Bilangan Kompleks dan Sifatnya

Bilangan Kompleks dan Sifatnya

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan definisi bilangan kompleks

2. Menentukan jumlah , hasil kali, pengurangan dan pembagian bilangan kompleks 3. Menggunakan sifat-sifat aljabar bilangan kompleks

Materi Ajar

Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai pasangan terurut

(1) dari bilangan riil x dan y.

Biasanya pasangan terurut (x,0) diidentifikasi sebagai bilangan riil x , dengan demikian himpunan bilangan kompleks memuat himpunan bilangan riil sebagai himpunan bagian. Bilangan kompleks dalam bentuk (0,y) disebut bilangan kompleks murni. Bilangan riil x dan y dalam ekspresi (1) dikenal sebagai bagian riil dan bagian imajiner dari z , kita menuliskannya sebagai

(2)

Dua bilangan kompleks z =₁ (x₁,y₁)dan z =₂ (x₂,y₂) dikatakan sama , ditulis

2

1 z

z = jika x =₁ x₂ dan y =₁ y₂ . Jadi dua bilangan kompleks sama jika dan hanya jika bagian riil dan bagian imajiner mereka sama. Jika z₁ tidak sama dengan z₂ ditulis

2

1 z

z 

Jumlah z +₁ z₂ dan hasil kali z₁z₂ dari bilangan kompleks z =₁ (x₁,y₁) danz =₂ (x₂,y₂) berturut-turut didefinisikan sebagai :

(3)

Catat bahwa operasi-operasi pada (3) adalah operasi jumlah dan hasil kali biasa jika dibatasi pada bilangan riil , yakni

(4) Jadi kita bisa memandang sistem bilangan kompleks sebagai perluasan natural dari sistem bilangan riil.

Khususnya (x,0)+(0,y)=(x,y) dan (0,1)(y,0)=(0,y)sehingga

(5) Untuk selanjutnya kita boleh menuliskan bilangan riil (x,0) sebagai x dan menuliskan i untuk bilangan kompleks murni (0,1), sehingga kita dapat menuliskan (5) sebagai

(6)

Gambar 1

Dengan konvensi z =² zz, z³ =z²z dan seterusnya, kita punyai )

0 , 1 ( ) 1 , 0 )(

1 , 0

2 =( = −

i

yakni

(7) Dengan menggunakan ekspresi (6), pendefinisian (3) dapat ditulis sebagai :

(8)

Sifat Aljabar Bilangan Kompleks

Berbagai sifat penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks sama dengan yang ada pada bilangan riil , berikut adalah beberapa sifat aljabar dari bilangan kompleks :

(9) (10) (11)

Terdapat bilangan kompleks 0 =(0,0)demikian sehingga 0+z =z= z+0, untuk setiap bilangan kompleks z . Untuk setiap bilangan kompleks z =(x,y) terdapat bilangan kompleks −z =(−x,−y) sedemikian sehingga z+ z(− )=0. Terdapat bilangan kompleks 1 =(1,0) demikian sehingga 1z= z=z1, untuk setiap bilangan kompleks z . Untuk setiap bilangan kompleks tak nol z =(x,y)terdapat bilangan kompleks



 





+

−

= +

−

2 2 2 2

1 ,

y x

y y

x

z x sedemikian sehingga zz⁻¹ =1

Selanjutnya 0 disebut elemen identitas terhadap operasi penjumlahan dan )

, ( x y z= − −

− disebut negatif dari z =(x,y) dan merupakan invers dari z terhadap operasi penjumlahan. Sedangkan 1 disebut elemen identitas terhadap operasi

perkalian dan _



 





+

−

= +

−

2 2 2 2

1 ,

y x

y y

x

z x dinamakan kebalikan dari bilangan kompleks

tak nol z =(x,y)dan merupakan invers dari z terhadap operasi perkalian. Invers terhadap operasi penjumlahan dan invers terhadap operasi penjumlahan adalah tunggal

Dengan sifat komutatif , maka kita punyai iy = yi, sehingga kita bisa menuliskan iy

x

z= + atau z =x+yi. Juga karena sifat asosiatif, maka kita bisa menuliskan

3 2

1 z z

z + + dan z₁z₂z₃ tanpa tanda kurung.

Eksistensi invers terhadap operasi penjumlahan memungkinkan kita membuat definisi pengurangan pada bilangan kompleks

(12) Sehingga jika z =₁ (x₁,y₁) danz =₂ (x₂,y₂) maka

(13)

Eksistensi invers terhadap operasi perkalian memungkinkan kita membuat definisi pembagian pada bilangan kompleks

(14) sehingga jika z =₁ (x₁,y₁) danz =₂ (x₂,y₂) maka

(15)

dan juga berlaku

(16)

Dengan menganggap z₁ =1 pada (14), maka kita punyai

(17)

(18) Selanjutnya dapat ditunjukkan,

(19)

(20)

Latihan :

1. Tunjukkan bahwa

a.

(

²⁻ⁱ

) (

^{−i1−i 2}

)

⁼⁻²ⁱ b.

( )( )

^(2,1)

10 , 1 5 1 1 , 3 1 ,

3 =



 



− 

c.

5 2 5

2 4 3

2

1 − =−

− + +

i i i

i

2. Buktikan bahwa : a. (1+z)² =1+2z+z²

b. z= 1i memenuhi persamaan z² − z2 +2=0

3. Selesaikan persamaan z² + z+1=0 ( petunjuk , misal z =(x,y))

4. Tunjukkan bahwa bilangan kompleks 1 =(1,0) adalah satu-satunya identitas perkalian

5. Buktikan bahwa

a. Im(iz)=Rez b. Re(iz)=−Imz c. z z = / 1

1 d. (− )1 z =−z 6. Buktikan bahwa jika z₁z₂ =0 maka z₁ =0 atau z₂ =0

7. Buktikan bahwa

a. _



 







 



=

2 1 2 1

1 1 1

z z z

z b. _



 







 



=

4 2

3 1

4 3

2 1

z z z z z z

z

z

c.

2 1

2 1

z z z z

z

z = d.

3 2

3 1

3 2 1

z z z z z

z

z + = +

8. Buktikan bahwa ^{n k k}

n

k

n

z z

k ) n

z

z

_{1 2}

0 2

(

1 ⁻



=





 



= 

+

_{, (n=1,2,... )}

dimana

)!

(

!

! k n k

n k

n

= −



 



 , ( =k 0,1,2,...)

Interpretasi Geometris dan Ketaksamaan Segitiga

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Menjelaskan interpretasi geometrik penjumlahan, modulus, konjugat 2. Membuktikan sifat-sifat yang terkait dengan modulus dan konjugat 3. Membuktikan ketaksamaan segitiga

4. Menyelesailkan masalah yang dalam strategi penyelesaiannya menggunakan modulus, konjugat dan ketaksamaan segitiga

Materi Ajar

Interpretasi Geometrik

Gambar 1

Bilangan kompleks z =x+iy biasa diasosiasikan dengan suatu titik di bidang yang memiliki koordinat (x,y). Setiap bilangan berkaitan satu titik dan sebaliknya. Sebagai contoh bilangan − 2+i direpresentasikan dengan (−2,1) seperti pada gambar di atas.

Bilangan z juga dapat dipikirkan sebagai ruas garis berarah atau vektor dari titik asal ke titik (x,y). Jika digunakan untuk tujuan menampilkan bilangan z=x+iy secara geometris , bidang-xy disebut bidang kompleks atau bidang z− . Sumbu- x disebut sumbu riil dan sumbu-y disebut sumbu imajiner.

Sesuai dengan definisi penjumlahan dari dua bilangan kompleks z =₁ (x₁,y₁) danz =₂ (x₂,y₂), bilangan z +₁ z₂ berkaitan dengan titik yang koordinatnya

) ,

(x₁ +x₂ y₁+ y₂ atau vektor dengan komponen tersebut dan z +₁ z₂ dapat diperoleh secara vektorial seperti ilustrasi pada gambar berikut

Gambar 2

Pengurangan z₁ −z₂ =z+(−z₂) berkaitan dengan titik yang koordinatnya )

,

(x₁ −x₂ y₁−y₂ atau vektor dengan komponen tersebut. z −₁ z₂ juga dapat diperoleh secara vektorial seperti ilustrasi pada gambar berikut

Gambar 3

Meskipun perkalian bilangan kompleks z₁ danz₂ adalah bilangan kompleks yang dapat dinyatakan dengan vektor yang terletak pada bidang yang sama dengan z₁ danz₂ tetapi hasil kalinya bukanlah hasil kali skalar atau vektor seperti yang biasa digunakan pada analisis vektor. Interpretasi geometrik dari hasil kali dua bilangan kompleks akan dibicarakan nanti pada pembicaraan tentang koordinat polar

Modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks z =(x,y)didefinisikan sebagai

2

2 y

x + dan dinotasikan dengan z , yakni

(1) Secara geometri z adalah jarak antara titik asal dengan titik (x,y) atau panjang vektor yang mewakili z. Jika z bilangan riil maka z =z. Ketaksamaan z ₁ z₂ berarti z₁dan z2 adalah bilangan riil , z ₁ z₂ berarti jarak z₁ke titik asal lebih dekat daripada jarak z2 ke titik asal.

Contoh 1 :

Karena −3+2i = 13 dan 1+ i4 = 17 maka titik −3 +21 lebih dekat ke titik asal dibandingkan dengan titik 1+4i

Jarak antara titik z₁ =x₁+iy₁ dan z₂ = x₂ +iy₂ dapat dilihat sebagai panjang

vektor yang merepresentasikan z −₁ z₂ ( lihat Gambar 3 ) , yakni z −₁ z₂ . Mengingat

maka

Bilangan kompleks – bilangan kompleks z yang berkaitan dengan titik-titik yang terletak pada lingkaran dengan pusat z₀ dan berjari-jari R memenuhi persamaan

R z

z− ₀ = dan sebaliknya. Selanjutnya himpunan titik-titik yang demikian kita sebut lingkaran z−z₀ =R.

Contoh 2 :

Persamaan z−1+3i =2 menyatakan lingkaran yang pusatnya adalah z₀ =(1,−3)dan berjari-jari R=2

Dari definisi (1) , kita punyai

(2) sehingga

(3) Konjugat kompleks atau disingkat konjugat dari bilangan kompleks z =x+iy didefinisikan sebagai bilangan kompleks z= x−iy dan dinyatakan z, yakni

(4)

Secara geometris bilangan kompleks z adalah titik (x −, y) yang merupakan refleksi terhadap sumbu riil dari titik (x,y) yang merepresentasikan z ( lihat Gambar 4 )

Gambar 4 Perhatikan bahwa

untuk semua z .

Jika z₁ = x₁ +iy₁ dan z₂ =x₂ +iy₂ , maka

sehingga konjugat dari jumlah adalah jumlah dari konjugat

(5) selanjutnya dapat ditunjukkan

(6) (7)

(8) Jumlah z +z dari bilangan kompleks z= x+iy dan z= x−iyadalah bilangan riil x

2 dan pengurangan z −z adalah bilangan imajiner murni 2iy. Sehingga

(9) Suatu identitas penting yang terkait dengan konjugat adalah

(10) Hal ini memberikan cara untuk menentukan hasil bagi

2 1

zz dengan mengalikan z pada ₂ pembilang dan penyebut, sehingga penyebutnya menjadi z₂ ².

Contoh 3 : Sebagai ilustrasi

Dengan menggunakan sifat konjugat kita sekarang juga bisa membuktikan yang berikut :

(11)

(12)

Ketaksamaan Segitiga

Sifat-sifat konjugat membantu kita dalam menurunkan secara aljabar ketaksamaan segitiga :

(13) Selanjutnya dari (13) dapat diturunkan bahwa :

(14)

Contoh 4:

Jika titik z terletak pada lingkaran z =1 di sekitar titik asal maka

dan

Secara geometris kita dapat mengatakan ketaksamaan segitiga dengan pernyataan panjang sisi segitiga lebih pendek dari jumlah dua sisi segitiga yang lain, Gambar 2 menjelaskan hal itu. Kita bisa lihat bahwa ketaksamaan (13) menjadi kesamaan jika titik yang merepresentasikan z₁, z₂ dan 0 segaris.

Ketaksamaan segitiga dapat digeneralisasi dengan menggunakan induksi matematika :

(15)

Contoh 5 :

Sifat (11) mengatakan pada kita bahwa z² = z² dan z³ = z³. Jika z adalah titik yang terletak di dalam lingkaran dengan pusat titik asal dan jari-jari 2 sehingga z 2 , maka dengan menggunakan (14) , maka

Latihan :

1. Tempatkan bilangan komplek z +₁ z₂ dan z −₁ z₂secara vektor, jika

2. Tunjukkan bahwa :

3. Buktikan bahwa

4. Buat sketsa titik-titik yang memenuhi kondisi berikut :

5. Dengan menggunakan fakta z −₁ z₂ adalah jarak antara z₁dan z₂, berikan argumentasi geometrik dari

menyatakan ellips dengan fokus

menyatakan garis melalui titik pusat dengan kemiringan -1 6. Buktikan bahwa

7. Buktikan bahwa :

8. Buktikan bahwa jika z ₃ z₄

9. Tunjukkan bahwa , jika z 1 maka

10. Jika z terletak pada lingkaran z =2

11. Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa untuk n=2,3,4,...

12. Misal a₀,a₁,...,a_n (n1) adalah bilangan riil dan z bilangan kompleks, tunjukkan

13. Tunjukkan bahwa persamaan lingkaran z−z₀ = R dapat ditulis sebagai

Bentuk Eksponensial

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Menyatakan suatu bilangan kompleks dalam bentuk eksponen

2. Memberikan interpretasi geometri terhadap bilangan kompleks dalam bentuk eksponen

3. Membuktikan sifat yang terkait dengan perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk eksponen

4. Menyelesailkan masalah yang dalam strategi penyelesaiannya melibatkan bentuk eksponensial bilangan kompleks

Materi Ajar

Misal r dan  koordinat polar dari titik (x,y) yang berkaitan dengan bilangan kompleks z= x+iy. Karena x =rcos dan y =rsin , z dapat dinyatakan dalam bentuk polar

(1) Jika z=0 maka  tidak didefinisikan, sehingga sebarang bilangan kompleks yang ditulis dalam bentuk polar dipahami sebagai tak nol.

Pada analisis kompleks bilangan riil r tidak diperbolehkan negatif dan menunjukkan panjang vektor yang mewakili z , yakni r = z . Bilangan riil  mewakili sudut , yang diukur dalam radian, yang dibentuk z dengan sumbu real positif jika

z dipandang sebagai vektor ( lihat Gambar 1 )

Gambar 1

Seperti halnya di kalkulus,  memiliki tak berhingga banyaknya nilai yang mungkin, termasuk bilangan riil negatif, berbeda dalam kelipatan 2 . Nilai tersebut dapat dicari  dengan

x

= y



tan , dimana kuadran yang memuat titik z harus diperhatikan. Setiap

nilai dari  disebut argumen dari z dan dinotasikan dengan argz. Nilai utama dari z

arg , dinotasikan dengan Arg z , adalah nilai argumen z ,  dengan − , jadi

(2)

Perhatikan bahwa argz tidak tunggal tapi Arg z tunggal.

Contoh 1 :

Bilangan kompleks −1−i terletak pada kuadran ketiga, memiliki argumen utama

dan

Catat bahwa Argz pada ruas kanan (2) dapat diganti dengan sebarang argz, sebagai contoh

Bentuk Eksponen

Simbol e^i atau exp(i) didefinisikan oleh rumus Euler sebagai

(3) dimana  diukur dalam radian. Bentuk polar (1) dapat dituliskan dalam bentuk eksponensial

(4)

Contoh 2 :

Bilangan kompleks −1−i seperti pada contoh 1 di atas dapat ditulis dalam bentuk eksponen

(5) Dengan kesepakatan e^−i =e^i(−), maka dapat ditulis −1−i= 2e^−i3/4. Ekspresi (5) adalah satu dari tak berhingga kemungkinan bentuk eksponensial dari −1−i;

Perhatikan bahwa ekspresi (4) dengan r =1 menunjukkan bahwa bilangan e^i yang terletak pada lingkaran yang berpusat di titik asal ( lihat Gambar 2 )

Gambar 2

Dengan menggunakan fakta itu, secara geometri kita dapat dengan segera menentukan posisi dari bilangan e^i tanpa menggunakan rumus Euler dan kita dapat menentukan bahwa

Perhatikan bahwa persamaan

(6)

adalah representasi parametrik dari lingkaran z =R, dengan pusat di titik asal dan jari-jari R. Sebagai parameter  bergerak mulai dari  =0 ke  =2, titik z bergerak mulai dari sumbu riil positif mengelilingi lingkaran berlawanan arah jarun jam. Secara lebih umum z−z₀ =R, adalah lingkaran yang pusatnya di z₀ dan jari-jarinya R memiliki representasi parametrik

(7) Secara vektorial ( lihat Gambar 3 ) hal tersebut dilihat sebagai titik z yang mengelilingi lingkaran z−z₀ = R satu kali berlawanan arah jarum jam, berkaitan dengan jumlah vektor z₀ dan vektor yang panjangnya R dan sudut inklinasi berubah dari  =0 ke



 =2

Gambar 3

Perkalian dan Pembagian dalam Bentuk Eksponensial

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri , e memiliki sifat yang ^i mirip dengan fungsi eksponen pada kalkulus

Jadi , jika z =₁ r₁e^i1 dan z =₂ r₂e^i2 maka hasilkali z₁z₂ memiliki bentuk eksponensial (8) Lebih lanjut

(9)

Karena 1=1eⁱ⁰ , berdasarkan ekspresi (9) invers dari bilangan kompleks z =re^i adalah

(10) Ekspresi (8) memberikan identitas terkait dengan argumen, yakni

(11)

Gambar 4

Ekspresi (11) , tidak berlaku secara umum pada Argz, hal tersebut dapat dilihat pada contoh berikut.

Contoh 3 :

Jika z =−1 dan z =₂ i , maka

tetapi

Tapi jika kita pilih arg z₁ =,

arg _{2 =}2

z dan

2 2 3 2 2

) ( )

arg(z₁z₂ = Arg z₁z₂ +  =− +  =  maka untuk kasus ini tetap berlaku ekspresi (11)

Ekspresi (11) mengatakan pada kita bahwa

(12) dan dari ekspresi (10)

(13) sehingga

(14)

Contoh 4 :

Untuk mencari argumen utama Arg z jika

perhatikan bahwa Karena

maka salah satu nilai dari argzadalah

3 2 3



 − = . Karena −    3

2 , maka kita dapat mengatakan

3 2

= Argz .

Selanjutnya dengan menggunakan induksi matematika, kita dapat menunjukkan bahwa

(15) Perhatikan bahwa jika r =1, ekspresi (13) menjadi

(16)

Jika dituliskan dalam bentuk

(17)

ini dikenal sebagai rumus de Moivre

Ekspresi (15) dapat digunakan untuk menentukan pangkat suatu bilangan kompleks jika diberikan dalam bentuk koordinat siku-siku.

Contoh 5 :

Untuk menentukan ( 3+i)⁷ yang diberikan dalam koordinat siku-siku , kita hanya perlu menuliskan

Latihan :

1. Tentukan argumen utama (Arg z), jika :

2. Tunjukkan bahwa :

3. Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan

4. Buktikan bahwa

5. Dengan menggunakan fakta secara geometri bahwa e^i −1 adalah jarak antara e^i dengan 1 , berikan argumentasi secara geometrik untuk mencari nilai  pada interval 0 2 yang memenuhi persamaan e^i −1 =2

6. Gunakan rumus de Moivre untuk menghitung :

7. Dengan menuliskan sisi kiri dalam bentuk eksponensial, lakukan operasi yang diminta dan kemudian ubah kembali dalam koordinat siku-siku

8. Tunjukkan bahwa jika Rez₁ 0 dan Rez₂ 0 maka

9. Tunjukkan bahwa

( ) ( )

^{z−1 m = zm −1} dengan menggunakan

10. Buktikan bahwa dua bilangan kompleks z₁ dan z₂ memiliki modulus yang sama jika dan hanya jika terdapat bilangan kompleks c₁ dan c₂ sedemikian sehingga

2 1

1 cc

z = dan z =₂ c₁c₂. Saran : Gunakan

11. Buktikan identitas

dan gunakan identitas tersebut untuk membuktikan identitas trigonometri Lagrange .

Saran : untuk identitas pertama tulis

kemudian tinjau selisih S −Sz, untuk identitas kedua tulis z =e^ipada identitas pertama

12. (a) Gunakan rumus binomial dan de Moivre untuk menunjukkan

Kemudian definisikan bilangan bulat m sebagai

ganjil genap n

n jika jika 2 / ) 1 (

2 /





= − n

m n

dan gunakan jumlah di atas untuk memperoleh

(b) Tulis x=cos dan misal 0 , dalam hal ini −1 x1. Tunjukkan bahwa dari yang diperoleh pada (a) , setiap fungsi

Adalah polinomial berderajat n dalam variabel x

Akar dari Bilangan Kompleks

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : Menentukan akar dari suatu bilangan kompleks Materi Ajar

Tinjau titik z =re^i yang terletak pada lingkaran yang pusatnya di titik asal dan berjari-jari r ( lihat Gambar 1 )

Gambar 1

Dengan bertambahnya , z bergerak mengelilingi lingkaran berlawanan arah dengan jarum jam. Secara khusus , jika  bertambah sebanyak 2 kita kembali ke titik awal ,  begitu juga jika  berkurang sejauh 2 . Jadi secara geometri kita dapat katakan bahwa  dua bilangan kompleks z =₁ r₁e^i1 dan z =₂ r₂e^i2dikatakan sama jika dan hanya jika

dengan k bilangan bulat (k =0,1,2,...).

Misal z =re^i adalah akar ke-n dari z =₀ r₀e^i0, maka zⁿ = , atau z₀

Sehingga

dengan k =0,1,2,....Dengan demikian

Akibatnya bilangan kompleks

adalah akar ke- n dari z₀. Dari bentuk eksponensial ini kita dapat melihat bahwa akar- akar tersebut terletak pada lingkaran yang pusatnya di titik asal, berjari-jari ⁿ r₀ dan membagi lingkaran atas n juring yang sama luas dengan sudut pusat

n



2 , dimulai dari

argumen n

0 . Dapat ditunjukkan bahwa z₀ memiliki paling banyak n akar yang berbeda, yakni yang berkaitan dengan k =0,1,2,3,...,n−1 . Kita dapat katakan bahwa akar-akar ke- n dari z₀ yang berbeda adalah

(1)

( lihat Gambar 2 )

Gambar 2

Bilangan ⁿ r₀ menunjukkan panjang vektor yang merepresentasikan akar ke-n dari z₀. Akar pertama c₀memiliki argumen

n

0 . Jika n=2, akar-akarnya akan berada pada posisi yang berlawanan pada diameter lingkaran z =ⁿ r₀ dan akar yang kedua adalah

c0

− . Jika n3 , akar-akar terletak pada titik-titik sudut poligon n sisi, yang terletak di dalam lingkaran.

Misal z^1/n menyatakan himpunan semua akar dari z₀ , khususnya jika z₀ adalah bilangan riil positif maka simbol r₀^1/n menyatakan himpunan dari semua akarnya dan simbol ⁿ r₀ menunjukkan akar positifnya. Jika nilai  yang digunakan dalam ekspresi ₀ (1) adalah nilai utama dari arg z₀ ( −   ) , bilangan c₀ menyatakan akar utama.

Sehingga jika z₀ bilangan riil positif, akar utamanya adalah ⁿ r₀ .

Akhirnya cara mudah untuk mengingat ekspresi (1) adalah dengan menuliskan

dan menerapkan pangkat pecahan seperti pada bidang riil , ingat bahwa tepat terdapat n akar yang berbeda

Contoh 1 :

Untuk menentukan akar ke- n dari satuan, kita menuliskan dan cari bahwa

(1)

Jika n=2, akar-akarnya adalah 1. Jika n3, poligon beraturan yang pada titik sudutnya terletak akar-akar berada di dalam lingkaran satuan z =1, dengan salah satu titik sudutnya berkaitan dengan akar utama z =1 (k =0)

Jika ditulis

(2) maka

Jadi akar-akar ke-n yang berbeda dari satuan adalah

Gambar 3 berikut ini adalah ilustrasi untuk kasus n=3,4 dan 6. Ingat bahwa _nⁿ =1.

Gambar 3

Selanjutnya perhatikan bahwa jika c adalah sebarang akar ke- n dari sebarang bilangan kompleks tak nol, himpunan dari semua akar ke- n dapat ditulis dalam bentuk

Ini karena perkalian bilangan kompleks dengan  akan menyebabkan argumennya _n bertambah dalam kelipatan

n



2 , sementara modulusnya tidak berubah.

Contoh 2 :

Kita akan mencari semua nilai dari (−8i)^1/3 atau akar pangkat 3 dari − . Tulis dalam 8i bentuk

sehingga kita dapat melihat bahwa akar yang dicari adalah

(3) Akar-akar tersebut terletak pada sudut-sudut segitiga sama sisi yang terletak di dalam lingkaran z =2, terbagi atas daerah yang sama pada lingkaran setiap

3

2 radian, dimulai dari akar utama

seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4 berikut :

Gambar 4

Tanpa perhitungan yang berarti, dapat ditunjukkan bahwa c₁ =2idan karena c₂ simetri dengan c₀terhadap sumbu imajiner maka kita dapat menentukan c₃ =− 3−i.

Akar-akar ini dapat ditulis dalam bentuk,

Contoh 3 :

Dua nilai c_k ( k =0,1 ) dari

(

³⁺ⁱ

)

^1/2, yang merupakan akar kuadrat dari 3+i, dapat ditentukan dengan menuliskan

dan

( lihat Gambar 5 )

Gambar 5 Dari rumus euler ,

dan identitas trigonometri

memungkinkan kita menulis

akibatnya

Karena c₁ =−c₀, maka akar-akar kuadrat dari 3+i adalah

Latihan :

1. Cari akar kuadrat dari

2. Untuk setiap kasus berikut ini cari semua akar, gambarkan sebagai titik sudut dari suatu persegi dan tentukan yang mana yang merupakan akar utama

3. a. Tunjukkan bahwa jika c₀adalah sebarang akar ke n− dari bilangan kompleks

taknol z₀ maka himpunan semua akar dapat ditulis dalam bentuk

dengan

b. Tunjukkan bahwa jika z₀ =−4 2+4 2i maka c₀ = 2(1+i) adalah akar utama dari z₀. Tentukan dua akar pangkat tiga yang lain dalam koordinat siku-siku

4. a. Misal a bilangan riil yang ditetapkan, tunjukkan bahwa akar kuadrat dari a +i adalah

dengan

,

b. Tunjukkan bahwa akar kuadrat yang diperoleh dapat ditulis sebagai

5. Cari empat akar dari z⁴ +4=0 dan gunakan hal itu untuk memfaktorkan z⁴ +4ke dalam faktor kuadratic dengan koefisien riil

6. Tunjukkan bahwa jika c sebarang akar ke- n dari 1 selain 1 sendiri, maka

7. a. Buktikan bahwa rumus yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

dengan koefisien a,b dan c adalah bilangan kompleks. Dengan melengkapkan kuadrat , turunkan rumus kuadratik

b. Gunakan hasil yang diperoleh untuk mencari akar persamaan 0

) 1 (

2 +2z+ −i = z