HOME PETA KONSEP MATERI CONTOH SOAL LATIHAN SOAL PROFIL STANDAR KOMPETENSI

PETA KONSEP

HOME

MATERI CONTOH

SOAL LATIHAN

SOAL

STANDAR KOMPETENSI

PROFIL

STANDAR KOMPETENSI

• Menentukan persamaan lingkaran

• Menentukan persamaan garis

singgung lingkaran

lingkaran

persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran berpusat

di (0, 0) dan (a, b)

Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya

Diketahui

Kedudukan titik dan garis terhadap

lingkaran

persamaan garis singgung lingkaran

persamaan garis singgung yang melalui suatu titik

pada lingkaran

persamaan garis singgung yang

gradiennya diketahui

Peta konsep

Lingkaran

tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap suatu titik tetap.

Jarak yang sama itu disebut jari-jari

dan titik tetap itu disebut

PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan Lingkaran yang berpusat di o(0,0) dan berjari-jari r

O

Y

X

P(x,y)

P’

x

y

r

Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah

Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.

Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b)dan berjari-jari di r

Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b)

Y

g

x - a

A (a,b)

r

P’

y-b

P (x,y)

Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui

Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.

Posisi suatu titik terhadap lingkaran

a. Posisi kedudukan titik P(a,b) terhadap lingkaran L ≡ dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L ↔ a ² + b ² < r ²

Y

O X P(a,b)

r

2. Titik P(a,b) terletak pada lingkaran L ↔ a ² + b ² = r ²

Y P(a,b)

●

r

O X

Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.

3. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L ↔ a ² + b ² > r ²

Y P(a,b)

●

r

O X

b. Posisi suatu kedudukan titik P(h,k) terhadap

lingkaran L ≡ sebagai berikut:

1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L ↔ (x- a)

²

+ (k-b)

²

< r

²

2. Titik P(a,b) terletak

pada lingkaran L ↔ (x- a)

²

+ (k-b)

²

= r

²

O

● P(h,k) A(a,b)● r

P(h,k)

●

A(a,b)● r

O Y

X

X Y

Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.

3. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L ↔ (x- a)

²

+ (k-b)

²

> r

²

P(h,k)

●

A(a,b)● r

O Y

X

Posisi garis y=mx + n terhadap suatu lingkaran

Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.

(a,b)

k y= mx + n

k

(a,b) y= mx + n

Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

• Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Misalkan titik P(x

₁

,y

₁

) terletak pada lingkaran x

²

+ y

²

= r

²

. Gradien garis OP adalah m

_{OP =}

. Jika P merupakan titik singgung, dan l merupakan garis singgungnya, maka gradien garis singgung

lingkaran tersebut adalah karena m

_OP

. m

_l

= -1. Dengan demikian, garis yang melalui titik P dan bergradien adalah

y – y

₁

= m

_l

(x – x

₁

)

y – y

₁

= (x – x

₁

)

y

₁

(y – y

₁

) = -x

₁

(x – x

₁

)

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x

₁

,y

₁

) pada Lingkaran (x – a)

²

+ (y – b)

²

= r

²

- Gradien garis AP adalah m

_AP

=

- Garis singgung l tegak lurus garis AP,

sehingga gradien f=garis singgung g adalah m

_l

= - = -

- Persamaan garis singgung g adalah:

Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.

Untuk P(x

₁

, y

₁

) terletak pada lingkaran (x – a)

²

+ (y – b)

²

= r

²

,

maka:

●

A(a,b)

Q

^{(x1 - a)}

(y

₁

- b) P(x

₁

, y

₁

)

●

Berikut gambar lingkarannya

Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x

₁

,y

₁

) pada Lingkaran

• Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik (0,c) dinyatakan dengan rumus y = mx + c. Jika garis tersebut menyinggung lingkaran x

²

+ y

²

= r

²

, maka nilai c dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut.

Substitusikan y = mx + c x

²

+ y

²

= r

²

x

²

+ (mx-c)

²

= r

²

x

²

+m

²

x

²

+ 2mcx + c

²

= r

²

x

²

+m

²

x

²

+ 2mcx + c

²

- r

²

= 0 (1+m

²

)x

²

+ 2mcx + c

²

- r

²

= 0

Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Persamaan kuadrat dalam x akan mempunyai satu akar real jika diskriminannya sama dengan nol (D=0)

a = (1+m

²

) ; b = 2mc ; c = c

²

- r

²

D = b

²

– 4ac = 0

(2mc)

²

– 4 (1+m

²

)( c

²

- r

²

) = 0

4m

²

c

²

– 4 (c

²

+ m

²

c

²

– r

²

– m

²

r

²

) = 0 4m

²

c

²

– 4c

²

+4 m

²

c

²

+ 4 r

²

+ 4m

²

r

²

= 0 – 4c

²

+ 4 r

²

+ 4m

²

r

²

= 0

– c

²

+ r

²

+ m

²

r

²

= 0

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Untuk menentukan garis singgung lingkaran melalui titik (x

_1,

y

₁

) di luar lingkaran, tidak terdapat rumus yang baku. Untuk menentukannya dapat digunakan rumus garis polar:

L ≡ x

²

+ y

²

= r

²

titik P(x

_1,

y

₁

) di luar L Garis-garis singgung di:

A(x

_A

, y

_A

)  x

_A

x + y

_A

y = r

²

... (1) B(x

_B

, y

_B

)  x

_B

x + y

_B

y = r

²

... (2) Sehingga persamaan garis;

(1): AP ≡ x

_A

x

₁

+ y

_A

y

₁

= r

²

... (3) (2): BP ≡ x

_B

x

₁

+ y

_B

y

₁

= r

²

... (4)

(x

_A

- x

_B

)x

₁

+ (y

_A

- y

_B

)y

₁

= 0

 = = ... (5)

Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Gradien garis AB adalah m

_AB

= y

_A

– y

_B

/ x

_A

- x

_B

... (6) Dari (5) dan (6):

m

_AB

= - x

₁

/y

₁

Persamaan garis AB (garis polar) adalah y – y

_A

= m

_AB

(x - x

_A

)

 y - y

_A

= - x

₁

/y

₁

(x - x

_A

)

 y

₁

y - y

₁

y

_A

= - x

₁

x + x

₁

x

_A

 x

₁

x + y

₁

y = x

₁

x

_A

+ y

₁

y

A ...

(7) Dari (3) dan (7):

x

₁

x + y

₁

y = r

²

Adalah persamaan garis polar lingkaran x

²

+ y

²

= r

²

dan titik (x y ) di luar lingkaran.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik P(-3, 1)

Jawab:

Lingkaran berpusat di O(0, 0), maka jari-jari r adalah

r = = sehingga r ² = = 10

Persamaan lingkarannya: x ² + y ² = r ² Maka x ² + y ² = 10

Jadi persamaan lingkarannya adalah

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dengan jari-jari 6

Jawab:

Pusat (2,3) a=2, b=3 ; r = 6 (x – a)

²

+ (y – b)

²

= r

²

(x – 2)

²

+ (y – 3)

²

= 6

²

x

²

- 4x + 4 + y

²

- 6y + 9 = 36

x

²

+y

²

– 4x – 6y + 4 + 9 – 36 = 0 x

²

+y

²

– 4x – 6y – 23 = 0

Jadi persamaan lingkarannya adalah Contoh 2

x

²

+y

²

– 4x – 6y – 23 = 0

Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.

Tentukan pusat dan jari-jari dari

lingkaran L ≡ x ² +y ² – 8x – 2y + 13 = 0

Jawab:

L ≡ x

²

+y

²

– 8x – 2y + 13 = 0 A = -8, B = -2, C = 13

• Pusat =

• Jari-jari r = = =

= = 2

Contoh 3

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x

²

+y

²

= 12, yang melalui titik (2,4)

Jawab:

Titik (2,4) → x

₁

= 2 dan y

₁

= 4, terletak pada L ≡ x

²

+y

²

= 12 Persamaan garis singgungnya:

x

₁

x + y

₁

y = r

²

(2)x + (4)y = 12 2x + 4y = 12

Jadi persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x

²

+y

²

= 12 yang melalui titik (2,4) adalah

Contoh 4

2x + 4y = 12

Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x-2) ² +(y+1) ² = 12 yang melalui titik (3,5)

Jawab:

Titik (3,5) → x

₁

= 3 dan y

₁

= 5, terletak pada L ≡ (x-2)

²

+(y+1)

²

= 12

Persamaan garis singgungnya:

(x

₁

– a)(x – a) + (y

₁

– b)(y – b) = r

²

(3-2)(x-2) + (5+1)(y+1) = 12

1(x-2) + 6(y+1) = 12

x – 2 + 6y + 6 = 12

Contoh 5

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui masing- masing titik nya sebagai berikut :

a. A(2,3) b. G(-3,1) c. I(4,4) d. S(7,7) e. R(6,9)

2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini:

a. Pusat P(3,4), melalui titik O(2,3) b. Pusat Z(-4,2), melalui titik I(0,2)

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran pada masing-masing lingkaran dibawah ini:

a. x

²

+ y

²

– 6x + 2y – 24 = 0 b. x

²

+ y

²

+ 12x - y + 17 = 0 c. x

²

+ y

²

- 10x + 4y – 31= 0

4. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini:

a. P(2, 3) dan L ≡ x² + y² = 8 b. P(-1, 6) dan L ≡ x² + y² = 40 c. P(√3, -1) dan L ≡ x² + y² = 4

Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4x + 8y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1)

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x ² + y ² = 9, jika mempunyai gradien 2

7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x + 2)² + (y – 1)² = 4 yang tegak lurus garis l ≡ -3x + 4y – 1 = 0

8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – 1)² + (y – 4)² = 25 di titik singgung B(-3, 1)

9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4x + 8y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1)

10.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 3) dan berjari-jari 6

11.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(5, -1), melalui titik

P(-1, 7)

PROFIL

IFA SHOLIHAH Kelas : 2i

NPM : 112070005 TTL : 16 April 1993 Sebagai pemateri kedua APRIAN NURDIN

Kelas : 2i

NPM : 112070086

TTL : Kuningan, 16 Juni 1992

Sebagai pemateri pertama

NURLAELA Kelas : 2i

NPM : 112070187

TTL : Cirebon, 13 Maret 1995 Sebagai pemateri Ke 3

GINA PUTRI LESTARI Kelas : 2j

NPM : 112070027

TTL : Cirebon, 24 April 1994 Sebagai pemateri Ke 4

PROFIL