1 BAB I BILANGAN
I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN
Bilangan non prima Bilangan asli
Bilangan prima Bilangan Bulat
Rasional
Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat
Irasional Bilangan Nul (Nol)
Bilanan Kompleks
Bilangan Imajiner
II. PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN
Bilangan kompleks : Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganReal dan imajiner
Bilangan Real : Bilangan yang nyata .. (0.02, -V3) macam-macam bilangan
Bilangan Imajiner : Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative
Contoh : V-2, V-0,05, V-3
Simbolnya (xi)
Bilangan Rasional : Bilangan yang terbentuk dalam p/q
(Dimana P & Q adalah bilangan bulat), dan bilangan desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 (berulang)
Bilangan Irasional : Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak
rasional
Misalnya : V2
V3 Tak berulang V
2
Bilangan Bulat : terdiri dari B.B + & B.B –
Misal : -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3
Bilangan Cacah : disebut juga sebagai bilangan bulat positif
Bilangan Asli : yang terdiri 1,2,3 dst
Bilangan Prima : bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu
sendiri
Bilangan Non Prima : bilangan yang bukan bilangan prima
III. OPERASI HITUNG PADA REAL & TURUNANNYA
1) Penjumlahan = (+) 2+3
2) Penguranngan = (-) 2-3
3) Perkalian = (X 3 . ) 2*2*2 = 2+1+1 = 23
4) Pembagian = (: ; . . .) 24 = 2 4-1 = 2 3 2
Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya :
1. Hukum Komulatif 2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2 Tapi 2-3 # 3-2 2. Hukum Asosiatif (2+3) +4 = 2+ (3+4) (2.3) . 4 = (2.3) . 4 3. Hukum Distributif 2 (3+4) = (2.3) + (2.4) 2 (3-4) = (2.3) – (2.4)
A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, & PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL PENJUMLAHAN
3 i) Va + Va = 2 Va
Contoh :
1. V3 + V3 = 2 V3 2. V7 + V7 = 2 V7
ii) Va + Vb = Va + Vb ( Tetap karena bilangan pokoknya berbeda )
Contoh : V2 + V3 = V2 + V3 iii) a Vb + c Vb = (a+c) Vb Contoh : 3 V5 + 2 V5 = (3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional PENGURANGAN i) Va – Va = 0 Note : Va – Va = (1-1) Va = 0 Va = 0 Contoh : 1. V2 – V2 = 0 2. V5 – V5 = 0 ii) Va – Vb = Va – Vb Contoh : 1. V3 – V5 = V3 – V5 2. V7 – V3 = V7 – V3 iii) aVb – cVb = (a-c) Vb contoh :
1. 5V7 – 2V7 = (5-2) V7
4 PERKALIAN
i) Va x Va = a Note : Va x Va
Contoh : = Va.a = Va2
V2 x V2 = 2 = (a2) ½ V5 x V5 = 5 = a 2/2 = a1 = a ii) Va x Vb = Vab Contoh : 1. V3 . V5 = V15 2. V5 . V7 = V35
iii) aVb x cVb = (a.x) Vb b = (ac) (b2) ½ = (ac) b 2/2 = acb atau abc
Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias rasional/irsaional.
PEMBAGIAN
I) a (Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional) Vb Note : a = a x vb vb vb vb = a vb = a vb b b contoh : 1. 1 = 1 x V2 V2 V2 V2
5 = 1 V2 = 1 V2 2 2 2. V3 = V3 x V5 V5 V2 V2 = V15 = 1 V15 5 5 II) 1 = 1 x Va + Vb Va + Vb Va+Vb Va – Vb = 1 ( Va – Vb ) ( Va + Vb ) ( Va – Vb ) = 1 ( Va – Vb ) a ( Vab + V ab ) = Va = Vb ( Sudah Rasional ) a – b contoh : 1 = 1 x V3 + V5 Va + Vb V3+V5 V4 – V5 = V3 + V5 V3 . V3 – V5 V5 MENYEDERHANAKAN ANGKA 1. V20 = V4 . V5 = 2 V5 2. V32 = V16 . V2 = 4 V2 3. V200 = V100 . V2 = 10 V2 Contoh soal : 1. 2 V2 + V8 + V32 + 2 V3 + V12 = 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3 = (2+2+4) V2 + (2+2) V3 = 8 V2 + 4 V3
6 2. (1+3+V2) = (4-V50) + V243 = 1 + 3V2 – (4-5 V2) + 9 V3 = 1 – 4 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3 = -3 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3 = -3 + 8 V2 + 9 V3 3. V11 – V13 = V11 – V13 x V11 – V13 = V11 – V13 x V11 – V13 = (V11 – V13) (V11 – V13) = (V11 + V13) (V11 – V13) = 11 – V143 + V143 + 13 11 – V143 – V143 – 13 = 11 – V143 – V143 + 3 11 – 3 = 11 – 2 V143 + 13 = 24 – 2 V143 = 24 – 2 V14 11 – 13 11 – 13 -2 = -12 + 2 V143 4. 3 V2 – 2 V3 = 3 V2 – 2 V3 x 2 V3 + 3 V2 2 V3 – 3V2 2 V3 – 3 v2 2 V3 + 3 V2 = 6 V6 + 9 V4 – 4 V9 – 6 V6 4 V9 – 9 V4 = 9 V4 – 9 V9 = 9.2 – 4.3 4 V9 – 9 V4 4.3 – 9.2 = 18 – 12 12 – 18 = 6/-6 = .1 5. (V10 – V8)2 = (V10 – V8) (V10 – V8) = 10 – V80 – V80 + 8 = 18 – 2 V180
7
B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR
Ditulis : a x b ; a + b atau ab (maksudnya a kali b) biasanya berbentuk symbol huruf (a … z) jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut koefisien dari symbol.
Contoh : 5 koef x dari 5x
Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga Contoh : 5q adalah koefisien x3 dari 5 qx3
Penjumlahan pada aljabar :
Contoh = (a+b+c) + (a+b+c)
= (a+b) + (b+b) + (c+)
Atau
A + b + c
A + b + c
2a + 2b +2c
Pengurangan pada aljabar Contoh :
(-a – b + c) – (a + b – c) = samakan variable yang sama
Perkalian pada bilangan aljabar Hitunglah :
a.b2 x a2b3 = a1+2b2+3 = a3b5 (lihat sifat pada bilangan eksponen)
latihan :
1. Hitunglah 2a – 3b + 4c +2 (a-b)
2. Sederhanakanlah 3 (2-3 (2a + 4)) – 4a 3. Hitunglah : 22 . b2 aVb : untuk a = 2 : b 3
8 C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN
Pecahan
1 & 3 dinamakan pembilang 4 dinamakan penyebut
Berbentuk a semakin besar penyebut
b semakin kecil nilai pecahan itu
pecahan-pecahan yang senilai
1 = 5 didepan 1 x 5 = 5 2 10 2 x 5 = 10 3 = 9 3 x 3 = 9 4 12 4 x 3 = 12 Membandingkan 2 pecahan 7 dengan 6 8 8
Caranya samakan penyebut dulu
7 x 7 6 x 8 8 x 7 7 x 8 49 > 48 56 56 7 < 6 8 7 Pecahan campuran
Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran 5 = 5 + 1 = 1 1
9 7 = 4 + 6 = 1 3
4 4 4 4
Hanya pecahan yang nilainya >1 Mencari bilangan antara dua pecahan Tentukan bilangan antara 2/5 dan 5/11
Jawab : 2 dan 5 2 x 4 … … … 5 x 5 = 22 . 33 . 25 . 25 5 11 5 x 11 11 x 1 55 55 55 15 Penjumlahan : a. 5 + 1 = 5 + 1 = 6 bukan 6 2 2 2 2 4 b. 3 + 1 samakan penyebut 9 + 4 = 13 4 3 x 4 12 12 12 Pengurangan a. 5 – 1 = 5 – 1 = 4 2 2 2 2 b. 3 x 3 – 1 samakan penyebut 9 – 4 = 5 4 x 3 3 12 12 12 Perkalian 2 x 1 = 2 x 1 = 2 5 3 5 x 3 15 5 x 1 = 5 x 1 = 5 3 1 x 3 3 2 x -1 = 2 x -1 = -2 3 1 x 2 -2 2 x 1 = 2 x -1 = 2 = 1 2 1 x 2 2
10 Pembagian a. 1 : 1 = 1 x (kebalikan dari 1 = 2) 2 2 1 = 1 x 2 1 = 1 x 2 = 2 b. 2 : 1 = 2 x 2 4 2 4 1 c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = 3 3 9 3 1 3 Pecahan Desimal
Berasal dari kata decimus (bahasa latin) yang berarti persepuluh milsanya : = 1 = 0,1 : 1 = 0,01
10 100
Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh : 2 / 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal
2 = 2 x 2 = 4 = 0,4 5 5 2 10
4 = 4 x 125 = 29 375 = 0,375 8 8 x 125 = 40 1000
Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10
Pecahan persen
Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100 Conoh : 25 / 100 : 25%
11 Contoh : 4 persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50% 8 8 : 4 2 2 persen = 2 x 100 = 200% 7 7 1
35% pecahan biasa (sama juga dengan menyederhanakan bilangan)
35% : 5 = 7 100 : 5 10
Pecahan campuran pada bilangan persen contoh = 22 (1) % = 25 x 1 1
2 2 100
= 25 /100
D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT
1. Penjumlahan a. 5 + 1 = 6 b. 2 + 3 = 5 c. -2 + 3 = 1 d. -3 + 4 = 1 2. Pengurangan a. 8 – 3 = 5 b. 7 – 3 = 10 c. 6 – 7 = -1 d. 7 + (-10) = 7 – 10 = 3 e. -6 – 3 = -9 f. -6 – (-3) = -6 + 3 = -3
12 3. Perkalian a. 2 x 3 = 6 - x - = + b. -2 x -3 = 6 - x - = - c. 2 x -3 = -6 - x + = - d. -2 x 3 = -6 4. Pembagian a. 10 : 5 : 10/2 = 2 b. -10 : 5 – 10/5 = -2 c. 10 – 2 10/5 = -10/5 = -2 I. PERBANDINGAN (RATIO)
Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan
Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya perwira dari seluru crew?
Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 10/25
II. PROPORSI
Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua (::)
Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40 5 : 10 :: 20 : 40 Atau
5 : 10 = 20 : 40 5 = 20 10 40
A. INVERSE PROPORSI (BERBALIK HARGA) Ditulis : a/b = c/d
13 Contoh 1 :
25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18 orang
Jawab :
Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat (“kecil”)
Banyaknya pekerja lama mengerjarkan (hari)
25 54
18 x
25/18 = x/54
X = 125 hari (catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang)
B. DIRECT PROPORSI 10 : 20 = 25 : 50 = ½ a/b = c/d
artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya
contoh 2 :
Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp. 17.000 berapa upah yang diterima jika bekerja 7 jam.
Jawab :
Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya (senilai)
Banyaknya jam bekerja besarnya upah (Rp)
4 17.000 7 x 4 = 17000 7 x 4.x = 17000 x 7 4
14 Contoh 3 :
Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin
Jawab :
Banyaknya pekerja banyaknya mesin yang dirakit banyaknya hari
8 2 18
12 5 ?
Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat dirakit (direct proporsi) kemudian dengan banyaknya hari (inverseproportion)
8 . 5 = x 12 2 10 40 = x 24 18 24.x = 40 . 18 X = ….. hari III. VARIASI
Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut, saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi untuk variasi adalah ( : = )
A = B A = Konstant B Direct Proporsi A1 = A2 B1 B2 A = 1 B A1B1 = A2B2 Inverse proporsi
15 Contoh :
Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm ?
Jawab :
R adalah resistan tali R1 = 2 ohm
L adalah luas tali L1 = 0,0001 m L2 = 0,00005 m
P adalah panjang tali P1 = 100 m P2 = 250 m
Ditanya R2
Penyelesaiannya : Karena :
1) R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L R1 = R2
L1 L2
2) R berbanding terbalik dengan luasnya, maka : R = 1/P
R1P1 = R2P2 L1 L2
Coba anda cari nila R2 Bentuk baku Notasi Ilmiah Perhatikan bentuk decimal
0, 1 : 0,0 : 0 , 000 0. 1 = 1 10-1
1. 10 – 1 1. 10-2 1 x 10-4 10
1/a = _ a-n
Banyaknya bilangan dibelakang koma
0,0075 = 75 x 10-4
: : : = 7,5 x 10-3
123
16 “ ditandai dengan tanda pertidaksamaan Contoh :
Symbol-symbol pertidaksamaan <, >, <, >
A & b adalah dua bilangan bulat
A = b a sama dengan b
A > b dibaca a lebih dari b
A < b dibaca a kurang dari b
Sedangkan :
A > b dibaca a lebih dari satu sama dengan b
A < b dibaca a kurang dari atau sama dengan b
Contoh 1 :
2 < 2 -4 < 0 -1 > -3
1. Carilah nilai x yang memenuhi
X + 2 < 3 x anggota bilangan real
Jawab : X < = 3 – 2 X < 1 Hp = (1,2,3….) Contoh 2 : I. Pertidaksamaan linear ( pangkat terendah x1 ) 3x > 5 3x – 5 > 5 3 x > 5 X > 5/3 Garis bilangan
17 Hp ( X > 5/3 )
Apabila x > 5/3
Maka garis bilangannya HP { x > 5/3 } 1. -2x + 5 > 0 -2x > -5 x (-) 2x < 5 X < 5/2 HP { x < 5/2 }
II. Pertidaksamaan Irasional 1. V5x + 2 > 4 Syarat Va > 0 Solusi V5 x + 2 > 4 (dikali 2) = 5x + 2 > 42 = 5x + 2 > 16 = 5x > 14 = x > 14/5 = x > 2 4/5 Syarat Va > 0 = V5x + 2 > 0 5x + 2 > 0 5x > -2 X > -2/5 Garis bilangan Hp { x > 2 2/4 } 2. V7x + 3 < v3 + 7 Va Vb = (7x + 3) < (3x + 7) 7x – 3x < 7 – 3 4x < 4 X < 1
18 Syarat Va > 0 V7x + 3 > 0 7x + 3 > 0 7x > -3/7 X > -3/7 Vb > 0 V3x + 7 > 0 3x + 7 > 0 3x > -7 3 > -3/7 Garis bilangan __________________ Hp {-3/7 < x < 1}
Notes dalam penulisan Hp : 1 > x > -3/7
7/3 > x salah x -2 < x
3. Pertidaksamaan nasional dan irasionak 15x + 3 < 0 dan V7x + 5 > 0
15x < -3 7x + 5 > 0 X < -3/15 7x > -5
19 III. PERBANDINGAN FUNGSI KUADRAD
1. –x2+ 5x + 14 > 0 ( - ) Menjadi : X2 – 5x -14 < 0 (x + 2) (x – 7) < X1 = -2 X2 = 7 HP {-2 < x < 7} 2. X2 – 3x < 4 dan x2 – 2x > 8 X2 – 3x – 4 <0 x2 – 2x – 8 > 0 (x + 2) (x – 4) (x + 2) (x – 4) X1 = 1 x3 = -2 X2 = 4 x4 = 4 Hp {x < -2 atau -1 < x atau x > 4} 3. (x – 2) (x2 + 3x – 18) > X2 – 25 (x – 2) (x – 3) (x + 6) > 0 (x + 5) (x – 5) X1 = 2 x4 = -5 X2 = 3 x5 = 5 X3 = 06 HP {-6 < x < -5 atau x > 5} 4. X2 < 81 X2 – 81 < 0 (x +9) (x-9) X1 = -9 HP (-9 < x < 9) X2 = 9
20 X = -10 x = 10 (-10 + 9) 10 + 9 = -1 = 19 = 10 – 9 10 – 9 = -19 = 1 -19 * -1 19 * 1 =19 = 19
IV. NILAI MUTLAK
| X | < a -a < x < a | X | > a x < -a atau x > a (x + 1) > 3 X + 1 < -3 x + 1 > 3 X < -3 – x > 2 X < - 4
Absolut : membuat hal-hal menjadi +
Contoh : 1. |x| < 5 -2 < x – 3 < 2 2. |x – 3| < 3 -2 < x – 3 < 2 = -2 + 3 < x < 2 + 3 = -1 < x < 5 3. |x| > 5/2 x < - 5/2 atau x > 5/2 Nilai absolut (x + 1) > 3 X + 1 < -3 / x + 1 > 3 4. |2x – 5| < 1
(dikuadratkan karena ada koefisiennnya 3)
= (2x – 5)2 < 12 = (1x – 5)2 – 12 < 0 = ( (2x -5) - 1) (2x -5) + 1)< 0 Font note : (2x -5)2 +(2x -5) – (2x) -5) -12
21 = (2x – 6) (2x -4) < 0 X1 < -3 x = <-2 X1 = 3 x2 = 2 Hp {2 < x < 3} 5. (3x -2) > 4 (3x – 2)2 > 42 ((3x – 2) – 4) ((3x – 2) + 4 ) > 0 (3x -6) (3x + 2) > 0 X1 = 2 x2 = -2/3 Hp {x < -2/3 atau x > 2} (x2 – 4) (x2 – 2 x -2) < 0 (x + 2) (x – 2) (x + 1) (x – 3) < 0 X1 = -2 x3 = -1 X2 = 2 x4 = 3 Hp {(-2 < x < -1) atau (2 < x < 3)} X = -3 x -2 -3 + 1 X + 2 -3 – 2 – 2 3 + 2 -5 – 3 – 3 -1 -6 = 5 =12 0 X = -1 1/2 -1 ½ - 2 -1 ½ + 1 -1 ½ -3 -1 ½ + 2 = -3 ½ = - ½ = -4 ½ 0 = ½ Aritmatika
Dalam bentuk social Contoh :
22
Pada suatu ruang muatan yang terdiri dari mobil-mobil yang akan dikirim ke daerah A jika mobil itu dibeli dengan harga Rp. 100.000.000 dan pemilik menghendaki untung Rp. 800.000 berapa harga jualnya ?
Jawab : Harga beli Rp. 100.000.000 Untung Rp. 800.000 Harga jual Rp. ? U = J – B 800.000 = J – 100.000.000 100.000.000 + 800.000 = 100.800.000
Harga spare part tipe A Rp. 210.000 dan dijual oleh si empunya Rp. 250.000 berapakah % keutungannya ? Jawab : Harga beli Rp. 210.000 Harga jual Rp. 250.000 Laba (untung) Rp. 250.000 – Rp. 210.000 Rp. 40.000 Persen keuntungan = 40.000/250.000 x 100% = 10% Untuk jika J > B Rugi jika J > B Limpas jika J = B Untung jika J – B Rugi kita B – J
Persen keuntungan = U/B x 100%
Persen kerugian = R/B x 100%
23 Latihan BAB I Hitunglah 1. X4 . x2 . x3 = 2. 2a . -5a3 . 3a4 = 3. -4 . 3xy . 2x 3y5 = 4. 3x5 y . 15 x 2y = -9x 3y 5. a. 3V2 + V12 – V72 + V50 b. 1 / V23 . 1/V2+3 c. V2 + V3 / V2 – V3 d. (22 – V5)2 6. 18 – (-15) – 3 7. (18 – 8 ) – 4 8. 20 – (4 – 3) 9. 13 – (8 – 4)
10. Pada musim dingin disebuah kota A suhu siang hari (pkl. 12.00) = 180C 15 suhu pada malam hari (23.00) adalah -30C, berapa derajat penurunan suhu
11. – 108 : 9 12. 4 – x + -2 . 8 11 – (-5) Sederhanakanlah 13. 4/6 = 14. 12/18 = 15. 7/35 = 16. 36/56 =
Gunakan tanda > , < atau = 17. 6/5 … 6/4
18. 3/15 … 4/22 19. 3/16 ,,, 1/5
24 BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR
a) Bentuk umum persamaa linear : Determinan persamaan kalimat matematika yang ditandai dengan tanda (*=*) dengan 1 variabel / symbol 1. Ax + b = 0. Dengan ketentuan a tidak boleh o. a dan b adalah konstanta
Contoh : 1) 4x + 5 = 0 4x = -5 X = -5/4 2) 3 / 5x + 2 = 4 / 2x – 2 = 3 (2x – 2) = 4 (5x + 2) = 6x – 6 = 6x – 20x = 8 + 6 = -14x = 14 X = 14/-144 = -1 3) 2x – 8 = 15 2x = 15 + 8 = 23 X = 23/2 = 11 ½ 4) 5x + 6 = -2x – 8 5x + 2x = -8 – 6 7x = -14 X = -14/7 = -2 5) 3x + 7 = 0 3x = -7 X = -7/3
25
6) A memiliki $20 lebih dari B, tetapi nilainya ½ dari C, jika jumlah ketiganya adalah = $80 , berapa masing-masing uang mereka
Jawab :
Mis : uang B = $ x mata uang A = $20 + x dan A = ½ C atau C = 2A Jumlah A + B + C = 20 + x + x + 2 (20 + x) = 80 60 + 2x + 4x = 80 – 80 4x = 20 X= 5 Jadi B = 15$ A = 25$ C = 36$
b) System persamaan linear dengan 2 peubah (variable) bentuk umum dari (P,S,L dengan 2 peubah adalah :
1. A1x + b1y + c1 = 0 a1x + b1y = -c1
2. A2x + b27 + c2 = 0 a2x + b2y = -c2
- C1 a1, b1, c1, a2, b2, c2 = R - C2
Persamaan 1 a 1 / b1 boleh ( 0 ) tetapi tidak boleh kedua-duanya 0, demikian juga pada persamaan ke 2. Persamaan tersebut diatas adalah persamaan garis lurus. Sehingga penyelesaian dari system penyelesaian diatas dapat ditentukan sebagai koordinat titik potong antara 2 buah garis lurus (x, y) dan himpunan penyesuaiannya (x,y) untuk menentukan penyelesaian tersebut dapat dilakukan beberapa cara : a) Metode grafik b) Metode subtitusi c) Metode eliminasi d) Metode determinan a. METODE GRAFIK
Dengan metode ini, setiap garis pada persamaan linear tersebut diatas kita gambar grafiknya pada system koordinat cartesius. Yaitu koordinat titik potong antara ke 2 garis yang hasilnya akan sama dengan cara hitung metode subtitusi dan metode eliminasi.
26 Tentukan : Hp dari s. persamaan I = x + y = 4
II = x – y = 16
Dengan metode grafik Solusi jawaban X + y = 4 Untuk x = 0 x + y = 4 0 + y = 4 Y = 4 x,y = (0,4) Untuk y = 0 x + y = 4 X + 0 = 4 X = 4 x.y = (4,0) X – 2y = 16 Untuk x = 0 x – 2y = 16 0 – 2y = 16 -2y = 16 Y = y =16/-2 = -8 x,y = (0, -8) Untuk y = 0 x – 2y = 16 X – 0 = 16 X = 16 x,y = (16,0) Model grafiknya :
27 b. MODEL SUBTISUSI
Subtitusi artinya : menggantikan / memasukan nilainya. Metode ini lebih tepat dipergunakan apabila pada system persamaan linear dengan 2 perubah / variable. Terdapat persamaan dengan salah satukoefisiend dari salah satu perubahan variablernya adalah satu.
Contoh :
1. 3x + y =1 (I)
2x – 3y = 8 (Z)
Persamaan I 3x + y = 1
Y = 1 – 3x (3)
Subs (masukkan) y = 1 – 3 x ke pers (z)
2x – 3x = 8 untuk x = 1 subs ke pers (3)
2x – 3 (1 – 3x) = 8 y = 1 – 3 x 2x – 3 + 9x = 8 y = 1 – 3 (1) 11x = 11 = 1 – 3 X = 11/11 y = - 2 Hp ( 1, -2 ) 2. 2x + 3x = 20 3x – y = -3 Jawab : Pres (2) = 3x – y = 3 -y = -3 -3x (x) – Y = 3 + 3x ….. (x) Y = 3+ 3x subs ke pers (1) 2x + 3y = 20 11x = 11 2x + 3 (3 + 3x) = 20 x = 1
X = 1 sub ke pers (3) y = 3 + 3 (I) Y = 6 hp (1,6)
28 c. METODE ELIMINASI
Eliminasi artinya menghilangkan salah satu unsure / variable, sehinggga dari 2 variabel semua menjadi hanya 1 variabel. System p.s tersebut dapat diselesaikan, cara menghilangkan salah satu variable tersebut adalah, dengen menyamakan koefisiens dari variable tersebut. Kemudian dikurangkan apabila tanda-tandanya berlawanan / berbeda.
Contoh :
Tentukan Hp. Dengan eliminasi
1. 3x + y = 1 (1) 2x – 3y = 8 (2) Jawab : 3x + y = 1 x2 6x + 2y = 2 2x – 3y = 8 x3 6x – 9y = 24 11y = -22 Y = -22/11 Mencari y y = -2 3x + y =1 x 3 9x + 3y = 3 2x – 3y = 8 x1 2x – 3y = 8 11x = -22 X = 11/11 Mencari x 1 = 1 Jadi Hp = (1, -2)
d. PENGGABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI 1. 3x + y = 1… … (1) 2x – 3y = 8 … … (2) Cara eliminasi : 3x + y = 1 .2 6x + 2y = 2 2x – 3y = 8 .3 6x – 9y = 24 11y = -22 Y = -2 Cara subtitusi
29 Y = -2 sub ke persamaan (1) 3x + y = 1 3x + y – 2 = 1 3x – 1 + 2 X = 1
a. Yang lebih umum untuk dipergunakan adalah metode eliminasi yang digabungkan dengan subtitsi.
b. Metode subtitusi lebih tepat digunakan apabila salah satu koefisien darisalah satu variabbel itu adalah 1
c. Metode grafik lebih tepat dipergunakan untuk memperkirakan/mengecek hasil penyelesaian dengan metode sustitusi / eliminasi dengan cara menggambarkan grafik garis-garis pada system persamaan tersebut dan menentukan titik potongnya.
e. METODE DETERMINAN (S) Persamaan dengan 2 variabel 1. Ax + by = k … … (I)
Cx + dy = I … … (II)
Untuk met x dan y
X = Sy/S y = Sy/y S = a b = ad – bc c d Sx = K b = kd – bl L d Sy = ak = al – kc Cl X = kd – bl y = al – kc Ad bc ad – bc
30 Contoh : 1. X + y = 7 D.M Det X – y = 19 Solusi S = 1 1 = 1. ( 1) – 1 (1) 1 -1 -1 -1 2 Sx = 7 1 = 7 (-1) -1 (19) 19 -1 -7 -19 = -26 Sy = 1 7 = 19 – 7 = 12 1 19 Jadi x = 26 / -2 = 13 Y = 12 / -2 Hp ( 13, 6) 2. 2x + y = 5 2x + 3y = -1 S = 2 1 = 6 – 2 = 4 2 3 Sx = 5 1 = 15 – (-1) = 16 -1 3 Sy = 2 5 = -2 – 10 = 12 2 -1 X = 16 / 4 = 4 Y = -12 / 4 = 3
METODE DETERMINAN DENGAN 3 VARIABEL 1. Persamaan dengan 3 variabel / peubah adalah
A1x + b1y = ciz = k ( I ) A2x + b2y = c2z = I ( II ) A3x + b3y = c3z = m ( III )
31
Karena memiliki 3 variabel maka harus memiliki 3 persamaan
X = sx / s y = sy / s z = sz / s Sy = c1 a1 k c1 a1 C2 a2 I c2 a2 C3 a3 m c3 a3 Sz = A1 b1 k a1 b1 A2 b2 I a2 b2 A3 b3 m a3 b3 X = sx / s = ** / * Y = sz / s = **** / * HP ( X, Y, Z ) Z = sz / s = **** / *
A1x + b1y = ciz = 0 ( I ) A2x + b2y = c2z = 0 ( II ) A3x + b3y = c3z = 0 ( III )
Eliminasi pers . ( I ) & ( II ) A1x + b1y + c1z = 0 x pers (2) … A2x + b2y + c2z = 0 x pers (1) …
Menjadi (a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 …. (IV)
Eliminasi pers II dan III
A2x + b2y + c2z = 0 x pers (2) … A3x + b3y + c3z = 0 x pers (1) …
Menjadi (a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0 …. (IV)
Pada * dan ** yang dicoret harus z agar mendapatkan nilai x dan y lebih mudah.
Persamaan (IV) dan (V) dapat dengan cara subtitsi / eliminasi
32
(a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0 x dan y dengan cara subtitusi/eliminasi
Subtitusi ke salah satu persamaan awal (1) (2) dan (3) maka didapatkan hp (X,Y,Z)
Contoh soal
1. 2x – y – 2z = 15 … (I) 3x + 2y + z = 17 … (II) X + 4y – 3z = 29 … (III)
Eliminasi pers I dan II
2x – y – 2z = 5 x 1 = 2x – y – 2z = 5
3x + 2y + z = 17 x 2 = 6x + 2z = 34
8x + 3y = 39 ….. (IV)
Eliminasi pers II dan III
3x + 2y + z = 17 x 3 9x + 6y + 3z = 51
3x + 2y + z = 17 x 2 x + 4z - 3/z = 29
10x + 10y = 80
X + y = 80 … (IV)
Pers (4 dan 5) dapat dikerjakan dengan cara eliminasi / subtitusi. Sustitusi apabila pada persamaan 4 dan 5 terdapat 1 koefisien (apabila tidak ada maka harus dengan eliminasi)
8x + 3y = 39 … (IV) X + y = 8 … (V) M AB = m BP satu garis Y2 – y1 = y – y2 y2 – y1 = x2 – x1 … (4) X2 – x1 x – x1 y – y2 x – x2 Y – y1 = x – x1 Y2 – y1 x2 – x1
33 LATIHAN :
1. Carilah hambatan parallel untuk R1 = 2V3 ohm dan R3 = V12 ohm
2. Diketahui suatu rangkain listrik parael terdiri dari 3 hambatan yang dipasang secara prarel : jika R total = 0,5 ohm : R1 = 2 ohm : R2 = 1 ½ ohm dan R3 = x – 2 ohm, carilah nilai x itu 3. Jumlah dari dua bilangan A dan B adalah 16, sedangkan selisih dua bilangan tersebut
adalah 4, berapakah bilangan-bilangan itu?
4. Carilah nilai x dan y dari system persamaan dibawah ini : 2x / 3 – 3y / 5 = ¾ dan x / 2 – y / 4 = 13 / 16
5. Hitunglah nilai a, b, dan c dari system persamaan linear dibawah ini : 3a + 2b – c = 4
2a + b + c = 7 A – b + c = 2
6. Dua buah kapal adalah 99 nautical mil jaraknya steaming pada kecepatan yang berbeda, jika dua kapal tersebut mengadakan perjalanan langsung kedepan bersama-sama mereka akan bertemu dalam waktu 3 jam. Jika mereka steaming dalam arah yang sama pada tempat yang sama mereka akan bertemu dalam waktu 49 ½ jam. Berapakah kecepatan kedua kapal tersebut masing-masing
7. Hokum wiliam mengenai hubungan antara konsumsi uap dan tenanga yang dikembangkan oleh sebuah steam engine dalam kondisi tertentu dapat dijelaskan
M = a + bP
Dimana m adalah mass uap yang digunakan perjam P adalah tenaga yang dikembangkan
A dan b adalah konstanta
Jika apda suatu ketika pada mesin itu m = 2025 kg/jam saat P = 250 kw dan m = 1515 kg/jam saat P = 175kw
a. Carilah besarnya konstanta a dan b b. Berapa kg/jam nilai m saat p = 200kw
34 BAB III
PERSAMAAN KUADRAT
a. PENGERTIAN
Ialah suatu bentuk persamaan dengan variable x yang mempunyai pangkat tertinggi misalnya : X2 – 3x – 2 = 0
2x2 = 3x 2x2 + 3 = 0
b. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum : ax + bx + c = 0 ; a,b,c, E R,
A F o ( sebab bila a = o bentuk tsb menjadi bx + c = 0 yakni persamaan linear)
c. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT
Ialah nilai – nilai x yang memenuhi bentuk suatu persamaan kuadrat misalnya : x2 – 5x + 4 = 0, akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 4, sebab 12 – 5,1 + 4 = 0 demikian pula 42 – 5,4 + 4 = 0 sedangkan x = 3 bukan persamaan itu, sebab 32+ - 5,3 + 4 # 0 bagaimana cara mencarinya :
d. MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Dengan faktorisasi 4x2 – 9 = 0 4x2 = 9 X2 = 9/4 X = (3/2)1/2 X = I v3/2 X2 . ½ = (9/4)1/2 X1 = 3.2 x2 = -3 / 2 HP (3/2, -3/2) Note :
Tentukan akar dapat dengan faktorisasi Cara : (a – b) a2 – b2
35 (a – b)2 = (a – b) (a + b)a2 – 2ab + b2 (a + b)2 = (a + b) (a + b) a2 + 2ab + b2 Rumus Abc Ax2 + bx + c = 0 Ax2 + bx = -c : a x2 + bx : -c (x + b/a)2 : -c / a a : a Note : (x + b/a)2 X2 + 2 . b/a . x + (b/a)2 (x + b/a)2 = -c/a + 4 b/a (x - b/a)2 = -c/a + 4 b/a X – b/a = + V-c/a + 4 b/a X1 = -b/a + V-c + 4ab A
X12 = -b + vb2 + 4ac = -b + V d/2a 2a
Contoh soal :
Tentukan hp dengan rumus abc dari : 1. 6x2 – 11x – 10 = 0 = -b + Vb2 – 4 ac 2a = 11 + V121 + 4 (60) = 11 + V361 12 X1 = 11 + 19 = 30 = 5/2 12 12 X2 = 11 – 19 = -8 = -2/3 12 12
42
44 Luas bidang datar satuannya dalam pangkat 2 : m2 , cm2
1. PERSEGI PANJANG
L = P x L : Kel = 2 (P + I)
2. PERSEGI
L = Sisi x sisi : Kel = 4 x sisi
3. LINGKARAN
45 4. JAJAR GENJANG
L = P x L
5. TRAPESIUM
L = Jumlah Garis sejajar x t/2
6. SEGITIGA
L = Alas x T/2
Volume = satuannya dalam pangkat 3 : m3 , cm 3
7. KUBUS
46 8. BALOK
Volume = P X I X I 9. PRISMA
Volume = L alas x tinggi
10. PIRAMID
Volume = 1/3 x luas alas x tinggi
11. SILINDER
47 12. KERUCUT
Volume = 1/3 rr2t Contoh :
1. Sebuah ruangan penyimpanan barang ukurannya adalah 6.4 m x 4.5 m. carilah luasnya dalam satuan feet (1m = 3.28m)
2. Sebuah persegi panjang tingginya 1 meter. Suatu segitiga yang alasnya sama memiliki luas sama dengan 2/3 luas persegi panjang. Carilah tinggi segitiga itu
3. Sebuah tank alasnya berukuran 20 x 15 m dan sisinya tegak. Jika berisi iar 2400m3 air berapakah tinggi tersebut ?
4. Keliling segitiga sama sisi = 240 m dan alasnya 5 cm, carilah luas a. L permukaan silinder 2nrr2 x 2nrh
b. Luas permukaan balok 2 p.t + 2pl + 2 lt
c. Luas permukaan limas L Alas + J Luas Segiti sisi tegak d. L Permukaan kerucut nr2 + nrs Bola Memiliki jari-jari = r Luas permukaan = 4 nr2 Volumenya 4nr2 / 3 Contoh :
1. Luas permukaan bola adalah 616 c,2 berapakah volumenya
2. Diameter sebuah bola adalah 30 cm carilah luas permukaan dan biaya gelindingnya untuk $1.50 cm2
48 IRREGULAR FIGURES
Simpsons first rule. This method of finding the area of an irregular figure is one of the most useful to marine enginers nad neval architects. Briefly it is staled :
To the sum of the first and last ordinates, add four times the even ordinates and twice the odd ordinate, multiply this sum by one thirs the common interval and the result is the area of the figure
An odd number of ordinates, equally spaced, must be used for this rule, step by step, the producedure is as follow, referring figure.
1. Divide the given figure into an even number of equally spaced parts, this gives and odd number of ordinates
2. Measure the ordinates and the common distance between them
3. Add together : the first ordinate the last ordinate, four time the event ordinates and twice the odd ordinates
4. Multiply the aboce sum by one – the third of the third of common distance between the ordinates.
49 Example
A flat-plate is shaped as shown in fig, the dimension being in millimeters, find its area by simson’s rule
Working in centimeters and seting out in tabulated form :
Ordinates simpson’s Multipliers product
0 1 0 3.5.4 4 14.16 6.32 2 12.64 8.34 4 33.26 9.6 2 19.20 10.2 4 40.80 9.96 2 19.92 8.68 4 37.72 5.8 1 5.80 Sum = 180.60
Common interval = length : number of spaces = 320 : 8 = 40 ,, = 4 cm
Luas = 180.6 x 4 / 3 = 240.8 cm2
From the explanation 1.4.1
5 1.4.2.4.1
7 1.4.2.4.2.4.1
9 1.4.2.4.2.4.2.4.1
This rule is often experesed in formula fashion thus : Area h/3 (a + 4b + 2x + 4c + e)
50
The student, however, is advised to set out the work in tabulated form as in the example shown because, in work to follow, simpson’s rule is applied in finding first and second moments of irregular shapes and this is most neatly done by extending the tables as for areas.
The man (average) height of an irregular figure can be obtained by dividing the area its lengtht, or can be found direct bye simpson’s rule bye dividing the sum of the product of the ordinates and theirs multipliers, by the total of multipliers
In the foreging example the two methods of obtaining the mean height would be : ( I ) area = 240.8 cm2 Length = 32 cm Mean height = 240.8 : 32 = 7.525 cm = 75.25 mm ( II ) Sum of product = 180.6 Sum Multipliers = 1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 1 = 24 Mean Height = 180.6 : 245 = 7.525 cm Example
The ordinates measured art wart ship across a ship at her lad water line are : 0,2 : 9, 15.5 : 20 : 21.5 : 20.5 : 18.5 : 12.5 : and 1.3 meters respectively, and the length is 180 meters. Find the water plane are
Ordinates simpson’s Multipliers product
Number ordinates = Number of Spaces =
Commong interval = lengths : no of space
=
51 Latihan
Regularly spaces semi = ordinates measured transverly across at ship the load water line are as follow : 0,1 : 3,5.8.5 : 7.2 : 8.1: 8.4 : 8.4 : 8.25 :8.1: 7.5 : 6.3 : 3.75 and 0.5 meters respectively and the length is 150 meters. Find the area of the water plane by simsons rule
52
Dalam mencari luas segitiga pada gambar diatas kita dapat menggunakan rumus : 1. L = s V (s-a) (s-b) (s-c) Dimana : s = ½ (a + b + c) 2. L = ½ ab sin x Atau L = ½ bc sin Atau L = ½ ac sin Contoh :
Dik : dalam segitiga a = 15 : b = 20 : c = 25, carilah luas segitiga itu, jawab A = 15
B = 20 s = 15+20+25
C = 25 2
53 V. TRIGONOMETRI
a. Pengertian dan perbandingan trigonometri
< ABC disebut Betha
< BAC disebut Alpha
< BCA disebut Gamma
Nama-nama perbandingan trigonometri 1. Sinus a disingkat sin a
2. Cosines a disingkat cos a 3. Tangent a disingkat tg a 4. Cotangent a disingkat cotg a 5. Secans a disebut sec a
6. Cosecans a disingkat cosec a
Ditinjau dari a dalam segitiga
Siku-siku ABC Sisi BC = a Sisi AB = c Sisi AC = b 1. Sin a = c / a 2. Cos a = b / c 3. Tg a = a / b 4. Cotg a = b / a 5. Sec a = c / b / = 1 / cosa 6. Cosec a = c / a = 1 / sina
54 PENGUKURAN SUDUT
Sudut dapat diukur dalam beberapa cara. Jika sebuah lingkaran dibagi dalam 360 derajat bagian yang sama yang masing-masing sudut terbentuk disebut = 1 derajat masing-masin sudut dibagi dalam 60 bagian yang sama disebut minutes .
- 1 minute ditulis 1’ untuk mencegah pengertian dengan minute waktu maka minute waktu diterjemahkan dalam min of m
- Masing-masing minute dibagi dalam 60 bagian yang sama yang disebut second diluts 1 bukan 1 secong yang terbiasa digunakan dalam 1 sekon waktu.
60 secons = 1 minute 60 = 1’
60 minute = 1 60’ = 1
90 = 1 sudut siku-siku
Dalam sebuah circular measure
Circumference dari sebuah lingkaran adalah 2n sepanjang jari-jari lingkaran. N adalah ratio dan menggunakan pendekatan 3.1416 kadang kita juga menggunakan 22/7 walaupun itu bukan pendekatan yang bagus sudut yang dibentuk dari sebuah panjang busur dengan jari-jari disebut radian itu lah makanya 2nrad terdapat dalam sebuah lingkaran maka :
55 b. Fungsi Trigonometri pada Koordinator
1. Letak dalam kwadran 1 (00 < Q < 900)
56 3. Letak dalam kwadran III (1800 < a < 2700)
4. Letak dalam kwadran IV (2700 < a < 3600)
Rumus – rumus Trigonometri 1. Kwadran I a. Sin (90 – a)0 = cos a b. Cos (90 – a)0 = sin a c. Tg (90 – a)0 = cotg a d. Tg a = sin a / cos a e. Sin2a = cos2 a = 1
57 2. Kwadran II a. Sin (180 – a) = sin a b. Cos (180 – a) = - cos a c. Tg (180 – a) = - tg a d. Sin (90 + a)0 = cos a e. Cos (90 – a)0 = - sin a f. Tg (90 – a) = - cotg a 3. Kwadran III a. Sin (180 + a) = - sin a b. Cos (180 + a) = - cos a c. Tg (180 + a) = cotg a d. Sin (270 - a)0 = - cos a e. Cos (270 – a)0 = - sin a f. Tg (270 – a) = cotg a 4. Kwadran IV a. Sin (360 - a) = - cos a b. Cos (360 - a) = cos a c. Tg (360 - a) = - tg a d. Sin (270 + a) = - cos a e. Cos (270 + a) = sin a f. Tg (270 + a) = - cotg a 5. Sudut-sudut istimewa
Jika G = 300 Jika G = 600 maka :
Sin 300 = ½ sin 600 = ½ V3
Cos 300 = ½ V3 cos 600 = ½
Tg 300 = ½ V3 tg 600 = V3
58 BUKTI
59
DAFTAR NILAI TRIGONOMETRI UNTU (SATU) PERIODE DALAM SUDUT ISTIMEWA
Cara menghitung nilai trihonometri jika a > 3600 adalah sebagai berikut :
Sin (360 – a) = sin a Cos (360 – a) = cos a Tg (360 – a) = tg a Cotg (360 – a) = cotg a Contoh a = 9600 A = 9600 2x 3600 + 2400 maka
Sin 9600 = sin (2 x 3600) + (2400 + 2400) = sin 2400
Sin 2400 = sin (1800 + 600)
= sin 600 = ½ V3
Cos 9600 = cos (2x3600 +2400) = cos 2400
Cos 2400 = cos (1800 + 600 ) = cos 600 = ½
Tg 9600 = tg (2x3600 + 2400) = tg 2400
Tg 2400 = tg (1800 + 600) = tg 600 = V3
60
VI. SUDUT NEGATIF DAN GRAFIK FUNGSI
A. Sudut Negatif di ukur
B. Grafik fungsi Trigonometri
Untuk menggambar grafik trigonometri penggunaan sistim coordinator sebagai berikut : absisi titik-titik dari grafik menyatakan besarnya sudut sedangkan ordinatnya merupakan harga fungsi :
1. Y = sin x
61 2. Y = cos x
62 LATIHAN !
1. Cari nilai dari
COS 4900
Sin 6000 Tg 8550
2. Cari nilai dari Sin – 1350 Cos – 4950
3. Sudut-sudut alas segitiga sama kaki = 450 hitung : a. Tinggi
b. Alasnya c. Luasnya
63
DENSITY AND SPECIFIK GRAVITY
DENSITY s the mass per unit volume : lbs/ft3+ kg/dm3+ kg/m3
SPECIFIC GRAVITY is the ration of the mass of a unit volume of a substance to the mass of the same volume of water at standart temeperatur, usually, 40c
Density of a Subtance
S.G = Density of Water
BIRITISH SYSTEM
S.G = Density of Subtance S.G = Density of Subtance
Density of Water Density of Water
S.G = 36.2 lbs/ft3 S.G = 0.58.lbs/ft3
62.4 lbs/ft3 62.4 lbs/ft3
S.G = 0.52 S.G = 0.58
Notice that in the S.I System the density and specific gravity of a substance are the same in numerical value with the spesifik gravity having no units.
Although kg/m3 is the base unit of measurement for density the following unit are sometime used : Desinty of Liquid kg/dm3
Density of passport kg/dm3
To convert from one unitto the other in the S.I. System study the following : 1 kg/dm3 = 1.000 kg/m3
0,0001 kg /dm3 = 1kg/m3
When calculating the specific gravity of a liquid the density of a substance is compared to that of water. However, when calculating the specific gravity of a vapor the density of the vapor is compared to that of air (air = 1.0)
Density of water = 1.0 kg/dm3 or 1.000 kg/m3 Density of air = 1.0 kg/dm3
68 SOAL :
1. Sebatang bamboo yang panjangnya 6 m tersandar pada tembok rumah sedemikian, sehingga membentuk sudut 600 dengan tanah :
Hitunglah :
a. Tinggi Ujung atas bambu
b. Jarak ujung bawah bambu dan tembok
2. Suatu kapal berlayar sejauh 24 km kejurusan 2400 kemudian 56 km dengan jurusan 2100. Berapa jarak selatan dan jarak barat kapal itu titik keberangkatannya
