PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

1 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

PENGAYAAN MATEMATIKA

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

1. Diketahui xRdan 1

6 8 5 3 2

2 8 6

2 2

2 2

     

    

y x xy y

x

y x xy y x

. Temukan nilai y.



Solusi:

1

6 8 5 3 2

2 8 6

2 2

2 2

     

    

y x xy y

x

y x xy y x

x2 6y2 xyx8y2x2 2y2 3xy5x8y6 8y2 4xy4x16y80

2y2 xyx4y20 2



y2 2y1



xyx0 2(y1)2 x(y1)0 (y1)(2y2x)0

y10atau 2y2x0 y 1

y 1 2y2x0 2(1)2x0 x0

Jadi, nilai dari y adalah 1.

2. Pada simtem persamaan _

               

 

567 765 432

234 234 432

y x

, temukan nilai xy.



Solusi:

_

               

 

567 765 432

234 234 432

y x

432x234y 765 234x432y 567 666x666y1332

2 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 x y2

y2x

y2x 432x234y 765 432x234(2x)765 432x468234x765 198x297

2 3 

x

2 3 

x  y2x

2 1 2 3 2  

4 3 2 1 2 3

  

xy

Jadi, nilai dari xyadalah 4 3 .

3. Jika 36x 36x 167, hitunglah x x

216

216 .



Solusi:

36x 36x 167



6x 6x



2 2167



6x 6x



2 169 6x 6x 13

216x 216x



6x 6x

 

3 36x6x



6x 6x



133  3 1 132158 4. Jika  merupakan salah satu akar persamaan x2 x20, carilah nilai 4 + 3.



Solusi:

x =  x2 x20 2 + 2 = 0 2 =  2 4 = 2 4 + 4

4 + 3 = (2 + 2) + 2 4 + 3 = (0) + 2

4 + 3 = 2

3 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

5. Persamaan x2  px20akar-akarnya adalah  dan . Jika p0dan

n n

n

F( )  , F(2)3, temukan nilai dari F(3).



Solusi:

x2  px20, dengan pdan 2 F(2)3

2 2 3

1 1 3

2 2   

_{2 2} 3

2 2

  

  

3

) (

2 ) (

2 2

 

    

3

) 2 (

2 2 ) (

2 2

   p

p2 412 p2 16 p4

Karena p0, maka yang memenuhi adalah p 4.

F(3)3 3 ()3 3() (4)3 32(4) 642440. Jadi, nilai dari F(3)adalah 40.

6. Carilah harga x dari persamaan

2 3 3 4 7 3

4

7  

  



 _

    



 _ x x

.



Solusi:

2 3 3 4 7 3

4

7  

  

  _     



 _ x x

2 3 12 2 7 12

2

7  

  

  _     



 _ x x



 



2 3 3 2 3

2 x   x  (kedua ruas dikalikan



2 3



x)



 

x







 

x 2 3



x 2

3 3 2 3 2 3

4 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017





x x



2 3



x

2 3 ) 3 4 ( 3

2 2    





x



2 3



x

2 3 1 3

2 2   

Misalnya



2 3



x a, maka persamaan itu menjadi:

a a

2 3 1 2  

2a2 3a20 (2a1)(a2)0

2 1  

a (ditolak) atau a2(diterima)



2 3



x 2

log



2 3



x log2 xlog



2 3



log2





3 2 log

2 log

 

x

x2 3log2

Jadi, harga x yang memenuhi persamaan itu adalah2 3log2_.

7. Jika a, b, dan c adalah penyelesaian dari persamaan x3 ax2 bxc0dan 0

, ,b c

a , carilah nilai dari a3b3 c3.



Solusi:

xa _x3 _ax2 _bx_c0 a3 a3 abc0 abc0

cab

6 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 30b2 15a2 7ab0

15a2 7ab30b2 0

(5a6b)(3a5b)  0

5 6 

b a

(diterima) atau

3 5  

b a

(ditolak, karena a dan b keduanya positif) Menurut Aturan Sinus:

B b A a

sin sin 

5 6 sin

sin

 

b a B A

10.Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13, 74, dan 85satuan. Berapakah luas segitiga itu?



Solusi:

Kita ketahui bahwa 8522 92, 7472 52, dan1322 32, sehingga persegi panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.

Luas ABC 5 7

2 1 3 2 2 1 9 2 2 1 5

9          

2 35 3 9 45   

2 31

 satuan

Jadi, luas segitiga itu adalah 2 31

satuan.

11. Persamaan 4x37x2 5x10memiliki akar-akar , , dan . Susunlah persamaan kuadarat baru yang akar-akarnya (1), (1), dan (1).



Solusi 1:

Persamaan kubik ax3 bx2 cxd 0atau 3  2   0

a d x a c x a b

x yang akar-

akarnya , , dan  adalah 0 ) )( )(

(x x x 

85

74 13

A

B

C 3

2

2

9 7

7 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017



x2()x





x



0

0 )

( )

( 2

2

3_x   _x   _x_x

x

0 )

( )

( 2

3     

x x

x , dengan

a b

     

 ,

a c

    

 , dan

a d

  

4x3 7x2 5x10

4 7      

 ,

4 5      

 , dan

4 1  

Akar-akar persamaan yang diminta adalah (1), (1), dan (1), sehingga persamaannya adalah

4 5 3 4 7 3 1

1

1      



(1)(1)(1)(1)(1)(1) 111 2()3

3

4 7 2 4 5

         

4 7  

(1)(1)(1)



()1



(1) 1 1

4 5 4 7 4 1

   

4 7  

0

4 7 4 7 4 5 2

3    

x x x

4x3 5x2 7x70 Solusi 2:

Karena akar-akar persamaan itu (1), (1), dan (1)adalah simetri atau setangkup, maka persamaan yang diminta adalah

x1 4x3 7x2 5x10

4(x1)3 7(x1)2 5(x1)10

8 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

12.Garis 12x5y60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut. Carilah luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.



Solusi:

Menurut Dalil Pythagoras: _AB 52 122  169 13 (5 12 13) 15

2 1

   

S

Luas OAB = 5 12 30 2

1_{  }

2

15 30

  

S L r

Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga = luas segitiga – luas lingaran 2

) 2 ( 12 5 2 1

    

304

13. Jika 1 y2dan xy10, cari nilai 4x2 4y32 y2 6x2y10.



Solusi:

xy10 x y1

x y1 4x2 4y32 y2 6x2y10

 4( 1)2 4 32 2 6( 1)2 10

y y

y y

y

 4y2 8y44y32 y2 6y62y10  4y2 4y12 y2 8y16

 2y12y2

Jika y1, maka 2y12y2  211212 1213 Jika y2, maka 2y12y2  221222 3203 Jadi, nilai dari 4x2 4y32 y2 6x2y10adalah 3.

14. Jika abc900dan 2loga3logb5logc, carilah nilai dari abc.



Solusi:

2loga3logb5logck

X Y

B(0, 12)

A(5, 0) O

9 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 2logak 2k a

3_logbk ₃k b

5logck 5k c abc900

2k3k5k 900 (235)k 900 30k 302 k 2

a2k 22 4 b3k 32 9 c5k 52 25

Jadi, abc492548.

15. Bilangan (9p8), (5p2), (3p1)merupakan tiga suku pertama deret geometri konvergen. Carilah jumlah tak hingga deret itu.



Solusi:

Karena bilangan (9p8), (5p2), (3p1)merupakan tiga suku pertama deret geometri konvergen, maka berlakulah hubungan:

) 1 3 )( 8 9 ( ) 2 5

( p 2  p p

8 24 9 27 4 20

25p2  p  p2  p p

0 12 5

2_p2  _p  0 ) 4 )( 3 2

( p p 

2 3  

p (ditolak)atau p4(diterima) Karena:

2 3  

p  (9p8), (5p2), (3p1)= 2 11  ,

2 11  ,

2 11

 (bukan deret geometri konvergen)

p4 (9p8), (5p2), (3p1)= 44, 22, 11 (deret geometri konvergen) a 44dan

2 1 44 22

 

10 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 Carilah jumlah bilangan pada kelompok ke-21.



Solusi: Suku pertama pada kelompok ke-21adalah

2

11 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

18. Jika A adalah jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, carilah nilai dari

500

A

.



Solusi:

Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah S(n)an3 bn2 cnd, maka S(1)a(1)3 b(1)2 c(1)d 3 abcd 3….(1)

S(2)a(2)3b(2)2 c(2)d 10 8a4b2cd 10….(2) S(3)a(3)3 b(3)2 c(3)d 23 27a9b3cd 23….(3) S(4)a(4)3 b(4)2 c(4)d 44 64a16b4cd44….(4) (2) – (1): 7a3bc7….(5)

(3) – (2): 19a5bc13….(6) (4) – (3): 37a7bc21….(7) (6) – (5): 12a2b6….(8) (7) – (6): 18a2b8….(9) (9) – (8): 6a2

3 1 

a

3 1 

a 12a2b6

2 6 3

1

12  

    

b

b1

7 3 7

1 3 1

       

 

c b a b

a

3(1) 7 3

1

7    

   

c

3 5 

c

3 7 13 21 31 …

4 6 8 10

14 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 )

6 , (a

A  y2 12x

62 12a a 3

Koordinat titik A adalah (3, 6). )

1 , (b

B  y2 12x

12 12b

12 1 

b

Koordinat titik B adalah      

1 , 12

1 . C(c,4) y2 12x

(4)2 12c

3 4 

c

Koordinat titik A adalah       4,

3 4

Luas segitiga ABC

6 3

4 3 4 4 3 4

1 12

1 1 12

1 6 3 2

1 _ 

 

 8 12

3 4 3 1 2 1 3 2 1

      

20 3 5 2 5 2 1

  

2 120 10 15 2

1   

12 125 

12 5 10

 satuan luas.

23. Jika akar-akar dari persamaan kuadratx2 axb0ditambah 3 maka diperoleh persamaan kuadrat x2 bxa0. Carilah nilai a dan b.



Solusi:

Misalnya akar-akar persamaan kuadrat x2 axb0adalah  dan , maka

a

   

 dan b.

Persamaan kuadrat yang baru yang3dan 3adalah x2 (33)x(3)(3)0

x2 (6)x3()90 x2 (a6)xb3(a)90

15 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

Persamaan kuadrat x2 (a6)xb3a90identik dengan persamaan kuadrat _x2 _bx_a 0_{, maka diperoleh:}

a6b…. (1) a a

b3 9 …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: a

a a63 9

3 3a 

1



a 1



a  a6b 16b b5

Jadi, nilai dari a dan b berturut-turut adalah 1 dan 5.

24. Dinda, Annisa, dan Fitri mengumpulkan uang. Annisa 25 % lebih banyak dari pada Dinda. Fitri 20 % kurang dari pada Dinda. Fitri p % kurang dari pada Annisa. Carilah nilai p .



Solusi:

Misalnya uang Annisa = A rupiah, uang Dinda = D rupiah, dan uang Fitri = F rupiah, maka:

AD25%D1,25D…. (1) F D20%D0,8D…. (2)

F A p A pA

      

 

100 1

% …. (3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh:

D pA

  

 

 

100 100

8 ,

0 …. (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh: 0,8D p 1,25D

100 100

    

 

 

25 , 1

100 8 , 0

100 p 

16 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 Jadi, nilai padalah 36.

25. Jikax 2 2  2 2 . Carilah nilai dari 384x2 x8.



Solusi:

384x2 x8 x2



384x6



x2 = 2 + 2+ 2  2+ 2 (2 2)(2 2) = 4 + 2 2

x6 =

 

x2 3= 64 + 3(16)

 

2 2 + 3(4)(8) +16 2 = 160 + 112 2. 8

2

384x x =



42 2





224112 2



= 224



2 2





2 2



= 448 Jadi, nilai dari 384x2 x8adalah 448.

26. Hitunglah 1002– 992 + 982– 972+….+ 22 12.



Solusi:

Perhatikan pola berikut. 22– 12 = 3 = 1 + 2. 42– 32 = 7 = 3 + 4. 62– 52 = 11= 5 + 6.

Sehingga dapat disimpulkan bentuk deret

1002– 992 + 982– 972+….+22 - 12 = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97 + 98 + 99 + 100

5050

2 ) 1 100 ( 100

  

Jadi, hasil dari 1002– 992 + 982– 972+….+ 22– 12 adalah 5050. 27.Temukan angka terakhir dari bilangan n1!2!3!...1989!



Solusi:

Angka terakhir !n adalah 0 untuk n5, sedangkan 1!2!3!4!1262433 memiliki angka terakhir 3.

Jadi, angka terakhir dari bilangan n1!2!3!...1989!adalah 0 + 3 = 3. 28.Carilah nilai x dari 3 _x 1_x2 3 _x 1_x2 3_.



Solusi:

3 _x 1_x2 3 _x 1_x2 3









  



 _{    }

  

 



 2 3 2 2 3 2 3 2

1 1

1 1

3

1 x x x x x x x x x

x

x 1x2 27

17 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 2 93 2 1 2 27

x x

x

2x927 2x36 x18

29.Diberikan bahwa 1 3

x

x , berapakah nilai dari 7 1₇

x

x  ?



Solusi:

1 3

x x

1 9

2

       

x

x

2 2 1₂ 9

x x

2  1₂ 7

x x

Diberikan _n n _n

x x

a   1 , maka ₁   1 3

x x

a , ₂  2  1₂ 7

x x

a , dan

1 1 1

1 1 1

1 1

  

 _{  }

    

  _     

  n _n

n n n n

x x x x x x x x

3a_n a_n1 a_n1

a_n1 3a_n a_n1

Dengan demikian,

a₃ 3a₂ a₁ 37318 a₄ 3a₃ a₂318747 a₅ 3a₄ a₃34718123 a₆ 3a₅ a₄312347322 a₇ 3a₆ a₅3322123843 Jadi, nilai dari 7 1₇

x

x  adalah 843.

30. Hasil kali dua akar (dari empat akar) persamaan x4 18x3kx2 200x19840 adalah 32. Tentukan nilai k.



Solusi:

Misalnya akar-akar persamaan x4 18x3 kx2 200x1984 0adalah x1, x2, x3, dan x₄, maka

32 2 1x 

x

1984 1

1984 4

3 2

1 

  