Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 3 – Bilangan Kompleks - 2

Sebrian Mirdeklis Beselly Putra

Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Rekap

Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan, pengurangam, perkalian, dan pembagian)

Dipelajari pula bagaimana merubah bilangan kompleks a + jb dinyatakan dalam bentuk bilangan polar r(cos + j sin)

Untuk mengingat kembali bisa dinyatakan bentuk bilangan kompleks menjadi bentuk polar.

a. z = 12 – j5 b. z = -5 – j4 c. z = 4 – j3

Rekap

a. z = 12 – j5

r² = 12² + 5² = 169

r = 13

tan E = 5/12 = 0,4167  E = 22^o37’

Maka dari sketsa di samping dalam hal ini  = 360^o – E = 360^o - 22^o37’  =337^o23’

Maka z = r(cos + j sin)

z = 13(cos 337^o23’ + j sin 337^o23’)

Rekap

b. z = -5 – j4 r² = 5² + 4² = 41

r = 6,403

tan E = 4/5 = 0,8  E = 38⁴⁰37’

Maka dari sketsa di samping dalam hal ini  = 180^o + E = 218^o40’

Maka z = r(cos + j sin)

z = 6,403(cos 218^o40’ + j sin 218^o40’) Dengan cara singkat ditulis 6,403ہ218°40′

Rekap

c. z = 4 – j3

r² = 4² + 3² = 25

r = 5

tan E = 3/4 = 0,75  E = 36⁰52’

Maka dari sketsa di samping dalam hal ini  = 360^o - 36⁰52’ = 323^o8’

Maka z = r(cos + j sin)

z = 5(cos 323^o8’ + j sin 323^o8’) Dengan cara singkat ditulis 5ہ323^o8’

Rekap

Dari nilai z = 5(cos 323^o8’ + j sin 323^o8’), jika diperhatikan Diukur dari OX dapat juga dinyatakan sebagai - 36⁰52’

Dapat pula ditulis z = 5(cos [-36⁰52’] + j sin [-36⁰52’])

Tetapi diketahui bahwa cos [-] = cos dan sin [-] = -sin  Maka z = 5(cos 36⁰52’ - j sin 36⁰52’)

Perkalian Bilangan Kompleks

Jika dilakukan perkalian antara dua bilangan kompleks sebagai berikut:

z₁ = r₁ (cos₁ + j sin₁) dan z₂ = r₂ (cos₂ + j sin₂) Maka z₁z₂ = r₁ (cos₁ + j sin₁) r₂ (cos₂ + j sin₂)

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos₁ cos₂ + j sin₁ cos₂ + j cos₁ sin₂ + j² sin₁ sin₂) Disusun ulang suku-suku yang ada dan ingat bahwa j²=-1

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos₁ cos₂ - sin₁ sin₂ ) j (sin₁ cos₂ + cos₁ sin₂)]

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos(₁+₂) j sin (₁₊₂)]

cos₁ cos₂ - sin₁ sin₂ = cos (₁+₂) sin₁ cos₂ + cos₁ sin₂= sin (₁+₂)

Perkalian Bilangan Kompleks

Maka prosedur perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar dapat dijelaskan dalam tahapan sebagai berikut:

1. Kalikan kedua r-nya

2. Tambahkan kedua sudutnya ()

Contoh: 2(cos 30^o + j sin 30^o) x 3 (cos 40^o + j sin 40^o)

= 2 x 3 cos (30^o + 40^o) + j sin (30^o + 40^o)

= 6 (cos 70^o + j sin 70^o)

Perkalian Bilangan Kompleks

a. 2(cos 120^o + j sin 120^o) x 4(cos 20^o + j sin 20^o)

= 8(cos 140^o + j sin 140^o)

b. a(cos  + j sin ) x b(cos  + j sin )

= ab (cos [+] + j sin [+])

c. 6(cos 210^o + j sin 210^o) x 3(cos 80^o + j sin 80^o)

= 18(cos 290^o + j sin 290^o)

d. 5(cos 50^o + j sin 50^o) x 3(cos [-20^o] j sin [-20^o] )

= 15(cos 30^o + j sin 30^o)

Pembagian Bilangan Kompleks

Sebelumnya telah dibahas bagaimana melakukan pembagian pada bilangan kompleks, yaitu dengan mengalikan dengan konjugat penyebutnya.

𝑟₁ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₁

𝑟₂ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ = 𝑟₁ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ 𝑟₂ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ 𝑟₁ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₁

𝑟₂ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ = 𝑟₁ 𝑟₂

𝑐𝑜𝑠𝜃₁𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₁𝑐𝑜𝑠𝜃₂ − 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃₁𝑠𝑖𝑛𝜃₂ + 𝑠𝑖𝑛𝜃₁𝑠𝑖𝑛𝜃₂ 𝑐𝑜𝑠²𝜃₂ + 𝑠𝑖𝑛²𝜃₂

𝑟₁ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₁

𝑟₂ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ = 𝑟₁ 𝑟₂

[ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑠𝑖𝑛𝜃₁𝑠𝑖𝑛𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₁𝑐𝑜𝑠𝜃₂ − 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃₁𝑠𝑖𝑛𝜃₂ 1

𝑟₁ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₁

𝑟₂ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ = 𝑟₁

𝑟₂ 𝑐𝑜𝑠 𝜃₁ − 𝜃₂ + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃₁ − 𝜃₂ Peraturannya adalah bagi r-nya dan kurangkan sudutnya.

Pembagian Bilangan Kompleks

Contoh:

6 𝑐𝑜𝑠72° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛72°

2 𝑐𝑜𝑠41° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛41° = 3 𝑐𝑜𝑠31° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛31°

Contoh digabungkan dalam satu operasi.

5 𝑐𝑜𝑠60° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛602° 𝑥 4 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛30°

2 𝑐𝑜𝑠50° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛50°

= 20 𝑐𝑜𝑠90° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛90°

2 𝑐𝑜𝑠50° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛50°

= 10 𝑐𝑜𝑠40° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛40°

Teorema DeMoivre

Jika z₁ = r₁ (cos₁ + j sin₁) dan z₂ = r₂ (cos₂ + j sin₂) Maka z₁z₂ = r₁ r₂ [cos(₁ ₂) j sin (₁ ₂)]

Jika z₃ = r₃ (cos₃ + j sin₃), maka bisa didapatkan

z₁z₂z₃ = r₁ r₂ [cos(₁+ ₂)+ j sin (₁ +₂)] r₃ (cos₃+ j sin₃) z₁z₂z₃ = r₁ r₂ r₃[cos(₁+ ₂+ ₃)+ j sin (₁ +₂+ ₃)]

Misalkan semua z₁,z₂,z₃ adalah sama dan masing-maisng z adalah = =r (cos + j sin) z₁z₂z₃ = r.r.r[cos(+ + )+ j sin ( ++ )]

z₁z₂z₃ = r³ [cos(3)+ j sin (3)]

Teorema DeMoivre

Misalkan semua z₁,z₂,z₃ adalah sama dan masing-maisng z adalah = =r (cos + j sin) z₁z₂z₃ = r.r.r[cos(+ + )+ j sin ( ++ )]

z₁z₂z₃ = r³ [cos(3)+ j sin (3)]

Berarti bahwa jika memangkat tigakan bilangan kompleks dengan bentuk polar cukup dengan memangkat tigakan modulusnya (nilai r) dan mengalikan argumennya dengan 3.

Serupa halnya dengan:

[r(cos  + j sin )]⁴ = r⁴(cos 4 + j sin 4)

[r(cos  + j sin )]⁵ = r⁵(cos 5 + j sin 5), dan seterusnya

Teorema DeMoivre

Berarti secara umum bisa dikatakan:

[r(cos  + j sin )]ⁿ = rⁿ(cos n + j sin n) Ini disebut sebagai Teorema DeMoivre

Teori ini mengatakan bahwa untuk memangkatkan suatu bilangan kompleks dalam bentuk polar ke pangkat n, dipangkatkan r dengan pangkat n dan mengalikan sudutnya dengan n.

Contoh

[4(cos 50^o + j sin 50⁰)]² = 4²(cos (2 x 50^o) + j sin (2 x 50^o) )

= 16 (cos 100^o + j sin 100^o)

Teorema DeMoivre

Contoh

Cari akar kuadrat dari 4(cos 70^o + j sin 70⁰)

𝑧 = 𝑧^1/2 = [4(cos 70^o + j sin 70⁰)]^1/2 = 4^1/2(cos (0,5 x 70^o) + j sin (0,5 x 70^o) )

= 2 (cos 35^o + j sin 35^o)

Teorema DeMoivre

Dicoba untuk mencari akar pangkat tiga dari suatu bilangan kompleks Z = 8(cos 120^o + j sin 120⁰) atau bisa disederhanakan 𝑧 = 8ہ120°

Boleh kita mengatakan bahwa  adalah ‘1 putaran + 120^o dan vektornya akan tetap pada posisi yang sama, atau bisa juga (‘2 putaran + 120^o), (‘3 putaran + 120^o), dst.

Misalnya didapat z = 8ہ120° atau z = 8ہ480° atau z = 8ہ840° atau z = 8ہ1200°, dst..

Maka jika diterapkan Teorema DeMoivre..

z^1/3 = 8^1/3 ඌ^120°

3 atau z^1/3=8^1/3 ඌ^480°

3 atau z^1/3 =8^1/3 ඌ^840°

3 atau z^1/3 =8^1/3 ඌ^1200°

3

Teorema DeMoivre

Maka jika diterapkan Teorema DeMoivre..

z^1/3 = 8^1/3 ඌ^120°

3 atau z^1/3=8^1/3 ඌ^480°

3 atau z^1/3 =8^1/3 ඌ^840°

3 atau z^1/3 =8^1/3 ඌ^1200°

3

z^1/3 = 2ہ40° atau z^1/3= 2ہ160° atau z^1/3 = 2ہ280° atau z^1/3 = 2ہ400°, dst..

Teorema DeMoivre

Dari hasil ini didapatkan bahwa ada 3 akar pangkat-tiga dari suatu bilangan kompleks. Jika diperhatikan sudutnya maka dapat dilihat bahwa ketiga akar sama jaraknya pada diagram di samping, dimana dua vektor bersebelahan dipisahkan

sudut sebesar 120^o atau 360^o/3.

Sehingga jika dicari akar pangkat tiga dari z = 5(cos 225^o + j sin 225⁰)

Z^1/3 = 1,71(cos 75^o + j sin 75⁰) atau z₁=1,71ہ75° dimana akar kedua dan ketiga tinggal ditambahkan masing-masing 120^o, maka z₂=1,71ہ195° dan z₃=1,71ہ315°

Dimana akar prinsipalnya adalah z₁=1,71ہ75° karena yang terdekat sumbu OX positif

Teorema DeMoivre

Jika dicari sebarang akar dari suatu bilangan kompleks:

a. Gunakan Teorema DeMoivre untuk mencari akar pertama dan n akarnya

b. Akar lain dengan demikian akan terdistribusi di sekeliling diagram dengan interval yang tetap sebesar 360^o/n

Maka:

2 akar kuadrat, yang dipisahkan sebesar 360^o/2, yaitu 180^o 3 akar pangkat-3, yang dipisahkan sebesar 360^o/3, yaitu 120^o 4 akar pangkat-4, yang dipisahkan sebesar 360^o/4, yaitu 90^o

5 akar pangkat-5, yang dipisahkan sebesar 360^o/5, yaitu 72^o, dan seterusnya

Ekspansi sin n dan cos n, dimana n adalah bil. positif

Dari Teorema DeMoivre diketahui bahwa: [r(cos  + j sin )]ⁿ = rⁿ(cos n + j sin n) cos n + j sin n = (cos  + j sin )ⁿ

Metode ini hanya menguraikan sisi kanan sebagai deret binomial, yang mana setelah itu dapat disamakan bagian real dan imajinernya.

Maka diuraikan cos 3 + j sin 3 : cos 3 + j sin 3 = (cos  + j sin )³

= (c + js)³  dimana c  cos  dan s  sin 

Sehingga diuraikan dengan deret binomial seperti halnya (a + b)³

Ekspansi sin n dan cos n, dimana n adalah bil. positif

cos 3 + j sin 3 = c³ + 3c²(js) + 3c(js)² + (js)³; karena j² = -1 dan j³ = -j

= c³ + j3c²s – 3cs² – js³

= (c³ – 3cs²) + j(3c²s – s³)

cos 3 = cos³ - 3 cos sin²   sin²  diganti dengan (1- cos² )

= cos³ - [3 cos (1- cos² )]

= cos³ - 3 cos + 3 cos³

= 4 cos³ - 3 cos

Ekspansi sin n dan cos n, dimana n adalah bil. positif

cos 3 + j sin 3 = c³ + 3c²(js) + 3c(js)² + (js)³; karena j² = -1 dan j³ = -j

= c³ + j3c²s – 3cs² – js³

= (c³ – 3cs²) + j(3c²s – s³)

sin 3 = 3 cos² sin - sin³  cos²  diganti dengan (1- sin² )

= 3 (1- sin² ) sin - sin³

= 3 sin - 3 sin³ - sin³

= 3 sin - 4 sin³

Ekspansi cos

ⁿ

 dan sin

ⁿ

 dalam sinus & kosinus kelipatan 

Misalkan z = cos  + j sin

Maka ¹

𝑧=z^-1 = cos  - j sin

z + ¹

𝑧 = 2 cos dan z - ¹

𝑧 = j2 sin

Berikut pula dengan Teorema DeMoivre:

zⁿ = cos n + j sin n

dan ¹

𝑧^𝑛 = z^-n = cos n - j sin n

 zⁿ + ¹

𝑧^𝑛 = 2 cos n  dan zⁿ - ¹

𝑧^𝑛 = j2 sin n 

Ekspansi cos

ⁿ

 dan sin

ⁿ

 dalam sinus & kosinus kelipatan 

Dikumpulkan empat pernyataan dari z = cos  + j sin

z + ¹

𝑧 = 2 cos z - ¹

𝑧 = j2 sin

z ⁿ + ¹

𝑧

^𝑛

= 2 cos n  z ⁿ - ¹

𝑧

^𝑛

= j2 sin n 

Ekspansi cos

ⁿ

 dan sin

ⁿ

 dalam sinus & kosinus kelipatan 

Dicoba untuk mengekspansi cos³ sebagai contoh: dengan z + ¹

𝑧 = 2 cos

(2 cos )³ = z + ¹

𝑧 3

= z³ + 3z^{2 1}

𝑧 + 3z ¹

𝑧² + ¹

𝑧³

= z³ + 3 z + 3 ¹

𝑧 + ¹

𝑧³

Ditulis ulang persamaan (2 cos )³ = 𝑧³ + ¹

𝑧³ + 3 𝑧 + ¹

𝑧

Ekspansi cos

ⁿ

 dan sin

ⁿ

 dalam sinus & kosinus kelipatan 

(2 cos )³ = 𝑧³ + ¹

𝑧³ + 3 𝑧 + ¹

𝑧

(2 cos )³ = 2 cos 3 + 3 x 2 cos  8 cos³  = 2 cos 3 + 6 cos 

4 cos³  = cos 3 + 3 cos  cos³  = ¹

4 (cos 3 + 3 cos )

Masalah Lokus-Lokus

Kadangkala diminta mencari lokus (tempat kedudukan) suatu titik yang bergerak pada diagram Argand dengan suatu kondisi yang telah ditentukan.

Contoh 1:

Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan oleh 𝑧 Kita telah mengatahui dari materi sebelumnya

𝑧 = 𝑥² + 𝑦²

Lokus ini didefinisikan sebagai 𝑥² + 𝑦² = 5

 x² + y² = 25; maka ini adalah berupa lingkarang dengan pusat di titik asal dengan radius 5.

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 2:

Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan arg z = ^𝜋

4 ; ( disebut juga argumen z atau arg z) Dalam hal ini arg z = 𝑡𝑎𝑛^{−1 𝑦}

𝑥 𝑡𝑎𝑛^{−1 𝑦}

𝑥 = ^𝜋

4

^𝑦

𝑥 = tan ^𝜋

4 = tan 45° = 1 ^𝑦

𝑥 = 1 y = x Jadi lokus arg z= ^𝜋

4 adalah sebuah garis lurus y = x dan y>0

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 3:

Jika z = x + jy, carilah persamaan lokus ^𝑧+1

𝑧−1 = 2 Karena z = x + jy

z + 1 = x + jy + 1 = (x + 1) + jy = 𝑟₁උ𝜃₁ = 𝑧₁ z - 1 = x + jy - 1 = (x - 1) + jy = 𝑟₂උ𝜃₂ = 𝑧₂

^𝑧+1

𝑧−1 = ^{𝑟1උ𝜃1}

𝑟₂උ𝜃₂ = ^𝑟1

𝑟₂ උ𝜃₁ − 𝜃₂

 ^𝑧+1

𝑧−1 = ^𝑟1

𝑟₂ = ^𝑟1

𝑟₂ = ^{𝑥+1 2+𝑦2}

𝑥−1 ²+𝑦²

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 3:

 ^𝑧+1

𝑧−1 = ^𝑟1

𝑟₂ = ^𝑟1

𝑟₂ = ^{𝑥+1 2+𝑦2}

𝑥−1 ²+𝑦²

 ^{𝑥+1 2+𝑦2}

𝑥−1 ²+𝑦² = 2

 ^{𝑥+1 2+𝑦2}

𝑥−1 ²+𝑦² = 4

Proses berikutnya adalah menyelesaikan persamaan hingga ke bentuk yang paling sederhana.

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 3:

Proses berikutnya adalah menyelesaikan persamaan hingga ke bentuk yang paling sederhana.

𝑥+1 ²+𝑦²

𝑥−1 ²+𝑦² = 4; maka

(x+1)² + y² = 4 {(x-1)² + y²}

x² + 2x + 1 + y² = 4 (x² – 2x + 1 + y²) x² + 2x + 1 + y² = 4x² – 8x + 4 + 4y²

3x² – 10x + 3 + 3y² = 0