Bilangan dan Fungsi Kompleks

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

Bab 5

Bilangan dan Fungsi Kompleks

Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kom-pleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.

5.1

Bagian Real dan Imajiner

Bilangan kompleks terdiri dari dua bagian yaitu bagian real dan bagian ima-jiner. Misalnya bilangan kompleks yang dinyatakan dengan 5+3i maka angka 5 merupakan bagian real sedangkan angka 3 disebut bagian imajiner dari

bi-langan kompleks tersebut. Dalam penulisan bibi-langan kompleks i = √−1

atau i2 _{= −1. Perlu diperhatikan bahwa bagian imajiner suatu bilangan}

kompleks bukanlah imajiner.

Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai pasangan antara bagian real dan bagian imajinernya. Jadi misalnya 5 + 3i dapat dituliskan sebagai (5,3).

5.2

Bidang Kompleks

Karena bilangan kompleks biasa dituliskan dalam bentuk pasangan bilang-an sebagaimbilang-ana pasbilang-angbilang-an titik dalam sistem koordinat xy, maka sebuah bilangan kompleks dapat juga digambarkan sebagai titik dalam bidang kom-pleks. Bidang kompleks sering disebut diagram Argand. Sumbu mendatar (sumbu x) menggambarkan bagian real sedangkan sumbu tegak (sumbu y) menggambarkan bagian imajiner sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 5.1. Ini mirip dengan representasi titik dalam sistem koordinat kartesian.

Sebagaimana diketahui bahwa suatu titik dalam bidang xy juga dapat dinyatakan dalam ungkapan polar, maka bilangan kompleks juga dapat di-repesentasikan dalam bentuk polar yaitu (r, θ). Hubungan antara x dan y

z = 5 + 3i (5,3)

z _{= −−−−8 −−−− 6i}

(−−−−8,−−−−6)

Gambar 5.1: Bidang kompleks.

dengan r dan θ adalah

x = r cos θ y = r sin θ

Jadi suatu bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam representasi

z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (5.1)

r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z dan θ (dalam radian) disebut sudut dari z.

5.3

Aljabar Kompleks

Menjadikan bentuk x + iy

Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x + iy. Contoh 1

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.3 Aljabar Kompleks 95 Contoh 2 2 + i 3 − i = 2 + i 3 − i 2 + i 3 + i = 6 + 5i + i2 9 − i2 = 5 + 5i 10 = 1 2 + 1 2i Contoh 3 Nyatakan z = 1 2(cos 30◦ + i sin 30◦

) dalam bentuk x + iy.

Karena 30◦ = π/6 rad maka z = 1 2(cos 30◦_{+ i sin 30}◦₎ = 1 2 cosπ 6 + i sin π 6
= 1 2eiπ/6 = 1 2e −_iπ/6 = 1 2(cos π/6 − i sin π/6) = √ 3 4 − i 1 4 !

Konjugat kompleks (Complex conjugate)

Konjugat dari suatu bilangan kompleks z = x + iy dinyatakan dengan ¯z =

x − iy. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan bagian imajinernya dengan −1.

Contoh z = 2 − 3i i + 4 =⇒ z =¯ 2 + 3i −i + 4

Nilai mutlak

Nilai mutlak (modulus) dari suatu bilangan kompleks z = x + iy meng-gambarkan jarak titik yang direpresentasikan dengan (x, y) dengan pusat koordinat di bidang kompleks. Dengan demikian dinyatakan dalam bentuk

|z| = r =px2_{+ y}2₌√_{z ¯z (5.2)}

Persamaan Kompleks

Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real bilangan kom-pleks pertama sama dengan bagian real bilangan komkom-pleks kedua dan bagian imajiner bilangan kompleks pertama sama dengan bagian imajiner bilangan kompleks kedua. Misalnya jika x + iy = 2 + 3i maka berarti x = 2 dan y = 3.

Contoh

Tentukan x dan y jika (x + iy)2_{= 2i}

(x + iy)2= x2+ i2xy − y2= 2i

Dengan demikian diperoleh hubungan

x2− y2= 0 =⇒ y = ±x

2xy = 2 Selanjutnya diperoleh

2x2_{= 2 atau − 2x}2 _{= 2}

Karena x harus real maka x2_{tidak mungkin negatif, dengan demikian didapat}

x2 _{= 1 dan y = x. Sehingga solusi persamaan tersebut adalah x = y = 1}

atau x = y = −1.

5.4

Fungsi Eksponensial dan Trigonometri

Karena z = x + iy, maka dapat dituliskan bentuk berikut

ez= ex+iy= exeiy= ex(cos y + i sin y) (5.3)

Sedangkan telah ditunjukkan sebelumnya dalam persamaan 5.1 bahwa bi-langan kompleks dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial (yang disebut sebagai rumus Euler) yaitu

eiθ= cos θ + i sin θ (5.4)

Dengan menggunakan rumus Euler tersebut dapat diperoleh bentuk

e−iθ

= cos θ − i sin θ (5.5)

Bila persamaan 5.4 dan persamaan 5.5 dijumlahkan maka akan diperoleh ungkapan untuk cos θ, sedangkan bila persamaan 5.4 dikurangi dengan per-samaan 5.5 maka akan dapat diperoleh ungkapan untuk sin θ sebagai berikut

sin θ = e iθ_{− e}−_iθ 2i cos θ = e iθ_{+ e}−_iθ 2 (5.6)

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.5 Fungsi Hiperbolik 97

5.5

Fungsi Hiperbolik

Dengan menggunakan rumusan Euler, maka dapat pula diperoleh ungkapan yang lebih umum untuk bilangan kompleks z, yaitu

sin z = e iz_{− e}−_iz 2i cos z = e iz_{+ e}−_iz 2 (5.7)

Tinjau suatu bilangan kompleks yang murni imajiner z = iy, maka dapat dinyatakan sin z = e i(iy)_{− e}−_i(iy) 2i = e−_y − ey 2i = i ey_{− e}−_y 2 cos z = e i(iy)_{+ e}−_i(iy) 2 = e−_y + ey 2 = ey_{+ e}−_y 2 (5.8)

Persamaan 5.8 memberikan definisi tentang fungsi sinus hiperbolik (sinh) dan cosinus hiperbolik (cosh), yang secara umum dituliskan dalam bentuk

sinh z = e z_{− e}−_z 2 cosh z = e z_{+ e}−_z 2 (5.9)

Beberapa fungsi hiperbolik lainnya dapat diperoleh sebagaimana fungsi tri-gonometri biasa, yaitu

tanh z = sinh z cosh z, coth z = 1 tanh z sech z = 1 cosh z, csch z = 1 sinh z (5.10)

Dari persamaan 5.8 dapat juga dituliskan bahwa sin iy = i sinh y

cos iy = cosh y (5.11)

5.6

Logaritma

Misalkan suatu bilangan kompleks z dan w di mana hubungannya

dinyatak-an dengdinyatak-an z = ew _{yang berarti w = ln z. Kemudian jika z = re}iθ_{, maka}

diperoleh

Contoh 1

Tentukanlah ln(−1).

Dalam ungkapan koordinat polar sebagaimana yang telah dibahas sebelum-nya, z = −1 dapat dinyatakan dengan bentuk eksponensial dengan r = 1 dan θ = π, −π, 3π, −3π, . . . sehingga

ln(−1) = ln(1) + iθ = 0 + i(π ± 2nπ) = iπ, −iπ, 3iπ, . . . Contoh 2

Tentukan ln(1 + i).

Dengan menggunakan ungkapan dalam koordinat polar dapat diperoleh

bah-wa untuk z = 1 + i berarti r =√2 dan θ = π/4 ± 2nπ. Dengan demikian

ln(1 + i) = ln(√2) + iπ

4 ± 2nπ



5.7

Penggunaan Bilangan Kompleks dalam

Per-soalan Fisika

Berikut ini diberikan beberapa contoh penggunaan bilangan kompleks dalam persoalan fisika.

Kinematika

Sebagaimana sistem koordinat kartesian dua dimensi, bidang kompleks da-pat digunakan untuk mendeskripsikan gerak suatu benda. Jika z menyatakan posisi suatu benda, maka jika posisinya berubah tiap saat maka dapat di-nyatakan bahwa z(t).

Misalkan posisi benda tiap saat dinyatakan dengan z = 5eiωt _{di mana ω}

suatu konstanta. Tentukan laju, besar percepatan dan deskripsi gerak benda tersebut.

Laju gerak benda adalah

v = dz

dt =

d

dt5e

iωt_{= 5iωe}iωt _{= iωz}

Percepatan gerak benda adalah

a = dv dt = d dt(5iωe iωt ) = −5ω2eiωt = −ω2z

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.7 Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika 99

Gambar 5.2: Rangkaian seri RLC dengan sumber tegangan bolak-balik.

Terlihat dari percepatan gerak benda, bahwa percepatan gerak benda sama dengan suatu konstanta dikalikan dengan posisi benda dan hal ini menya-takan suatu gerak harmonik.

Rangkaian AC

Dalam rangkaian arus bolak-balik dengan komponen R (resistor), L (induk-tor) dan C (kapasi(induk-tor), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 5.2, mi-salnya arus total yang mengalir pada rangkaian dinyatakan dengan bentuk

fungsi harmonik I = I0sin ωt. Jika VR adalah beda tegangan pada kaki-kaki

resistor R dan I adalah kuat arus yang mengalir pada hambatan tersebut, maka berdasarkan hukum Ohm dapat dinyatakan

VR= IR (5.13)

sedangkan hubungan antara tegangan pada induktor L dengan kuat arus dinyatakan dengan

VL = L

dI

dt (5.14)

dan tegangan pada kapasitor dinyatakan dengan

dVC dt = I C =⇒ VC = 1 C Z I dt (5.15)

Bentuk arus setiap saat tersebut bila dinyatakan dengan bilangan kompleks

adalah I = I0sin ωt = I0eiωt, maka

VR= RI = RI0eiωt = RI (5.16) VL = L dI dt = L d(I0eiωt) dt = iωLI0e iωt _{= iωLI (5.17)} VC= 1 C Z I0eiωtdt = 1 iωCI0e iωt ₌ 1 iωCI (5.18)

Tegangan total jika ketiga komponen tersusun seri adalah

V = VR+ VL+ VC= RI + iωLI + 1 iωCI =  R + i  ωL − 1 ωC  I = ZI (5.19) di mana Z = R + i  ωL − 1 ωC 

dinamakan sebagai impedansi (kompleks) pada rangkaian RLC seri.

Hambatan efektif pada komponen induktor dinamakan reaktansi induktif

XL yaitu

XL =

VL

I = iωL (5.20)

sedangkan hambatan efektif pada komponen kapasitor dinamakan reaktansi

kapasitif XC yaitu XC = VC I = 1 iωC = − i ωC (5.21)

Pada rangkaian RLC seri, impedansi (kompleks) dapat diperoleh dengan konsep yang sama dengan susunan seri tiga hambatan (resistor) yang

masing-masing dinyatakan dengan R1 = R, R2 = XL = iωL dan R3 = XC =

−i/(ωC) sehingga hambatan total (yaitu impedansi total) diperoleh seba-gaimana telah diungkapkan di atas yaitu

Z = R1+ R2+ R3 = R + XL+ XC= R + iωL − i 1 ωC = R + i  ωL − 1 ωC 

Selanjutnya dapat diperoleh besar impedansi sebagaimana nilai absolut dari Z, yaitu |Z|seri = p Z ¯Z = s R2₊  ωL − 1 ωC 2 (5.22)

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.7 Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika101

Suatu kondisi di mana Z sepenuhnya real (berarti bagian imajinernya sama dengan nol) dinamakan kondisi resonansi.

Demikian pula halnya jika ketiga komponen (resistor, induktor dan kapa-sitor) disusun paralel, maka impedansi totalnya dapat diperoleh

sebagaima-na sususebagaima-nan paralel tiga buah hambatan yaitu R1 = R, R2 = XL = iωL dan

R3 = XC = −i/(ωC). Hambatan (impedansi) kompleks total pada susunan

paralel adalah 1 Z = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 = 1 R+ 1 XL + 1 XC = 1 R+ 1 iωL+ 1 −i/(ωC) = 1 R− i 1 ωL+ iωC = 1 R+ i  −_ωL1 + ωC  Z = 1 1 R+ i  − 1 ωL + ωC  Sehingga diperoleh |Z|paralel = p Z ¯Z = v u u u t 1  1 R 2 +  − 1 ωL+ ωC 2 (5.23) Contoh

Pada rangkaian yang terdiri dari hambatan R yang tersusun seri dengan induktor L kemudian keduanya diparalel dengan kapasitor C, sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 5.3, tentukanlah impedansi rangkaian tersebut. Impedansi total rangkaian tersebut adalah

1 Ztotal = 1 Z1 + 1 Z2 = Z1+ Z2 Z1Z2 =⇒ Ztotal= Z1Z2 Z1+ Z2

Gambar 5.3: Gambar susunan komponen untuk contoh.

di mana Z1 = R + iωL dan Z2= −

i ωC. Dengan demikian Ztotal=     (R + iωL)  − i ωC  R + i  ωL − _ωC1      =     −iR ωC + L C R + i  ωL −_ωC1          R − i  ωL −_ωC1  R − i  ωL −_ωC1      =  R ω2_C2  + i  −R 2 ωC − ω2_L C + L ωC2  R2₊  ωL − 1 ωC 2

5.8

Fungsi Kompleks

Fungsi dengan variabel kompleks dinyatakan misalnya dalam bentuk f (z) dengan z adalah bilangan kompleks. Secara umum fungsi dengan variabel kompleks mempunyai bagian real dan imajiner yang juga merupakan fungsi.

Misalkan f (z) = z2_{, karena z = x + iy maka}

z2= (x + iy)2 = (x2− y2) + i(2xy) (5.24)

Bagian real dan bagian imajiner suatu fungsi kompleks secara umum meru-pakan fungsi dari variabel x dan y. Bagian real dinyatakan dengan u(x, y) dan bagian imajiner dinyatakan dengan fungsi v(x, y). Jadi suatu fungsi

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.9 Fungsi Analitik 103

kompleks f (z) = u(x, y) + i v(x, y). Dengan demikian untuk fungsi

kom-pleks di atas yang dinyatakan dengan f (z) = z2_{, maka u(x, y) = x}2_{− y}2 _dan

v(x, y) = 2xy. Contoh

Tentukan bagian real dan bagian imajiner fungsi kompleks f (z) = z

z2_{+ 1} dengan z = x + iy. f (z) = x + iy (x + iy)2_{+ 1} = x + iy (x2_{− y}2_{+ 1) + i2xy} =  _{x + iy} (x2_{− y}2_{+ 1) + i2xy}   (x2_{− y}2_{+ 1) − i2xy} (x2_{− y}2_{+ 1) − i2xy}  = x 3_{− y}3_{+ x + 2xy}2 (x2_{− y}2_{+ 1)}2_{− 4x}2_y2 + i −x2_{y − y}3_{+ y} (x2_{− y}2_{+ 1)}2_{− 4x}2_y2

Dengan demikian bagian real dan imajinernya adalah

u(x, y) = x 3_{− y}3_{+ x + 2xy}2 (x2_{− y}2_{+ 1)}2_{− 4x}2_y2 v(x, y) = −x 2_{y − y}3_{+ y} (x2_{− y}2_{+ 1)}2_{− 4x}2_y2

5.9

Fungsi Analitik

Suatu fungsi f (z) dikatakan analitik dalam suatu daerah pada bidang kom-pleks bila fungsi tersebut mempunyai turunan yang tunggal (unik) pada se-tiap titik dalam daerah tersebut. Jika f (z) analitik di titik z = a berarti bahwa f (z) mempunyai turunan pada setiap titik dalam lingkaran kecil di sekitar z = a. Fungsi yang tidak memenuhi batasan tersebut disebut sebagai fungsi non-analitik.

Beberapa definisi berkaitan dengan fungsi analitik:

• Titik regular (regular point) dari fungsi f(z) adalah titik di mana f(z) bersifat analitik

• Titik singular (singular point atau singularity) dari fungsi f(z) adalah titik di mana f (z) tak analitik

Beberapa teorema yang digunakan dalam analisa fungsi variabel kom-pleks:

Teorema I

Jika suatu fungsi kompleks f (z) = u(x, y) + iv(x, y) merupakan suatu fungsi analitik dalam suatu daerah, maka dalam daerah itu berlaku

∂u ∂x = ∂v ∂y, dan ∂v ∂x = − ∂u ∂y (5.25)

Teorema ini disebut juga kondisi Cauchy-Riemann untuk menentukan apa-kah suatu fungsi merupakan fungsi analitik atau bukan.

Contoh 1

Misalkan f (z) = y + ix. Apakah f (z) merupakan fungsi analitik?

Dalam hal ini u = y dan v = x, sehingga ∂u/∂x = 0, ∂v/∂y = 0, ∂v/∂y = 1 dan ∂u/∂y = 1. Karena tidak memenuhi kondisi Cauchy-Riemann, maka fungsi f (z) tersebut bukanlah fungsi analitik.

Contoh 2

Misalkan f (z) = x + iy. Apakah f (z) merupakan fungsi analitik? Karena ∂u ∂x = 1 = ∂v ∂y dan ∂v ∂x = 0 = − ∂u ∂y maka berarti f (z) adalah fungsi analitik.

Teorema II

Jika u(x, y) dan v(x, y) dan turunan parsialnya terhadap x dan y kontinyu serta memenuhi syarat Cauchy-Riemann dalam daerah tersebut maka f (z) analitik pada semua titik dalam daerah tersebut.

Teorema III

Perhatikan gambar 5.4. Jika f (z) adalah fungsi analitik dalam daerah ter-tentu (R) maka f (z) mempunyai turunan orde berapapun pada titik-titik dalam daerah tersebut dan f (z) dapat diekspansikan sebagai deret Taylor di

sekitar titik z0 dalam daerah tersebut. Deret pangkat tersebut konvergen di

dalam daerah berbentuk lingkaran C yang berpusat di z0 hingga mencapai

titik singular terdekat (disebut sebagai daerah lingkaran konvergensi atau disk of convergence).

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.9 Fungsi Analitik 105 z0 titik singular R C

Gambar 5.4: Daerah untuk penjelasan Teorema III.

Contoh

Tentukanlah daerah lingkaran konvergensi (disk of convergence) dari fungsi kompleks f (z) = ln(1 − z).

Fungsi f (z) = ln(1 − z) dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar z = 0 (uraian Maclaurin), yaitu

ln(1 − z) = −z − z 2 2 − z3 3 − z4 4 − . . .

Kemudian untuk memperoleh titik singular dari fungsi tersebut adalah titik di mana fungsi f (z) tersebut tidak mempunyai turunan. Dalam hal ini titik singular yang dimaksud adalah z = 1. Dengan demikian daerah lingkaran konvergensi dari fungsi tersebut adalah lingkaran berpusat di pusat koordinat dengan jari-jari 1.

Teorema IV

Jika f (z) = u + iv merupakan fungsi analitik dalam suatu daerah, maka u

dan v memenuhi persamaan Laplace (∇2_{u = 0 dan ∇}2_{v = 0) dalam daerah}

tersebut (artinya u dan v merupakan fungsi harmonik). Fungsi sembarang u (atau v) yang memenuhi persamaan Laplace dalam suatu daerah adalah bagian real atau imajiner dari suatu fungsi analitik f (z).

Contoh

Suatu fungsi u(x, y) = x2_−y2_{adalah bagian real dari fungsi kompleks z.}

Karena ∇2u = ∂ 2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2 = 2 − 2 = 0

maka berarti u(x, y) memenuhi persamaan Laplace atau dalam kata lain u(x, y) adalah fungsi harmonik.

Kemudian dengan menggunakan persamaan Cauchy-Riemann dapat dipero-leh

∂v

∂y =

∂u

∂x = 2x

Maka dengan mengintegralkan terhadap y dapat diperoleh bentuk fungsi v(x, y), yaitu

v(x, y) = Z

2x dy = 2xy + g(x)

dengan g(x) adalah fungsi dalam x yang merupakan konstanta integrasi. Se-lanjutnya dengan menggunakan kembali syarat Cauchy-Riemann maka dapat diperoleh ∂v ∂x = ∂ ∂x(2xy + g(x)) = 2y + g 0 (x) = −∂u_∂y = 2y sehingga berarti g0 (x) = 0 atau g = const.

Jadi diperoleh bentuk fungsi v(x, y) = 2xy + const. Dengan demikian dipe-roleh bentuk fungsi kompleks z adalah

f (z) = u + iv = x2− y2+ 2ixy + const = z2+ const

5.10

Integral Kontur

Selain keempat teorema yang berkaitan dengan pengertian dan batasan fung-si analitik, terdapat pula beberapa teorema lainnya yang berkaitan dengan penggunaan fungsi kompleks.

Teorema V: Teorema Cauchy

Misalkan C adalah suatu kurva tertutup sederhana dengan lengkungan yang halus kecuali beberapa titik tertentu yang jumlahnya terbatas, maka jika f(z) adalah fungsi analitik di dalam C dapat dinyatakan dengan

I

sekeliling C

f (z)dz = 0 (5.26)

Persamaan yang diungkapkan dalam integral garis (teorema Cauchy) terse-but dinamakan integral kontur.

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.10 Integral Kontur 107

Teorema VI: Perumusan Integral Cauchy

Jika f (z) adalah fungsi analitik pada dan di dalam suatu kurva sederhana C, maka nilai f (z) di suatu titik z = a yang berada di dalam kurva C adalah

f (a) = 1 2πi I _{f (z)} z − adz (5.27) Contoh 1 Hitunglah integral I C sin z 2z − πdz,

dengan C adalah lingkaran pada bidang kompleks dengan |z| = 2 Integral tersebut dapat dituliskan menjadi

I C sin z 2z − πdz = 1 2 I C sin z z − π/2dz

Kurva C yang digunakan adalah berbentuk lingkaran berjari-jari 2 dalam bidang kompleks. Bentuk f (z) adalah f (z) = sin z, dengan a = π/2. Karena f (z) = sin z berarti f (z) bersifat analitik di dalam kurva C, sehingga dapat digunakan Teorema VI. Maka diperoleh

1 2

I

C

sin z

z − π/2dz = πi sin(π/2) = πi

Contoh 2 Hitunglah integral I C sin z 2z − πdz,

dengan C adalah lingkaran pada bidang kompleks dengan |z| = 1 Integral tersebut dapat dituliskan menjadi

I C sin z 2z − πdz = 1 2 I C sin z z − π/2dz

Karena C adalah lingkaran berjari-jari 1 dan menggunakan f (z) = sin z/(z − π/2), maka berarti f (z) adalah fungsi analitik dalam kurva C, sehingga bila menggunakan Teorema V (Teorema Cauchy) dapat dinyatakan:

1 2 I C sin z z − π/2dz = 0 Contoh 3 Hitung integral I C e3z z − ln 2dz

jika C adalah bujur sangkar yang titik sudutnya pada (1, 0), (−1, 0), (0, i) dan (0, −i)

Fungsi kompleks f (z) berbentuk f (z) = e

3z

z − ln 2, titik singularnya adalah

pada z = ln2. Karena titik singular tersebut berada di dalam daerah yang dibatasi oleh kurva C, maka dapat digunakan rumusan integral Cauchy

f (a) = 1 2πi I C f (z) z − adz =⇒ I C f (z) z − adz = 2πif (a)

Dengan demikian diperoleh I

C

e3z

z − ln 2dz = 2πie

3 ln 2_{= 16πi}

Teorema VII: Teorema Laurent

Misalkan C1 dan C2 adalah dua buah lingkaran yang pusatnya pada titik

z0 dan f (z) adalah suatu fungsi analitik dalam daerah R di antara kedua

lingkaran tersebut maka f (z) dapat diuraikan menjadi bentuk deret yang konvergen dalam R, yaitu

f (z) = a0+ a1(z − z0) + a2(z − z0)2+ · · · + b1 z − z0 + b2 (z − z0)2 + . . . (5.28)

dengan koefisien an dan bn adalah

an = 1 2πi I C f (z)dz (z − z0)n+1 bn = 1 2πi I C f (z)dz (z − z0)−n+1 (5.29)

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.11 Teorema Residu dan Aplikasinya 109

dengan C adalah adalah sembarang kurva tertutup sederhana yang

mengeli-lingi z0 dan terletak pada daerah R.

Beberapa pengertian yang terkait dengan teorema Laurent ini:

• Jika semua koefisien b sama dengan nol maka f(z) bersifat analitik

pada z = z0 dan z0 disebut sebagai titik regular.

• Jika bn= 0 tapi kemudian nilai b setelah bn sama dengan 0 maka f (z)

dikatakan mempunyai kutub orde n pada z = z0. Jika n = 1 maka

f (z) mempunyai kutub sederhana (simple pole).

• Jika terdapat takhingga banyaknya koefisien b yang tidak sama dengan

nol maka f (z) dikatakan mempunyai essential singularity pada z = z0

• Koefisien b1 dari

1

(z − z0)

dinamakan residu dari f (z) pada z = z0.

Contoh

Misalkan sebuah deret ez= 1 + z + z

2

2! +

z3

3! + . . ..

Karena deret ini tidak mempunyai koefisien b (semua bn = 0) maka deret

tersebut analitik pada z = 0. Karena b1 = 0 maka berarti residu dari ez

pada z = 0 adalah sama dengan 0.

Misalkan sebuah deret e

z z3 = 1 z3 + 1 z2 + z2 2!z + 1 3!+ z 4! + . . ..

Bagian utama deret tersebut adalah 1

z3 +

1

z2 +

z2

2!z yang berarti b1 = 1/2;

b2 = 1; b3 = 0 sedangkan bn untuk n > 3 sama dengan 0. Maka deret

ter-sebut mempunyai kutub orde 3 sedangkan residu dari e

z z3 pada z = 0 adalah 1 2! = 1 2.

5.11

Teorema Residu dan Aplikasinya

Teorema residu sangat berguna untuk menghitung integral. Teorema residu dinyatakan dalam bentuk

I

C

f (z)dz = 2πi × (jumlah residu dari f(z) di dalam C) (5.30)

Metode Penentuan Residu

Yang menjadi penting adalah bagaimana cara menemukan residu? Ada be-berapa cara penentuan residu suatu fungsi kompleks sebagaimana yang akan diuraikan berikut ini.

• Deret Laurent

Sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, uraian deret Taylor da-ri suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan nilai residu fungsi

tersebut di suatu titik z = z0.

Contoh

Suatu fungsi kompleks f (z) = ez_{/(z − 1). Tentukan residu dari f(z) di}

z = 1.

Bila fungsi ez _{diekspansikan dalam deret pangkat (z − 1) maka}

di-peroleh ez z − 1 = e ez−1 z − 1 = e z − 1  1 + (z − 1) + (z − 1) 2 2! + . . .  = e z − 1+ e + . . .

Karena residu pada z = 1 diperoleh dari koefisien 1

z − 1 maka berarti

R(1) = e.

• Kutub tunggal (Simple Pole)

Jika fungsi kompleks f (z) mempunyai kutub sederhana pada z = z0

maka residu pada titik tersebut dapat diperoleh dengan mengalikan

f (z) dengan (z − z0) kemudian hitung nilainya pada z = z0.

Perumusannya secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

R(z0) = lim

z→z0(z − z

0)f (z) (5.31)

Contoh

Hitunglah R(−12) dan R(5) untuk fungsi kompleks yang dinyatakan

de-ngan f (z) = z

(2z + 1)(5 − z).

Untuk menghitung residu di titik z = −1

2, maka fungsi f (z) tersebut

dikalikan dengan (z + 1₂), diperoleh

 z + 1 2  f (z) =  z +1 2  _z (2z + 1)(5 − z) = z 2(5 − z)

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.11 Teorema Residu dan Aplikasinya 111

Kemudian hitung nilainya dengan mensubstitusi z = −1

2, diperoleh R(−12) = −1 2 2(5 +1₂) = − 1 22

Cara yang sama juga dilakukan untuk menghitung residu di titik z = 5

(z − 5)f(z) = (z − 5) z (2z + 1)(5 − z) = − z 2z + 1 R(5) = − z 2z + 1   _z=5= − 5 11 • Kutub ganda (Multiple Poles)

Jika f (z) mempunyai kutub dengan orde n, maka dapat digunakan

langkah sebagai berikut untuk memperoleh nilai residu pada z = z0:

kalikan f (z) dengan (z − z0)m, di mana m adalah bilangan bulat yang

lebih besar atau sama dengan orde n, kemudian differensialkan hasil-nya m − 1 kali, lalu dibagi dengan (m − 1)! dan hitung hasil akhirhasil-nya

dengan mensubstitusi z = z0.

Contoh

Tentukan residu dari f (z) = (z sin z)/(z − π)3 _{di titik z = π.}

Gunakan m = 3 untuk mengeliminasi penyebut, artinya kalikan f (z)

dengan (z − π)3 _{sehingga diperoleh}

(z − π)3_{f (z) = (z − π)}3 z sin z

(z − π)3 = z sin z

kemudian differensialkan 2 kali dan selanjutnya dibagi dengan 2! se-hingga diperoleh R(π) = 1 2! d2 dz2(z sin z)   _z=π = 1 2[−z sin z + 2 cos z]z=π = −1

Teorema Residu untuk menghitung integral

Sebagaimana telah disinggung sebelumnya bahwa teorema residu dapat digu-nakan untuk menghitung integral tertentu. Berikut ini beberapa contohnya. Contoh 1 Hitunglah integral I = Z 2π 0 dθ 5 + 4 cos θ

Jika digunakan variabel baru yaitu z = eiθ_{, maka dz = ie}iθ_{dθ atau dθ =} 1 izdz dan cos θ = e iθ_{+ e}−_iθ 2 = z +1 z

2 . Sedangkan batas integral dalam variabel

θ yaitu dari θ = 0 hingga θ = 2π akan berubah menjadi lingkaran satuan dalam bidang kompleks dengan |z| = 1 dan arahnya berlawanan dengan arah jarum jam. Dengan demikian integral tersebut dapat dinyatakan sebagai in-tegral kontur.

Dengan variabel yang baru tersebut integral yang dimaksud dapat dituliskan kembali dalam bentuk

I = I C 1 izdz 5 + 2(z + 1/z) = 1 i I C dz 5z + 2z2_{+ 2} = 1 i I C dz (2z + 1)(z + 2) dengan C adalah kurva yang berupa lingkaran berjejari 1 dan berpusat di titik pusat koordinat pada bidang kompleks. Terlihat bahwa integran (yaitu

fungsi yang diintegralkan) berbentuk f (z) = 1

(2z + 1)(z + 2) yang berarti

mempunyai kutub pada z = −1

2 dan pada z = −2. Karena kurva C adalah

berupa lingkaran berjejari 1, maka berarti dari kedua kutub tersebut hanya

kutub z = −1

2 saja yang berada di dalam daerah yang dibatasi kurva C,

sedangkan kutub z = −2 berada di luar daerah yang dibatasi oleh kurva C.

Residu dari f (z) pada z = −12 dapat dihitung menggunakan metode kutub

sederhana (simple pole) yaitu

R(−1 2) = lim z→−1 2 (z + 1 2) 1 (2z + 1)(z + 2)   _z=−1 2 = 1 3

Selanjutnya dengan menggunakan teorema residu dapat diperoleh bahwa

I = 1 i2πiR(− 1 2) = 2π( 1 3) = 2π 3 Sehingga diperoleh Z 2π 0 dθ 5 + 4 cos θ = 2π 3 Contoh 2 Hitungkah integral I = Z +∞ −∞ dx 1 + x2

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.11 Teorema Residu dan Aplikasinya 113

Untuk menghitung integral I tersebut, tinjau integral kontur berbentuk I

C dz

1 + z2

dengan C adalah kurva tertutup setengah lingkaran pada bidang kompleks (kuadran 1 dan kuadran 2) dengan jejari sembarang ρ > 1. Integran pada

integral kontur tersebut berbentuk f (z) = 1

1 + z2 =

1

(z − i)(z + i). Berarti

f (z) mempunyai kutub pada z = i dan pada z = −i. Di antara kedua kutub ini hanya kutub pada z = i saja yang berada dalam daerah yang dibatasi oleh kurca tertutup C (ingat bahwa C berbentuk setengah lingkaran pada kuadran 1 dan 2). Kemudian nilai residu f (z) pada z = i dapat diperoleh menggunakan metode kutub sederhana (simple pole) yaitu

R(i) = lim z→i(z − 1) 1 (z − i)(z + i)   _z=i = 1 2i Dengan demikian dari teorema residu diperoleh

I C

dz

1 + z2 = 2πiR(i) = π

Integral kontur dengan lintasan berupa kurva C tersebut dapat dinyatakan sebagai integral garis (integral lintasan) dengan lintasan pertama berupa ga-ris lurus sepanjang sumbu datar (sumbu x) dari −ρ hingga +ρ dan lintasan kedua berupa lintasan setengah lingkaran yang dinyatakan dengan

persama-an z = ρeiθ _{dengan θ dari 0 hingga π:}

I C dz 1 + z2 = Z +ρ −_ρ dx 1 + x2 + Z π 0 ρieiθ_dθ 1 + ρ2_e2iθ

Telah dihitung sebelumnya bahwa integral kontur yang dimaksud hasilnya adalah π dan hasil ini tidak bergantung pada berapapun nilai ρ yang digunak-an. Perhatikan bahwa asalkan kurva C yang digunakan dalam penghitungan integral kontur adalah setengah lingkaran pada kuadaran 1 dan 2, maka ber-dasarkan teorema residu nilai integralnya tetap sama. Artinya bila diambil ρ → ∞, maka dapat dituliskan kembali

I C dz 1 + z2 = π = lim_ρ→∞ Z +ρ −_ρ dx 1 + x2 + Z π 0 ρieiθ_dθ 1 + ρ2_e2iθ  = Z +∞ −∞ dx 1 + x2 + 0

Maka diperoleh hasil integral yang dimaksud yaitu I = Z +∞ −∞ dx 1 + x2 = π Contoh 3 Hitunglah integral I = Z ∞ 0 cos x 1 + x2dx

Tinjau suatu integral kontur yang berbentuk I

C

eiz_dz

1 + z2

dengan C adalah kurva tertutup setengah lingkaran pada bidang kompleks (kuadran 1 dan kuadran 2) dengan jejari sembarang ρ > 1 sebagaimana pada Contoh 2. Integran pada integral kontur tersebut mempunyai bentuk

f (z) = e

iz

1 + z2 yang berarti terdapat dua kutub pada z = i dan z = −i. Nilai

residu di dalam kurva C adalah R(i) = lim z→i(z − 1) eiz (z − i)(z + i)   _z=i = 1 2ie

Selanjutnya dengan teorema residu dapat dihitung integral kontur yang di-maksud yaitu I C eiz_dz 1 + z2 = 2πiR(i) = π e

Sedangkan integral kontur tersebut dapat dituliskan dalam dua integral lin-tasan sesuai dengan kurva tertutup C yang digunakan (lihat kembali Contoh 2 di atas) I C eiz_dz 1 + z2 = Z +ρ −_ρ eix_dx 1 + x2 + Z lintasan dengan z=ρeiθ eiz_dz 1 + z2

Dengan demikian diperoleh bahwa

Z +∞ −∞ eix 1 + x2dx = π e

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

5.11 Teorema Residu dan Aplikasinya 115

Kemudian bila diambil bagian real dari kedua ruas tersebut maka dapat dinyatakan Re Z +∞ −∞ eix 1 + x2dx  = Rehπ e i Z +∞ −∞ cos x 1 + x2dx = π e

Selanjutnya karena fungsi cos x

1 + x2 adalah fungsi genap, maka integral dari

−∞ hingga +∞ sama dengan dua kali integral dari 0 hingga +∞, sehingga diperoleh Z +∞ 0 cos x 1 + x2dx = 1 2 Z +∞ −∞ cos x 1 + x2dx = π 2e