• Tidak ada hasil yang ditemukan

Vektor.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Vektor."

Copied!
41
0
0

Teks penuh

(1)
(2)

Definisi Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah

Besar vektor artinya panjang vektor

Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif

Vektor disajikan dalam bentuk ruas garis berarah

(3)

A

B

ditulis vektor AB atau u

A disebut titik pangkal

B disebut titik ujung

u

[image:3.720.76.637.59.475.2]

45 X

(4)

Notasi Penulisan Vektor

 Bentuk vektor kolom:

      

4 3 u

  

 

  

 

 

0 2 1

PQ

atau

 Bentuk vektor baris:

3, 4

AB  atau v 

 2, 3, 0

 Vektor ditulis dengan notasi:

i, j dan k

(5)

VEKTOR DI R

2

Vektor di R2 adalah

vektor yang terletak di satu Bidang Atau

(6)

VEKTOR DI R

2

OA

PA

OP  

OA OQ

OP  

O i P

j

X

A(x,y) Y

OP = xi; OQ= yj Jadi

OA =xi + yj

atau

a = xi + yj

a

x y

i vektor satuan searah sumbu X

j vektor satuan searah sumbu Y

(7)

Vektor di R

3

Vektor di R3

adalah

Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga

atau

Vektor yang mempunyai tiga komponen

(8)

Misalkan koordinat titik T di R3

adalah (x, y, z) maka OP = x

i

;

OQ = y

j

dan OS = z

k

X

Y Z

T(x,y,z)

O

xi

yj zk

P

Q

(9)

X

Y Z

T(x,y,z)

O

t

P

Q

R(x,y) S

xi

yj zk

OP + PR = OR atau OP + OQ = OR

OR + RT = OT atau

OP + OQ + OS = OT

Jadi

OT = x

i

+ y

j

+ z

k

(10)

Panjang vektor

(11)

Di R2, panjang vektor: 

  

  

2 1

a a a

atau a = a1

i

+ a2

j

Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

2 2 2

1

a

a

(12)

Di R3 , panjang vektor:

2 2

2

y

x

z

v

          

z y x

v

atau

v

= x

i

+ y

j

+ zk
(13)

Contoh:

1. Panjang vektor: 

     

4 3 a

adalah a  32  42 = 25 = 5

2. Panjang vektor: v  2i  j - 2k

adalah v  22 12  (2)2

(14)

Vektor Satuan

(15)

Vektor satuan searah

sumbu X,

sumbu Y

, dan

sumbu Z

berturut-turut

adalah vektor

i , j dan k

(16)

ALJABAR VEKTOR

Kesamaan vektor

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor

(17)

Kesamaan Vektor

Misalkan:

a = a1i + a2j + a3k dan

b = b1i + b2j + b3k

Jika: a = b , maka a1 = b1

a2 = b2 dan

(18)

Kesamaan Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.

Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka

|u| = |v|

arah u = arah v

a=c dan b=d

(19)

19

a b

Dua vektor sama, a = b

a b

Dua Vektor mempunyai besar

sama, arah berbeda

a b

Dua vektor arah sama, besaran

beda

a

(20)

Contoh

Diketahui:

a = i + xj - 3k dan

b = (x – y)i - 2j - 3k

(21)

Jawab:

a = i + xj - 3k dan

b = (x – y)i - 2j - 3k

a = b

1 = x - y

x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y;  y = -3

(22)

Penjumlahan Vektor

              3 3 2 2 1 1 c b a b a b a a a a a 3 2 1            b b b b 3 2 1            Misalkan: dan
(23)

Contoh

1 -2p -3 a            3 6 p b            2 4q 5 -c            Diketahui:

Jika a + b = c , maka pq =....

(24)

                           2 4 5 3 ) 1 ( 6 2 3 q p p jawab: a + b = c

(25)

                          2 4 5 3 ) 1 ( 6 2 3 q p p

3 + p = -5 p = -8 -2p + 6 = 4q

16 + 6 = 4q

22 = 4q  q = 5½;

Jadi p – q = -8 – 5½

(26)

Pengurangan Vektor

Jika: a - b = c , maka

c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3

-b3)k

Misalkan:

a = a1i + a2j + a3k

dan

(27)

X Y

O

A(4,1) B(2,4)

a b

Perhatikan gambar:

   

 

3 2

-vektor posisi:

titik A(4,1) adalah:

      

1 4 a

titik B(2,4) adalah: 

     

4 2 b

(28)

Jadi secara umum: ABba                 1 4 4 2 a b       3 2 -       1 4 a        4 2 b       3 2 -AB

(29)

Contoh 1

                                 2 3 2 2 5 3 -4 2 1

Jawab:

Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB

a b

AB  

(30)

Contoh 2

Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2).

(31)

Jawab:

P(1,2,-2)

Q(-1,3,0)

PQ = q – p =

(32)

  

 

  

 

  

2 1 2

PQ

2 2

2

) 2 (

) 1 (

2

PQ     

3 9

PQ

(33)

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real                       3 2 1 3 2 1 . . . c a m a m a m a a a m a a a a 3 2 1            Misalkan:

Jika: c =

m

.a, maka

dan

(34)

Contoh

                                  4 1 2 3 2 6 1 2 3 2 1 x x x Diketahui:

Vektor x yang memenuhi

a – 2x = 3b adalah....

(35)

                                   4 1 2 3 2 6 1 2 3 2 1 x x x                                   12 3 6 2 2 2 6 1 2 3 2 1 x x x

2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2

-1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1

6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3

(36)

Elemen Identitas

Vektor nol ditulis 0

Vektor nol disebut elemen identitas

u + 0 = 0 + u = u

Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka

u adalah invers aditif u yang didefinisikan

sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.

u u = u + (-u) = 0

(37)

Sifat-Sifat Operasi Vektor

• Komutatif  a + b = b + a

• Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)

• Elemen identitas terhadap penjumlahan

• Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor

• Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

• 1u = u

0u = 0, m0 = 0.

• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

(38)

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)

• (mn)u = m(nu)

• |mu| = |m||u|

• (-mu) = - (mu) = m (-u)

• Distributif : (m+n)u = mu + nu

• Distributif : m(u+v) = mu + mv

u+(-1)u = u + (-u) = 0

(39)

Dot Product (Inner Product)

• Perkalian titik (dot product) ab (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

39

cos

|

||

|

a

b

b

a

 Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],

maka :

2 1 2

1 2

1

a

b

b

c

c

a

b

a

ab > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}  ab = 0 jika {γ| γ = 90o}

(40)

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot

Product

• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

40

b

b

a

a

b

a

b

a

b

a

|

||

|

(41)

Contoh Perkalian Dot Product

• a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]

• Hitung sudut antara dua vektor tsb

Gambar

Gambar Vektor

Referensi

Garis besar

Dokumen terkait

Melalui sistem ini memberi kelebihan kepada rakyat bebas bersuara mengikut saluran yang betul. Seterusnya menjamin keadilan kepada rakyat untuk memilih wakil di peringkat

[r]

Kode Etik IAI dimaksudkan sebagai panduan dan aturan bagi seluruh anggota IAI, baik yang berpraktik sebagai akuntan publik, bekerja di lingkungan dunia usaha, pada instansi

Teori belajar based on mechanical and model' sering digunakan dalam pendidikan anak di sekolah, sementara itu hari belajar based on an arganistic model digunakan

Spesifikasi tujuan ini membawa konsekuensi pada penambahan materi ajaran Islam. Dalam pelaksanaan dan pengembangan materi ini diarahkan untuk memberikan keseimbangan pengetahuan

Menurut Geertz dalam teorinya mengenai pertanian di Jawa pada masa pra kolonial dibagi menjadi empat tingkat daerah kesuburan, wilayah kesuburan pada tingkat pertama adalah

Penyusunan program pelayanan dalam bidang bimbingan pribadi-sosial, bimbingan berlajar, bimbingan karir, serta semua jenis layanan, termasuk kegiatan pendukung yang dihargai sebanyak

 Merupakan penimbunan dari hormon somatotrof dalam tubuh.  Hormon ini dihasilkan selama masa pertumbuhan sampai dengan masa pubertas, setelah melewati mas pubertas,