BAB VIII
HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL
8.1
Pendahuluan
Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah benda oleh sejumlah unsur yang lebih dari satu. Eksistensi elemen semesta pembicaraan yang menyatakan keadaan tersebut belum terwakili oleh keseluruhan himpunan semua bilangan bulat.
Topik ini sangat bermanfaat bagi mahasiswa untuk mengenal proses perlu-asan sebuah sistem bilangan (aljabar) ke dalam sistem bilangan lain yang memper-tahan operasi beserta sifat-sifat yang berlaku pada sistem semula. Metode perlu-asan ini merupakan metode yang sering dijumpai dalam sistem aljabar, khususnya Teori Ring.
Setelah mempelajari topik bahasan pada pertemuan minggu ke-13 dan 14 yang meliputi
1. Konstruksi sistem bilangan rasional 2. Sifat-sifat bilangan rasional
ini secara tuntas diharapkan memiliki learning Outcomes berupa:
1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian sistem bilangan rasional 2. Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat bilangan rasional
3, Mahasiswa mampu menggunakan sifat-sifat bilangan rasional pada bidang matematika terkait
8.2
Konstruksi Sistem Bilangan Rasional
Dalam bab sebelumnya telah dibahas tentang sistem bilangan bulat. Sebagai perluasan dari sistem bilangan bulat, dalam bab ini akan dibahas tentang kon-struksi himpunan (sistem) bilangan rasional beserta sifat-sifat yang muncul dari
operasi-operasi yang berlaku pada himpunan bilangan rasional beserta relasi uru-tan yang terjadi.
Definisi 8.2.1 Diketahui Z sistem bilangan bulat beserta operasi biner ”+” dan
”·” pada Z dan didefinisikan himpunan
D =Z × (Z − {0}) = {(m, n)|m, n ∈ Z, n ̸= 0}.
Untuk sebarang (m, n), (k, l)∈ D, dikatakan (m, n) = (k, l), jika m = k dan n = l.
Dengan memanfaatkan operasi biner ”+” dan ”·” beserta sifat-sifat yang dimilikinya didefinisikan relasi ”α” pada D, yaitu untuk sebarang (m, n), (k, l) ∈ D, (m, n)α(k, l)⇔ m ·Zl = n·Zk. (1) Pada definisi ini (m, n)α(k, l) dapat ditulis (m, n), (k, l) ∈ α(k, l). Berdasarkan sistem bilangan bulat jelas berlaku n·Zk = k·Zn. Sebagai contoh
((−4, 5), (24, −30)) ∈ α, ((−4, 5), (24, 30)) ̸∈ α
Lemma 8.1 Relasi α pada D merupakan relasi ekuivalensi, sehingga D terpartisi
oleh α menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling asing.
Bukti: Diambil sebarang (m, n), (k, l), (p, q) ∈ D. Karena m·Zn = nZm berakibat
(m, n)α(m, n). Akibatnya α refleksif.
Untuk menyederhanakan, notasi ”m·Zn” ditulis mn.
Selanjutnya, jika (m, n)α(k, l), maka ml = nk, sehingga kn = nk = ml = lm. Jadi (k, l)α(m, n), sehingga ”α” simetris. Jika (m, n)α(k, l) dan (k, l)α(p, q), maka
ml = nk, kq = lp
sehingga
(mq)l = m(ql) = m(lq) = (ml)q = (nk)q = n(kq) = n(lp) = n(pl) = (np)l Karena l̸= 0, maka mq = np. Akibatnya (m, n)α(p, q). Jadi α transitif.
Berdasarkan bukti di atas dapat disimpulkan D akan terpartisi menjadi kelas-kelas yang saling asing yang diberi simbol dengan
dengan (m, n) = {(k, l) ∈ D|((m, n), (k, l) ∈ α}. Dalam hal ini untuk masing-masing (m, n), (k, l)∈ D berlaku (m, n) = (k, l) atau (m, n)∩ (k, l) = ∅. Contoh 8.2.2 Pada Q (−3, 4) = (6, −8) = (120, −160) dan (−3, 4), (6, −8), (120, −160) ∈ (3, −4).
Pada himpunanQ dapat didefinisikan dua buah operasi biner ”+Q” dan ”·Q” dari Q × Q → Q (m, n) +Q(k, l) = (m·Zl +Zk·Zn, n·Zl) (m, n)·Q(k, l) = (m·Zk, n·Zl) atau (m, n) + (k, l) = (ml + kn, nl) (m, n)· (k, l) = (mk, nl) untuk setiap (m, n), (k, l)∈ Q.
Bukti: Hanya akan dibuktikan untuk ”+”. Jika (m, n) = (p, q) dan (k, l) = (u, v), maka
mq = np dan kv = lu
Karena sifat komutatif dan asosiatif operasi-operasi biner di Z, maka
(qv)(nk) = (qn)(kv) = (qn)(lu) = (nl)(uq), (qv)(ml) = (vl)(mq) = (vl)(np) = (nl)(pv) sehingga nl(pv + uq) = qv(ml + nk). Jadi (p, q) + (u, v) = (m, n) + (k, l) Latihan 8.1 Buktikan operasi ”·Q” merupakan operasi biner!
Dengan memperhatikan Teori Ring di bidang aljabar, dapat ditunjukkan, bahwa Q memiliki struktur ring. Untuk selanjutnya Q disebut sistem bilangan rasional. Kondisi tersebut dinyatakan dalam teorema berikut ini.
1. Terhadap operasi ”+”: 1.1 (∀x, y, z ∈ Q)(x + y) + z = x + (y + z) 1.2 (∃¯0 ∈ Q)(∀y ∈ Q)¯0 + y = y = y + ¯0 ¯ 0 = (0, m) untuk sebarang m∈ Z − {0} 1.3 (∀x ∈ Q)(∃y ∈ Q)(x + y = ¯0 = y + x) Jika x = (p, q), maka y = (−p, q) = (p, −q) 1.4 (∀x, y ∈ Q)(x + y = y + x) 2. Terhadap operasi ”·”: 2.1 (∀x, y, z ∈ Q)(xy)z = x(yz) 2.2 (∃¯1 ∈ Q)(∀y ∈ Q)¯1y = y = y¯1
¯
1 = (m, m) untuk sebarang m∈ Z − {0}
2.3 (∀x ∈ Q − {¯0})(∃y ∈ Q)(xy = ¯1 = yx)
Jika x = (p, q), berarti p̸= 0, sehingga y = (q, p). 2.4 (∀x, y ∈ Q)(xy = yx)
3. Operasi ”+” dan ”·” bersifat distributif: 3.1 (∀x, y, z ∈ Q)(x + y)z = xz + yz 3.2 (∀x, y, z ∈ Q)x(y + z) = xy + xz
Bukti: Untuk latihan.
Sifat berikut menunjukkan, bahwa Q merupakan perluasan dari Z, dengan operasi ”+Z” merupakan pembatasan dari ”+Q” di Z; sedangkan ”·Z” merupakan pembatasan ”·Q” di ”Z”
Teorema 8.3 Terdapat ZQ ⊆ Q yang memenuhi
1. (∃α)α : ZQ → Z pemetaan bijektif
2. Terhadap operasi ”+Q” dan ”·Q” memenuhi Teorema 8.2 kecuali 2.3. 3. (∀x, y ∈ ZQ)(α(x +Qy) = α(x) +Zα(y)∧ α(x ·Qy) = α(x)·Zα(y))
Bukti: Diambil ZQ = {(m, 1)|m ∈ Z}. Perlu dicatat, bahwa untuk sebarang
m ̸= 0 berlaku (m2, m) = (m, 1).
1. Diambil pengaitan α : ZQ → Z, dengan α((m, 1)) = m. Untuk sebarang (m, 1) = (n, 1) berakibat m = m· 1 = 1 · n = n. Akibatnya α((m, 1)) =
α((n, 1)). Jadi α pemetaan.
Jelas, bahwa jika m ∈ Z, maka (m, 1) ∈ Q, dan α((m, 1)) = m. Jadi α surjektif. Selain itu untuk sebarang α((m, 1)) = m = n = α((n, 1)) berakibat (m, 1) = (n, 1); sehingga α injektif.
2. Untuk latihan
3. Diambil sebarang (m, 1), (n, 1)∈ ZQ)
α((m, 1) +Q(n, 1)) = α((m + n, 1) = m +Zn = α((m, 1)) + α((n, 1)). α((m, 1)·Q(n, 1)) = α((m· n, 1) = m ·Zn = α((m, 1))· α((n, 1)).
Berdasarkan hubungan antaraZ dan ZQdi atas, dan eksisitensi elemen positif pada Z, maka dapat dihimpun ”elemen-elemen positif” bilangan rasional Q, yaitu
Q+={(m, n)|m, n ∈ Z+∨ m, n ∈ Z−}
dan ”elemen-elemen negatif” bilangan rasional Q, yaitu
Q− ={(m, n)|(m, n) ∈ Z+× Z−∨ (m, n) ∈ Z−× Z+}
Teorema 8.4 Pada himpunan Q berlaku:
1. (∀(m, n), (k, l) ∈ Q+)((m, n) + (k, l), (m, n)· (k, l) ∈ Q+)
2. (∀(m, n), (k, l) ∈ Q−)((m, n) + (k, l)∈ Q−, (m, n)· (k, l) ∈ Q+)
3. (∀(m, n) ∈ Q)(∀(k, l) ∈ Q+)((m, n)· (k, l) ∈ Q+∪ {0})
4. Untuk sebarang (m, n)∈ Q berlaku tepat satu
(m, n) ∈ Q ∨ (m, n) = 0 ∨ (m, n) ∈ Q−
Bukti: Hanya akan dibuktikan sebagian. Yang tidak ada buktinya dijadikan lati-han.
1. Diambil sebarang (m, n), (k, l) ∈ Q+. Tanpa mengurangi keumuman, jika
m, n, k, l ∈ Z+, maka ml, nk, kl ∈ Z+. Jadi ml + nk, kl ∈ Z+, sehingga
(m, n) + (k, l)∈ Q+.
Jika m, n∈ Z+ dan k, l∈ Z−, maka ml, nk, kl ∈ Z−. Jadi ml− nk, kl ∈ Z+, sehingga (m, n) + (k, l) ∈ Q+. Demikian juga jika m, n, k, l ∈ Z−, maka
ml, nk, kl∈ Z+. Jadi (m, n) + (k, l)∈ Q+.
2. Diambil sebarang (m, n), (k, l)∈ Q−. Tanpa mengurangi keumuman dimisalkan
m, k ∈ Z+ dan n, l ∈ Z−. Akibatnya mk ∈ Z+ dan nl ∈ Z+. Jadi
(m, n) · (k, l) ∈ Q+. Selain itu, ml + nk ∈ Z− dan nl ∈ Z+. Akibatnya
(m, n) + (k, l)∈ Q−.
4 Diambil sebarang (m, n)∈ Q, dengan (m, n) ̸= 0. Akibatnya m ̸= 0. Kondisi ini berakibat berlaku tepat satu m∈ Z+atau m∈ Z−. Demikian juga dengan
n, sehingga (m, n)∈ Q+ atau (m, n)∈ Q−; dan hanya berlaku salah satu. Untuk mempermudah, sebagaimana yang dikenal luas oleh pengguna teori bilangan, elemen (m, n)∈ Q biasa ditulis dengan
(m, n) = m
n.
Sebagai contoh dengan mudah diketahui bahwa sebagai invers dari (m, n) terhadap penjumlahan, −(m, n) = (−m, n) = −mn =−mn. Jadi
Q = {m
n|m, n ∈ Z, n ̸= 0}.
Dalam bentuknya yang paling sederhana untuk setiap x ∈ mathbbQ − {0} dapat ditemukan m, n∈ Z yang memenuhi F P Bm, n = 1 dan x = mn.
Latihan 8.2 Dengan mengeksplorasi sifat-sifatZ selesaikanlah beberapa pertanyaan berikut ini.
1. Buktikan bahwa Q = Q−∪ {0} ∪ Q+, dan Q−∩ Q+ =∅. 2. Buktikan sifat-sifat dalam Teorema 8.2.
3. Buktikan bahwa untuk setiap (m, n), (k, l)∈ Q, persamaan (m, n)· (x, y) = (k, l)
4. Buktikan bahwa untuk setiap (m, n), (k, l), (x, y)∈ Q berlaku (m, n)(x, y) = (k, l)(x, y) dan (x, y)̸= 0 ⇒ (m, n) = (k, l)
8.3
Relasi Urutan
Pada himpunan Q didefinisikan relasi ”≤ ”: ∀u, v ∈ Q
u≤ v ⇔ (∃ϵ ∈ Q+∪ {0})u + ϵ = v. (2) Relasi ini merupakan relasi urutan parsial, karena:
1. Refleksif:
Untuk sebarang x ∈ Q terdapat 0 sehingga x + 0 = x. Jadi x ≤ x. 2. Anti simetris:
Untuk sebarang x, y ∈ Q, jika x ≤ y dan y ≤ x, maka dapat ditemukan
u, v ∈ Q+∪ {0} yang memenuhi
x + u = y, y + v = x
Akibatnya x + (u + v) = (x + u) + v = x, sehingga u + v = 0. Jika u, v ∈ Q+, maka u + v ∈ Q+. terjadi kontradiksi, sehingga u = v = 0. Jadi x = y.
3. Transitif
Untuk sebarang x, y, z ∈ Q, jika x ≤ y dan y ≤ z, maka dapat ditemukan
u, v ∈ Q+∪ {0} yang memenuhi
x + u = y, y + v = z
Akibatnya z = (x + u) + v = x + (u + v). Jika u = v = 0, maka u + v = 0. Jika u ∈ Q+ dan v = 0, maka u + v ∈ Q+. Demikian juga jika u, v ∈ Q+. Hal ini berakibat x≤ z.
Sifat sederhana urutan ”≤” yang dapat diturunkan dari definisi dinyatakan sebagai berikut. Sifat ini sekaligus menyatakan, bahwa urutan ”≤” merupakan urutan total.
Teorema 8.5 Relasi ”≤” pada 2 merupakan urutan total dan untuk setiap x, y ∈ Q berlaku tepat satu
x = y ∨ x < y ∨ y < x.
Bukti: Untuk sebarang x, y ∈ Q, berlaku tepat satu
x− y = 0 ∨ x − y ∈ Q+ ∨ x − y ∈ Q−
dan x = y + (x−y) dan y = x+(y −x). Akibatnya jika x−y = 0 atau x−y ∈ Q+,
maka x = y atau y < x. Jika x− y ∈ Q−, maka y− x ∈ Q+, sehingga x < y.
Pemetaan α pada Teorema 8.3 compatible dua sisi terhadap urutan ”≤” dalam arti
(m, 1)≤Q (n, 1)⇔ m ≤Zn.
Sebagai bukti, (m, 1) ≤Q (n, 1), jika dan hanya jika dapat ditemukan (k, l) ∈ Q+ ∪ {0}, sehingga m+k
1 = (m, 1) + (k, l) = (n, 1). Kondisi ini ekuivalen dengan
m + k = n; dan k ∈ Z+∪ {0} jika dan hanya jika (k, 1) ∈ Q+∪ {0}.
Lemma 8.6 Untuk setiap x, y, z, u∈ Q berlaku sifat
1. x≤ y jika dan hanya jika x + z ≤ y + z, z + x ≤ z + y 2. x < y jika dan hanya x + z < y + z, z + x < z + y 3. x≤ y dan z ∈ Q+∪ {0}, maka xz ≤ yz, zx ≤ zy
4. x < y dan z ∈ Q+, maka xz < yz, zx < zy
5. Jika xz ≤ yz dan z ∈ Q+, maka x≤ y 6. Jika xz < yz dan z ∈ Q+, maka x < y
7. Jika x≤ y dan z ≤ u, maka x + z ≤ y + u 8. Jika x≤ y dan z < u, maka x + z < y + u
Bukti: Hanya akan dibuktikan untuk 2, 4, dan 6.
2. Karena x < y, maka terdapat u ∈ Q+ sehingga x + u = y. Akibatnya (x + z) + u = (x + u) + z = y + z, sehingga x + z < y + z. Bukti analog untuk
4. Karena x < y, maka dapat ditemukan y − x = u ∈ + yang memenuhi
x + (y− x) = y. Akibatnya zy = z(x + (y − x)) = zx + z(y − x). Di sisi lain z, y− x ∈ Q+, sehingga z(y− x) ∈ Q+. Dengan kata lain zx < zy.
6. Karena xz < yz dan z ∈ Q+, maka terdapat 1 z ∈ Q + sehingga 1 z = 1. Akibatnya, sesuai 4 x = x(z1 z) = (xz) 1 z < (yz) 1 z = y Akibatnya x < z.
Teorema 8.7 (Teorema nilai tengah) Untuk setiap x, y ∈ Q, jika x < y, maka
terdapat z ∈ Q sehingga x < y < z.
Bukti: Karena x < y, maka terdapat y−x ∈ Q+sehingga x + (y−x) = y. Karena 1 2 ∈ Q +, akibatnya 1 2(y− x) ∈ Q + dan (x + 1 2(y− x)) + 1 2(y− x) = x + (y − x) = y sehingga jelas x < x + 12(y− x) < y.
Akibat dari Teorema 8.7 diperoleh sifat berikut ini.
Teorema 8.8 Untuk sebarang 0 < x∈ Q terdapat N ∈ Z+yang memenuhi 1 N < x.
Bukti: Karena 0 < x∈ Q, maka x = mn, dengan n ≤ 1. Akibatnya 1x = mn. Dapat diambil N = n, akan berakibat
0 < 1 x < n m ≤ nm m = N sehingga 0 < N1 < x.
Salah satu sifat lain yang dikenal baik dalam kalkulus atau analisis berhubun-gan erat denberhubun-gan konsep limit (konvergensi). Teorema berikut merupakan salah satu di antaranya.
Teorema 8.9 Diketahui x ∈ Q dan 0 ≤ x. Jika untuk setiap ϵ > 0 di Q (ekuivalen
Bukti: Andaikan x ̸= 0, berarti 0 < x. Menurut Teorema 8.8 dapat ditemukan
δ ∈ Q+ sehingga 0 < δ < x. kontradiksi dengan asumsi, bahwa ϵ > 0 diQ berlaku
ϵ > x
Dari uraian tentang konstruksi himpunan bilangan rasional di atas terlihat jelas, bahwa beberapa persoalan yang tidak bisa terjawab dalam sistem bilangan bulat, khususnya eksistensi solusi persamaan ax = b telah dapat diselesaikan. Na-mun begitu masih ditemukan beberapa masalah yang berada di luar sistem bilangan rasional. Masalah-masalah tersebut di antaranya:
1. Pada segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegak 1∈ Q dan panjang sisi miring x, diperoleh x2 = 12 = 12 = 2. Solusi dari persamaan tersebut, yaitu
x bukan bilangan rasional.
2. Dalam konsep konvergensi atau limit, barisan {ai}i≤1 dengan suku ke-i, ai =
(1 + 1i)i merupakan barisan bilangan rasional. Meskipun an konvergen ke a,
namun dalam kenyataannya a∈ Q.
3. Luas lingkaran dengan jari-jari r didekati dengan segi-n beraturan. Jika Ln
adalah luas masing-masing segi-n yang digunakan untuk pendekatan, maka
Ln = snr2 dengan sn bilangan rasional. Luas lingkaran tertentu sebesar πr2,
yang berarti sn konvergen ke π. Dalam prakteknya tidak jarang π dianggap
sama dengan 227. Namun sesungguhnya π bukanlah bilangan rasional.
Kenyataan tersebut membutuhkan sistem perluasan dari himpunan bilangan rasional yang dapat menjawab persoalan-pesoalan di atas. Untuk itu perkemban-gan selanjutnya dari sistem bilanperkemban-gan rasional berupa sistem (himpunan0 bilanperkemban-gan real. Beberapa syarat yang menjadi acuangan perluasan adalah:
1. Himpunan bilangan rasional harus menjadi subhimpunannya
2. Semua operasi yang berlaku diQ harus merupakan pembatasan dari operasi himpunan perluasan Q
3. Relasi urutan diQ harus merupakan pembatasan dari relasi urutan himpunan perluasan Q
4. Sifat-sifat yang melekat pada operasi dan relasi padaQ harus tetap bertahan pada himpunan perluasan Q
Latihan 8.3
1. Buktikan sifat Lemma 8.6 yang belum dibuktikan.
2. Apakah benar, jika x ≤ y dan z ≤ u, maka xz ≤ yu ? Jelaskan jawaban anda! Jika tidak, berikan syarat cukup sifat tersebut dipenuhi!
3. Apakah benar, jika x ≤ y dan z < u, maka xz < yu ? Jelaskan jawaban anda! Jika tidak benar, berikan syarat cukup agar sifat tersebut dipenuhi! 4. Apakah benar untuk setiap x ∈ Q − {0} dapat ditemukan bilangan bulat z
yang memenuhi 0 < 1z < x atau x < 1z < 0 ? Jelaskan jawaban anda!
5. Buktikan bahwa jika x≤ y dan untuk setiap ϵ > 0 di Q berlaku x + ϵ > y, maka x = y!
Materi Pengayaan
1. Dapat di lihat pada website: http://www.imo-official.org
2. Untuk diskusi dengan anak-anak berbakat di bidang matematika silahkan akses http://www.olimpiade.org
CONTOH SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER DAN
AKHIR SEMESTER
UJIAN SISIPAN SEMESTER I TAHUN 2010/2011 S1 MATEMATIKA Mata Kuliah : Pengantar Teori Semigrup
Hari/tanggal : Kamis, 4 Nopember 2010 Waktu : 120 menit
Sifat : Buku Terbuka Dosen : Budi S.
Petunjuk : Kerjakan terlebih dulu soal yang menurut anda mudah 1. Diketahui semigrup S memuat subgrup. Pada semigrup S didefinisikan relasi
R, L, D, dan H. Jika a ∈ S, didefinisikan klas yang memuat a relatif terhadap
relasi tersebut berturut-turut adalah Ra, La, Ha, dan Da. Didefinisikan G(S)
adalah grup terluas yang termuat di S dan
V (a) ={b ∈ S | a = aba, b = bab}.
1.1 Benarkah G(S) merupakan gabungan semua subgrup S. Jelaskan. 1.2 Jika G adalah gabungan semua subgrup S benarkah
G = ∪
e∈E(S)
He.
1.3 Untuk sebarang a, b∈ S, ab ∈ Ra∩ Lb jika dan hanya jika La∩ Rb grup.
Benarkah ? Beri penjelasan.
1.4 Jika a, b ∈ S, apakah terdapat c ∈ S sehingga V (a) ∩ V (b) = V (c), jelaskan!
2. Let S be a set with a binary operation ∗ on S such that the following state-ments are satisfied:
i. e∈ S
ii. (∀s ∈ S)s ∗ e ̸= e
iii. (∀s, t ∈ S)(s ∗ e = t ∗ e ⇒ s = t) iv. (∀s, t ∈ S)(s ∗ t) ∗ e = s ∗ (t ∗ e)
v. If e∈ T ⊆ S such that
(∀t ∈ S)(t ∈ T ⇒ t ∗ e ∈ T ), then T = S.
2.1 Is S a commutative semigroup!? Prove it!
UJIAN TENGAH SEMESTER II TAHUN 2012/2013
Mata Kuliah : PENGANTAR TEORI BILANGAN, Prodi Matematika Hari/tanggal : Kamis, 18 April 2013
Waktu : 120 menit
Sifat : Take Home Dosen : Budi S.
Petunjuk : Dikumpulkan tanggal 25 April 2013, paling lambat jam 12.00 1. Buktikan Soal no 9, hal 121 Buku Number Systems of Analysis karangan
Webber, G.C.
2. Diketahui IR himpunan semua bilangan real seperti yang anda kenal semasa SMA. Didefinisikan pengaitan ∗ : IR × IR → IR yang memenuhi
2.1 (∀x, y ∈ IR )(∃!a ∈ IR )x ∗ a = y Untuk selanjutnya dinyatakan a = [y, x] 2.2 (∀x, y, z ∈ IR )(x ∗ y) ∗ z = xz + yz
Selidiki sifat∗ di IR (Apakah operasi biner, assosiatif, komutatif, distributif, dan hubungannya dengan bentuk [x, y]. Beri penjelasan)
3. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 − 1 dan
p2 = 2y2 − 1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan nilai p yang memenuhi!
4. Bilangan bulat n dikatakan berbentuk kuadrat jika terdapat bilangan bulat
k sedemikian hingga n = k2. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan asli.
Buktikan xy + 1, xz + 1, dan yz + 1 berbentuk kuadrat jika dan hanya jika (xy + 1)(xz + 1)(yz + 1)
Mata Kuliah : PENGANTAR TEORI BILANGAN, Prodi Matematika Hari/tanggal : Kamis, 23 Juni 2011
Waktu : 120 menit
Sifat : Buku Tebuka Dosen : Budi S.
Petunjuk : Kerjakan terlebih dulu soal yang menurut anda mudah 1. Jelaskan konstruksi sistem himpunan bilangan rasional dari sistem himpunan
bilangan bulat!
2. Didefinisikan himpunan H sebagai subhimpunan semua bilangan real dengan: 2.1 12 ∈ H
2.2 x∈ H ⇒ (x+11 ∈ H ∧ x+1x ∈ H)
Apakah benar untuk setiap G berlaku jika H ⊆ G, maka (0, 1) ⊂ G (Catatan: (0, 1) ={x | x real 0 < x < 1})
3. Buktikan, bahwa √2 +√3 bukan bilangan rasional
4. Buktikan no 9, hal 121 Buku Number Systems of Analysis karangan Webber, G.C.
5. Diketahui IR himpunan semua bilangan real seperti yang anda kenal semasa SMA. Didefinisikan pengaitan ∗ : IR × IR → IR yang memenuhi
5.1 (∀x, y ∈ IR )(∃!a ∈ IR )x ∗ a = y Untuk selanjutnya dinyatakan a = [y, x] 5.2 (∀x, y, z ∈ IR )(x ∗ y) ∗ z = xz + yz
Selidiki sifat∗ di IR (Apakah operasi biner, assosiatif, komutatif, distributif, dan hubungannya dengan bentuk [x, y]. Beri penjelasan)
UJIAN TENGAH SEMESTER II TAHUN 2009/2010
Mata Kuliah : PENGANTAR TEORI BILANGAN, Prodi Matematika Hari/tanggal : Sabtu, 26 Juni 2010
Waktu : 120 menit
Sifat : Buku Tebuka Dosen : Budi S.
Petunjuk : Kerjakan terlebih dulu soal yang menurut anda mudah 1. Diketahui pi adalah bilangan prima ke-i pada himpunan semua bilangan asli.
Untuk setiap n ∈ IN terdapat . . . , α2(n), α1(n)∈ IN ∪ {0},
n = pα1(n)
1 p
α2(n)
2 · · · .
Didefinisikan relasi R pada himpunan semua bilangan asli IN , dengan definisi
nRm⇐⇒ (∀i)α(n)i ≤ α(m)i.
Selidiki semua jenis relasi yang dipenuhi oleh R.
2. Pilih 2 (dua) Soal di Buku Number Systems of Analysis karangan Webber, G.C. Kemudian buktikan (selesaikan). Semakin tinggi tingkat kesulitan, se-makin tinggi juga nilainya.
3. Diketahui IR himpunan semua bilangan real seperti yang anda kenal semasa SMA. Didefinisikan pengaitan ∗ : IR × IR → IR yang memenuhi
3.1 (∀x, y ∈ IR )(∃!a ∈ IR )x ∗ a = y Untuk selanjutnya dinyatakan a = [y, x] 3.2 (∀x, y, z ∈ IR )(x ∗ y) ∗ z = xz + yz
Selidiki sifat∗ di IR (Apakah operasi biner, assosiatif, komutatif, distributif, dan hubungannya dengan bentuk [x, y]. Beri penjelasan)
4. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 − 1 dan
p2 = 2y2 − 1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan nilai p yang memenuhi!
UJIAN AKHIR SEMESTER II PROGRAM S1 TAHUN 2011/2012 MATEM-ATIKA FMIPA UGM
Mata Kuliah : Pengantar Teori Bilangan Hari/Tanggal : Senin, 25 Juni 2012
Waktu : 120 menit
Sifat : Buku Terbuka Dosen: Budi S
1. Jelaskan latar belakang dan konstruksi bilangan real yang bukan bilangan rasional. (Tiga jenis berbeda)
2. Buktikan Theorema 5-34 (c) halaman 126 buku referensi utama. 3. Buktikan Theorema 5-29 (b) halaman 120 buku referensi utama.
4. Buktikan Theorema 5-18 (e), (f), dan (g) halaman 113 buku referensi utama. 5. Apakah terdapat fungsi f : IN → IN yang memenuhi
f (f (n)) = f (n + 1)− f(n)
UJIAN TENGAH SEMESTER II TAHUN 2012/2013
Mata Kuliah : PENGANTAR TEORI BILANGAN, Prodi Matematika Hari/tanggal : Kamis, 18 April 2013
Waktu : 120 menit
Sifat : Take Home Dosen : Budi S.
Petunjuk : Dikumpulkan tanggal 25 April 2013, paling lambat jam 12.00 1. Buktikan Soal no 9, hal 121 Buku Number Systems of Analysis karangan
Webber, G.C.
2. Diketahui IR himpunan semua bilangan real seperti yang anda kenal semasa SMA. Didefinisikan pengaitan ∗ : IR × R → R yang memenuhi
2.1 (∀x, y ∈ R)(∃!a ∈ IR )x ∗ a = y
Untuk selanjutnya dinyatakan a = [y, x] 2.2 (∀x, y, z ∈ IR )(x ∗ y) ∗ z = xz + yz
Selidiki sifat ∗ di R (Apakah operasi biner, assosiatif, komutatif, distributif, dan hubungannya dengan bentuk [x, y]. Beri penjelasan)
3. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 − 1 dan
p2 = 2y2 − 1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan nilai p yang memenuhi!
4. Bilangan bulat n dikatakan berbentuk kuadrat jika terdapat bilangan bulat
k sedemikian hingga n = k2. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan asli.
Buktikan xy + 1, xz + 1, dan yz + 1 berbentuk kuadrat jika dan hanya jika (xy + 1)(xz + 1)(yz + 1)
berbentuk kuadrat.
5. Diketahui pi adalah bilangan prima ke-i pada himpunan semua bilangan asli.
Untuk setiap n ∈ IN terdapat . . . , α2(n), α1(n)∈ IN ∪ {0},
n = pα1(n)
1 p
α2(n)
Didefinisikan relasi R pada himpunan semua bilangan asli IN , dengan definisi
nRm⇐⇒ (∀i)α(n)i ≤ α(m)i.
Selidiki semua jenis relasi yang dipenuhi oleh R.
6. Pilih 2 (dua) Soal di Buku Number Systems of Analysis karangan Webber, G.C. Kemudian buktikan (selesaikan). Semakin tinggi tingkat kesulitan, se-makin tinggi juga nilainya. Setiap anak harus berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
Webber, GC., 1966, Number System of Analysis, Addison-Wesley Pub. Company, Massachusetts
