Bab II Fungsi Linear 13

Dalil : Grafik dari fungsi-fungsi linear (linear artinya pangkat satu atau straight) adalah suatu garis lurus.

2.1.

GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0)

Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak pada garis g.

Titik Q juga terletak pada garis g.

Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik O (0,0)



y = mx

Bukti : Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’ QQ’ : PP’ = Q’O : P’O

y : b = x : a

ay = bx

y =

x

a

b

; jika

m

a

b



y = mx (terbukti)

2.2.

BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0) dan titik B(0,b) Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO

Buktikan bahwa persamaan umum garis lurus adalah

y =

x

a

b

+b

Bukti

BO : PP’ = AO : AP’

b : y = -a : (-a + x)

-ay = b (-a + x) -ay = -ab : bx

y =

x

a

b



+b (terbukti)

atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b)

Sb. Y

Sb. X g

Q(x,y)

P(a,b)

Q’

P’

y b

a x

Sb. Y

Sb. X

l

x y

B(0,b)

A(-a,0)

2.3.

SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUS

Sesuai dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus. Misalkan fungsi linear itu y = ax + b Titik A, B dan C terletak pada grafik y =ax+b

A (x1, y1) terletak pada grafik



y1 = ax1 + b

B (x2, y2) terletak pada grafik



y2 = ax2 + b -

y1 - y2 = a(x1 –x2).... (i)

A (x1, y1) terletak pada grafik



y1 = ax1 + b

B (x2, y2) terletak pada grafik



y3 = ax3 + b -

y1 – y3 = a(x1 –x3)... (ii)

 

 

1_{1 3}2

a





x

₁1

x

₃2





x

x

a

y

y

y

y

ii

i

















3 1

2 1

3 1

2 1

x

x

x

x

y

y

y

y











tg



= tg





=





titik A, B, C terletak pada satu garis lurus.

Sehingga pengertian dari (2.1.) sampai dengan (2.3.) dapatlah disimpulkan sebagai berikut ;

1. Persamaan garis lurus melalui pusat y = mx dimana m = tg



dengan m merupakan koefisien arah / gradien / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis.

2. Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b dengan m = tg



dan garis ini melalui titik (0,b). tg



adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.

3. Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit ax + by + c = 0

b c ax

y 

c

x

b

a

y







, Sehingga m =

b

a





tg



=

b

a



0

A(x1,y1)

C(x3,y3)

B(x2,y2)



y1

x1

x2

y2

y3

x3

 Sb. Y

Sb. X

Syarat Bahwa

(x

1

,y

1

), (x

2

,y

2

) dan

(x

3

,y

3

)

terletak pada sebuah garis lurus

'

'

'

'

AC

CC

AB

BB

Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif

Perhatikan segitiga OBP







90





sin











sin

b

r

o













sin



cos

b

r















sin

cos

b

r

persamaan garis kutub atau

persamaan garis polar

2.4.

PERSAMAAN GARIS MELAUI TITIK P(

x

1

,

y

1

), DENGAN GRADIEN

m

Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n Titik P(x1,y1) dilalui oleh garis y = mx + n ... (i)



y1 = mx1 + n ...(ii)

y = mx + n

y1 = mx1 + n

y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis lurus melalui titik P(x1,y1) dengan gradien m

2.5.

PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK

Persamaan melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

Persamaan garis lurus



y = mx + n

Persamaan garis melalui A(x1,y1)



y – y1 = m(x – x1) ...(i)

Titik B(x2,y2) terletak pada garis y – y1 = m(x – x1)



y2 – y1 = m(x2 – x1) ...(ii) Sb. X

Sb. Y

P(x,y)





(



+ 90o) y

x A

Q BQ

 

Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)

1

persamaan garis melalui P(a,0) dan Q(0,b)

2.7. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)

Tarik garis melalui titik O



garis g



OP

Karena OP



g, disebut persamaan garis normal, Kita misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif =



Perhatikan segitiga OPB, siku-siku di P

Maka





sin

sin

b

n

b

n

_

_



...(i)

Perhatikan OPA, siku-siku di P





cos

cos

a

n

a

n







...(ii)

Karena garis g memotong ABX di titik A(a,0) dan B(o,b),

maka persamaan garis g adalah





1

b

y

a

x

...(iii)

(i) dan (ii) substitusikan ke (iii)

1

sin

cos









n

y

n

x

x cos



+ y sin



= n (n positif)

x cos



+ y sin



- n = 0

Catatan :

1. Karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g) maka suku ke-3 selalu negatif 2. Koefisien x = cos



Koefisien y = sin





mengingat kedua syarat di atas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat dirubah ke

persamaan normal Hesse

Contoh 5:

Rubahlah persamaan -3x – 4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse

Penyelesaian :

-3x – 4y + 10 = 0 3x + 4y - 10 = 0

_{2 0}

5 4 5

3 _{  }

y x

x n

1

sin

cos

_

_

n

y

n

x





cos

2

+ sin

2



= 1

x (-1)

Cos

5

3





Cos





0

,

6

Cos



= Cos 36,87o



= 36,87o

2.8.

HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS)

1. Garis yang Berpotongan

Garis l1



a1x + b1y + c1 = 0 ( dikalikan dengan b2)

Garis l2



a2x + b2y + c2 = 0 (dikalikan dengan b1)

a1b2x + b1b2y + b2c1 = 0

a2 b1x + b1b2y + b1c2 = 0 -

(a1b2 - a2 b1)x + (b2c1 - b1c2) = 0

x =

1 2 2 1

1 2 2 1

b a b a

c b c b

 

Garis l1



a1x + b1y + c1 = 0 (dikalikan dengan a2) Garis l2



a2x + b2y + c2 = 0 (dikalikan dengan a1)

a1a2x + a2b1y + a2c1 = 0

a1a2x + a1b2y + a1c2 = 0 -

(a2b1 - a1b2)y + (a2c1 - a1c2) = 0

2 1 1 2

2 1 1 2

b a b a

c a c a y

  

Kemungkinan-kemungkinan :

a. Jika a1b2 - a2 b1



0, berarti harga x, setiap ada harga x pasti ada harga y.

(x,y) disebut titik perpotongan l1 dan l2.



Syarat : a1b2 - a2 b1



0

a1b2



a2 b1

2 1 2 1

b b a

a _

Syarat 2 garis bepotongan

Sin



=

5

4

Sin



= 0,8 Sin



= Sin 49,4o



= 49,4o

b. Jika a1b2 - a2 b1 = 0, berarti



2. Garis yang Sejajar

Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0

3. Garis Berhimpit

Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0

2.9.

SUDUT ANTARA DUA GARIS

Jika l1



y = m1x + b1

l2



y = m2x + b2

Sudut perpotongan =



tg



= tg



1





2

Kemungkinan-kemungkinannya ;

Maka

2 2

b

a

c

d





2 2

b

a

c

d





jarak titik ke garis

2.11. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Diketahui : l1



a1x + b1y + c1 = 0

l₂



a2x + b2y + c2 = 0

Ditanya : jarak l1 dan l2

Penyelesaian:

2 2

1 1

b a

c d

 

2 2

2 2

b a

c d

 

d = d2 – d1

2 2

1 2

b a

c c d

 

 Jarak antara dua garis sejajar

2.12. JARAK DARI TITIK

P(x

1

,y

1

)

KE GARIS

Ax + By + C = 0

Ambil garis l1



y = mx + b melalui titik P(x1,y1)

Ditanya : jarak titik P(x1,y1) ke garis

l2



ax + by + c = 0

Penyelesaian:

l1



y = mx + b

m l1 = m Koefisien garis l2

l2



ax + by + c = 0

m l2 =

b a

 d

d2

d1

l1 l2

Sb. X

Sb. Y

0

d

)

x1

y1

P(x1,y1)

l1 l2

Q(x,y)

Sb. X

Persamaan garis l1 // l2 dengan koefisien m

2.13. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA

l1



a1x + b1y + c1 = 0

l2



a2x + b2y + c2 = 0

l3



a3x + b3y + c3 = 0

Jika l1 memotong l2 di titik P, maka akan diperoleh koordinat titik

P_

Catatan : Untuk mudah diingat

x (

a₁b₂a₂b₁

)

(+)

2.14.

BERKAS GARIS

Berkas suatu garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan.

Jika g1 (P) = 0 dan g2 (P) = 0 Maka diperoleh persamaan

1



g1 +



₂g2 = 0

g1 +

1 2





g2 = 0

Misalkan 1 2





=



(sebarang konstanta)

Maka diperoleh : g1 +



g2 = 0 persamaan berkas garis-garis

Contoh 6:

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan melalui titik potong garis-garis x + y – 4 = 0 dan 2x – 3y + 6 = 0

Penyelesaian:

Berkas garis : g1 +



g2 = 0

(2x – 3y + 6) +



(x + y – 4) = 0 ...(i) Karena garis yang diminta itu melalui O (0,0) maka ;



203060

 





004



0

6

4









2 1 1



 ...(ii)

Subs. (ii)



(i)



Persamaan garis yang dimaksud adalah

(2x – 3y + 6) + 2 1

1 (x + y – 4) = 0

0 2 1 1 2 1

3 x y , atau y x 2 1 2



:



₁

p

g

1

g

2

2. Tentukan persamaan garis yaqng melalui titik potong garis-garis 3x – 4y + 5 = 0 dan 5x + y = 7 serta sejajar dengan garis y = x + 5 !

Penyelesaian :

g1 +



g2 = 0

Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong l1 dan l2 serta tegak lurus l3 !

Penyelesaian :

l4



l1 +



l2 = 0

2.15. LATIHAN II :

1. Diketahui



ABC dengan A(1,1), B(5,4) dan C(3,6)

a. Hitunglah luas



ABC !

b. Hitunglah garis-garis tinggi dari titik A, B, dan C ! 2. Tentukan persamaan :

a. Garis melalui titik (-4,0) dan (0,-3) !

b. Garis yang memotong sumbu x negatif 5 cm (titik A) dan memotong sumbu Y positif di titik B hingga OB = 5 cm!

c. Garis melalui titik (-4,0) dan memotong sumbu Y positif 5 cm!

3. Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,2), garis tersebut memotong kedua sumbu koordinat sedemikian hingga membentuk sustu segitiga denagn luas 12 satuan luas!

4. Suatu garis memotong sumbu X dan sumbu Y, titik P(2,3) terletak di tengah dari segmen garis yang menghubungkan kedua titik potong di atas. Tentukanlah persamaan garis lurus tersebut !

5. Tentukan persamaan garis yang melalui A(1,3) dan a. Bersudut 135o dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 ! b. Tegak lurus pada garis 2x + 3y + 1 = 0 ! c. Sejajar dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 ! 6. Tentukan Jarak ;

a. Titik A(2,1) ke garis 2y = x – 4 !

b. Titik asal ke garis x + 2y

2

= 5 !

7. Sebuah garis melalui titik A(4,0) dan memotong sumbu Y positif di titik B, sedemikian hingga AB = 5cm; a. Tentukanlah persamaan garis itu dengan rumus segmen garis !

b. Dari persamaan yang didapat itu, tentukanlah persamaan normalnya !

8. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan titik positif garis-garis y = x dan 3x + 5y = 15 ! 9. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis : 2x – 3y + 6 = 0 dan

3x – 2y = 0 serta tegak lurus pada garis 4x – 3y = 12 !

10. Dari segitiga ABC dengan titik sudutnya A(3,0), B(6,2), dan C(2,4). Tentukanlah : a. Panjang garis-garis tingginya !