Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP 2015 www.olimattohir.blogspot.com

(1)

Naskah Soal dan Pembahasan

OSN Guru 2015

OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMP

OSN Guru Matematika SMP

(Olimpiade Sains Nasional)

(2)

Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

NASKAH SOAL

OSN GURU MATEMATIKA SMP

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

MARET 2015

1. Jika √ √ √ , maka nilai ab adalah ...

2. Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ...

3. Nilai dari

adalah ...

4. Jika 4x + 4–x = 7, maka nilai 8x + 8–x adalah ...

5. Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Bilangan itu adalah ...

6. Bilangan asli n terbesar yang memenuhi kurang dari 2015 adalah ...

7. Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas

segitiga adalah … satuan luas.

8. Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah ...

9. Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5. Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….

10. Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan bilangan asli terkecil.

11. Jika diketahui untuk n = 1, 2, 3, ..., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...

12. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H

(3)

13. Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar

persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.

14. Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi

Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …

15. Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta

itu adalah ….

16. Jika x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …

17. Dua_{lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya} menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).

(4)

Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang 18. Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri antara 100 dan 2015 adalah …

19. Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti pada gambar berikut.

Luas daerah yang diarsir dalam cm2adalah ….

20. Jika 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari bilangan-bilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….

21. Selesaikan n2 + m2, jika , untuk m dan n bilangan asli.

Diketik Ulang oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan

silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com

Terima kasih.

My blog : http://matematohir.wordpress.com/

(5)

SOAL DAN PEMBAHASAN

OSN GURU MATEMATIKA SMP

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

MARET 2015

1. Jika √ √ √ , maka nilai ab adalah ...

Pembahasan:

√ = √ √

√ = (√ √ ) (kedua ruas dikuadatkan) = √

√ = 0 = 0

Jadi,

2. Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ....

Pembahasan:

Mencari pola penyelesaian jumlah semua bilangan genap positif < 2015 dan mencari pola penyelesaian jumlah kelipatan tiga genap < 2015, yakni sebagai berikut:

1) Bilangan genap positif < 2015, yakni bilangan genap terbesar dari 2015 dibagi 2. Sehingga banyak bilangan genap positif < 2015 = = 1007

Dengan demikian nilai a = 2, b = 2 dan n = 1007 , maka Un = 2014

Sn =

S1007 =

= = 1.015.056

2) Mencari banyaknya bilangan kelipatan 3 genap positif < 2015, yakni bilangan kelipatan 3 genap terbesar dari 2015 dibagi 6 atau tepatnya banyaknya bilangan kelipatan 6 < 2015.

Sehingga banyak bilangan kelipatan 6 < 2015 = = 335 Dengan demikian nilai a = 6, b = 6 dan n = 335 , maka Un = 2010

Sn =

S335=

= = 337.680

Dengan demikian, jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 = 1.015.056 – 337.680 = 677.376

(6)

Mencari pola penyelesaian untuk 8x + 8–x, yakni sebagai berikut: (2x + 2–x)2 = (2x)2 + (2–x)2 + 2(2x)(2–x)

Kemudian, mencari pola penyelesaian langkah berikutnya, yakni sebagai berikut: (2x + 2–x)3 = 8x + 8–x + 3(2x × 2–x)(2x + 2–x)

5) Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Tentukan bilangan itu!

Pembahasan:

Diketahui Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Misalkan bilangan tersebut adalah a, maka

a + 5 = a  a– a = 5  = 5  = 5  a = 30

(7)

6) Bilangan asli n terbesar yang memenuhi kurang dari 2015

Jadi, Bilangan asli n terbesar yang memenuhi adalah 4028

7) Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas

segitiga adalah … satuan luas.

Pembahasan:

Diketahui pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Misalkan sisi terpendeknya = x.

Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut. (2x)2 = x2 + (x + 1)2

4x2 = x2 + x2 + 2x + 1 2x2– 2x– 1 = 0

Kemudian mencari nilai x dengan menggunakan rumus kuadratik

(8)

Dengan demikian luas segitiga yang dimaksud adalah sebagai berikut. Luas segitiga = (x)(x + 1)

= (x2 + x)

= [ √ √ ] = √ √ = √ √ = √ √ = ( √ ) Luas segitiga = ( √ )

Jadi, Luas segitiga adalah ( √ ) satuan luas.

8) Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah ...

Pembahasan:

Diketahui keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm No.

Keliling (K) Panjang (p) Lebar (l)

Luas (L) 2(p + l) = 26 p l

1 p + l = 13 12 1 12 2 p + l = 13 11 2 22 3 p + l = 13 10 3 30 4 p + l = 13 9 4 36 5 p + l = 13 8 5 40 6 p + l = 13 7 6 42

Jadi, Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah 6

9) Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.

Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….

Pembahasan:

Misalkan 5 bilangan yang dimaksud adalah a + b + c + d + e = 20 Nilai a yang mungkin adalah 1 dan 2, yakni sebagai berikut.

Jika nilai a = 1 dan b = 2, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 3 dan 4 Untuk nilai c = 3

(1) 1 + 2 + 3 + d + e = 20

d + e = 14  maka nilai d = 4 dan e = 10  1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20

 maka nilai d = 5 dan e = 9  1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20

(9)

Untuk nilai c = 4

(2) 1 + 2 + 4 + d + e = 20

d + e = 13  maka nilai d = 5 dan e = 8  1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20

 maka nilai d = 6 dan e = 7  1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20 Jika nilai a = 1 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4

(3) 1 + 3 + 4 + d + e = 20

d + e = 12  maka nilai d = 5 dan e = 7  1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20 Jika nilai a = 2 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4

(4) 2 + 3 + 4 + d + e = 20

d + e = 11  maka nilai d = 5 dan e = 6  2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Dengan demikian nila a + b + c + d + e = 20 seluruhnya adalah

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20 2. 1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20 3. 1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20 4. 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 5. 1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20 6. 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20 7. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20

Jadi, banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah sebanyak 7

10) Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan bilangan asli terkecil.

Pembahasan:

Perhatikan tabel berikut

Kelipatan sama 8 24 48 72 96 120 144 .... 12 24 48 72 96 120 144 .... Di kurangi 1 23 47 71 95 119 144

Dibagi 11 sisa 2 3 5 7 9 1

Jadi, bilangan asli terkecil yang dimaksud adalah 144

11) Jika diketahui untuk n = 1, 2, 3, ..., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...

Pembahasan:

Diketahui dan f(1) = 2

(10)

Untuk n = 3   = Untuk n = 4   = Untuk n = 5   = . . .

. . . . . .

Untuk n = n   Sehingga f(2015)  = 1009

Jadi, nilai dari f(2015) = 1009

12) Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H yang beranggota dua bilangan adalah …

Pembahasan:

Diketahui H = {semua faktor positif dari 2015} H = {1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015}

Banyaknya anggota bagian dari H sebanyak = 2n(H) = 28 = 256

Sedangkan banyaknya anggota bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan sama halnya dengan menyusun 2 bilangan berbeda dari 8 bilangan yang ada, yakni 8C2 = 28

Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan adalah 28

13) Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar

persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

P

C

1 1 2

2

A _B

(11)

Perhatika ABC!

Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.

AC2 = AB2 + BC2

32 = AB2 + 12 AB = √ AB = √

Dengan demikian panjang persegi panjang adalah PQ = PA + AB + BQ

= (2) + (2√ ) + (1)

PQ = 3 + 2√

Jadi, panjangnya adalah 3 + 2√ satuan

14) Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi

Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Untuk ukuran 1 × 1 ada sebanyak 28 2 × 2 ada sebanyak 15 3 × 3 ada sebanyak 6 4 × 4 ada sebanyak 1

Dengan demikian total cara seluruhnya = 28 + 15 + 6 + 1 = 50

(12)

Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang 15) Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta

itu adalah ….

Pembahasan:

Diketahui dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong)

Misalkan nilai yang dicapai = N

Kemudian kita coba nilai s dari yang terkecil, yakni sebagai berikut

Jika s = 0,  3b– 0 = 23 (tidak mungkin, karena nilai tidak bulat)

Jadi, banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta adalah 10 soal

16) Jika x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …

Pembahasan:

Diketahui x2 + xy + 6x = –3 dan y2 + xy + 6y = –6

Kemudian, kita mencari pola penyelesaian dari kedua persamaan tersebut untuk menentukan nilai

(13)

17) Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).

Jari-jari lingkaran kecil adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Misalkan jari-jari lingkaran kecil = xcm

Perhatikan BCD!

BC2 = BD2 + CD2

(10 + x)2 = (x– 10)2 + 102 100 + 20x + x2 = x2– 20x + 100 + 100 40x – 100 = 0

x = 2,5

Jadi, Jari-jari lingkaran kecil adalah 2,5 cm

18) Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri

antara 100 dan 2015 adalah …

Pembahasan:

Diketahui bilangan asli simetri antara 100 dan 2015 Perhatikan tabel berikut

Bilangan Bentuk Rincian Keterangan Ratusan

Jadi, banyaknya bilangan asli simetri antara 100 dan 2015 adalah 101

A B

C _D

10 cm

(14)

Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang 19) Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti

pada gambar berikut.

Luas daerah yang diarsir dalam cm2adalah …

Pembahasan:

CE2 = BC2 + BE2

Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat 7b –7a = 9 | × 1  7b –7a = 9

(15)

= 21 – bilanganbilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….

Pembahasan:

Bentuk dari 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015. Hal ini dapat ditulis dalam bentuk 2015! – 100!

Untuk mengetahui banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015!, carilah pangkat dari 5 yang memenuhi pada bilangan 2015!, kemudian carilah pangkat dari 5 yang memenuhi pada bilangan 100! Yakni sebagai berikut:

a) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 2015! adalah





b) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 100! adalah

 

Jadi, banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah sebanyak 478

21) Selesaikan n2 + m2, jika , untuk m dan n bilangan asli. Jika ada saran, kritik maupun masukan

silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com

Terima kasih.

My blog : http://matematohir.wordpress.com/