Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)

Supama

Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA

Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II)

Outline

1 Penyajian Secara Geometris Modulus

Sekawan/Konjugat

2 Bentuk Kutub

Penyajian Secara Geometris

Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan dengan tepat satu bilangan kompleks.

Sebagai contoh, bilangan 2 + 3i dapat disajikan dengan titik (2, 3).

Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem bilangan kompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu,

sebarang bilangan kompleks z = x + iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x , y ) atau sebagai vektor posisi dari titik asal ke titik (x , y ).

Penyajian Secara Geometris

Karena sebarang bilangan kompleks z = x + iy secara geometris dapat dinyatakan sebagai titik (x , y ), maka bidang datar xy seringkali disebut sebagai bidang kompleks atau bidang-z. Sumbu-x dan sumbu-y

masing-masing disebut sebagai sumbu real dan sumbu imajiner.

Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z₁=x₁+iy₁ dan z₂=x₂+iy₂. Terkait dengan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks, maka z₁+z₂dapat disajikan dengan titik (x₁+x₂,y₁+y₂)atau dapat pula disajikan dengan vektor posisi OA, dengan A(x₁+x₂,y₁+y₂). Dengan demikian z₁+z₂dapat diperoleh dengan cara

menjumlahkan vektor z₁dan vektor z₂. Demikian pula, vektor z₁− z₂dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z₁dengan vektor −z₂.

Modulus

Modulus

Modulus atau nilai mutlak bilangan kompleks z = x + iy , ditulis dengan notasi |z|, didefinisikan sebagai

|z| = q

x²+y² (1)

Mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang z ∈ C,

|z| ≥ 0 dan

|z| = 0 ⇔ z = 0

Secara geometris, |z| dapat diartikan sebagai jarak titik asal ke titik (x , y ), atau panjang vektor posisi z.

Apabila y = 0, maka |z| = |x |, yaitu nilai mutlak di dalam sistem bilangan real R.

Modulus

Modulus

Untuk dua bilangan kompleks sebarang z₁=x₁+iy₁dan z₂=x₂+iy₂, berlaku:

|z1− z2| = q

(x₁− x2)²+ (y₁− y2)²

Oleh karena itu, secara geometris |z₁− z₂| berarti jarak antara titik z₁dan titik z₂.

Hubungan antara |z|, Re(z), dan Im(z):

|z|²= (Re(z))²+ (Im(z))² Akibatnya,

Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|, Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z| (2)

Sekawan/Konjugat

Sekawan

Sekawan (konjugat) bilangan kompleks z = x + iy , ditulis dengan notasi z, didefinisikan sebagai bilangan kompleks x − iy . Jadi

z = x − iy (3)

Dari (16) dapat dilihat bahwa z disajikan oleh titik (x , −y ), yang tidak lain adalah pencerminan titik (x , y ) terhadap sumbu real.

Sekawan/Konjugat

Sekawan

Theorem

Untuk sebarang z, z₁,z₂∈ C berlaku:

i. (z) = z dan |z| = |z|,

ii. z₁+z₂=z₁+z₂, z₁− z₂=z₁− z₂, iii. z₁z₂=z₁z₂,

(^z_z¹

2) = ^z_z¹

2, z₂6= 0,

iv. z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z)

Sekawan/Konjugat

Sekawan

Untuk sebarang z = x + iy ∈ C,

zz = (x + iy )(x − iy ) = x²+y²= |z|² (4) Berdasarkan persamaan (17) dapat diberikan cara lain untuk menyatakan ^z_z¹

2, yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan z₂.

Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini.

Example 2 + i

2 − 3i = 2 + i 2 − 3i

2 + 3i

2 + 3i = 1 + 8i 13 = 1

13 + 8 13i

Sekawan/Konjugat

Modulus

Berdasarkan (17), mudah diperlihatkan sifat berikut ini.

Theorem

Untuk sebarang z₁,z₂∈ C berlaku:

i. |z₁z₂| = |z₁||z₂|,

|^z_z¹

2| = ^|z_|z^1|

2|, z₂6= 0, ii. Ketaksamaan segitiga:

||z1| − |z2|| ≤ |z1+z₂| ≤ |z1| + |z2|,

||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁− z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.

Bentuk Kutub

Seperti telah dijelaskan pada pertemuan minggu lalu, bilangan kompleks z = x + iy dapat disajikan dengan titik (x , y ) di dalam bidang-xy .

Sebarang titik tak nol (x , y ), di dalam sistem koordinat kutub, dapat disajikan sebagai (r , θ), dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik asal dan θ sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik tersebut ke titik asal dan garis horisontal, arah berlawanan jarum jam.

Bentuk Kutub

Karena

x = r cos θ dan y = r sin θ maka z dapat pula dinyatakan sebagai

z = r (cos θ + i sin θ) (5) atau biasa pula ditulis z = r cisθ.

Perhatikan bahwa r =

q

x²+y²= |z|

Jadi, bilangan r merupakan modulus (panjang) bilangan kompleks z. Sedangkan θ disebut argument z, biasa ditulis arg z.

Ruas kanan persamaan (1) disebut bentuk kutub bilangan kompleks z.

Bentuk Kutub

Telah diterangkan bahwa setiap bilangan kompleks z 6= 0 dapat disajikan dalam bentuk kutub sebagai

z = r (cos θ + sin θ).

Karena r = |z|, maka r tidak diperkenankan bernilai

negatif. Hal ini berbeda dengan penyajian suatu titik dalam sistem koordinat kutub sebagaimana di dalam kalkulus, yang memperbolehkan r negatif.

Sedangkan nilai untuk θ bisa bermacam-macam (tak hingga banyak) nilainya, termasuk negatif.

Perlu diperhatikan bahwa apabila bilangan kompleks z dinyatakan dalam bentuk kutub, maka selalu dimaksudkan z 6= 0, meskipun hal itu tidak dikatakan secara eksplisit.

Bentuk Kutub

Secara geometris arg z menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi z terhadap sumbu real positif dan diukur dalam radian.

Apabila θ merupakan arg z, maka θ + 2k π, k ∈ Z, juga merupakan arg z. Jadi, arg z bernilai tidak tunggal.

Untuk z = 0, arg z tidak didefinisikan. Sedangkan untuk z 6= 0, nilai arg z dapat ditentukan dengan rumus

θ =arctan(y

x) , x 6= 0 (6)

atau

θ =arcsin(y

r) =arccos(x

r) (7)

Apabila menggunakan rumus (2), maka kuadran yang memuat z harus diperhatikan.

Bentuk Kutub

Telah diterangkan di depan bahwa nilai arg z tidak tunggak.

Suatu nilai arg z yang memenuhi −π < arg z ≤ π disebut nilai utama (principal value) arg z, ditulis dengan notasi Arg z. Dalam hal ini, nilai Argz tunggal.

Perhatikan contoh berikut.

Example

Untuk bilangan kompleks z = −1 − i√ 3, arg z = 4π

3 +2k π, k ∈ Z tetapi

Arg z = −2π 3

Bentuk Kutub

Diberikan dua bilangan kompleks sebarang:

z₁=r₁(cos θ₁+i sin θ₁) dan z₂=r₂(cos θ₂+i sin θ₂) maka diperoleh

z₁z₂ = r₁(cos θ₁+i sin θ₁)r₂(cos θ₂+i sin θ₂)

= r₁r₂(cos θ₁+i sin θ₁)(cos θ₂+i sin θ₂)

= r₁r₂{(cos θ₁cos θ₂− sin θ₁sin θ₂) + i(sin θ₁cos θ₂+cos θ₁sin θ₂)}

= r₁r₂(cos(θ₁+ θ2) +i sin(θ₁+ θ2))

Bentuk Kutub

Jadi,

z₁z₂=r₁r₂(cos(θ₁+ θ₂) +i sin(θ₁+ θ₂)) (8) Dengan demikian diperoleh suatu persamaan

arg z₁z₂=arg z₁+arg z₂ (9)

Perhatikan bahwa persamaan (5) harus dipahami demikian:

Apabila θ₁dan θ₂masing-masing adalah nilai arg z₁dan arg z₂, maka berdasarkan persamaan (5), θ₁+ θ₂ merupakan suatu nilai arg z₁z₂.

Sebaliknya, jika diberikan sebarang nilai arg z₁dan nilai arg z₁z₂, misalkan masing-masing adalah

arg z₁ = θ₁+2k π, n ∈ Z, dan arg z₁z₂ = (θ1+ θ2) +2nπ, n ∈ Z, karena

(θ₁+ θ₂) +2nπ = (θ₁+2k π) + (θ₂+2(n − k )π), maka persamaan (5) akan dipenuhi apabila nilai arg z₂= θ₂+2(n − k )π.

Jadi, sebarang arg z₁z₂sama dengan suatu arg z₁ ditambah suatu arg z₂.

Bentuk Kutub

Perlu diperhatikan bahwa sebarang arg z₁z₂tidak sama dengan sebarang arg z₁ditambah sebarang arg z₂. Demikian pula, Arg z₁z₂belum tentu sama dengan Arg z₁ ditambah Arg z₂.

Perhatikan contoh berikut ini.

Example

Diberikan z₁= −1 dan z₂= −1 + i√

3, maka z₁z₂=1 − i√ 3.

Berturut-turut diperoleh:

arg z₁ = π +2k π, k ∈ Z, Arg z1= π arg z₂ = 2π

3 +2k π, k ∈ Z, Arg z2= 2π 3 , arg z₁z₂ = −π

3 +2k π, k ∈ Z, Arg z1z₂= −π 3.

Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol

z = r (cos θ + i sin θ), maka mudah ditunjukkan bahwa 1

z = 1

r(cos(−θ) + i sin(−θ)) (10) Demikian pula

z = r (cos(−θ) + i sin(−θ)) (11) Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4) dan (6), maka untuk dua bilangan kompleks sebarang:

z₁=r₁(cos θ₁+i sin θ₁) dan z₂=r₂(cos θ₂+i sin θ₂) berlaku

z₁ z₂ = (r₁

r₂)(cos(θ₁− θ₂) +i sin(θ₁− θ₂)) (12) Jadi, seperti halnya pada persamaan (5) dapat dikatakan bahwa sebarang arg(^z_z¹

2)sama dengan suatu arg z₁ dikurangi suatu arg z₂.

Bentuk Kutub

Apabila diberikan z_k =r_k(cos θ_k +i sin θ_k), k = 1, 2, . . . , n, maka secara induktif dapat ditunjukkan

z₁z₂. . .z_n = r₁r₂. . .r_n(cos(θ₁+ θ₂+ . . . + θ_n) +

i sin(θ₁+ θ₂+ . . . + θn)) (8a) Apabila pada persamaan di atas, z_k =z = (cos θ + i sin θ), k = 1, 2, . . . , n, maka diperoleh

zⁿ= (cos θ + i sin θ)ⁿ= (cos nθ + i sin nθ) (13) Selanjutnya, berdasarkan (6) dan (8a), maka untuk n ∈ N diperoleh

z⁻ⁿ= 1

zⁿ = 1

(cos nθ + i sin nθ) =cos(−n)θ + i sin(−n)θ

Bentuk Kutub

Dari persamaan (9), kita mempunyai

(cos θ + i sin θ)ⁿ = (cos nθ + i sin nθ) (14) untuk setiap n ∈ Z.

Persamaan (10) di atas dikenal dengan nama rumus De Moivre.

Dengan rumus De Moivre, kita dapat menyelesaikan beberapa persoalan di dalam sistem kompleks dengan sederhana.

Example

Tentukan Re(z) dan Im(z) jika diketahui z = ⁽¹⁻ⁱ

√3)² (1+i√

3)⁶(1+i)⁶.