^′

 + h³

6

 yn⁽⁴⁾

y_n^′

1/2

. (27)

Persamaan (27) dapat ditulis menjadi

pf_nf_n+1 = y_n^′(1 + r)^1/2. (28) dengan

r = hy^′′_n y^′_n +h²

2

 y^′′′_n y_n^′

 +h³

6

 y⁽⁴⁾n

y_n^′



. (29)

Dari Teorema Taylor [1], maka persamaan (28) dapat ditulis menjadi pf_nf_n+1= (y_n^′)

 1 + 1

2r − 1

8r²+ 1 16r³



. (30)

Kemudian dilakukan perhitungan persamaan (30) dengan mencari terlebih dahulu nilai-nilai dari r² dan r³ dengan mengambil nilai batas hitung sampai h⁴ sehingga diperoleh

r² = h²(y^′′_n)²

(y^′_n)² + h³ y_n^′′y_n^′′′

(y_n^′)²



+ h⁴ y^′′_ny⁽⁴⁾_n

3(y^′)² + (y^′′′_n)² 4(y^′_n)²



, (31)

dan

r³ = h³ (y^′′)³_n y_n^′3



+ h⁴ 3(y_n^′′)²y_n^′′′

2y_n^′′′



. (32)

Kemudian subsitusikan persamaan (29),(31) dan (32) maka persamaan (30) dapat ditulis menjadi

pf_nf_n+1 = y_n^′ +1

2hy_n^′′+ h²



− 1 8

(y_n^′′)² y_n^′ +1

4y_n^′′′



+ h³



− 1 8

y_n^′′′y^′′_n y^′_n + 1

12y_n⁽⁴⁾+ 1 16

(y^′′)³_n (y_n^′′)²



(33) Selanjutnya dengan mensubsitusikan persamaan (9),(8) dan (33) ke dalam per- samaan (26) maka diperoleh persamaan Metode Trapesium Rata-rata Heronian se- bagai berikut

y_n+1^HeM = yn+ hy_n^′ +1 2h²

 y^′′_n



+ h³ 1 4y_n^′′′−

1 24

y^′′2n y^′_n



+ h⁴ 1 12y_n⁽⁴⁾−

1 24

y_n^′′′y^′′_n y^′_n + 1

48 (y^′′)³_n (y^′_n)²



. (34)

Dengan membandingkan persamaan (34) dengan ekpansi Taylor pada persamaan (12), maka diperoleh galat metode trapesium rata-rata heronian sebagai berikut

Galat_HeM = h³



− 1

12y_n^′′′+ 1 24

(y_n^′′)² y^′_n



. (35)

7. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA AKAR KUADRAT

Bentuk umum Rata-rata Akar Kuadrat [4] dinyatakan sebagai berikut

AKM =p2(AM)²− (GM )². (36)

Untuk mandapatkan Metode Trapesium Rata-rata Akar Kuadrat, disubsitusikan persamaan (8) dan persamaan (14) kepersamaan (36), diperoleh

y_n+1^AKM = yn+ h

r

f_n²+ f_n+1² 2



. (37)

Untuk menentukan galat untuk (37), dicari f_n² dan f_n+1² sebagai berikut

f_n² = y^′2, (38)

f_n+1² = y_n^′2+ 2hy_n^′y_n^′′+ h²(y^′′2_n + y^′_ny^′′′_n) + · · · (39) Dengan mensubsitusikan persamaan (38) dan (39) ke persamaan (37) diperoleh

y_n+1^AKM = yn+ hy_n^′ +1

2h²y^′′_n+ h³ 1

4y_n^′′′+1 8

(y_n^′′)² y_n^′



+ h⁴ 1 8

y^′′_ny^′′′_n y_n^′ −

1 16

(y^′′_n)³ (y^′_n)² + 1

12y_n⁽⁴⁾



. (40)

Selanjutnya dengan membandingkan persamaan (40) dengan persamaan (19), maka diperoleh galat metode rata-rata akar kuadrat sebagai berikut

Galat_AKM = h³



− 1 12y_n^′′′−

1 8

(y^′′_n)² y_n^′



. (41)

8. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA CENTROIDAL

Rata-rata Centroidal didefinisikan [4] dengan

C_eM = 4(AM )²− (GM )²

3(AM ) . (42)

Untuk mendapat metode trapesium rata-rata centroidal disubsitusikan persamaan (8) dan persamaan (14) ke persamaan (42), diperoleh

y^C_n+1^eM = yn+ 2h 3

 f_n²+ f_nf_n+1+ f_n+1² f_n+ f_n+1



. (43)

Kemudian untuk mendapat galat metode trapesium rata-rata centroidal disubsti- tusikan persamaan (9) dan persamaan (10) ke persamaan (42), dan dengan bantuan deret geometri diperoleh

y^CeM_n+1 = yn+ hy_n^′ +1

2h²y^′′_n+ h³ 1 12

(y_n^′′)² y_n^′ + 1

4y_n^′′′



+ h⁴ 1

12y⁽⁴⁾_n + 1 12

y_n^′′y^′′′_n y^′_n −

1 24

(y^′′)³_n (y_n^′)²



. (44)

Selanjutnya dengan membandingkan persamaan (44) dengan persamaan (12), maka diperoleh galat metode trapesium rata-rata Centroidal sebagai berikut

Galat_CeM = h³



− 1 12y_n^′′′−

1 12

(y_n^′′)² y^′_n



. (45)

9. PERBANDINGAN NUMERIK

Untuk melakukan perbandingan komputasi, rumusan yang diperoleh dapat diterapkan ke dalam beberapa soal persamaan diferensial orde satu pada contoh berikut ini

y^′ = y, y(0) = 1, dengan solusi eksak y = e^x pada interval [0,1].

Secara manual, proses penyelesaian persamaan diferensial di atas dengan lima metode trapesium tersebut membutuhkan waktu yang lama serta kemungkinan keke- liruan cukup besar. Untuk itu dilakukan komputasi menggunakan program Matlab.

Berikut ini diberikan hasil eksak dan galat yang terjadi pada setiap modifikasi metode trapesium secara komputasi numerik untuk kasus dengan menggunakan ap- likasi matlab. Solusi numerik untuk kasus diatas di peroleh dengan mengambil panjang langkah iterasi h = 0.1 dan banyak iterasi n = 10 Hasil eksak dan galat yang terjadi disetiap langkah partisi diperlihatkan pada Tabel 1.

Dari Tabel 1 terlihat bahwa keakuratan atau hasil galat komputasi yang di- hasilkan untuk iterasi n = 10 menunjukan galat yang dihasilkan Metode Trapesium Rata-rata Centroidal (CeM ) lebih kecil dibandingkan galat Metode Trapesium Non- linear lainnya. Dengan demikian dapat dilihat bahwa perhitungan galat dari kelima Metode Trapesium Nonliner memberikan hasil yang lebih unggul jika dibandingkan metode trapesium lainnya

Tabel 1: Tabel perbandingan Galat Metode Trapesium Rata-rata Harmonik, Kontraharmonik dan Heronian

i x_i y_eksak Galat

harmonik Kontraharmonik Heronian Akar kuadrat Centroidal 0 0 1.000000000 0.0000000000e-000 00000000000e-000 0.0000000000e-000 0.0000000000e-000 0.0000000000e-000 1 0.1 1.105170918 4.0901331374e-004 6.7177162447e-005 2.1062313664e-004 5.1937867504e-005 9.1552996282e-005 2 0.2 1.221402758 9.0389194701e-004 1.4848900536e-004 4.6550476847e-004 1.1479774388e-004 2.0235503595e-004 3 0.3 1.349858807 1.4981553786e-003 2.4616607694e-004 7.7161996629e-004 1.9030222027e-004 3.3544145683e-004 4 0.4 1.491824697 2.2072152136e-003 3.6275181039e-004 1.1369209216e-003 2.8041538349e-004 4.9427305053e-004 5 0.5 1.648721270 3.0486234467e-003 5.0114367002e-004 1.5704652740e-003 3.8737455613e-004 6.8279196985e-004 6 0.6 1.822118800 4.0423519963e-003 6.6463949193e-004 2.0825606178e-003 5.1372604133e-004 6.0548468889e-004 7 0.7 2.013752707 5.2111073397e-003 8.5698965673e-004 2.6849271716e-003 6.6236536374e-004 1.1674528808e-003 8 0.8 2.225540928 6.5806845385e-003 1.0824558086e-003 3.3908808310e-003 8.3658255661e-004 1.4744931824e-003 9 0.9 2.459603111 8.1803654554e-003 1.3458769205e-003 4.2155390943e-003 1.0401131116e-003 1.8331869302e-003 10 0.10 2.718281828 1.0043366541e-002 1.6527436018e-003 5.1760526431e-003 1.2771952817e-003 2.2510010834e-003

RepositoryFMIPA9

Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bartle, R. G. & D. R. Shebert. 1999. Introduction to Real Analysis, 3^rd Ed.

John Wiley & Sons, Inc., New York.

[2] D. J. Evans and B.B. Sanugi, A Comparison of Numerical O.D.E Solvers Based on Aritmatic and Geometric Means, Intern. J. Computer Math .,23(1987), 37- 62.

[3] Spiegel, M.R. 1968. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Mc Graw- Hill Book Company. New York.

[4] Wazwaz, A. M. 1993. On The Numerical Solution Of y^′ = f (x, y) By A Class Of Nonlinier Trapezoidal, Intern. J . Computer Math.,51(1993), 229-238.