Soal dan Pembahasan OSN Guru Tahun 2016

Soal dan Pembahasan

OSN Guru Tahun 2016

OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMP

OSN Guru Matematika SMP

(Olimpiade Sains Nasional)

Dibahas Oleh:

Mohammad Tohir

SOAL DAN PEMBAHASAN

OSN GURU MATEMATIKA SMP

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

10 MARET 2016

Soal Isian Singkat.

Jawablah dengan singkat dan jelas pada tempat yang disediakan pada lembar jawaban.

1. Suatu pecahan jika dimasukkan dalam suatu mesin penghitung akan menghasilkan pecahan . Suatu pecahan dimasukkan dalam mesin penghitung tersebut kemudian hasilnya dimasukkankembali dalam mesin. Jika proses ini berulang terus-menerus, berapakah pecahan yang dihasilkan setelah memasukkan pecahan sebanyak 2016 kali ke dalam mesin tersebut.

Pembahasan:

Diketahui Suatu pecahan

Misalkan hasil mesin penghitung adalah m = Proses perhitungannya sebagai berikut

m1 = = = m2 = = = m3 = = = m4 = = = ....

dan seterusnya akan berulang setiap 2 suku...

Sehingga untuk m2016, cukup 2016 : 2 = 1008 (habis dibagi 2) Dengan demikian, m2016 terdapat pada suku ke-2 yaitu m2016 =

Jadi, pecahan yang dihasilkan setelah memasukkan pecahan sebanyak 2016 kali ke dalam mesin tersebut adalah

2. Tentukan angka satuan dari

Pembahasan: 9

Untuk mengetahui angka satuan dari ( ) ( ) ( ) terlebih dulu kita mencari pola penyelesaiannya, yakni sebagai berikut

( ) = ( ) = 1 ( ) = ( ) = ( ) = 8 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 216 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 13824 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 1728000 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 373248000 Coba perhatikan angkat satu pada ( ) dan ( ) , yaitu bernilai nol (0) Sehingga untuk satuan berikutnya selalu bernilai nol (0).

Dengan demikian untuk mengetahui angka satuan dari ( ) ( ) ( ) cukup dijumlahkan ( ) ( ) ( ) = 1 + 8 + 216 + 13824 = 14049 atau cukup menjumlahkan angka satuan dari hasil ( ) ( ) ( ) , yaitu 1 + 8 + 6 + 4 = 19. Oleh karena itu angka satuannya adalah 9

Jadi, angka satuan dari ( ) ( ) ( ) adalah 9 3. Banyak pasangan bilangan bulat (P,Q) yang merupakan solusi dari

dengan 1 ≤ P ≤ 9 dan 1 ≤ Q ≤ 9 adalah ....

Pembahasan: ada 8

Persamaan dari kita uraikan dulu untuk mempermudah dalam mengetahui pasangan P dan Q, yakni sebagai berikut.

 =  =  ( )( ) =  ( ) = 1  =

Artinya bahwa nilai P lebih besar 1 angka dari nilai Q.

Karena diketahui nilai P dan Q adalah 1 ≤ P ≤ 9 dan 1 ≤ Q ≤ 9, maka pasangan bilangan bulat (P,Q) = {(2,1); (3,2); (4,3); (5,4); (6,5); (7,6); (8,7); (9,8)} yaitu ada sebanyak 8 pasangan

Jadi, banyak pasangan bilangan bulat (P,Q) yang dimaksud adalah ada 8

4. Ketika Bu Siti pulang ke rumah, dia baru mengetahui bahwa pot bunga di depan rumah pecah. Bu Siti mengumpulkan keempat anaknya dan menanyai siapa yang memecahkan pot bunga tersebut. Berikut pernyataan keempat anaknya.

Tina : Saya tidak melakukannya.

Andi : Saya tidak melakukannya dan Tina juga tidak melakukannya. Mira : Saya tidak melakukannya dan Andi juga tidak melakukannya. Sari : Tina tidak melakukannya dan Andi tidak melakukannya.

Beberapa waktu kemudian Bu Siti mengetahui bahwa hanya ada satu anaknya yang berkata bohong. Siapakah yang memecahkan pot bunga Bu Siti?

Pembahasan: Sari

Akternatif 1

Diketahui Tina : Saya tidak melakukannya.

Andi : Saya tidak melakukannya dan Tina juga tidak melakukannya. Mira : Saya tidak melakukannya dan Andi juga tidak melakukannya. Sari : Tina tidak melakukannya dan Andi tidak melakukannya.

Untuk mengetahui siapa yang kemungkinan memecahkan pot bunga, coba perhatikan beberapa kasus berikut.

Kasus 1 : Jika Tina Jujur, maka Andi mungkin juga jujur Kasus 2 : Jika Tina berbohong, maka Andi pasti berbohong Kasus 3 : Jika Andi Jujur, maka kemungkinan Mira juga jujur Kasus 4 : Jika Andi berbohong, maka Mira pasti juga berbohong Kasus 5 : Jika Tina Jujur dan Andi Jujur, maka Sari pasti jujur

Kasus 6 : Jika Tina berbohong dan Andi berbohong, maka Sari pasti berbohong

Kasus 7 : Jika Tina Jujur tapi Andi berbohong, maka Sari berbohong

Kasus 8 : Jika Tina berbohong tetapi Andi Jujur, maka Sari berbohong

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kemungkinan besar yang berbohong adalah Sari Jadi, yang memecahkan pot bunga Bu Siti kemungkinan besar adalah Sari

Akternatif 2 (Pak Saiful Arif: Guru SMPN 13 Malang)

Misal x = Tidak Melaksanakan V = Melaksanakan

Hanya satu anak yang bohong (negasi dari yang diucapkan) Berarti yang lain jujur (sesuai dengan yang diucapkan)

Tina Andi Mira Sari Keterangan

Tina bohong V & x (TM) x Menurut Andi, Tina x Andi bohong V V & x (TM) x Menurut Mira, Tina x Mira bohong x x V ? Tidak bisa Memutuskan Sari Sari bohong x x x V Hanya Sari yang melakukan

Jadi, Sari yang memecahkan pot bunga Bu Siti

5. Salah satu akar dari adalah negatif dari salah satu akar lainnya. Tentukan nilai d.

Pembahasan: 20

Alternatif 1

Untuk mencari salah satu akar negatif dari suku banyak tersebut, perhatikan uaraian berikut. 1. Misalkan akar negatifnya adalah (x + 1). Karena (x + 1) dimisalkan merupakan faktor dari

suku banyak tersebut, maka berlaku ( ) , sehingga ( ) dari (x + 1) diperoleh x = –1

( ) = ( ) ( ) ( )

0 = –2 – 5 + 8 + d –1 = d

Dengan demikian suku banyak tersebut adalah = 0

Kemudian, kita selidiki apakah dua akar lainnya adalah positif. Untuk mengetahui perhatikan uraian berikut.

Dengan memperhatikan bentuk dari , maka kedua akar ini tidak sama-sama positif, jadi permisalan salaha satu akar negatif (x + 1) adalah salah

2. Misalkan akar negatifnya adalah (x + 2). Karena (x + 2) dimisalkan merupakan faktor dari suku banyak tersebut, maka berlaku ( ) , sehingga

( ) dari (x + 1) diperoleh x = –1

( ) = ( ) ( ) ( )

0 = –16 – 20 + 16 + d 20 = d

Dengan demikian suku banyak tersebut adalah = 0

Kemudian, kita selidiki apakah dua akar lainnya adalah positif. Untuk mengetahui perhatikan uraian berikut.

Dengan memperhatikan bentuk dari , maka kedua akar ini sama-sama positif yaitu ( )( ). Jadi permisalan salah satu akar negatif (x + 2) adalah benar

Jadi, salah satu kemungkinan nilai d adalah 20

“apakah masih ada akar negatif lainnya?...silahkan diboca....!”

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 _ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 _ 0 (x + 1) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 _ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 _ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 _ 0 (x + 2) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 _ 𝑥 𝑥

Alternatif 2 (Pak Budi Harjo)

Tersapat dua akar yang berlawanan Misal: akar-akarnya a, –a, dan b

( )( )( ) = 0 ( )( ) = 0 = 0 --- × 2 = 0  = 0  2b = 5  b = 2a2 = 8  a2 = 4 d = 2a2b  d = 2(4)( ) = 20 Jadi, nilai d adalah 20 6. Jika x dan n adalah bilangan bulat positif sehingga _{, maka nilai dari x + n adalah...} Pembahasan: 65 = _{ = 615}

 ( )( ) = 615

Kemudian mencari dua faktor yang mungkin dari 615, yaitu 5 dan 123  ( )( ) = 5×123 Sehingga ( ) = 5 dan ( ) = 123

Kemudian mencari nilai n dan x dari kedua persamaan tersebut, sebagai berikut. ( ) = 123

( ) = 5 +

2( ) = 128 = 64

= sehingga n = 6 dan x = 59, maka x + n = 65

Jadi, nilai dari x + n adalah 65

7. Dengan menggunakan huruf T, O, H, I, dan R dapat dibentuk kata yang terdiri dari 5 huruf tersebut. Jika kata ini disusun menurut susunan abjad, maka pada posisi ke berapakah kata TRHIO terbentuk?

Pembahasan: 115

Mencari pola untuk mengethui posisi susunan dari YPBEM, sebagai berikut 1. BEMPY : sebanyak 4! = 24

2. EBMPY : sebanyak 4! = 24 3. MBEPY : sebanyak 4! = 24 4. PBEMY : sebanyak 4! = 24

5. YBEMP : a. Untuk 3 huruf terakhir dari YBEMP : sebanyak 3! = 6 b. Untuk 3 huruf terakhir dari YEBMP : sebanyak 3! = 6 c. Untuk 3 huruf terakhir dari YMBEP : sebanyak 3! = 6 b. Untuk huruf YPBEM : sebanyak 1! = 1

Total susunan yang didapat = 4×24 + 3×6 + 1 = 96 + 12 + 1 = 115

8. Suatu kompetisi olahraga diikuti 7 tim yaitu A, B, C, D, E, F, dan G. Bendera tiap tim itu akan dikibarkan pada 7 tiang yang diatur dalam satu baris. Ada berapa cara untuk mengatur bendera-bendera dengan bendera-bendera tim A dan tim B berada di ujung?

Pembahasan: 240 cara

Untuk mengetahui banyak cara engatur posisi bendera-bendera tersbut samahalnya dengan mengatahui banyak cara susunan huruf A, B, C, D, E, F, dan G dengan syarat A dan B berada di ujung, yakni sebagai berikut.

ACDEFGB = 2 (susunan A dan B) × 5! (susunan CDEFG)

= 2 × 5!

= 2 × 120

= 240

Jadi, banyak cara untuk mengatur bendera-bendera tersebut dengan bendera tim A dan tim

B berada di ujung adalah sebanyak 240 cara

9. Jika q : p = 20 : 16, maka nilai adalah ....

Pembahasan: atau 2,794

Diketahui q : p = 20 : 16  = =

 q = 5n dan p = 4n, dengan n bilangan bulat

= ( )( ) ( ) = _{( )( ) [( ) ( )]} [ingat: (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)] = ( ) ( )( ) ( ) [( ) ( )] = _{( )( )}( ) _{[( )} ( ) _{( )]} = _{[ ( )]} = ( ) = = = =

Jadi, nilai adalah adalah atau 2,794

10. Seorang masinis di kereta penumpang ingin mengukur laju kereta yang ditumpanginya. Karena pengukuran laju di kereta penumpang masih rusak, maka dia membutuhkan informasi lain yang relevan, dia diberitahukan bahwa keretanya berpapasan dengan kereta barang yang lajunya 20 km/jam dan panjang kereta barang adalah 200 meter. Jika dia berhasil mencatat bahwa kereta barang berpapasan dengan keretanya selama 12 detik, berapakah laju kereta penumpang?

Pembahasan: 40 km/jam

Alternatif 1

Perhatikan sketsa gambarnya berikut!

Misalkan titik P adalah seorang penumpang yang mencatat bahwa kereta barang berpapasan selama 12 detik. Sehinga dengan keterangan di atas, diperoleh sebagai berikut:

Selama 12 detik kereta Penumpang telah bergerak sejauh = V1 km/jam × 12 detik = 3600 1 V km/detik × 12 detik = 300 1 V km

Sedangkan selama 12 detik kereta Barang telah bergerak sejauh = 20 km/jam × 12 detik = 3600 20 km/detik × 12 detik = 30 2 km Dengan demikian,

jarak berpapasan kedua kereta atau panjang kereta barang = 300 1 V + 30 2 10 2 = 300 20 1 V V1 = 40

Jadi, laju kereta penumpang adalah 40 km/jam

Alternatif 2 (Pak Budi Harjo)

Misal: Kecepatan kereta penumpang = V Kecepatan kereta barang = Vb Kecepatan relatif = Vr

Pergunakan kecepatan relatif, anggap kereta barang diam maka kecepatan relatif kereta penumpang:

Vr = V + Vb

Vr = (V + 20) km/jam

Jarak relatif = 200 ditempuh selama 12 detik Vr = Penumpang Kereta Barang Kereta jam km V₁ / jam km V₂ 20 / P km meter 10 2 200 

= ⁄ ⁄ = = 60 V + 20 = 60 = 60 – 20 = 40

Jadi, kecepatan kereta penumpang = 40 km/jam

11. Perhatikan gambar berikut. Jika dikatahui |AB| = |CD|, CBD = 65, DBA = 80, BAD = 50, tentukan besar CDB.

Pembahasan: 50

Perhatikan segitiga ABD! Besar ADB = 180 – (50 + 80) = 50 Sehingga segitiga ABD merupakan segitiga sama kaki

Perhatikan segitiga BDC! Karena dikatahui |AB| = |CD|, maka segitiga BDC merupakam segitiga sama kaki. Sehingga besar CDB = 180 – (2×65) = 50

Jadi, besar CDB = 50

12. Perhatikan persegi ABCD dengan |AB| = 7. Titik E berada pada garis AD sehingga |DE| = 1 dan |EA| = 4. Garis BD dan CE berpotongan di titik F. Berapakah luas BCF?

Pembahasan: 14 12

7

atau 14,583 satuan luas

A B C D 50 80 65 A B C D E _F

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Perhatikan segitiga BCF dan segitiga DEF! Keduanya kongruen, sehingga didapat :

DEF segitiga tinggi BCF segitiga tinggi = DE BC 1 5 7 _a  a t t  1 . ta = 5(7 – ta)  ta = 35 – 5ta  6ta = 35  ta = 6 35 Sehingga: Luas segitiga BCF = 2 1 × BC × ta = 2 1 × 5 × 6 35 = 12 175 = 14 12 7

Jadi, Luas segitiga BCF adalah 14 12

7

atau 14,583 satuan luas

13. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Dina dan Dini, butuh waktu 12 jam untuk selesai. Jika Dini sendirian yang mengerjakan pekerjaan itu, akan selesai x jam lebih lambat dibandingkan Dina. Jika x adalah bilangan bulat positif, maka carilah semua kemungkinan waktu yang dapat ditempuh oleh Dina untuk menyelesaikan pekerjaan itu sendirian.

Pembahasan: 13 jam, 14 jam, 15 jam, 16 jam, 18 jam, 20 jam, dan 21 jam

Alternatif 1

Misalkan Dina dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu t jam, dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu (t + x) jam Sehingga

Rata-rata dalam waktu 1 jam Dina dapat menyelesaikan

t

1

pekerjaan, dan Rata-rata dalam waktu 1 jam Dini dapat menyelesaikan

x t

1

pekerjaan Jadi , Rata-rata dalam 1 jam Dina dan Dini dapat menyelesaikan 

       x t t 1 1 pekerjaan A B C D E _F 7 1 4 5 ta

Atau rata-rata dalam 1 jam Dina dan Dini dapat menyelesaikan

_

_

x t t x t   2 pekerjaan

Dengan kata lain, Dina dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan dalam waktu





x t x t t   2 jam Berdasarkan soal diatas diperoleh persamaan





x t x t t   2 = 12 t2 + xt = 24t + 12x xt – 12x = 24t – t2 x(t – 12) = t(24 – t) x = ( )_{( )}

Sehingga untuk nilai x bilangan bulat positif, maka nilai t yang memenuhi adalah 12 < t < 24. Kemudian jika disyaratkan juga bahwa nilai t adalah bilangan bulat positif, maka didapat sebagai berikut.

Untuk t = 13  x = ( )_{( )} = 143 (memenuhi) Untuk t = 14  x = ( )_{( )} = 70 (memenuhi) Untuk t = 15  x = ( )_{( )} = 45 (memenuhi) Untuk t = 16  x = ( )_{( )} = 32 (memenuhi) Untuk t = 17  x = ( )_{( )} = 23,8 (tidak memenuhi)

Untuk t = 18  x = ( )_{( )} = 18 (memenuhi) Untuk t = 19  x = ( )_{( )} = 13,571 (tidak memenuhi)

Untuk t = 20  x = ( )_{( )} = 10 (memenuhi) Untuk t = 21  x = ( )_{( )} = 7 (memenuhi) Untuk t = 22  x = ( ) ( ) = 4,4 (tidak memenuhi) Untuk t = 23  x = ( ) ( ) = 2,09 (tidak memenuhi)

Jadi, waktu yang mungkin yang dapat ditempuh oleh Dina untuk menyelesaikan pekerjaan itu sendirian adalah 13 jam, 14 jam, 15 jam, 16 jam, 18 jam, 20 jam, dan 21 jam

Alternatif 2 (Pak Budi Harjo)

Misal:

waktu Dina menyelesaikan sendirian = a jam waktu Dini menyelesaiakan sendirian = i jam maka,

i = a + x

Unjuk kerja bersama-sama: + =

+

( ) =

--- × 12a(a + x) 12(a + x) + 12a = a(a + x)

(a + x)(a – 12) = 12a (a + x) = x =

– a Untuk x positif, maka x > 0

– a > 0 – ( ) ( ) > 0 ( ) > 0 ( ) < 0

sehingga untuk a < 0 (tidak memenuhi) atau 12 < a < 24

Jika persyaratan selisih waktu Dina dan Dini (x) saja yang bulat, pasti selalu ada nilai a yang memenuhi.

Tetapi jika persyaratan waktu Dina dan Dini juga bulat, maka dapat dibuat tabel pengujian dengan perhitungan: x = – a a x i Keterangan 13 143 156 14 70 84 15 45 60 16 32 48 17 25,8 42,8 Tidak memenuhi 18 18 36 19 13,6 32,6 Tidak memenuhi 20 10 30 21 7 28 22 4,4 26,4 Tidak memenuhi 23 2,1 25,1 Tidak memenuhi

Jadi, waktu yang mungkin yang dapat ditempuh oleh Dina untuk menyelesaikan pekerjaan itu sendirian adalah 13 jam, 14 jam, 15 jam, 16 jam, 18 jam, 20 jam, dan 21 jam

14. Diketahui _{, tentukan nilai dari .}

Pembahasan: _{= 56  = 56}  × 7 = 56  = 8  ( ) = 8  = √  = 2

Dengan demikian nilai = 2 disubstitusikan ke ₌ ( ) ₌ ( ) ₌ Jadi, nilai dari adalah

15. Aldi mempunyai 4 bola biru, 7 bola merah, dan 13 bola hijau yang ditempatkan dalam suatu kardus. Jika Aldi ingin mengambil bola-bola tersebut dengan mata tertutup, berapakah minimum bola yang harus diambil Aldi untuk memastikan terambil 3 bola untuk setiap warna?

Pembahasan: 23 bola

Diketahui Aldi mempunyai 4 bola biru, 7 bola merah, dan 13 bola hijau, sehingga total bola ada sebanyak 24 bola

Kemudian untuk mengetahui berapa banyak minimum pengambilan bola akan terambil 3 bola untuk setiap warna, perhatikan uarai berikut.

a) Jika mengambil 9 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 7 bola merah dan 2 bola biru. Dalam kondisi ini masih belum ada 3 bola hijau

b) Jika mengambil 13 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 13 bola hijau saja. Dalam kondisi ini masih belum ada 3 bola biru dan 3 bola merah

c) Jika mengambil 20 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 13 bola hijau dan 7 bola merah. Dalam kondisi ini masih belum ada 3 bola biru

d) Jika mengambil 22 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 13 bola hijau, 7 bola merah dan 2 bola biru. Dalam kondisi ini masih bola biru yang terambil masih kurang 1

Dengan demikian, pengambilan minimum yang mungkin = 13 + 7 + 3 = 23

Jadi, minimum bola yang harus diambil Aldi untuk memastikan terambil 3 bola untuk setiap warna adalah sebanyak 23 bola

16. Suatu dadu ditos 6 kali. Berapa peluang mendapatkan jumlah mata dadu 28 dengan syarat muncul mata dadu 6 tepat satu kali?

Pembahasan:

Diketahui, suatu dadu ditos 6 kali sehingga jumlah mata dadu dari masing-masing tos = 66 Misalkan suatu dadu ditos 6 kali berturut-turut adalah a, b, c, d, e, dan f

Misalkan juga tos pertama muncul a = 6, maka pada tos b, c, d, e sampai f hanya boleh muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan jumlahnya 22.

Kemungkinan yang seperti ini hanya ada tiga kasus yaitu

1) muncul angka : 2, 5, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada = 5 cara. 2) muncul angka : 3, 4, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada = 20 cara. 3) muncul angka : 4, 4, 4, 5, 5 yang banyaknya cara ada

= 10 cara.

Dengan demikian, total ada 5 + 20 + 10 = 35 cara jika pada tos pertama muncul angka 6.

Akan tetapi, karena keenam tos memiliki peluang yang sama untuk muncul angka 6 berakibat total keseluruhan cara yang mungkin yaitu 6 × 35 = 210 cara.

Jadi, Berapa peluang mendapatkan jumlah mata dadu 28 dengan syarat muncul mata dadu 6 tepat satu kali adalah

17. PQRSTU adalah segienam dengan ukuran sudut-sudutnya adalah 120. Jika PQ = 1 cm, QR = 4 cm, RS = 5 cm, dan ST = 2 cm, tentukan keliling PQRSTU, dalam cm

Pembahasan: 21 cm

Diketahui PQRSTU adalah segienam dengan ukuran sudut-sudutnya adalah 120, maka garis PQ//TS, QR//TU, dan RS//PU

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Perhatikan PQA, QCR, SRD, TUE, dan PUF adalah segitiga sama sisi Perhatikan QCR! Maka panjang QC = 4 cm dan perhatikan garis PQ dan TS serta

perpanjangannya, maka panjang BC = 2 cm. Sehingga panjang PB = 4 – 2 + 1 = 3 cm, dengan demikian panjang TE = 3 cm, maka panjang TU = 3 cm.

Kemudian, perhatikan SRD! Maka panjang SD = 5 cm dan perhatikan garis TS dan PQ serta perpanjangannya, maka panjang PF = 5 + 2 – 1 = 6 cm. Sehingga panjang PU = 6 cm

Dengan demikian keliling PQRSTU = PQ + QR + RS + ST + TU + PU = 1 + 4 + 5 + 2 + 3 + 6

= 21 cm

Jadi, keliling PQRSTU adalah 21 cm

P Q R S T U 1 2 4 5 2 5 5 4 120 120 120 120 _{60 60} 60 60 60 60 60 60 60 _{B C} D E F P Q R S T U 1 2 4 5 60 A

18. Titik P terletak di dalam persegipanjang ABCD. Jika AP = 3, BP = 4 dan CP = 5, maka panjang

DP adalah ....

Pembahasan: √

Alternatif 1

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Perhatikan PEC! PEC merupakan segitiga siku-siku di titik E, sehingga dengan tryple pythagoras didapat panjang PE = 3 dan EC = 4. Oleh karena itu panjang CG = 3 dan PG = 4 Sehingga dengan pythagoras didapat panjang BE = √ , sehingga panjang BC = 4 + √

Kemudian perhatikan APF! Dengan pythagoras didapat panjang AF = √ , sehingga mengakibatkan panjang DG = √

Dengan demikin, panjang DP = √ (√ ) = √ = √

Jadi, panjang DP adalah √

Alternatif 2 (Bu Endang Erna: Guru SMPN 8 Malang)

Perhatikan gambar berikut.

Dengan pythagoras didapat:

b2 + c2 = 16 b2 + d2 = 25 a2 + c2 = 9 – a2 + d2 = DP2 – b2 – a2 = 7 b2 – a2 = 25 – DP2 25 – DP2 = 7 DP2 = 18 DP2 = √

Jadi, panjang DP adalah √

A B C D P 3 4 5 A B C D P 3 4 5 a b c _d A B C D P 3 4 5 E F G 3 4

19. Menurut Gagne, secara garis besar ada 2 macam objek yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu objek-objek langsung (direct objects) dan objek-objek tak langsung (indirect objects). Sebutkan empat objek langsung dalam matematika.

Pembahasan:

Empat objek langsung dalam matematika menurut Gagne 1. Fakta,

2. Konsep, 3. Prinsip,

4. Keterampilan.

20. Pemecahan masalah merupakan aktivitas intelektual yang paling tinggi. Pemecahan masalah harus didasarkan atas adanya kesesuaian dengan struktur kognitif yang dimiliki siswa, supaya tidak terjadi stagnasi. Menurut Polya, dalam memecahkan masalah ada empat tahapan yang dilakukan. Sebutkan empat tahapan pemecahan masalah menurut Polya.

Pembahasan:

Empat tahapan pemecahan masalah menurut Polya 1. Memahami masalah,

2. Merencanakan pemecahan masalah, 3. Melaksanakan rencana,

4. Melihat kembali.

Dibahas oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://m2suidhat.blogspot.com/

Soal Uraian.

Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya pada tempat yang disediakan pada lembar jawaban.

1. Suatu segiempat ABCD dengan AB sejajar dengan DC, lihat gambar di bawah. Titik F adalah titik tengah ruas garus BC. Jika luas daerah segitiga AFD adalah 10 cm2, berapakah luas daerah segiempat ABCD, dalam cm2?

Pembahasan: 20 cm2

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Luas segiempat ABCD = Luas ABF + Luas CDF + Luas AFD ( ) × t = × a × ( ) + × b × ( ) + 10 (a + b) × t = × at + × bt + 20 2(a + b) × t = at + bt + 40 2at + 2bt = at + bt + 40 (a + b)t = 40

Dengan demikian, luas segiempat ABCD = ( ) × t = = 20

Jadi, luas daerah segiempat ABCD adalah 20 cm2

2. Garis g melalui titik (–20,16) dan (20,–16). Jika titik (b,a) dan (7,2) dilalui garis h dan garis h tegak lurus garis g, maka nilai adalah ....

Pembahasan: 53

Diketahui garis g melalui titik (–20,16) dan (20,–16). Kemiringan garis q; mg =

= Karena garis h tegak lurus garis g, maka mh × mg = –1  mh × ( ) = –1

 mh = Garis dilalui oleh titik (b,a) dan (7,2), sehingga kemiringan garis h: mh =

= 5(7 – b) = 4(2 – a) D A B C F D A B C F _t a b

35 – 5b = 8 – 4a 4a – 5b = –27 (4a – 5b)2 = (–27)2 16a2 – 40ab + 25b2 = 272

Dengan demikian untuk = ( )

=

= 729 – 676 = 53

Jadi, nilai adalah 53

3. Ali, Ani, Adi, Budi, dan Bagas kursus musik di tempat yang sama dengan jadwal yang berbeda. Ali kursus setiap 2 hari sekali, Ani 3 hari sekali, Adi 5 hari sekali, Budi 7 hari sekali, Bagas 11 hari sekali. Jika terakhir mereka kursus bersama pada tanggal 31 Januari 2016, kapan mereka akan kursus bersama lagi?

Pembahasan: setelah 2.310 hari atau pada tanggal 29 Mei 2022

Diketahui Ali kursus setiap 2 hari sekali, Ani 3 hari sekali, Adi 5 hari sekali, Budi 7 hari sekali, Bagas 11 hari sekali dan terakhir mereka kursus bersama pada tanggal 31 Januari 2016

Untuk mengetahui kapan mereka akan kursus bersama lagi sama halnya dengan mencari KPK dari 2, 3, 5, 7, 11 yaitu 2310

Dengan demikian, mereka akan kursus bersama lagi setelah 2.310 hari

Karena tahun 2016 termasuk tahun kabisat, maka 1 tahun ada 366 hari sampai tahun 2017, artinya bahwa 366 hari setelah tanggal 1 Pebruari 2016 adalah tanggal 31 Januari 2017.

Perhatikan kembali lama hari mereka akan kursus kembali, yaitu 2.310 hari sekitar 6 tahun lagi tepat tahun 2022

Permasalahannya sekarang tentang tahun yang terdapat tahun kabisat, yaitu tahun 2016 dan 2020. Sehingga total seluruh hari selama 6 tahun kedepan = 6 × 365 + 2 = 2192

Berarti untuk menuku 2.310 hari kurang 2.310 – 2192 = 118 hari lagi

Selama 2192 hari tepat pada tanggal 31 Januari 2022, sedangkan untuk 118 lagi tepat pada [28+31+30+(31–2)] yaitu pada tanggal 29 Mei 2022

Jadi, mereka akan kursus bersama lagi setelah 2.310 hari atau pada tanggal 29 Mei 2022 4. Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan ( ) ( ) dengan dan bilangan real.

Tentukan ( ) jika diketahui ( ) .

Pembahasan:

Diketahui ( ) ( ) dengan dan bilangan real dan ( ) Karena x dan y bilangan real maka untuk ( ) didapat

( ) = ( ) = ( ) = = =

5. Bu Diah akan mengajarkan konsep luas lingkaran dengan menggunakan media lingkaran yang dipotong menjadi beberapa juring. Berikut ilustrasinya.

Tuliskan lintasan belajar (urutan proses pembelajaran) yang perlu dilakukan Bu Diah.

Pembahasan:

Lintasan belajar konsep luas lingkaran

1. Mengingatkan kembali tentang luas persegipanjang, unsur-unsur lingkaran, keliling lingkaran, ciri-ciri sudut pusat, panjang busur, dan juring lingkaran. Panjang busur sebanding dengan sudut pusat yang menghadapnya. Begitupun luas juring sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut.

2. Menggambar sudut pusat panjang busur dan luas juring untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur lingkaran dan hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran.

Dari ilustrasi di atas kita bisa amati panjang busur AB bersesuaian dengan sudut pusat , begitupun luas juring AOB bersesuaian dengan sudut pusat . Ukuran sudut pusat lingkaran adalah antara hingga .

r

Dipotong dan disusun seperti berikut

r r A 𝛼 B O A B O

Luas juring AOB A

𝛼

B O

𝛼

Sudut pusat 𝐴𝑂𝐵 atau ∠AOB Busur AB atau 𝐴𝐵

𝛼

Sudut pusat 𝐴𝑂𝐵 atau ∠AOB

A

𝛼

B O

3. Mendiskusikan tentang pemberian tugas berikut.

a. Buatlah lingkaran pada kertas berpetak dengan jari-jari 8 cm

b. Hitunglah banyaknya petak-petak persegi satuan yang dimuat dalam lingkaran dengan aturan jika sama atau lebih dari setengah petak persegi satuan dihitung satu, sedangkan yang kurang dari setengah petak tidak dihitung !

c. Banyak petak yang terhitung adalah mendekati luas lingkaran yang sebenarnya 4. Membahas penggunaan medai pembelajaran

Luas jajargenjang = alas × tinggi (t)

= Setengah keliling lingkaran × jari-jari (r) = K × r

= × 2r × r = r2

Luas Lingkaran = Luas persegi panjang  L = r2

Dibahas oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/

r

Dipotong dan disusun seperti berikut

r r

Setengah keliling lingkaran (𝟏

𝟐 K) = alas t = r