19
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks
Dalam bab ini, akan dikemukakan beberapa sifat tentang bilangan kompleks yang dapat digunakan untuk membuktikan kembali dan atau menemukan fakta baru tentang sifat-sifat bangun segiempat. Sifat-sifat yang dimaksud adalah [4]:
1. Setiap bilangan kompleks z dapat dikaitkan dengan vektor posisi OZ di bidang kompleks dengan titik pangkal di O dan titik ujung di Z. Dengan perkataan lain
setiap bilangan kompleks dapat dipikirkan sebagai suatu vektor. Ini berarti penjumlahan dua bilangan kompleks itu sama persis dengan penjumlahan dua vektor dibidang. imajiner murni. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.
4. Syarat cukup agar ketiga titik A, B, dan C segaris adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, dan C.
5. Syarat cukup titik A, B, C, dan D membentuk segiempat talibusur adalah
merupakan bilangan real. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.
6. Misalkan titik A terletak diluar lingkaran satuan S, AE dan AF adalah dua garis singgung pada lingkaran tersebut yang ditarik dari titik A sebagai mana terlihat
20
Gambar 4.1. Sepasang Garis Singgung yang Ditarik dari Titik A maka berlaku
Bukti fakta ini bisa dilihat di [4].
4.2 Penerapan Bilangan Kompleks Untuk Mengeksplorasi Sifat-Sifat Segiempat
Berikut ini, disajikan soal-soal penerapan bilangan kompleks untuk mengeksplorasi sifat-sifat segiempat. Soal-soal yang dipilih dianggap dalam penyelesaian dengan konsep dan sifat bilangan kompleks lebih mudah dibandingkan menggunakan hukum-hukum geometri Euclid
Soal 1 : Soal ini merupakan contoh soal yang diambil dalam artikel Geometric Aplication of Complex Number hal. 5 [1].
Misalkan ABCD adalah jajar genjang dan E, F, G, H adalah titik tengah dari
masing-masing garis AB, BC, CD, DA. Tunjukkan bahwa dan dan EFGH adalah jajar genjang.
Gambar 4.2.1. ABCD adalah Jajar Genjang dengan E, F, G, H adalah Titik-Titik Tengah Setiap Sisinya.
Penyelesaian:
21
1, bilangan kompleks ( ) mewakili titik tengah E sedangkan bilangan
kompleks ( ) mewakili titik tengah G. Jadi, ( ).
Diketahui ABCD adalah jajar genjang, maka dan . Sehingga
( ) ( ) ( ) Jadi, EG dan BC sejajar dan sama panjang. Selanjutnya, analog dengan cara di atas diperoleh
( ) ( ) ( ) Jadi, HF dan DC sejajar dan sama panjang.
Perhatikan segiempat EFGH. ( ) dan ( ). Oleh karena
itu, EF dan GH sejajar dan sama panjang, sehingga EFGH adalah jajar genjang. Q. E. D.
Soal 2: Soal ini merupakan soal no. 1.8 buku M. R. Spigel, [10] Complex Variables hal. 24. Buktikan bahwa kedua diagonal dalam jajar genjang saling potong memotong ditengah-tengah.
Gambar 4.2.2. Kedua Diagonal dalam Jajar Genjang Saling Potong-Memotong Ditengah-Tengah
Penyelesaian:
22
Karena , , maka ( ) dengan .
Dengan cara yang sama diperoleh ( ) dengan .
Selanjutnya, akan ditunjukkan . Tetapi merupakan bilangan imajiner murni, sehingga ( ) ( ) atau ( ) ( ) Dengan demikian menurut sifat 2 diperoleh ( ) dan . Ini berarti , . Jadi, terbukti P adalah titik tengah dari diagonal tersebut.
Q. E. D.
Soal 3 : Bukti Varignon’s theorem [2].
Titik tengah sisi segiempat sembarang membentuk jajar genjang.
Gambar 4.2.3. Varignon’s Theorem penyelesaian:
Misalkan a, b, c, d, k, l, m dan n bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, K, L, M dan N. Diberikan titik tengah K, L, M, dan N, seperti Gambar 4.2.3. Menggunakan sifat 1, bilangan kompleks
( ) mewakili titik tengah garis AB. Dengan cara yang sama untuk
menunjukan hasil l, m dan n. Oleh karena itu
( ) ( ) ( )
Dan
23
Sehingga , jadi garis oleh karena itu KLMN adalah
jajarangenjang. Q. E. D.
Soal 4 : Bukti Van Aubel’s theorem [2].
Jika pada suatu segiempat di sebelah kanan panjang sisi segiempat diletakan sebuah persegi yang bersesuaian dengan panjang sisi segiempat tersebut, maka dua garis yang terhubung dengan titik tengah pusat persegi adalah sama panjang dan tegak lurus.
Gambar 4.2.4 Van Aubel’s Theorem Penyelesaian:
Misalkan a, b, c, d, t, u, v dan w bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, T, U, V dan W. Perhatikan segiempat ABCD dan titik-titik pusat persegi T, U, V, W, seperti yang ditunjukkan pada
gambar 4.2.4. selanjutnya, ketiga titik A, T, B membentuk vertex sebuah persegi. Jadi, dengan menggunakan sifat 1 diperoleh
( ) ( )
Dengan cara yang sama
24
( ) ( )
( ) ( )
Sehingga
( ) ( )
Dan
( ) ( ) ( )
Terbukti, UW dan TV tegak lurus dan sama panjang. Q. E. D
Soal 5 : Bukti Thebault’s first theorem [7]
Jika pada setiap sisi suatu jajar genjang dibentuk persegi maka pusat dari keempat
persegi tersebut akan berupa persegi.
Gambar 4.2.5. Thebault’s First Theorem Penyelesaian:
Misalkan dan masing-masing menyatakan bilangan kompleks yang
25
Misalkan pula M1, M2, M3, dan M4 adalah tititk dari persegi sebagaimana terlihat pada gambar 4.2.5. jadi,
Analog diperoleh
Dari hasil di atas diperoleh
( )
( )
Dengan demikian,
( )
Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan ( )
.
Soal 6: Berikut akan dibuktikan bahwa di dalam belah ketupat diagonalnya tegak lurus satu sama lain.
26
Soal 7: Jika masing-masing diagonal dari segiempat membagi dua sama panjang, maka terjadilah jajar genjang [1].
Gambar 4.2.7. Diagonal Jajar Genjang Membagi Dua Sama Panjang Penyelesaian:
Perhatikan Gambar 4.2.7. Misalkan ( ) ( ) ( ) dan ( ) adalah tititk
27
( ) ( )
Ini berarti AD dan BC sama panjang dan sejajar. Analog diperoleh AD dan BC sama panjang dan sejajar. Dari bukti-bukti tersebut dapat diketahui bahwa gambar tersebut adalah jajar genjang.
Soal 8 [5]: Diberikan tiga titik A, B dan C yang tak segaris, seperti Gambar 4.2.8. Misalkan Z adalah pencerminan dari C pada garis AB. Maka, z dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Gambar 4.2.8. Z adalah hasil pencerminan titik C terhadap garis AB Penyelesaian:
Perhatikan Gambar 4.2.8, misalkan a, b, c dan z bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C dan Z. Misalkan pula M adalah titik tengah dari ZC. Jadi,
Karena Z adalah hasil pencerminan dari C terhadap garis AB, maka M pasti terletak pada garis AB. Sehingga menurut sifat 3 diperoleh
(
) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Karena
28
( )
̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅) Demikian pula karena ZC tegak lurus terhadap garis AB
29
. Jika A, B, C dan H berturut turut adalah titik-titik pada bidang yang bersesuaian dengan bilangan kompleks a, b, c dan h, maka buktikan bahwa titik H merupakan titik potong dari garis tinggi segitiga ABC [5].
Gambar. 4.2.9. Titik H Merupakan Titik Potong Garis Tinggi Segitiga ABC Penyelesaian:
Perhatikan Gambar. 4.2.9. Untuk membuktikan H adalah titik tinggi segitiga ABC, ditunjukkan . Jadi, menurut sifat 3 akan ditunjukkan bahwa bilangan
adalah bilangan imajiner murni.
Perhatikan bahwa
( )
Dengan demikian
̅ (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) ̅ ̅ ̅ ̅
Oleh karena itu, terbukti k adalah bilangan imajiner murni, sehingga . Analog di atas . Jadi, dapat disimpulkan bahwa dan .
Sehingga, H adalah titik potong dari garis tinggi segitiga , terbukti. Q. E. D.
30
Pada Gambar. 4.2.10. Terlihat segiempat APBQ terletak pada lingkaran dengan dan . X adalah sembarang titik pada segmen garis PQ dan S adalah titik potong garis AX dengan lingkaran . Titik T terletak
pada busur AQB pada lingkaran sehingga XT tegak lurus AX dan M adalah titik tengah segmen garis ST.
Gambar. 4.2.10. Ilustrasi Latar Belakang Soal USAMO 2015 No. 2
Jika X bergerak sepanjang segmen garis PQ, maka tunjukkan bahwa M bergerak sepanjang lingkaran.
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar. 4.2.11.
31
Misalkan a, b, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, S, T dan X. Tanpa mengurangi keumumannya dimisalkan merupakan lingkaran satuan dan O sebagai titik pusat lingkaran tersebut, maka .
Karena AB merupakan diameter dari , maka dan . Selanjutnya,
perhatikan bahwa APBQ adalah layang-layang. Jadi, . Tetapi AB berimpit dengan sumbu real, sehingga semua titik pada segmen garis PQ tegak
lurus terhadap sumbu real. Ini berarti semua titik pada segmen garis PQ memiliki bagian real yang sama. Oleh karena itu, ( ) konstan. Sedangkan XT tegak lurus terhadap AB, maka menurut sifat 2:
Apabila kedua persamaan (5) dan (6) diselesaikan untuk x dan ̅, akan diperoleh
( )
Terbukti bahwa M terletak pada lingkaran dengan pusat Z dan jari-jari
32
Soal 11 : Soal ini merupakan salah satu soal seleksi tingkat kabupaten/kota OSN 2009 bidang matematika SMA [13]. Diberikan segitiga ABC lancip. Lingkaran dalam segitiga ABC dengan titik pusat I menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB berurut-turut di D, E, dan F. Garis bagi sudut A memotong DE di K.
a) Buktikan bahwa BK tegak lurus garis bagi sudut BAC.
b) Buktikan bahwa CL tegak lurus garis bagi sudut BAC, dimana L adalah titik potong garis bagi sudut A dan garis DF.
c) Tunjukkan bahwa A1KML adalah segiempat talibusur, jika AA1 adalah garis tinggi dan M titik tengah BC.
Ilustrasi soal di atas diperlihatkan pada Gambar. 4.2.12.
Gambar. 4.2.12. OSN SMA 2009 BK Tegak Lurus AK, CL Tegak Lurus AL dan A1KML adalah Segiempat Talibusur.
Penyelesaian:
33
Gambar. 4.2.13. Titik I Merupakan Pusat Koordinat dan Garis Bagi Merupakan Sumbu Real.
Jadi, persamaan garis bagi adalah ̅ . Karena EF tegak lurus AI dan E
terletak pada lingkaran satuan, maka ̅ atau .
Selanjutnya, menggunakan sifat 6 diperoleh
Mengunakan sifat 2 diperoleh
( )
Misalkan z sembarang titik yang terletak pada garis DE, maka z segaris dengan
garis DE. Oleh karena itu berdasarkan sifat 4 persamaan garis DE adalah
̅ ̅ ̅ ̅ atau
̅ ̅
̅
34
Dengan cara serupa di atas, persamaan garis AA1 diperoleh dari:
Dengan menyederhanakan persamaan (9), maka persamaan garis akhir dapat ditulis dalam bentuk ( ) ( ) ̅ .
Selanjutnya, dengan memotongkan garis DE dan sumbu real AI diperoleh titik K yaitu
Demikian pula dengan memotongkan garis DF dan sumbu real AI diperoleh titik L yaitu
35
diperoleh persamaan garis A1 yaitu ( ) ( ) . Sehingga,
hasil akhir persamaan garis A1 adalah
1. Untuk membuktikan cukup ditunjukkan
bernilai imajiner.
Sehingga
̅ ̅ ̅
̅ ̅
Jadi, terbukti
bernilai imajiner, sehingga terbukti pula . 2. Untuk membuktikan bahwa dapat dilakukan dengan komputasi a). 3. Untuk membuktikan A1KML adalah segiempat talibusur, perhatikan Gambar.
4.2.14.
Gambar. 4.2.14. A1KML adalah segiempat talibusur. Cukup ditunjukkan
36
dan
Sehingga
Akibatnya
̅
Jadi, terbukti bahwa Y adalah real, maka terbukti A1KML adalah segi empat tali busur.
