SISTEM BILANGAN & BILANGAN KOMPLEKS

SISTEM BILANGAN &

BILANGAN KOMPLEKS

Nur Hanifah Yuninda, ST. MT BAB I

Matematika I

Bilangan real

Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real dengan operasi aljabar meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Biasanya bilangan riil dinyatakan dengan lambang R.

Operasi aljabar sering dinyatakan dengan operasi penjumlahan dan perkalian saja, karena operasi pengurangan dapat digantikan dengan operasi penjumlahan, sedangkan operasi pembagian dapat digantikan dengan operasi perkalian.

Contoh : jika a dan b adalah unsur bilangan riil, maka a - b dapat ditulis dalam bentuk a + (-b). Sedangkan a.b dapat ditulis dalam bentuk a . b ^-1

Bilangan real

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang mempunyai bentuk p/q atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah anggota bilangan bulat dan q ≠ 0

Jika p habis dibagi q maka bilangan rasional disebut bilangan bulat, dan bila p tidak habis dibagi q maka bilangan rasional disebut bilangan pecahan. Bilangan rasional mempunyai bentuk desimal yang berulang (repeating) atau bentuk desimal yang berakhir (terminating)

Bilangan real

Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan merupakan hasil bagi bilangan bulat dengan bilangan asli

Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional bergabung membentuk himpunan bilangan real

Himpunan bilangan real dan komponen-komponennya dapat juga disajikan dengan diagram berikut

Bagan sistem bilangan

Sistem bilangan

Bilangan real (R)

Rasional (Q)

Bilangan bulat (Z)

Bulat negatif

Bilangan cacah

(W)

Nol Bilangan

asli (N) Bilangan pecahan

Bilangan desimal berulang

Bilangan desimal terbatas Irasional

(I)

Bilangan kompleks

Cartesian Polar

Contoh bilangan irasional :

>> √2 adalah sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi-sisi siku-sikunya 1 satuan.

Keterangan : R : Bil. Real

Q : Bil. Rasional Z : Bil. Bulat

N : Bil. Asli

Bilangan real

Penyusunan sistem bilangan real, mendasari sistem bilangan dengan sifat–sifat sebagai berikut: Untuk x, y, dan z bilangan real

1. Sifat komutatif: x + y = y + x dan xy = yx 2. Sifat asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan

x(yz) = (xy)z 3. Sifat distributif: x(y + z) = xy + xz

4. Elemen identitas: Terdapat dua bilangan real yang berlainan yaitu 0 dan 1, yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x

Bilangan real

5. Balikan (invers): Setiap bilangan x mempunyai

balikan penambahan (negatif) –x, yang memenuhi x + –x = 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0

mempunyai balikan perkalian (kebalikan) x^–1, yang memenuhi x . x^–1 = 1

Bilangan–bilangan real tak nol dapat dipisahkan menjadi dua himpunan terpisah, yaitu bilangan–bilangan real positif dan bilangan–

bilangan real negatif sehingga mempunyai sifat–sifat urutan yaitu ; Untuk x, y dan z bilangan real

Bilangan real

1. Trikotomi: Jika x dan y adalah bilangan–bilangan, maka pasti satu di antara yang berikut berlaku: x

< y atau x = y atau x > y

2. Ketransitifan: x < y dan y < z x < z 3. Penambahan: x < y x + z < y + z

4. Perkalian: Bilamana z positif, x < y xz < yz.

Bilamana z negatif, x < y xz > yz.

Bilangan real

Bilangan rasional dan irrasional keduanya padat sepanjang garis real, sehingga setiap bilangan mempunyai tetangga rasional dan irrasional yang cukup dekat dengannya. Salah satu manifestasi dari sifat kepadatan tersebut adalah sembarang bilangan irrasional dapat dihampiri (≈) oleh suatu bilangan rasional sedekat yang disukai.

Bilangan real

Buktikan bahwa bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan rasional!

Bukti :

a) Bilangan 3 dapat ditulis dalam bentuk p/q yaitu : 3/1 atau 6/2 dan seterusnya.

b) Bilangan 4,7 dapat ditulis dalam bentuk : 47/10

c) Bilangan 2,5858… dapat ditulis dalam

bentuk p/q dengan cara :

Bilangan real

100 x = 258,5858…

x = 2,5858… - 100 x – x = 256

99 x = 256

Jadi bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan rasional.

Bilangan real

>> Himpunan bilangan asli (N) N = { 1, 2, 3, …. }

>> Himpunan bilangan cacah (W) W = {0, 1, 2, 3, … }

>> Himpunan bilangan bulat (J)

J = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Soal bilangan real

Diketahui : -10, 3/2, 7, 0, -12, 2, (2,14), 4/9, 6 , (2,5353…), 10 , (2,970492…)

Dari bilangan tersebut di atas, tentukan bilangan- bilangan :

a) bulat b) cacah c) rasional

d) Irasional e) real positif f) real negatif g) asli h) gambarkan masing-masing

garis bilangannya !

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari unsur bilangan ril dan imajiner.

Bentuk umum bilangan kompleks adalah z = a + ib Dimana :

komponen a adalah bagian real ditulis Re(z)

komponen b adalah bagian imajiner ditulis Im(z)

Bilangan a dan b adalah bilangan-bilangan real sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya adalah

Karena , maka :

dst

Sifat bilangan kompleks

Misal z₁ = x₁ + iy₁ dan z₂ = x ₂ + iy ₂ maka berlaku, a) Sifat kesamaan :

z₁ = z ₂ x₁ = x₂ dan y₁ = y₂ b) Sifat penjumlahan :

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂) c) Sifat pengurangan :

z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + i(y₁ - y₂) d) Sifat perkalian :

z₁ . z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂ y₁)

Conjugate bilangan kompleks

Bila terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy, maka conjugate bilangan kompleks tersebut adalah

Jika bilangan kompleks berbentuk z = x – iy, maka conjugate-nya adalah

Kesimpulan :

Bila dibandingkan kedua bilangan kompleks di atas dengan conjugate-nya, maka perbedaannya terletak padakomponen imajinernya

Perkalian bilangan kompleks

Selain ditulis dalam bentuk , conjugate suatu bilangan kompleks juga sering ditulis dalam bentuk z*

Perkalian antara bilangan kompleks dengan conjugate-nya dapat dijelaskan sebagai berikut :

Kesimpulan bahwa perkalian bilangan kompleks dengan conjugate-nya menghasilkan bilangan real.

Pembagian bilangan kompleks

Pada pembagian bilangan kompleks, baik pembilang maupun penyebut masing-masing dikalikan dengan conjugate dari penyebutnya. Hal ini dimaksudkan untuk mengubah bilangan kompleks pada bagian penyebut menjadi bilangan real utuh

Soal bilangan kompleks

1. Diketahui : z₁= -5 + 7i dan z₂= 3 – 2i Tentukan :

2. Selesaikan soal-soal berikut :

Jawaban soal bilangan kompleks

3. Jika

Tentukan

Jawaban soal bilangan kompleks

1. Dari soal :

Jawaban soal bilangan kompleks

BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

26

Im

Re ) , r ( ) y , x (

z = = 



r z =

O

Hubungan (x,y) dengan (r, )

x = r cos , y = r sin, sehingga  = arc tan

 adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat juga

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, ) = r(cos  + i sin ).

dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ).

27



 

 x y

z y

x

r = ² + ² =

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis , maka dapat menuliskan

z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = re^i, dan sekawannya adalah re^-i.

Tugas:

Buktikan bahwa e^i = cos  + i sin , dengan

menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin  dan e^t dengan mengganti t = i.

29

Contoh :

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

Jawab :

z = 1 + i, r = √2 , tan  = 1, sehingga  = 45⁰= /4 Jadi z = √2 .(cos (/4) + i sin (/4) = √2.cis (/4)

= √2. _e^4i

Pembagian

Dilakukan dengan cara membagi pembilang dengan penyebut dan mengurangi sudut pembilang dengan sudut penyebut.

Misal dan

Maka :

Penambahan dan Pengurangan

Tidak dapat dilakukan kecuali memiliki sudut  yang sama atau hanya berbeda phasa kelipatan 180⁰

▪

z 1= r1 (cos1+i sin1) Z 2= r2 (cos2+i sin2)

( ^{1 2}) ^sin( ^{1 2})

2 cos 1 2

1 =  − + i  − r

r z

z

Perkalian

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ).

Jika z₁ = r₁(cos ₁ + i sin ₁) & z₂ = r₂(cos ₂ + i sin ₂), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :

z₁ z₂ = [r₁(cos ₁ + i sin ₁)][r₂(cos ₂ + i sin ₂)]

z₁ z₂ = r₁ r₂ [(cos ₁ cos ₂ - sin₁sin ₂) + i (sin ₁ cos ₂ + cos ₁sin ₂)]

z₁ z₂ = r₁ r₂ [cos (₁ + ₂ ) + i sin (₁ + ₂)]

32

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

arg(z₁ z₂) = ₁ + ₂ = arg z₁+ arg z₂

Pembagian

Sedangkan pembagian z₁ dan z₂ adalah sebagai berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r₂(cos ₂ - i sin ₂), maka diperoleh : [cos (₁ - ₂ ) + i sin (₁ - ₂)]

Dari rumus di atas diperoleh:

arg ₁-₂ = arg z₁ – arg z_2.

33

) sin i (cos

r

) sin i (cos

r z

z

2 2

2

1 1

1 2

1 =  ++ 

2 1 2

1

r r zz =

=

2 1

z z

Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ), maka:

Untuk: .

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat :

34 ( )

(  + )

=



− +



−

=

n sin i n

cos r

1 z

1

) sin(

i ) r cos(

1 z

1

n n

(cos( n ) isin( n ))

r 1 z

1

n

n = −  + − 

Perpangkatan

Contoh:

Hitunglah : Jawab :

Misalkan maka

karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

36

3 tan 1

2 1

3 z

r

,i 3 z

= −



= +

=

=

−

=

( )

( ) ( )

6 6 6 6

2

) 0 1 ( 2

180 sin 180

cos 2

3

30 sin

30 cos

2 3

−

−

− −

−

=

+

−

=

+

=

−

− +

−

=

−

o o

o o

i i

i i

30o

−

=



(

^{3 −i}

)

⁻⁶

Akar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari

bilangan kompleks w, jika zⁿ = w, dan ditulis . Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zⁿ = w

diperoleh: ⁿ(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga ⁿ = r dan n= +2k , k bulat.

Akibatnya dan Jadi . . .

37

n 1

w z =

n 1

= r

 n

k 2  +

= 



Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli.

Dari persamaan zⁿ = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.

Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);

0  < 2, sehingga diperoleh z₁,z₂,z₃,…,z_n sebagai akar ke-n dari z.

38

n 1

r n

k 2  +

 n

k 2  +



n k 2  +



Contoh :

Hitunglah (-81)^1/4 Jawab :

Misalkan z = (-81)^1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z⁴ = -81.

Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos180⁰+i sin180⁰), sehingga ⁴(cos4 +i sin4) = 81(cos180⁰+i sin180⁰),

diperoleh ⁴ = 81, atau  = 3 dan . Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

39

4 k 2  +

= 



4 k 2  +



4 k 2  +



LATIHAN 1

1. Diketahui z₁ = 6 + 5i dan z₂ = 8 – i.

Tentukan z₁ + z₂, z₁ - z₂ , z₁z₂, dan z₁ / z₂ 2. Jika z = -1-i, buktikan z² + 2z + 2 = 0.

3. Hitung jarak antara z₁ = 2 + 3i dan z₂ = 5 – i.

4. Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen

5. Hitunglah (-2+2i)¹⁵

LATIHAN 1 (LANJUTAN)

6. Tentukan koordinat kutub dari persamaan lingkaran berikut :

a. x² + (y – 3)² = 9 b. y² – 4x = 0

7. Gantilah koordinat kutub berikut menjadi koordinat kartesius :

a. r² = 4r cos θ b.

LATIHAN 2

LATIHAN 2 (LANJUTAN)