2. Mg 02 Bilangan Kompleks 2024 2025

Bilangan Kompleks

Gabungan antara Bilangan Riil dan Imajiner

Z = X + Yi

Bentuk Umum

Dengan :

X = adalah bagian nyata atau X = R (z)

Y = adalah bagian imajiner atau Y = Im(z)

i =

^1

= Bilangan imajiner

 i

²

= (

⁻¹

)

²

= ( ( -1 )

^1/2

)

²

= (-1)

¹

= -1

 i

³

= i

²

. i = ( -1 ) . i = -i

 i

⁴

= i

²

. i

²

= ( -1) ( -1) = 1

Contoh :

1) i²⁰³ = ( (i)⁴)⁵⁰. i³ = ( 1 ) ⁵⁰. –i = -i 2) i¹⁰² = ( (i) ⁴)²⁵. i² = (1)²⁵. (-1) = -1 3) Z = 5 - i → X = 5 dan Y = - 1 4) Z = 23 + 5i → X = 23 dan Y = 5

Sifat Bilangan Imajiner

Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

𝑍

₁

= 𝑍

₂

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋

₁

= 𝑋

₂

𝑑𝑎𝑛 𝑦

₁

= 𝑦

₂

Penjumlahan dan Pengurangan

𝑧₁ ± 𝑧₂ = 𝑥₁ ± 𝑥₂ + 𝑦₁ ± 𝑦₂ 𝑖

Perkalian

𝑧₁𝑧₂ = 𝑥₁𝑥₂ − 𝑦₁𝑦₂ + 𝑥₁𝑦₂ + 𝑥₂𝑦₁ 𝑖

Kebalikan atau Invers

Kebalikan dari 𝑧 adalah 𝑧⁻¹ yang memiliki sifat 𝑧𝑧⁻¹ = 1 𝑧⁻¹ = 𝑥

𝑥² + 𝑦² − 𝑦

𝑥² + 𝑦² 𝑖

Pembagian 𝒛

_𝟏

dengan 𝒛

_𝟐

𝑧₁

𝑧₂ = 𝑥₁𝑥₂ + 𝑦₁𝑦₂

(𝑥₂)²+(𝑦₂)² + 𝑦₁𝑥₂ − 𝑥₁𝑦₂ (𝑥₂)²+(𝑦₂)² 𝑖

Sekawan (conjugate) dari 𝒛 adalah

ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖

Sifat- Bilangan Kompleks

• Jika z₁, z₂ dan z₃ sebarang bilangan-bilangan komplek, maka berlaku :

• Hukum komutatif : z₁ +z₂ = z₂ + z₁ ; z₁.z₂ = z₂. z₁

• Hukum asosiatif : (z₁ +z₂) + z₃ = z₁ +(z₂ + z₃) ; (z₁ z₂ ) z₃ = z₁ ( z₂ z₃)

• Hukum distributif : z₁ (z_{2 +} z₃)= z₁ z_{2 +} z₁ z₃

Melukis Bilangan Kompleks

Bilangan-bilangan riil dilukis sebagai titik dalam sebuah garis yang disebut garis

bilangan Bilangan kompleks dilukiskan pada bidang datar dimana didalamnya terdapat sistem koordinat Cartesian.

Titik P(x,y) adalah suatu lukisan bilangan

kompleks z = x+yi

Perhatikan ∆OPQ Gambar di atas:

a.

b.

Notasi baku Bilangan Kompleks : z = x+yi Jika x dan y disubstitusikan akan didapat

z = r cos +r sin i = r (cos + i sin )

= r cis ( Notasi Modulus/argumen= Polar) z modulus OP

r   x²  y²  z 

z dari argumen

adalah θ

x tg y θ arc

x atau θ y

tg r maka

sinθ y r ;

Cosθ  x   

θ θ

θ

θ θ

Contoh :

Ubah menjadi notasi modulus argumen dari bilangan kompleks z = 1-i

Penyelesaian : z = 1-i , maka x = 1 dan y = -1

k.360 315

cis θ 2

rcis i

1 z

Jadi

360 .

k θ 315

, IV Kw

di ada memenuhi

θ yg shg

) IV III,

Kw (

2 2 1 2

1 r

θ y sin

) IV I,

(Kw 2 2

1 2

1 r

θ x os

2 1

1 r

o

o 2

2



















 





















 c

y x

Menurut deret Mac Laurin ,

maka z = x+yi (Notasi baku ) bisa diubah menjadi bentuk

z = r cis (Notasi Modulus/argumen )/Polar

z = r ( Notasi Euler ) sin θ

θ i cos

e

^iθ

 

θ

e

iθ

Contoh : Hitung

Penyelesaian : 1-i diubah dalam Mod-Arg, didapat

Moivre

 De







 (x yi) (re

^

) r cis n 

z

^{n n i n n}

)100

1 (  i

360 .

315 ,

2 k

r    

50 50

50

50 50

100 .315

i 100

-2 (-1)

2 180)

sin i

180 (cos

2

180 cis

2 31500

cis 2

) e

2 (

i) (1

















Pangkat Bilangan Kompleks

Hitung semua nilai z dari persamaan : z

³

+1 = 0 Penyelesaian : z

³

+1 = 0

Bilangan -1 ditulis dalam bentuk Mod/arg , x = -1, y = 0 ,sehingga r =1, =180+k.360 Jadi : -1 = 1 cis (180+k.360)

k = bilangan bulat ( diambil yang berurutan)

cis n r

z

z ^{n n}

n _ ¹ _ ¹ 

13 3

3 , 2 , 1

3

  1    1  (  1 )

 z z



k.120) (60

cis 3 )

k.360 (180

cis 1

1)

( ^{13 13}   





Akar Bilangan Kompleks

Diambil nilai k yang berurutan dan bulat

Z_1,2,3 = cis (60 +k.120 )

K diambil yang berurutan dan bulat

K = 0 , maka Z₁ = cis ( 60 + 0.120 ) = cis 60

= cos 60 + i sin 60

= ½ + i . ¹

2 3

K=1 , maka Z₂ = cis ( 60 + 1. 120 ) = cis 180

= cos 180 + i sin 180

` = -1 + i. 0 = -1

K = 2, maka Z₃ = cis (60 +2. 120 )= cis 300

= cos 300 + i sin 300

= ½ + i . - ¹

2 3 = ½ - ¹

2 3 i