handout Integral kelas XII semester 2

BAB INTEGRAL

Tujuan Pembelajaran :

1. Menentukan integral tak tentu dan integral tentu

2. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan integral tentu

A. INTEGRAL SEBAGAI ANTI DIFERENSIAL

Dalam pelajaran matematika telah kita pelajari beberapa operasi yang memiliki invers.

Misalnya penjumlahan dengan pengurangan, perkalian dengan pembagian, dsb. Dalam kalkulus kita memerlukan suatu proses yang dapat dikatakan merupakan invers pendiferensialan.

Jika F(x) = x³, dan f(x) = 3x², maka F’(x) = 3x² = f(x).

Dengan kata lain, dengan mendiferensialkan fungsi F, turunannya adalah fungsi f.

Jika F(x) = x³ + 2, maka F’(x) = 3x² Jika F(x) = x³ – 4 , maka F’(x) = 3x² Jika F(x) = x³ + ¼ , maka F’(x) = 3x² Jika F(x) = x³ – ½ , maka F’(x) = 3x²

F(x) = x³ + C disebut himpunan anti diferensial atau anti turunan atau pengintegralan dari F’(x) = 3x²

Dengan cara yang sama :

Jika F(x) = 3x² + C , maka F’(x) = 6x, sehingga F(x) = 3x² disebut himpunan anti diferensial atau anti turunan atau pengintegralan dari F’(x) = 6x.

Secara umum :

F(x) = x C

n

n 



1

1

1 disebut himpunan anti diferensial atau anti turunan atau pengintegralan dari F’(x) = xⁿ.

1. Notasi integral dan Integral tak tentu

Jika F(x) dapat dideferensialkan sehingga F’(x) = f(x), maka F(x) disebut himpunan anti deferensial atau anti turunan atau pengintegralan dari F’(x) = f(x).

Himpunan anti deferensial atau anti turunan atau pengintegralan dari F’(x) = f(x) dinotasikan



^{f(x)dx .}



^f(x)dx dibaca “ integral f(x) terhadap x “ atau “ integral f(x) dx “



^f(x)dx disebut integral tak tentu.

f(x) dinamakan integran, sehingga diperoleh ;

 

2. Menentukan rumus



xⁿ dx Perhatikan tabel berikut.

Jadi ^{n 1 n 1}

x dx  n 1_ x ^ C



^{, n  -1}

Latihan 1

Tentukan pengintegralan dari :

1.



x dx⁷ 3.



x dx 5. dx



3 x2

1

2. 4

1 dx



x 4.



⁴ x³dx ^6.



^x2_x^dx 3. Rumus-rumus integral tak tentu fungsi aljabar

Berdasarkan pengertian bahwa operasi integral merupakan invers operasi diferensial, maka rumus-rumus integral tak tentu aljabar dapat ditentukan sebagai berikut : a. Jika F(x) = ax, maka F’(x) = a, sehingga diperoleh rumus :



adxaxC

Contoh :

 3 dx



3x C



b. Jika F(x) = x, maka F’(x) = 1, sehingga diperoleh rumus :



¹dx



dx xC c. Jika F(x) = ¹

1



 xn

n

a , maka F’(x) = axⁿ, sehingga diperoleh rumus

n a n 1

a x dx x C, n 1

n 1

    





Contoh : ³ 4 ^{3 1 4}

4 x dx x C x C

3 1

    





F(x) F’(x)

1 2

2x x

1 3

3x

x

²

1 4

4x

x

³

1 5

5x

x

⁴

… …

1 n 1

n 1_ x ^ , n  -1

x

ⁿ

Hasil pendiferensialan di samping, jika ditulis dalam bentuk pengintegralan adalah ….

1 2

xdx  2x C



2 1 3

x dx  3x C



3 1 4

x dx  4x C



…

n 1 n 1

x dx  n 1_ x ^ C



^{, n-1}

4. Sifat-sifat integral tak tentu

Sifat-sifat yang berlaku pada integral tak tentu : 1)



^{k.f(x)dxk.}



^f(x)dx

2)

 

^f(x)g(x



^dx



^f(x)dx



^g(x)dx

3)

 

^f(x)g(x



^dx



^f(x)dx



^g(x)dx

Contoh :

2 6 3 4 2

3 2

(6x 4x 3) dx  x  x 3xC



= 2x³ + 2x² – 3x + C Latihan 2

Tentukan hasil penginteralan dari : 1.



^{(5x4 3x3 9x2 8x1)dx}

2.



^(x2)2dx

3.



(3x^4)²dx 4.



^{(3x2)(x2)dx}

5. dx

x x

x 1)

2 (

6 



6. dx

x x x



³x^{32 2 3}

7.



^2x2_x^_⁵₃^x3dx

8.

x 3 dx

x

  

 

 



9.

2 2

(2x 4) dx x x

  

 

 

 



10.

x(3 2x)

2

4x dx

  

 

 

 



5. Rumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri

Berdasarkan pengertian bahwa operasi integral merupakan invers dari operasi diferensial, maka rumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri dapat ditentukan sebagai berikut : a. Jika F(x) = sin x, maka F’(x) = cos x, sehingga diperoleh rumus :



^{cosxdxsinxC}

b. Jika F(x) = cos x, maka F’(x) = - sin x, sehingga diperoleh rumus



^{sinxdxcosxC atau}



^{sinxdxcosxC}

c. Jika F(x) = sin ax, maka F’(x) = a cos ax Jika F(x) = ax

asin

1 , maka F’(x) = cos ax, sehingga diperoleh rumus :



^cosaxdx _a^1sinaxC

Contoh :

1

cos 5x dx sin 5x C

5 



d. Jika F(x) = cos ax, maka F’(x) = - a sin ax.

Jika F(x) = ax acos

1 , maka F’(x) = - sin ax, sehingga diperoleh rumus



^{sinaxdx} _a^{1cosaxC atau}



^{sinaxdx}_a^1cosaxC

Contoh :

sin 3x dx 1cos 3x C

 3 



e. Jika F(x) = sin (ax + b), maka F’(x) = a cos (ax + b) Jika F(x) = 1sin( )

b

a ax , maka F’(x) = cos (ax + b), sehingga diperoleh rumus : C

b a ax

dx b

ax   



^{cos( ) 1sin( )}

Contoh :



^cos(3x^₂⁾dx₃^1sin(3x^₂⁾C f. Jika F(x) = cos (ax + b), maka F’(x) = - a sin (ax + b) Jika F(x) = 1cos( )

b

a ax , maka F’(x) = - sin (ax + b), sehingga diperoleh rumus :

ax b C

dx a b

ax   



^{sin( ) 1cos( ) , atau}



^{sin(axb)dx}_a^{1cos(axb)C}

Contoh :



^sin(8x₃^2)dx₈^1cos(8x₃^2)C Pengubahan integran dalam integral trigonometri 1) sin²x = ½ - ½ cos 2x

2) cos²x = ½ + ½ cos 2x 3) 2 sin x cos x = sin 2x

4) 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 5) 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) 6) 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos(A-B) 7) 2 sin A sin B = -(cos (A+B) - cos (A-B))

Latihan 3

Tentukan hasil pengintegralan dari :

1.  (5sin x



2cos x) dx

2.  (3sin x 6cos x) dx



3.  (5cos x 2sin x) dx



4.  (sin 4x cos3x) dx



5.  (sin 5x cos 2x) dx



6.  (sin(3x 4) 2cos(2 3x)) dx

  

7. 

(cos x sin x) dx²  ²

8. 

(sin 2x² cos 2x) dx²

9.  4sin x cos x dx 10. 

2 cos x dx²

11. 

(2 4sin x) dx ²

12.  4sin 6x cos 2x dx 13.  cos 4x sin x dx 14.  6cos10x cos 4x dx 15.  8sin 6x sin 4x dx

6. Penggunaan integral tak tentu.

a. Menentukan F(x) jika diketahui F’(x) dan F(a).

Contoh :

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = 2x + 3 dan F(3) = 20.

Jawab :

F(x) =



^F'(x)dx

F(x) =



^(2x3)dx

F(x) = x² + 3x + C F(3) = 3² + 3.3 + C = 20 9 + 9 + C = 20

C = 2 Jadi F(x) = x² + 3x + 2 Latihan 4

1.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = 1 – 2x dan F(3) = 4.

2.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = 3x² – 9 dan F(-1) = 12.

3.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = 6x² – 2x + 1 dan untuk x = 2 fungsi F(x) bernilai 4.

4.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = 2₂

x x dan F(2) = 9.

5.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = a, F(-2) = 8 dan F(3) = - 2.

6.

Tentukan F(x) jika diketahui F”(x) = 12x, F’(-1) = 5 dan F(1) = 3.

7.

Tentukan F(x) jika diketahui F”(x) = 12x – 8 , F(-1) = -20 dan F(1) = 4.

8.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = sin x dan F(

4

) =

2 9.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = 6 cos 3x dan F(

2

) = 4

10.

Tentukan F(x) jika diketahui F’(x) = 5 cos 2x – 3 sin 4x dan F(0) = -7

b. Menentukan persamaan kurva y = f(x), jika diketahui gradient garis singgung kurva pada titik (x , y) dan salah satu titik yang dilalui oleh kurva tersebut.

Contoh :

Tentukan persamaan kurva y = f(x), jika diketahui gradien garis singgung pada tiap titik (x,y) kurva tersebut ditentukan oleh rumus x

dx

dy 6 , dan kurva melalui titik (2,3).

Jawab : y =



^dy_dx ^dx

y =



^6xdx

= 3x² + C 3 = 3. 2² + C 3 = 12 + C C = - 9

Jadi persamaan kurva y = 3x² – 9

Latihan 5

1.

Gradien garis singgung pada tiap titik (x,y) sebuah kurva ditentukan oleh rumus ).

2 ( 3x x dx

dy   Jika kurva melalui titik (-1,10), tentukan persamaan kurva tersebut !

2.

Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva berlaku hubungan 4₂

1 x dx

dy   . Kurva itu melalui titik (2,5), tentukan persamaan kurva tersebut !

3.

Jika y = f(x) adalah kuva yang melalui titik (1,-2) dan gradien garis singgung di setiap titik dirumuskan 2x3

dx

dy , tentukan persamaan kurva tersebut !

4.

Gradien garis singgung di setiap titik (x,y) pada suatu kurva dirumuskan oleh persamaan 1

2 6 ²  

 x x

dx

dy . Jika kurva melalui titik (-1,2) , tentukan persamaan kurva tersebut.

5.

Diberikan ₂ 6

2 dx y

d   . Kurva melalui ( -1, 2) dan garis singgung yang melalui titik itu sejajar dengan garis 8x – y + 5 = 0. Tentukan persamaan kurva tersebut.

6.

Diberikan ₂ 6(x 1)

2 dx y

d   . Kurva melalui (1, 0) dan pada titik tersebut gradien garis singgungnya adalah 3. Tentukan persamaan kurva tersebut.

7.

Kurva kecepatan suatu benda yang bergerak dengan kecepatan v pada saat t adalah sebuah garis lurus dengan persamaan v = 5 – 2t. Jika diketahui

dt

v ds, dan s = 6 pada saat t = 1, tentukan rumus s pada saat t

8.

Dari suatu benda yang bergerak ditentukan percepatannya adalah a = 4t – 3. Jika pada detik ke-1 kecepatan benda itu (v) adalah 0 dan pada detik kedua benda itu menempuh jarak (s) 4 m. tentukan rumus untuk jarak (s)

B. INTEGRAL TENTU

1. Luas sebagai limit suatu jumlah

Perhatikan gambar berikut.

C

(1) (2)

Kurva tertutup C membatasi sebuah daerah pada bidang. untuk menentukan luas daerahnya dapat dengan cara menutup daerah itu dengan persegi-persegi.

Jumlah persegi yang ada dalam kurva ada 24, sedangkan jumlah persegi yang menutupi kurva ada 34, sehingga luas kurva (L) :

24 < L < 34. Jika ukuran persegi diperkecil maka kita akan memperoleh perhitungan luas yang lebih teliti.

Dengan cara demikian luas daerah L dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan proses limit suatu jumlah.

Pada gambar tersebut luas daerah L adalah suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu X. Untuk menentukan luas daerah tersebut dapat dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1) Pada interval [a,b] bagilah menjadi n bagian interval-interval yang sama panjang, masing-masing x₁

,

x₂

,

x₃

,...,

_n

2) Pada setiap interval x₁

,

x₂

,

x₃

,...,

_n tentukan titik tengahnya, berturut-turut xn

x x

x₁

,

₂

,

₃

,...,

3) Pada interval [a,b] , buatlah n persegi panjang dengan lebar masing- masing x n

x

x   

 ₁

,

₂

,

₃

,...,

dan panjangnya berturut-turut f

(

x₁

),

f

(

x₂

),

f

(

x₃

),...,

f

(

x_n

)

Dengan demikian diperoleh :

Luas persegi panjang pertama = f

(

x₁

).



(

x₁

)

Luas persegi panjang kedua = f

(

x₂

).



(

x₂

)

Luas persegi panjang ketiga = f

(

x₃

).



(

x₃

)

. .

Luas persegi panjang ke-n = f

(

x_n

).



(

x_n

)

Sehingga luas daerah L dapat dinyatakan : L







 ⁿ

i

i

i x

x f

1

).

( ,karena luas daerah L pada interval [a,b], maka dapat dinyatakan L



^





 ^{x b}

a x

x x f( ).

Apabila dibuat n sangat besar (n  maka membuat xcukup kecil, sehingga luas daerah L dapat dinyatakan : L =



^

 



b 

x

a x x

x x f( ).

lim

0

Bentuk tersebut sering dinyatakan : L =



^b

a

dx x f

( )

Jadi luas daerah L adalah suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu X adalah :

L =



^b

a

dx x f

( )

2. Menentukan luas daerah di bawah kurva

Misal luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu X adalah L(b)

L(b) =



^b

a

dx x

f

( )

……… *)

L(a) =



^{a }

a

dx x

f

( ) 0

L(c) =



^c

a

dx x f

( )

L(c+h) = ^c



^h

a

dx x f

( )

Sehingga : f(c) . h < L(c+h) – L(c) < f(c+h). h f(c) <

h c L h c

L(  ) ( )

< f(c+h) ) ( ) lim ( ) lim (

) (

lim 0 0 f c h

h c L h c c L

f h h

o

h     







f(c) ≤ L’(c) ≤ f(c) Jadi L’(c) = f(c)

Kesamaan tersebut berlaku pada setiap c pada interval [a,b], maka untuk a ≤ x ≤ b berlaku L’(x) = f(x), sehingga diperoleh :

L(x) =



^L'(x)dx



^{f(x)dxF(x)C}

L(a) = F(a) + C =0, atau C = - F(a)

L(x) = F(x) – F(a), demikian juga berlaku untuk L(b) = F(b) – F(a)

Berdasarkan *) maka dapat dinyatakan :



^b

a

dx x

f

( )

= F(b) – F(a)

Bentuk ini dikenal dengan teorema dasar kalkulus

Dengan demikian luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu X adalah :



( )



( ) ( )

)

(x dx F x F b F a

f ^b_a

b

a









dan disebut integral tentu

latihan 6

Tentukan rumus luas daerah dari gambar berikut :

1. 2.

3.. . 4.

3. Integral Tentu

Misal y = f(x) suatu fungsi yang kontinu dalam interval tertutup [a,b], maka integral tentu f(x) terhadap x dari x = a sampai x = b dapat dihitung dengan menggunakan teorema dasar kalkulus : f(x)dx



F(x)



^b_a F(b) F(a)

b

a









a. Sifat-sifat integral tentu

Misal f(x) dan g(x) suatu fungsi yang kontinu dalam interval tertutup [a,b], maka sifat-sifat integral tentu :

1)



^a

( )



0

a

dx x f

2)



^



^a

b b

a

dx x f dx x

f( ) ( )

3)



^



^b

a b

a

dx x f k dx x f

k ( ) . ( ) , k suatu konstanta.

4) ^{f x dx g x dx b}



^{f x g x}



^dx

a b

a b

a

 



^{( )  ( )  ( ) ( )}

5)



^



^



^c

a c

b b

a

dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( ) , untuk a < b < c

b. Integral tentu fungsi aljabar Contoh :

Hitunglah nilai dari integral :



^{3 }

2

) 2 4

( x dx Jawab :



^{2 2 )}



^{[2(3 ) 2(3)] [2(2 ) 2(2)]}

) 2 4

( ^{2 3}₂ ^{2 2}

3

2















^x ^{dx x x}

= 24 – 12 = 12 Latihan 7.

Hitunglah nilai-nilai dari integral tentu berikut : 1)



^{5 }

3

) 5 2

(

x dx

2)



^{3 }

1

2 2 )

3

( x x dx

3)



^{3 }

2

)2

1 3

( x dx

4)



^{1  }

0

3

6 2 )

4

(

t t dt

5)









1

1

) 1 )(

1 (

12x x x dx

6)



^{2 }

1

2

2 1 )

( dx

x x 7) ¹⁶



0

dx x

Tentukan nilai p dari :

1) (2 7) 42

2





^{p x} ^dx

2) 42

1



^{p x dx}

3)

p 1

(2x6) dx105



4)

p 3 2

(x 16x) dx 36



5) p 0

x(x 1) dx 0 



6) 1 p

x(x 2)dx 4

 

3



Tentukan nilai dari integral berikut : 1)



²

0

sin



dx

x 4)



 4 

4

2

sin 2 )

3 (





dx x x

2)



⁴

0

2 cos



dx

x 5)



³

6

cos 3 cos 2





dx x

x

3) ^



^

0

3 ) sin1 2

(cos1x x dx

C. TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Integral dengan cara substitusi

Kadang-kadang suatu integral dapat dicari dengan melakukan substitusi sederhana.

Dalam hal ini perlu diketahui bahwa :

n 1 n 1

u dun 1_ u ^ C



, n bilangan rasional dan n  -1

Rumus-rumus yang lain :



 cos u du sin u C

 



 sin u du



cos u C

 Contoh :

Tentukan a.



(x 1) dx ⁴ b.



4x(x²2) dx³ c.



sin x cos x dx²

Jawab :

a. Misalkan u = x+1 maka du = dx (x 1) dx 4



⁼



^{u du4 = 1}₅^{u5 C 1}₅^{(x 1) 5C}

b. Misalkan u = x² – 2 maka du = 2x dx

2 3

4x(x 2) dx



⁼



^{2(x22) 2x dx3 =}



^{2 u du3 = ½ u4} + C = ½ (x²-2)⁴ + C c. Misalkan u = sinx maka du = cosx dx

sin x cos x dx2



⁼



^{u du2 = 1}₃^{u3C= 1}₃^{sin x3 C}

Latihan 8 Selesaikan . 1.



^{(23x)8 dx}

2. 

_ ^dx

) 1 x 3 (

2

2

3. 

³

2 x

^

4 dx

4. 

^{10x(8x2 1)4 dx}

5.

 x

^{4 3}

1

^

x

⁵

dx

6. 



dx ) 1 x 3 (

x 6

4 3 3

2

7. 

^(3 _x^{1) }_^_x¹2^_^dx 3

8. 

_^ _ ^dx

2 x x

3 x 6

2

9. 

^{3x (1x2) 1x2 dx}

10.  cos x sin x dx

⁹

11. 

^{cosx sinx dx}

12.  sin

³

x dx

13.  cos

³

x dx

14.  sin

³

x cos

²

x dx

15.

6x sin (x^{2 3} ) dx

4





16.  (6x 9) cos(x

 ²

3x) dx 17.

2

2

4x sin x 3 dx

x 3







18.  x (x

^{2 3}

1) cos((x

^{7 3}

1) ) dx

⁸

19. 

^{4xcos(x21) sin(x21) dx}

20.

 6x sin (x

^{2 3}

10) cos (x

^{5 3}

10) dx

2. Integral parsial

Di dalam pengintegralan, ada kemungkinan cara-cara pengintegralan yang sudah dibahas tidak berhasil. Jika demikian maka kita dapat menggunakan metode yang disebut dengan integral parsial.

Dari rumus turunan untuk : y = u v maka y’ = u’v + uv’

dy du dv

v. u.

dx  dx dx dy = v du + u dv

d(uv)



v du



u dv

  

uv



 v du



 u dv u dv uv

 

v du

 

Rumus integral parsial :

 u dv uv

 

 v du

Hal yang perlu diperhatikan :

Memilih dv yang dapat diintegralkan dengan menggunakan rumus integral. Setelah memilih dv otomatis bagian lain adalah u.

Contoh : Selesaikan Jawab :

Misalkan (i) u = x maka du = dx

(ii) dv = cos x dx maka v = sin x

u dv uv

 

v du

 

= x. sinx –

 sin x dx

= x sinx – (-cos x) + C = x sin x + cos x + C Latihan 9

1.



x(x4) dx⁵ 2.



5x(1 x) dx ⁶

3.



x 3x2dx

4.



x² x 1 dx 5.

 2x.cos 4x dx

6.

 x.sin 3x dx

7.



8x (x^{3 2}4) dx⁴ 8.



9x (x +1) dx^{5 3 3}

D. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU

x.cos x dx



1. Luas Daerah

a. Luas daerah antara kurva dan sumbu-sumbu koordinat

Seperti telah dipelajari pada pembahasan sebelumnya, bahwa untuk menghitung luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu x dapat digunakan integral tertentu



a^b f

(

x

)

dx

1) Jika f(x) > 0 (kurvanya di atas sumbu x)

2) Jika f(x) < 0 (kurvanya di bawah sumbu x)

3) Jika gabungan di atas dan di bawah sumbu x

4) Jika f(y) > 0 (kurvanya di kanan sumbu y )

b b

a a

L



y dx atau L



f (x) dx

b b

a a

L 



y dx atau L 



f (x) dx

d d

c c

L



x dy atau L



f (y) dy y = f(x)

X

Y

a L1 b

L2

c

L1 = ^c

af (x) dx





L2 = ^b

c f (x) dx



--- ( + ) L = ^c

af (x) dx





⁺



c^b

f (x) dx

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

2. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

Jawab :

1. Luas =



1²

2

xdx

=

 

1²

x2

= 4 – 1 = 3

Jadi luas daerah yang diarsir adalah 3 satuan luas.

d d

c c

L 



x dy atau L 



f (y) dy

2. L1 =



⁰ 

2

3

4 )

(

x x dx

=

 ... ... 

⁰_2

= ………

L2 = ^



0^{2 }

3

4 )

(

x x dx

=

  ... ... 

²₀

= ………

L = L1 + L2 = ………..

Jadi luas daerah yang diarsir adalah ……..satuan luas

Latihan 10

Hitunglah luas daerah yang diarsir.

1.

2.

3.

4.

5. 6

7. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 2 dan sumbu x pada interval 0 ≤ x ≤ 2.

8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² – 1 dan sumbu x.

9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 3 , sumbu x, x = -1 dan x =2.

10. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 4, sumbu x dan x = 3.

11. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² – 5x , sumbu x dan x = -1.

12. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = (x - 3)², sumbu y dan sumbu x.

13. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 2x – 3, sumbu y dan sumbu x pada kuadran IV.

14. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 4x – 3 dan sumbu x pada interval 0 ≤ x ≤ 3.

15. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ – 3x² + 2x dan sumbu x pada interval 0 ≤ x ≤ 3.

16. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y² = 4(x+1), sumbu Y dan y = 5.

17. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin 2x dan sumbu x pada interval 0 ≤ x ≤

2



b. Luas daerah antara dua kurva

Menghitung luas daerah antara kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada interval [a,b] seperti pada gambar berikut :

Luas daerah antara kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada interval [a,b] adalah Luas ABCD = Luas EFCD – Luas EFBA

Luas ABCD =

b b

a a

f (x)dx g(x)dx

 

^{= b}

a

(f (x) g(x))dx



Contoh 1 : Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut

Jawab : L =

2 2

1 1

(2xx)dx x dx

 

=

2 2

1

1 x 2

 

 

 

= (4 – 2) – (1 – 2 1) =

2 3

Contoh 2 : Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = - x + 3 dan y = x² + 1 Jawab :

Mencari batas : x² + 1 = -x + 3

x² + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1 ) = 0

L =



x x dx











1

2

2 1)]

( ) 3

[( =



x x dx









1

2

2 2)]

[(

=

1

2 2

3 2

2 1 3 1



 

 x  x  x

= 

  (1) 2(1) 2

) 1 1 3(

1 3 2



   (2) 2(2) 2

) 1 2 3(

1 3 2

= 4½ satuan luas Latihan 11

1. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

a. . b.

y

x y = 2x

1 2

y = x

y

y = 2x + 1

x y = x

1 2

y = 2 – x² x y

1 -2

y = x

c. . d.

e. . f.

g.. h.

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x² dan y = x 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² – 2x dan y = 6x – x²

4. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y² = 4x , y= 2x– 4 ,sb X dan di kuadran I 5. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = x² , y = 4x – x² dan x = -2

6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = x + 7 dan y = 7 – x² dari x = 0 s.d x = 2 7. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = 9 – y² dan x – y = 7

8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x dan y = cos x pada 0  x   9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin 2x dan y = cos x pada 0  x  ₂^

y = x² – 5 x y

-1 1

y = - 4

y = x²

x y

3 (3,9) (-2,4)

-2

y = x² + 2

x y

2 -1

y = x

y = x²

x y = 2-x

2. Volume benda putar (Pengayaan)

a. Volume benda putar yang dibatasi satu kurva

1) Jika luasan yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o, maka akan terjadi bangun benda putar.

2) Jika luasan yang dibatasi oleh kurva x = f(y), garis y = c, garis y = d, dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360^o, maka akan terjadi bangun benda putar.

Contoh :

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 1, x = 2 dan x = 5, diputar mengelilingi sumbu sejauh 360 .

Jawab :

^



^{5  }



^{ }

2

5

2 2

2 ( 2 1)

) 1

(x dx x x dx

V  

Y

X x = f(y)

c d 0 X

Y

y = f(x)

a b

  



^b

a

b

a

dx x f dx

y

V 

²

 ( ( ))

²

d d

2 2

c

c

V    x dy    (f (y)) dy

y = x+1

= 

5

2 2 3

3

1 

 x x x =

=  _



 (5) (5) (5) 3

1 _{3 2}



 (2) (2) (2) 3

1 _{3 2}

= 63  satuan volume Latihan 12

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 1, sb X, garis x = 1 dan x = 5, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360.

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1, sb X, sb Y, dan garis x = 1, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360.

3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 1, sb Y, y = 2 dan y = 4, diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360..

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y² = 4x + 1, sb Y dan sb X di kuadran kedua, diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360..

b. Volume benda putar antara dua kurva

1) Jika luasan yang dibatasi oleh kurva y₁  f

(

x

),

y₂  g

(

x

)

, garis x = a, garis x = b dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o, maka akan terjadi bangun benda putar.

2) Jika luasan yang dibatasi oleh kurva x1 = f(y), x2= g(y), garis y = c, garis y = d, dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360^o, maka akan terjadi bangun benda putar.

b 2 2 b 2 2

1 2

a

a

V 



(y y )dx 



(f (x) g (x)) dx

X Y

a b

0

@f-2025 23

Contoh 1 :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika luasan yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = ½ x, garis x = 1 dan, garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o.

Jawab :

Contoh 2 :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika luasan yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan y = x, garis y = 1, garis y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360^o.

Jawab

Latihan 12

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan x = y² diputar mengelilingi sumbu x

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x dan kurva y = x² diputar mengelilingi sumbu x

3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = ( x – 2 )² dan garis y – x = 0 diputar mengelilingi sumbu x

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y² = x dan 4x + 8y = 32 diputar mengelilingi sumbu y

Y

X x1 = f(y)

c d

x2 = g(y) ^d _{2 2} ^d _{2 2}

1 2

c

c

V    (x  x )dy    (f (y) g (y))dy 

4 x 1

y = x y = ½ x

V =



^{4 }_^{ }_^

1

2 2

2 1x dx

 x

=



^{4 }

1

2 2

4 1x dx

 x =



⁴

1 2

4 3x dx



=



4

1 3

4 1





x =



_^{ 3}  .1³_^ 4 4 1 4. 1

= 4 63



=

=

=

= X

3

1

y = x y = 2x Y

V =



^{4 }_^{ }_^

1

2 2

2 1x dx

 x

=



^{4 }

1

2 2

4 1x dx

 x =



⁴

1 2

4 3x dx



=



4

1 3

4 1





x =



_^{ 3}  .1³_^ 4 4 1 4. 1

= 4 63



=

=

=

= V = ^{3 2}

 

¹2 ²

1

y y dy







=

3 2 1 2 1 4

y y dy





 ^{= 33}₄ ²

1





y dy

=



^{1 3 3}

4 1



y



  ⁼



^{1 3 1 3}

4.3 4.1

  

 

= 26 4



=

=

UJI KOMPETENSI

1.



^3x_x^{2 dx = ….}

a. 2 x(x2)C b. 2 x(x2)C c. 2 x( x2)C d. 2x( x 2)C e. 2x( x 2)C

2.



_

2 1 x

x dx = … .

a. ₁

2

1 x2 + C b. x²1 + C c. 2 x²1 + C d.

1 2

1

2 x

+ C e.

1 2

1

2 x

+ C

3. Salah satu nilai k yang memenuhi



^{ }

k 2

4 dx ) 1 x 2

( adalah ....

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 4.





 0 

1 4

3x dx ....

a. 14/9 b. 7/9 c. 2/9 d. 1/9 e. 1/3

5. dx ....

x 4 4 x

2 2

2 

 a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

6.

16 x ( x 1 ) dx

1 0

3



2^{ = ....}

a. 30 b. 32 c. 34 d. 48 e. 60 7. Nilai ^



^

0

3 )sin cos

1

( x x dx = … .

a. – 2 b. – 1

4 1 c.

4 3 d. 1 4 3 e. 2

8.



^{(4x4)cos2xdx= ....}

a. (2x + 2) sin 2x – cos 2x + C b. (4x + 4) sin 2x – (x + 1) cos 2x + C c. (2x + 2) sin 2x + (x + 1) cos 2x + C d. (2x + 2) sin 2x + cos 2x + C e. (-2x - 2) sin 2x – cos 2x + C 9.



^{2 }

1

)4

1 (x dx

x = ....

a.

30

13

b.

30

11

c.

30 5

d.

30 11 e.

30 13

10. Diketahui F’(x) = (3x + 5)(x – 3) dan F(3) = 20 dengan F’(x) adalah turunan pertama dari F(x).

Maka nilai F(0) + F(2) = ....

a. 78 b. 79 c. 80 d. 81 e. 82

11. Suatu kurva melalui titikM(1, 5).Gradien garis singgung kurva tersebut di S (x, y) sama dengan _dx^dy3x²2x1. Persamaan kurva tersebut adalah ….

a. y = x³ – x² + x + 2 b. y = x³ – x² + x + 3 c. y = x³ – x² + x + 4 d. y = x³ – x² + x + 5 e. y = x³ – x² + x + 6 12. ²

0 2

sin(5x )dx







^{= ….}

a. – 2/5 b. – 1/5 c. – 1/6 d. 1/6 e. 1/5 13. ²

0

(1 cos x) sinx dx





 ^{= ….}

a. – ½ b. 0 c. ½ d. 1 e. 3/2 14.

2

sin2x sinx dx







^{= ….}

a. – 2/3 b. – 1/3 c. 2/3 d. 3/2 e. 2 15.

2

6 3

cos x sin x dx







^{= ….}

a. 2 b. ¼ c. 3/2 d. 3/8 e. 5/4

16.



(x 5)cos2x dx ^{= ….}

a. ½ (x + 5) sin 2x – ¼ cos 2x + C b. ½ (x + 5) sin 2x + ¼ cos 2x + C c. ½ (x + 5) sin 2x + ½ cos 2x + C d. (x + 5) sin 2x – cos 2x + C e. (x + 5) sin 2x + cos 2x + C

17.



x(x 3) dx ^{5 = ….}

a. 1/42 (2x + 1) (x – 3)⁶ + C b. 1/21 (2x + 1) (x – 3)⁶ + C c. 1/14 (2x + 1) (x – 3)⁶ + C d. 1/42 (2x – 1) (x – 3)⁶ + C e. 1/14 (2x – 1) (x – 3)⁶ + C 18.



(x²1) cosx dx^{= ….}

a. 2x² sin x + 2x cosx – sin x + C b. x² sin x + 2x cosx – sin x + C c. – x² sin x + 2x cosx – sin x + C d. x² sin x – 2x cosx – sin x + C e. x² sin x + 2x cosx + sin x + C 19.

3 2

x dx

x 1



^{= ….}

a. x² (x² + 1)^1/2 + 3/2 (x² + 1)^3/2 + C b. x² (x² + 1)^1/2 – 3/2 (x² + 1)^3/2 + C c. x² (x² + 1)^1/2 + 2/3 (x² + 1)^3/2 + C d. x² (x² + 1)^1/2 – 2/3 (x² + 1)^3/2 + C e. x² (x² + 1)^1/2 – 1/3 (x² + 1)^3/2 + C 20.

5

2

x 1 dx x 1





 ^{= ….}

a. 8 ¾ b. 8 2/3 c. 7 1/3 d. 5 5/6 e. 3 2/7

21. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x²– 2 dan garis y – x – 4 = 0 adalah ….

a. 10 5/6 b. 11 5/6 c. 20 ½ d. 20 5/6 e. 21 5/6

22. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = – x² + 3 dan sumbu X pada interval 0  x  6 adalah ….

a. 10 ½ b. 13 1/3 c. 17 d. 18 e. 27

23. Luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini adalah …

24. Luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini adalah …

25. Luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini adalah …

26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 2 , garis x = 1 dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah

a. 34  b. 38  c. 46  d. 50  e. 52 

27. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y =2 1^x₉² dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ….

a. 6  b. 8  c. 16  d. 24  e. 36 

28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = – x² dan garis x + y + 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ….

a. 13 2/3  b. 14 2/5  c. 15 2/3  d. 17 2/5  e. 18 2/3 

29. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan

y = – x² + 6x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ….

a. 9  b. 80  c. 81  d. 82  e. 135 

30. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan garis y² = 8x diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 adalah ….

a. 9 4/5  b. 5 4/5  c. 4 4/5  d. 3 4/5  e. 2 4/5  a. 4 2/3

b. 8 c. 10 d. 10 2/3 e. 12 2/3

a. 1/3 b. ½ c. 5/6 d. 7/6 e. 4/3 a. 7 1/3 b. 6 1/3 c. 5 1/3 d. 5 e. 4