REPRESENTASI BIDANG GEOMETRI
TERHADAP BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS
Oleh
DODO GINA SUKRONSIUS SIMANULLANG
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG
ABSTRAK
REPRESENTASI BIDANG GEOMETRI TERHADAP BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS
Oleh
DODO GINA SUKRONSIUS SIMANULLANG
Suatu bilangan kompleks dapat direpresentasikan oleh suatu titik pada bidang dua dimensi yang dilengkapi dengan sistem koordinat. Bilangan berkaitan dengan titik dengan bagian real merupakan absis dan bagian imajiner merupakan ordinat dan bidang ini disebut disebut bidang kompleks. Bilangan-bilangan kompleks ini dapat juga merepresentasikan bidang geometri seperti
lingkaran, segitiga, elips, hiperbola, jajarangenjang, dan lemniskat.
DAFTAR ISI
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Bilangan kompleks merupakan salah satu terobosan penting dalam dunia
Matematika. Bagi yang telah mengikuti perkuliahan Aljabar Linear, himpunan
bilangan bulat telah dikenal sebagai suatu himpunan yang sederhana yang
memiliki struktur grup, dan lebih jauh lagi gelanggang. Struktur grup dari
bilangan bulat membuat setiap persamaan linear monik memiliki solusi. Tetapi
persamaan linear umum:
dengan a; b; c di suatu himpunan F menuntut struktur yang lebih canggih bagi F,
yaitu lapangan.
Lapangan yang paling sederhana adalah bilangan rasional:
{ | }
Tetapi lapangan ini tidak memiliki sifat berikut ini: setiap subset terbatas darinya
memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Sifat ini yang kemudian
berakibat setiap barisan Cauchy konvergen. Sifat ini disebut "lengkap".
memberikan himpunan bilangan real. Tetapi, meskipun himpunan bilangan real
memiliki sifat kelengkapan, lapangan tersebut tidak tertutup secara aljabar: setiap
polinom berderajat n memiliki n buah pembuat nol.
Salah satu contoh klasik mengenai fakta ini adalah persamaan yang
sama sekali tidak memiliki akar di bilangan real. Jika akar dari persamaan ini
disebut i, maka kita dapat membentuk lapangan bilangan kompleks yang tertutup
secara aljabar. Masalah yang serius dalam hal ini adalah persamaan:
memiliki dua akar. Akar yang manakah yang akan kita pilih sebagai i? Ini
sebabnya pendekatan yang lebih formal dan rigid dibutuhkan untuk
mendefinisikan himpunan bilangan kompleks.
Berdasarkan dari latar belakang yang telah dijelaskan, maka penulis tertarik untuk
melakukan penelitian dengan judul “Representasi Bidang Geometrik Terhadap
Bilangan-bilangan Kompleks”.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, permasalahan yang dibahas dibatasi pada representasi
3
1.3 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Memberikan interpretasi bilangan-bilangan kompleks secara geometrik
dan menjelaskannya pada bidang kompleks.
2. Dapat membedakan bilangan kompleks sebagai suatu titik dan sebagai
vektor.
3. Menentukan grafik dan memberikan interpretasi dari hasil operasi-operasi
dasar dalam bilangan kompleks.
4. Menentukan daerah-daerah yang memenuhi suatu ketidaksamaan atau
kesamaan dalam bilangan kompleks.
5. Menerapkan konsep-konsep dasar bilangan kompleks dalam bidang
geometri.
1.4 Manfaat
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah Memperluas serta menambah wawasan
pengetahuan tentang kajian matematika khususnya tentang representasi geometrik
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real
Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital dan anggota himpunan dinyatakan
dengan huruf kecil. Sebagai contoh “ anggota himpunan A” ditulis ; “
bukan anggota A” ditulis , dan sebagainya. (Priestly,1993)
Contoh :
Himpunan A terdiri dari bilangan-bilangan 1, 3, dan 4 ditulis . Jika
anggota suatu himpunan secara eksplisit didaftar maka dapat dinyatakan sifatnya
saja untuk anggota-anggota secara keseluruhan. Suatu himpunan yang mempunyai
sifat ditulis sebagai | dibaca “himpunan seluruh yang mempunyai sifat
”
Sekarang, disajikan berbagai macam bilangan yang kerap digunakan sehari-hari.
1. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip atau bilangan asli, :
(2.1)
2. Himpunan bilangan-bilangan bulat, :
5
3. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip genap :
(2.3)
4. Himpunan bilangan-bilangan rasional :
{ } (2.4)
Himpunan bilangan-bilangan real yaitu himpunan bilangan-bilangan rasional
dan irasional. Bilangan irasional yaitu bilangan-bilangan yang tidak dapat
disajikan dalam bentuk dengan . Sebagai contoh bilangan
irasional adalah √ ……
Korespondensi satu-satu dapat dibangun antara bilangan-bilangan real dan garis.
Masing-masing bilangan diwakili oleh titik pada garis yang disebut sumbu real.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 0 1 √ 2 3 4 5 6 7
Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, yaitu A termuat
dalam B, jika
(2.5)
Dibaca : Jika maka . Penulisan selanjutnya untuk menyatakan
bahwa A merupakan himpunan bagian B.
Mudah dipahami bahwa dan , sehingga
2.2 Bilangan Kompleks, Satuan Imajiner “i”
Suatu bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai
(2.7)
dengan a dan b bilangan-bilangan real dan I mempunyai sifat
(2.8)
(Brown and Churchill, 1996)
2.3 Operasi Dasar Dalam Bilangan Kompleks
Teorema 2.3.1
Untuk semua bilangan kompleks berlaku sifat additif dan asssosiatif terhadap
penjumlahan
(2.9)
(2.10)
Bukti :
Misal , dan maka :
7
3. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat distributif terhadap
2.
( )
3.
Teorema 2.3.3:
Diberikan dua bilangan kompleks dan ,
9
dan dengan menyelesaikan persamaan (2.17), untuk dan diperoleh
Jika dan tidak sama dengan nol, maka persamaan (4) tidak
benar. Oleh karena itu, jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari ,
adalah nol.
Perhatikan disini bahwa jika bilangan kompleks dan bilangan bulat positip,
maka
⏟
kali
(Spiegel,M.R.,1981)
2.4 Konjugat Bilangan kompleks
Konjugat, ̅ dari bilangan komplek didefenisikan
̅ (2.22)
Bagian real dari ditulis Re( ). Jadi
Re (2.23)
Bagian imajiner dari ditulis
Im . (2.24)
Sehingga
(2.25)
=Re Im
11
Contoh:
Buktikan bahwa jika hasil kali dari dua bilangan kompleks dan adalah real
dan tidak sama dengan nol, maka terdapat bilangan real , sehingga ̅ .
Bukti:
Misal dan
Hasil dari dan real dan tidak sama dengan nol,
(2.26)
sehingga, dan ̅ dan dapat ditulis
(2.27)
Karena real dan tidak sama dengan nol dan juga real dan tidak sama
dengan nol, maka dari persamaan (2) diperoleh
̅ (2.28)
2.5 Modulus atau Nilai Mutlak Bilangan Kompleks
Modulus atau nilai absolut dari bilangan komplek , ditulis | |,
| | √
Nilai mutlak dari suatu bilangan komplek bersifat non-negatif dan merupakan
bilangan real.
13
Karena kedua ruas dari persamaan (2.33) positif, maka dengan mengkuadratkan
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada semester ganjil tahun ajaran
2013/2014.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan mempelajari, memahami dan mengkaji mengenai buku-buku, jurnal
maupun makalah yang berhubungan dengan penelitian.
Dalam melakukan penelitian ini, ada langkah–langkah yang harus penulis lakukan
untuk mempermudah penulis dalam memperoleh maupun menyelesaikan hasil
penelitian. Langkah-langkah yang penulis lakukan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut:
15
2. Menuliskan definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan
penelitian.
3. Mempelajari dan memahami definisi-definisi dan teorema-teorema yang
berhubungan dengan penelitian.
4. Menguraikan dan menggunakan definisi-definisi dan teorema-teoremasebagai
acuan dalam melakukan penelitian untuk memperoleh hasil penelitian ini.
V. SIMPULAN DAN SARAN
A. SIMPULAN
1. Suatu lingakaran yang berbentuk maka dapat
ditulis dalam bentuk kompleks | | .
2. Suatu elips dengan panjang sumbu mayor dan titik foci dan
dapat ditulis dalam bentuk kompleks | | | | .
3. Suatu hiperbola berbentuk maka dalam bidang kompleks
dapat ditulis dalam bentuk .
4. Suatu lemniskat berbentuk maka
dalam bidang kompleks dapat ditulis dalam bentuk | | .
B. SARAN
Pada pengaplikasiannya dibidang geometri diharapkan fungsi kompleks ini
dapat dimanfaatkan dalam memberkan interpretassi dari hasil operasi-operasi
DAFTAR PUSTAKA
Brown,J.W and Churchill, R,V., 1996. Complex Variables and Application, Mc Graw-Hill Inc, New York.
Hauser,A.A.,1971. Complex Variables with Appliacations, Simon & Schuster Technical and Reference Book Division, New York,p:1-28.
Marsden,J.E and Hoffman,M.J., 1987. Basic Complex Analysis, W.H Freeman and Company, New York.
Milewsky,E.G.,1989. The Complex Variables Problems Solver, Research & Edu-cation Association, New Jersey,p:1-30.
Priestly,H.A.,1993. Pengantar Analisis Kompleks, Penerbit ITB, Bandung.
