4. Vektor dan Moduli
Sebarang bilangan kompleks tak nol, z=x+iy , dapat dikaitkan dengan suatu segmen garis berarah, atau vektor, dari titik asal ke titik (x , y) yang merepresentasikan z dalam bidang kompleks. Sebenarnya, kita sering menyebut z sebagai titik z atau vektor z . Dalam Figure 2, bilangan z=x+iy dan −2+1 secara grafis dapat dinyatakan sebagai titik dan vektor pada bidang kompleks.
Berdasarkan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks z1=x1+i y1 dan z2=x2+iy2 , bilangan z1+z2=
(
x1+x2)
+i(
y1+y2)
berkorespondensi dengan titik(
x1+x2, y1+y2)
. Oleh karena itu, z1+z2 dapat disajikan dengan vektor seperti gambar di bawah ini.Meskipun hasil kali dari dua bilangan kompleks z1 dan z2 merupakan bilangan kompleks yang dapat digambarkan dengan vektor, vektor tersebut terletak di bidang yang sama dengan vektor z1 dan z2 . Sehingga jelas bahwa hasil kali tersebut bukanlah skalar atau hasil kali vektor yang digunakan dalam analisi vektor biasa.
Interpretasi vektor dari bilangan kompleks sangat membantu dalam perluasan konsep nilai absolut dari bilangan real ke bidang kompleks. Modulus atau nilai absolut dari bilangan kompleks z=x+iy didefinisikan sebagai bilangan real non-negatif
√
x2+y2 dan dinotasikan oleh |z| , (1)|z|=√
x2+y2 .Secara geometri, modulus |z| merupakan jarak antar titik (x , y) ke titik asal atau panjang dari radius vektor yang merepresentasikan z . Ini mengurangi resiko nilai absolut dalam sistem bilangan real ketika y=0 . Catat bahwa pertidaksamaan z1<z2 tidak memiliki arti kecuali z1 dan z2 merupakan bilangan real, sedangkan
|
z1|
<|
z2|
berarti bahwa titik z1 lebih dekat ke titik asal dibandingkan titik z2 . CONTOH 1 . Titik −3+2i lebih dekat ke titik asal dibandingkan 1+4i karena |−3+2i|=√
13<|1+4i|=√
17 .Jarak antara dua titik
(
x1, y1)
dan(
x2, y2)
adalah|
z1−z2|
. Ini jelas berdasarkan Figure 4, dengan|
z1−z2|
merupakan panjang dari vektor yang merepresentasikan bilanganz1−z2=z1+
(
−z2)
;dan berdasarkan radius vektor z1−z2 , dapat diinterpretasikan z1−z2 sebagai segmen garis berarah dari titik
(
x2, y2)
ke titik(
x1, y1)
. Juga dapat dituliskan sebagai berikutz1−z2=
(
x1−x2)
+i(
y1−y2)
serta dalam definisi (1)
|
z1−z2|
=√ (x1−x2)2+(y1−y2)2 .
Selain berkaitan dengan vektor, bilangan kompleks z juga berhubungan dengan titik yang berada pada lingkaran dengan pusat z0 dan jari-jari R yang memenuhi persamaan
|
z−z0|
=R .CONTOH 2. Persamaan |z−1+3i|=2 merepresentasikan suatu lingkaran yang berpusat di z0=1−3i atau (1,−3) dan berjari-jari R=2 .
Ini juga mengikuti dari definisi (1) bahwa bilangan real |z| , Re z=x , dan Im z=y sesuai dengan persamaan
(2)|z|2=(ℜz)2+(ℑz)2 . sehingga
(3)ℜz ≤|ℜz|≤|z| dan ℑz ≤|ℑz|≤|z| .
Beralih ke ketaksamaan segitiga yang berkaitan dengan batas atas dari modulus dari jumlah dua bilangan kompleks z1 dan z2 :
(4)
|
z1+z2|
≤|
z1|
+|
z2|
.Pertidaksaman penting ini terbukti secara geometri pada Figure 3, karena terdapat panjang satu sisi segitiga yang kurang dari atau sama dengan jumlah dari panjang dua sisi lainnya. Dapat dilihat juga dari Figure 3 bahwa pertidaksamaan (4) sebenarnya sebuah persamaan ketika 0 , z1 , dan z2 collinear. Penurunan aljabar yang lebih ketat lainnya berada pada Exercise 15, Sec. 5.
Konsekuensi langsung dari ketaksamaan segitiga adalah fakta bahwa (5)
|
z1+z2|
≥| |
z1−z2| |
.untuk mendapatkan pertidaksamaan (5) , dapat dituliskan
|
z1|
=| (
z1+z2)
+(
−z2) |
≤|
z1+z2|
+|
−z2|
,yang berarti bahwa (6)
|
z1+z2|
≥|
z1|
−|
z2|
.Ini merupakan pertidaksamaan (5) ketika
|
z1|
≥|
z2|
. Jika|
z1|
<|
z2|
, perlu menukar z1 dan z2 dalam pertidaksamaan (6) untuk mendapatkan|
z1+z2|
≥−( |
z1|
−|
z2| )
,yang merupakan hasil yang diinginkan. Pertidaksamaan (5) mengatakan bahwa panjang suatu sisi segitiga lebih dari atau sama dengan selisih panjang kedua sisi lainnya.
Karena
|
−z2|
=|
z2|
, dapat digantikan z2 dengan −z2 dalam pertidaksamaan (4) dan (5) ke ringkasan hasil dalam bentuk:(7)
|
z1± z2|
≤|
z1|
+|
z2|
,(8)
|
z1+z2|
≥| |
z1|
−|
z2| |
.Ketika dikombinasikan, pertidaksamaan (7) dan (8) menjadi (9)
| |
z1|
−|
z2| |
≤|
z1± z2|
≤|
z1|
+|
z2|
.CONTOH 3. Jika sebuah titik z terletak pada lingkaran satuan |z|=1 di titik asalnya, berdasarkan pertidaksamaan (7) dan (8)
|z−2|≤|z|+2=3 dan
|z−2|≥
|
|z|+2|
=1 .Pertidaksamaan segitiga (4) dapat digeneralisasikan menggunakan induksi matematika untuk penjumlahan yang melibatkan jumlah terbatas bilangan atau suku:
(10)
|
z1+z2+⋯+zn|
≤|
z1|
+|
z2|
+⋯+|
zn|
(n=2,3,…) .Untuk lebih detailnya terkait pembuktian induksi di sini, catat bahwa ketika n=2 , pertidaksamaan (10) merupakan pertidaksamaan (4) . Lebih lanjut, jika pertidaksamaan (10) diasumsikan valid ketika n=m , itu juga harus berlaku ketika
n=m+1 , berdasarkan pertidaksamaan (4) ,
| (
z1+z2+⋯+zm)
+zm+1|
≤|
z1+z2+⋯+zm|
+|
zm+1|
≤(
z1+z2+⋯+zm)
+|
zm+1|
