ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
Oleh: Oleh:
Drs. Toto Bara Setiawan, M.Si. Drs. Toto Bara Setiawan, M.Si.
BAB
BAB
II
B
B
IL
IL
ANGAN
ANGAN
KOMPLEKS
KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan realDengan memiliki sistem bilangan real saja kitasaja kita
tidak dapat menyelesaikan persamaan x
tidak dapat menyelesaikan persamaan x22 +1=0. Jadi+1=0. Jadi
disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.
baru. BBilangan jenis baru ini dinamakan bilanganilangan jenis baru ini dinamakan bilangan
imajiner
BAB
BAB
II
B
B
IL
IL
ANGAN
ANGAN
KOMPLEKS
KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan realDengan memiliki sistem bilangan real saja kitasaja kita
tidak dapat menyelesaikan persamaan x
tidak dapat menyelesaikan persamaan x22 +1=0. Jadi+1=0. Jadi
disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.
baru. BBilangan jenis baru ini dinamakan bilanganilangan jenis baru ini dinamakan bilangan
imajiner
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi 1
Definisi 1
B
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:ilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a
a + + bbii atauatau a + iba + ib, a dan b bilangan real dan i, a dan b bilangan real dan i22 = 1.= 1.
Notasi Notasi
B
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,ilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,
sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan
z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks,sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z.
dari z. BBagian real dan bagian imaginer dari bilanganagian real dan bagian imaginer dari bilangan
kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS DEFINISI 2
Bilangan kompleks z
1=x1+iy1 dan bilangan kompleks
z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut
didefinisikan sbb:
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi
Jadi = { z | z = x + iy, x, y }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni . Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan imajiner .
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi
penjumlahan dan perkalian ( ,+,) membentuk sebuah
lapangan (f ield ). Adapun sifat-sifat lapangan yang
berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut:
1. z1+z2 dan z
1z2 . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1z2= z2z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1z2) z3= z1(z2z3)
(sifat assosiatif)
4. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (sifat distribtif)
5. Ada 0=0+i0 , sehingga z+0=z (0 elemen netral
6. Ada 1=1+i0 , sehingga z1=z (1elemen netral
perkalian
7. Untuk setiap z=x+iy, ada z=xiy)
sehingga z+(z)=0
8. Untuk setiap z=x+iy, ada z-1=sehingga
zz-1=1.
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 8 menggunakan definsi
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 z2= (x1 x2)+i(y1 y2) 2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5i.
tentukan z1 + z2, z1 z2 , z1z2, dan
2 1
z z
Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,y) = x iy.
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 2i , dan sekawan dari 5i adalah 5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat
berikut :
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka : 1. 2. 3. 4. ? A ? A2 2 ) z Im( ) z Re( z z ) z Im( 2 z z ) z Re( 2 z z z z
!
!
!
!
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka : 1. 2. 3. 4. , dengan z20. 2 1 2 1 z z z z
!
2 1 2 1 z z z z
!
2 1 2 1 z z z z
!
2 1 2 1 z z z z!
¹
º
¸
©
ª
¨
2 1 2 1 z z z z
!
2 1 2 1 z z z z
!
2 1 2 1 z z z z
!
2 1 2 1 z z z z
!
2 1 2 1 z z z z
!
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan
sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang
kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau
bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan
pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
Re Im ) y , x ( z y O Argan Bidang z
Im Re 2 z 1 z O 2 1 z z
Re Im 2 z 2 z
1 z 2 1 z z
OTugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 i. Gambarkan pada
bidang kompleks (bidang argand), z
1, z2, z1+ z2, z1- z2,2 1 2 1 2 1, z , z z , z z z
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis `z` = `x+iy` =
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara
dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah 2 2 y x
2 2 1 2 2 1 x ) (y y ) x (
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka `z z1` = r merupakan lingkaran yang berpusat di titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan `z z
1` < r dan `z z1` > r Gambarkanlah pada bidang z.
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1. 2. 3. 4. 5.
) z Im( ) z Im( z ) z Re( ) z Re( z z z z z z ) z Im( ) z Re( z 2 2 2 2 u u u u
!
!
!
B. Jika z
1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1. 2. 3. 4. 5.
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan
memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A,
buktikan juga teorema B !
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
u
u
e
!
!
1. Bukti: z1
z2!
z1
z2 ) iy x ( ) iy x ( z z1
2!
1
1
2
2 ) y x y x (i ) y y x x ( 1 2
1 2
1 2
2 1!
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1x y y 2x x y y x y x y 2x x y y x
!
2 1 2 2 1 2 2 1 2 1x y y ) (x y x y ) x (
!
) y x ( ) y x ( 12
12
22
22!
) y x ( ) y x ( 12
12
22
22!
2 1 z z
!
2 1 2 1 z z z z
!
@
2. Bukti: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 iy x iy x iy x iy x z z
!
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x y x i y x y y x x
!
2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x y x y x y y x x¹¹
º
¸
©©
ª
¨
¹¹
º
¸
©©
ª
¨
!
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ) y x ( y y x x 2 y x y x y y x x 2 y y x x
!
) y x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1
!
z y x2
23. Bukti: z1
z2e
z1
z2 2 1 2 2 1y x y ) x ( 0e
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1y x y 2x x y y x 0e
2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1x y y x y x y x 2e
2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1x y y 2x x y y x x y y x y x y x
e
) y x )( y x ( ) y y x x ( 1 2
1 2 2e
12
12 22
22 ) y x )( y x ( 2 ) y y x x ( 2 1 2
1 2e
12
12 22
22e
2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2x x x y 2y y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 y 2 (x y )(x y ) x y x
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 x ) (y y ) x y x y x (
e
2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 x ) (y y ) x y x y x (
e
terbukti z z z z1
2e
1
24. Bukti: z1 z2 u z1 z2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 z z z z z z z z z z z z z z z
u
@
e
e
!
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r, U).
Im Re ) , r ( ) y , x ( z
!
!
U U r z!
OAdapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r c o s U , y = r s i n U,
sehingga U = arc tan
U adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, U) = r(cos U + i sin U) = r c i s U.
dan sekawan dari z adalah = (r, - U) = r(cos U - i sin U).
¹
º
¸
©
ª
¨
x y z y x r!
2
2!
) y , x ( (r ,U)Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, U) = r(cos U + i sin U),
sudut U disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut U
dengan 0
e
U < 2T atau -T < Ue
T disebut argumentutama dari z, ditulis U = Arg z. Pembatasan untuk
sudut U tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos U1 + i sin U1) dan
z2 = r2(cos U2 + i sin U2) dikatakan sama, jika r1 = r2,
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, U)
= r(cos U + i sin U) = r cis U, maka anda dapat
menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei U, dan sekawannya adalah re-i U.
Tugas: Buktikan bahwa ei U = cos U + i sin U, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos U , sin U
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen ! Jawab :
z = 1 + i, r = , tan U = 1, sehingga U = 45= T
Jadi z = 2 (cos T + i sin T) = cis T =
4 1 4 1 2 4 1 2 e4i T 2 41
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos U + i sin U).
Jika z1 = r1(cos U1 + i sin U1) & z2 = r2(cos U2 + i sin U2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :
z1 z2 = [r1(cos U1 + i sin U1)][r2(cos U2 + i sin U2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos U1 cos U2 - sin U1sin U2) +
i (sin U1 cos U2 + cos U1sin U2)]
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = U1 + U2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z
1 z2 . . . zn dan
Jika diketahui:
z1 = r1(cos U1 + i sin U1)
z2 = r2(cos U2 + i sin U2)
zn = rn(cos Un + i sin Un), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 zn = r1 r2 rn[cos ( U1 + U2++ Un) + i
sin ( U1 + U2++ Un)] .
Akibatnya jika, z = r(cos U + i sin U) maka
zn = rn (cos n U + i sin n U). . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos U + i sin U)n = cos n U + i sin n U, n asli. /
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r2(cos U2 - i sin U2), maka
diperoleh : [cos ( U1 - U2 ) + i s i n ( U1 - U2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg U1- U2 = arg z1 arg z2.
) sin i (cos r ) sin i (cos r z z 2 2 2 1 1 1 2 1 U
U U
U!
2 1 2 1 r r z z!
!
2 1 z zAkibat lain jika z = r(cos U + i sin U),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat :
. . . 2
U
U
!
U
U
!
n sin i n cos r 1 z 1 ) sin( i ) cos( r 1 z 1 n n
cos( n ) isin( n )
r 1 z 1 n n!
U
UDari 1 dan 2 diperoleh:
, Dalil
De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
) n sin( i ) n cos( r zn
!
n U
UContoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi 3 1 tan 2 1 3 z r ,i 3 z
!
U!
!
!
!
6 6 o o 6 6 o o ) 0 1 ( 2 180 sin i 180 cos 2 i 3 30 sin i 30 cos 2 i 3
!
!
!
!
o 30
!
U
6 i 3
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = V(cosJ +i sinJ) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos U+i sin U), maka dari zn = w
diperoleh: Vn(cosnJ +i sinnJ) = r(cos U+i sin U),
sehingga Vn = r dan nJ= U+2kT , k bulat.
Akibatnya dan Jadi . . . n 1 w z
!
n 1 r!
V J!
U
n2kTJadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos U+i sin U) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda
yang memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,,(n-1);
0
e
< 2T, sehingga diperoleh z1,z2,z3,,zn
sebagai akar ke-n dari z.
n 1 r n k 2 T
U n k 2 T
U n k 2 T
UContoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = V(cosJ +i sinJ) dan 81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga V4(cos4J +i sin4J) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh V4 = 81, atau V = 3 dan .
Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
4 k 2 T
T!
J 4 k 2 T
T 4 k 2 T
TLatihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z
2 = 8 i. Tentukan z
1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat: a. z-1 = z dan b.
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )
6. Hitung jarak antara z
1 = 2 + 3i dan z2 = 5 i. z z ! 1 z 2 z z2
7.
7.GGaammbbaarrkakann ppaaddaa ddiiaaggrraamm aarrggaanndd ddaann
s
seebbuuttkkaann nnaammaa kkuurrvvaa yyaanngg tteerrjjaaddii :: a. a. ``zz 55`` == 66 dandan ``zz 55`` >> 66 b. b. ``zz ++ ii`` == ``zz ii`` c . 1 < c . 1 < ``zz ii`` << 33 8.
8.NNyyaattaakkaann bbiillaannggaann kkoommpplleekkss zz == 22 --22ii ddaallaamm
b
beennttuukk ppoollaarr ddaann eekkssppoonneenn !! 9.
9. HHititununglglahah (-(-2+2+2i2i))1515
10.
BAB II BAB II
FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN
Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.
akan digunakan pada fungsi kompleks.
Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks
H
Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atauimpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau
kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu
telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.
1.
1. Lingkungan/Lingkungan/persekitaranpersekitaran a. Persekitaran z
a. Persekitaran zoo adalah himpunan semua titik z yangadalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z
terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zoo,, berjari-jari r, r > 0. Ditulis
berjari-jari r, r > 0. Ditulis NN(z(z o
o,r) atau,r) atau ``z z zzoo`` < r.< r.
b. Persekitaran tanpa z
b. Persekitaran tanpa zoo adalah himpunan semua titikadalah himpunan semua titik z
z{{zzoo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusatyang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z
di zoo, berjari-jar, berjari-jari i r, r > 0. Ditulisr, r > 0. Ditulis N*N*(z(z o
o,r) atau,r) atau
0<
Contoh :
a. N(i,1) atau `z i ` < 1, lihat pada gambar 1
b. N*(O,a) atau 0< `z O` < a, lihat pada gambar 2
Im Re yi i 2 y O 1 gambar Re Im O 2 gambar a
2. Komplemen
Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S
ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada
bidang Z yang tidak termasuk di S.
Contoh :
Gambarkan !
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im zu 1}.
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im zu 1}. B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z
e
2 atau zu4}. Re Im O 1 A Re Im O 2 4 4 2 B c A c B3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk
setiap N*(z
o,H) maka N*(zo,H) S { J. Jika zo S dan
3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk
setiap N*(z
o,H) maka N*(zo,H) S { J. Jika zo S dan
zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing. 4. Titik batas
Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk
setiap N*(z
o,H) memuat suatu titik di S dan memuat
3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk
setiap N*(z
o,H) maka N*(zo,H) S { J. Jika zo S dan
zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing. 4. Titik batas
Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk
setiap N*(z
o,H) memuat suatu titik di S dan memuat
suatu titik yang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S
6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada
N(zo,H) sehingga N(zo,H) S. Titik yang bukan titik
6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada
N(zo,H) sehingga N(zo,H) S. Titik yang bukan titik
interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua
6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada
N(zo,H) sehingga N(zo,H) S. Titik yang bukan titik
interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua
anggota S adalah titik interior S. 8. Himpunan Tertutup
Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap
dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap
dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap
dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah
domain.
11. Daerah Tertutup
Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.
12. Penutup dari himpunan S
Contoh :
1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:
A adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari A adalah { z / |z|=1}.
Penutup dari A adalah { z / |z|
e
1}.Im Re 1 1 1
1
A2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:
B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan
himpunan tertutup.
Titik-titik limit dari B adalah { z / |z|
e
1}.Im Re 1 1 1
1
y B3. Diberikan C = { z / |z|
e
2}, maka:Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}. Im Re 1 1 1
1
2 2 2 2 Fungsi Kompleks Definisi :
Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.
Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang
memasangkan setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang W, yaitu (z,w).
Fungsi tersebut ditulis w = f(z).
Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis
Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.
z
w
!
f
(
z
)
) z Re( Re(w) ) z Im( Im(w) Bidang Z Bidang Wf
Contoh :
a) w = z + 1 i b) w = 4 + 2i c) w = z2 5z
d) f(z) =
Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.
Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali z =
1 z 2 z 3
2 1
Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y.
Contoh :
Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 i dalam bentuk u dan v !
Jawab : Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = 2z2 i = 2(x + iy )2 i = 2(x2+2xyi-y2) i = 2(x2-y2) + i(2xy-1).
Jika z = r(cos U + i sin U).
Jika z = r(cos U + i sin U).
Tentukan f(z) = z2 + i
Jawab
f(z) = z2 + i
= [r (cos U+i sin U)]2 + i
= r2[cos2 U - sin2 U + 2isin Ucos U] + i
= r2 (cos2 U - sin2 U) + r2isin2 U + i
= r2 (cos2 U - sin2 U) +(1+r2sin2 U)i
Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg.
Jika Rf Dg { J, maka ada fungsi komposisi (g f) (z) =
g (f (z)), dengan domain Df. f g f gQ z f (z )
) z )( f g ( ) z ( f g Q!
Jika Rg Df { J, maka ada fungsi komposisi (f g) (z) =
f (g (z)), dengan domain Dg.
Tidak berlaku hukum komutatif pada (g f) (z) dan
(f g)(z). g f g f Q z g(z)
) z )( g f ( ) z ( g f Q!
Contoh : Misal: f(z) = 3z i dan g(z) = z2 + z 1 + i Jika Rf Dg { J, maka (g f) (z) = g (f (z)) = g(3z i) = (3z i)2 + (3z i) 1 + i = 9z2 6iz 1 + 3z i 1 + i = 9z2 3z 2 6iz
Jika Rg Df { J, maka (f g) (z) = f (g (z)) = f(z2 + z 1 + i) = 3z2 + 3z 3 + 3i i Karena 9z2 3z 2 6iz 3z2 + 3z 3 + 3i i Jadi (g f) (z) { (f g)(z) atau (g f) { (f g), (tidak komutatif)
Interpretasi Geometris
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota
domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi,
maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w =
f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.
Contoh 1 :
Diketahui fungsi w = 2z 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 5i. Gambar
dari z1, z2, w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini
X U Y V 1 z 1 w O O Z bidang bidang W 1 1 2 1 3 3
Contoh 2 :
Diketahui fungsi w = z2.
Dengan menggunakan z = r (cos U+i sin U), maka
diperoleh w = z2 = r2 (cos2 U+i sin2 U).
Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2.
Daerah 0
e
arg ze E
dipetakan menjadi daerah 0e
arg we
2E
.E 2E Z bidang W bidang r 2 r
Diketahui daerah D pada bidang Z dan titik zo terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan
fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali di zo. y o z D z ) , z ( * N o H H
Apabila titik z bergerak mendekati
titik zo melalui setiap lengkungan sebarang K dan mengakibatkan nilai f(z) bergerak mendekati
suatu nilai tertentu, yaitu wo pada bidang W, maka dikatakan limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, ditulis : ) z ( f y ) , w ( N o I I o z zlimp o f (z)
!
w Limi t Q y o w D K Z bidang W bidangDefinisi :
Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap I > 0, terdapat H > 0 sedemikian hingga
|f(z) wo |< I, apabila 0 <|z zo|< H, ditulis: o z zlim f (z) w o
!
pPerlu diperhatikan bahwa : 1. Titik z
o adalah titik limit domain fungsi f.
2. Titik z menuju z
o melalui sebarang lengkungan K,
artinya z menuju zo dari segala arah. 3. Apabila z menuju z
o melalui dua lengkungan yang
berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada
Contoh 1 : Buktikan bahwa : 5 2 z 2 z 3 z 2 lim 2 2 z
!
pContoh 1 :
Buktikan bahwa :
Bukti:
Misalkan diberikan bilangan I > 0, kita akan mencari
H > 0 sedemikian, sehingga:
, untuk z { 2 Lihat bagian sebelah kanan
I
H
5 | 2 z 2 z 3 z 2 | | 2 z | 0 2 5 2 z 2 z 3 z 2 lim 2 2 z
!
pDari persamaan kanan diperoleh:
Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh. 2 | 2 z | | ) 2 z ( 2 | | ) 2 z ( ) 2 z )( 5 1 z 2 ( | | 5 ) 2 z ( ) 2 z )( 1 z 2 ( | | 5 2 z 2 z 3 z 2 | 2 I
I
I
I
I
2 I!
HBukti Formal :
Jika diberikan I > 0 , maka terdapat , sehingga untuk z { 2, diperoleh Jadi apabila Terbukti I
!
H
!
!
H
2 | ) 2 z ( 2 | | 5 ) 2 z ( ) 2 z )( 1 z 2 ( | | 5 2 z 2 z 3 2 z 2 | | 2 z | 0 2 I!
H I
5 | 2 z 2 z 3 2 z 2 | 2 | 2 z | 0
H!
I 5 2 z 2 z 3 z 2 lim 2 2 z
!
pTeorema Limit : Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.
Teorema Limit : Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.
Bukti:
Misal limitnya w1 dan w2, maka
2 1 2 1 2 1 2 1 1 w w jadi w w sehingga 2 2 w ) z ( f ) z ( f w w ) z ( f ) z ( f w 2 w ) z ( f 2 ) z ( f w w ) z ( f
!
Ie
I!
I
I!
e
I!
I!
!
Teorema 2 :
Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z
o = (xo,yo) = xo+iyo di dalam
D atau batas D.
Maka jika dan hanya jika
dan o o z zlimp o f (z)
!
x
iy o z zlim u(x,y) x o!
p z z o y ) y , x ( v lim o!
pTeorema 3 :
Misalkan fungsi f dan g limitnya ada. lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka
1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z zo) 2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z zo) 3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z zo)
Contoh 1 : Hitunglah i z 1 z lim 2 i z
pContoh 1 : Hitunglah Jawab: i z 1 z lim 2 i z
p i 2 ) i z ( lim i z ) i z )( i z ( lim i z 1 z lim i z i z 2 i z!
!
!
p p pContoh 2 :
Jika i . Buktikan tidak ada !
1 y x y x xy 2 ) z ( f 2 2 2
!
lim f (z) 0 zpContoh 2 :
Jika i . Buktikan tidak ada !
1 y x y x xy 2 ) z ( f 2 2 2
!
lim f (z) 0 zp Bukti :Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka
Sedangkan di sepanjang garis y = x,
Dari 1 dan 2, terbukti tidak ada
1 0 i x lim ) z ( f lim ) z ( f lim 2 0 x ) 0 , 0 ( ) 0 , x ( 0 z . . . . . .
!
!
!
p p p 2 1 ) i 1 x x 1 ( lim ) z ( f lim ) z ( f lim 2 0 x ) 0 , 0 ( ) x , x ( 0 z . . .!
!
!
p p p ) z ( f lim pKekontinuan Fungsi Definisi :
Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z)
dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo, maka lim f(z) = f(zo).
Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. ) z ( f ) z ( f lim . 3 ada ) z ( f lim . 2 ada ) z ( f . 1 o z z z z o o o
!
p pTeorema 4 :
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R,
maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).
Teorema 5 :
Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di z
o, maka masing-masing fungsi : 1. f(z) + g(z) 2. f(z) . g(z) 3. f(z) / g(z), g(z) { 0 4. f(g(z)); f kontinu di g(zo), kontinu di zo.
Contoh 1 :
Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i
Jawab :
f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 4i,
sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i,
jadi f(z) diskontinu di z = 2i.
±
±
°
±
±
¯
®
!
{
i 2 z , z 4 3 i 2 z , i 2 z 4 z2 ) i 2 ( f ) z ( f lim sehingga i 2 zp {Contoh 2.
Dimanakah fungsi kontinu ?
Jawab :
Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah
2 z 3 z 1 z ) z ( g 2 2
!
_
z z"
2a
BAB III. TURUNAN
3.1 Definisi Turunan
Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan zo D.
Jika diketahui bahwa nilai ada, maka
nilai limit ini dinamakan turunan atau derivati f fungsi f di titik zo. Dinotasikan : f(zo) o o z z z z ) z ( f ) z ( f lim o
p Jika f(zo) ada, maka f dikatakan terdi ff erensial atau
di f erensiabel di zo. Dengan kata lain :
Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada D
Contoh 3.1.1
Buktikan f(z) = z2 terdifferensiasi diseluruh
z ) z ( f ) z z ( f lim z f lim ) z ( ' f o o 0 z 0 z o (
(
!
( (!
p ( p (Bukti :
Ditinjau sebarang titik zo
o o o o z z o 2 o 2 z z o o z z o z 2 z z ) z z )( z z ( lim z z z z lim z z ) z ( f ) z ( f lim ) z ( ' f o o o
!
!
!
p
!
p p pKarena zo sebarang maka f(z) = z2 terdefferensial
Teorema 3.1
Jika f fungsi kompleks dan f(zo) ada, maka f kontinu di zo
Bukti :
Diketahui f(zo) ada
Akan dibuktikan f kontinu di z
o atau lim f (z) f (zo) z zp o
!
0 0 ) z ( ' f ) z z ( lim ) z z ( ) z ( f ) z ( f lim ) z z ( ) z z ( ) z ( f ) z ( f lim )) z ( f ) z ( f ( lim o z z o o z z o o o z z o z z o o o o!
!
!
¹
º
¸
©
ª
¨
!
p p p p sehinggadengan kata lain f kontinu di z .
) z ( f ) z ( f lim ) z ( f lim o o z z z zp o
!
p o!
C
Conontotohh 3.3.1.1.22 B
Buktikan f(z) = |z|uktikan f(z) = |z|22 kontinu di seluruh bidang komplekskontinu di seluruh bidang kompleks
tetapi hanya terdifferensia
tetapi hanya terdifferensial l di z = 0di z = 0 Bukti :
Bukti :
f(z) = |z|
f(z) = |z|22 = x= x22 + y+ y22 berarti berarti u(x,y) u(x,y) = = xx22 + y+ y22 dandan
v(x,y) = 0 v(x,y) = 0 u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di D u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di D
0 0 z z z z z z lliimm z z || z z || lliimm 0 0 z z )) 0 0 (( f f )) z z (( f f lliimm )) 0 0 (( '' f f 0 0 z z 2 2 0 0 z z 0 0 z z
!!
!!
!!
!!
p p p p p p Jadi f(z) terdifferensial di z = 0 Jadi f(z) terdifferensial di z = 03.2 Syarat
3.2 Syarat CChauchy-Riemannhauchy-Riemann
Syarat
Syarat yang dipyang diperlukan agerlukan agar fungar fungsi fsi f terdiferensiaterdiferensial dil di
z
zoo = x= xoo + i y+ i yoo adalah syarat Chauchy-Riemann, yangadalah syarat Chauchy-Riemann, yang
menghub
menghubungkan ungkan derivatif-dederivatif-derivatif rivatif parsial tingkat pertamaparsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.
Terema 3.2.1 (Syarat
Terema 3.2.1 (Syarat CChauchy-Riemannhauchy-Riemann
Jika f(
Jika f(z) = u(x,yz) = u(x,y) + i v(x,y) ) + i v(x,y) terdterdiffeifferensirensial dial di zzoo = x= xoo + i y+ i yoo,, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial
maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (x
pertama di (xoo,y,yoo) dan di titik ini dipenuhi persamaan) dan di titik ini dipenuhi persamaan Ca
Caucuchy hy RiRiememanannn
derivatif f di z
derivatif f di zoo dapat dinyatakan dengandapat dinyatakan dengan Jika persamaan C-R tidak dipenuh
Jika persamaan C-R tidak dipenuhi i di (xdi (xoo,y,yoo) maka) maka f(z) = u(
f(z) = u(x,y) + i v(x,yx,y) + i v(x,y) tid) tidak terdiak terdifferefferensial dinsial di zzoo = x= xoo + i y+ i yoo
x x v v y y u u dan dan y y v v x x u u x x x x
!!
x x x x x x x x!!
x x x x )) y y ,, x x (( v v ii )) y y ,, x x (( u u )) z z (( '' f f oo!!
xx oo oo
xx oo ooContoh 3.2.1
Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z { 0 Bukti : f(z) = x2 + y2 sehingga
u(x,y) = x2 + y2
v(x,y) = 0
Persamaan Cauchy Riemann
y 2 y u dan x 2 x u
!
x x!
x x 0 y v dan 0 x v!
x x!
x x ) 1 ( 0 x 2 y v x u
!
. . . . x x!
x x) 2 ( 0 y 2 x v y u dan
!
. . . x x
!
x x(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x { 0 atau y { 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di z { 0
Catatan :
Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.
Contoh 3.2.2 Buktikan fungsi f(z) = 2 2 3 3 y x i) 1 ( y i) 1 ( x
dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R
Bukti : u = 2 2 3 3 y x y x
dengan u(0,0) = 0 v = 2 2 3 3 y x y x
dengan v(0,0) = 0 ux(0,0) = o xlimp x ) 0 , 0 u( ) 0 u(x, = 1vx(0,0) = x ) 0 , 0 v( ) 0 v(x, lim o x p = 1 o ylimp y ) 0 , 0 v( ,y) 0 v(
vy(0,0) = = 1Jadi persamaan Cauchy Riemann terpenuhi
iy) )(x y (x i) 1 ( y i) 1 ( x lim z ) 0 ( f ) z ( f lim 2 2 3 3 0 z 0 z
!
p p Tetapi Untuk zp
0 o xlimp 3 3 x i) 1 ( x
o xlimp 3 3 x i) 1 ( 2 x i 2
1 i i Sepanjang garis real y = x
p
=o zlimp z ) 0 f( f(z)
Jadi tidak ada
sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0)
x u x x y u x x x v x x y v x x x u x x y v x x y u x x x v x x
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu f(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yo f(z) ada maka , , , berlaku C-R yaitu : = dan = dan f(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0) ada di (xo, yo)
ii. Syarat cukup
u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y) kontinu pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-R maka f(zo) ada
Contoh 3.2.3
Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial
untuk setiap z dalam
Bukti : u(x,y) = excos y
p
u x(x,y) = excos y uy(x,y) = -exsin y v(x,y) = exsin yp
v x(x,y) = exsin y vy(x,y) = excos y ada dan kontinu di setiap (x,y) Berdasarkan persamaan C-R :
ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di (x,y) , dan ada kitar
dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y). Jadi f(z) ada z .
Dan f(z) = ux(x,y) + i vx(x,y) = excos y + i exsin y
3.3 Syarat C-R Pada Koordinat Kutub
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan
dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos N dan y = r sin N , diperoleh
z = r cos N + i sin N , sehingga
Teoreama 3.3.1
Jika f(z) = u(r, N) + i v(r, N) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (ro, No) dan jika dalam kitar tersebut ur, uN, vr, vN ada dan kontinu di (ro, No) dan dipenuhi C-R yaitu: r u x x r 1 N x xv r 1 N x xv r v x x = dan = , r { 0
maka f(z) = ada di z = zo dan
Contoh 3.3.1
Diketahui f(z) = z-3,
Jawab :
f(z) = z-3 = r-3 (cos 3N - i sin 3N), maka :
u = r-3 cos 3N , sehingga u r = -3r-4 cos 3N dan uN = -3r-3 sin 3N v = -r-3 sin 3N , sehingga v r = 3r-4 sin 3N dan vN = -3r-3 cos 3N
keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z { 0
Jadi f(z) = z-3 terdiferensial untuk z { 0
Dengan demikian f(z) dalam koordinat kutub adalah : f(z) = (cos N i sin N) (-3r-4 cos 3N + i 3r-4 sin 3N)
? A ? A ? A ? g(z)A2 ) z ( ' g ) z ( f ) z ( g ) z ( ' f ) z ( g ) z ( f dx d . 5 ) z ( ' g ) z ( f ) z ( g ) z ( ' f ) z ( g ) z ( f dx d . 4 ) z ( ' g ) z ( ' f ) z ( g ) z ( f dx d . 3 ) z ( ' cf dz ) z ( cf d . 2 1 dz d(z) , 0 dz dc . 1 ! ¹ º ¸ © ª ¨ ! s ! s ! ! ! 3.4 Aturan Pendiferensialan
Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks
dz d . d dw dz dw ) rantai aturan ( komposisi dengan disebut biasa ) z ( ' f )] z ( f [ ' g ) z ( ' h maka )] z ( f [ g ) z ( h Jika . 7 nz dz dz . 6 n 1 n N N ! ! ! !
3.5 Fungsi Analitik Definisi 3.5.1
Fungsi f analitik di zo, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f(z) ada untuk setiap z N(z
o,r)
(persekitaran zo)
r f diferensiable
Fungsi analitik untuk setiap z dinamakan fungsi utuh
o
Contoh 3.5.1 1. f(z) = 2. f(z) = x3 + iy3 diperoleh : u = x3 ; v = y3 sehingga ux = 3x2 ; v x = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y2
dengan menggunakan persamaan C-R : 3x2 = 3y2
y =s
x dan vx = uy = 0
persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris y =
s
x berarti f(z) ada hanya di y =s
xJadi f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada
z
z , dengan g(z) 0 g'(z) 0 g' z f' z g z f lim o z zp!
{ {Sifat sifat analitik
Misalnya f dan g analitik pada D, maka :
o f
s
g merupakan fungsi analitik o fg merupakan fungsi analitiko f/g merupakan fungsi analitik dengan g { 0 o h = g f merupakan fungsi analitik
3.6 Titik Singular 3.6 Titik Singular Definisi 3.6.1
Definisi 3.6.1
T
Titik zitik z11 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di zdisebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z11
tetapi untuk setiap kitar dari z
tetapi untuk setiap kitar dari z11 memuat paling sedikitmemuat paling sedikit satu titik dimana f
Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain ::
1.
1. TiTititik k sisingngulular ar teteririsosolalasisi
T
Titik zitik zoo dinamakandinamakan titik singular terisolasititik singular terisolasi dari f(z) jikadari f(z) jika
terdapat
terdapat HH
""
0 de0 demikimikian sehian sehingga lingga lingkangkaran |z ran |z zzoo| =| = HHhanya melingkar
hanya melingkari titik si titik singular lainnya. Jikaingular lainnya. Jika HH seperti ituseperti itu
tidak ada, maka z = z
tidak ada, maka z = zoo disebutdisebut titik singular tidaktitik singular tidak terisolasi.
2. Titik Pole (titik
2. Titik Pole (titik kutub)kutub)
T
Titik z = zitik z = zoo disebut titik pole tingkat n, jika disebut titik pole tingkat n, jika berlakuberlaku
.. Jika n = 1, z
Jika n = 1, zoo disebut sebagai titik pole sederhana.disebut sebagai titik pole sederhana.
3. Titik
3. Titik CCabangabang
Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan
4. Titik Singular dapat dihapuskan
T
Titik singular zitik singular zoo disebutdisebut titik singular dapat dihapuskantitik singular dapat dihapuskan 0 0 A A )) z z (( f f )) z z z z (( lliimm oo nn z z z z oo {{ ! ! p p
5. Titik Singular Essensial
Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik
singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.
6. Titik Singular tak hingga
Jika f(z) mempunyai titik singular di z = g, maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.
Contoh 3.6.1
g(z) = berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z)
h(z) = |z|2 tidak merupakan titik singular
k(z) = ln (z2 + z 2) maka titik cabang adalah z
1 = 1 dan z2 = 2 karena (z2 + z 2) = (z 1) (z + 2) = 0 2 ) 1 z ( 1
3.7 Fungsi Harmonik
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang
kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = vx
Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = vx diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku
uxx + uyy = 0 vxx = vyy = 0
Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.
u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.
Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain
dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu. 0 y x 2 2 2 2
!
x N x
x N xContoh 3.7.1
Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v
yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 12x3y, (x,y)
Jawab :
Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)
jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada sedemikian
sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx ux = 4y3 12x2y v
y = 4y3 12x2y
uy= 12xy2 4x3 v= y4 6x2y2 + g(x)
karena vx = uy maka 12xy2 + g(x) = 12xy2 + 4x3
sehingga g(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C
Cara Milne Thomson
Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga
f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)
sesuai persamaan C-R : f(z) = ux(x,y) iuy(x,y) z = x + iy dan z = x iy sehingga diperoleh
i 2 z z y dan 2 z z x
!
!
¹
º
¸
©
ª
¨
i 2 z z , 2 z z¹
º
¸
©
ª
¨
i 2 z z , 2 z z f(z) = ux iuySuatu identitas dalam z dan , jika diambil = z maka f(z) = ux(z,0) iuy(z,0)
Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)
