D E F I N I S I
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah.
Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .
B
Contoh : Vektor AB . A
Titik A disebut titik pangkal dan titik B dinamakan titik ujung atau titik tangkap vektor.
A . BEBERAPA VEKTOR KHUSUS
1. Vektor Nol : adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu.
2. Vektor Posisi
Vektor posisi titik A adalah vektor yang titik pangkalnya di O dan ujungnya di titik A. Vektor posisi dari titik A dilambangkan dengan OA atau a atau a.
Sembarang vektor AB dapat dinyatakan dalam
bentuk hasil pengurangan dari vektor posisi sbb:
AB ba
3. Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.
Vektor basis yang searah dengan sumbu x dinamakan vektor i atau vektor i.
Vektor basis yang searah dengan sumbu y dinamakan vektor j atau vektor j.
Vektor basis yang searah dengan sumbu z dinamakan vektor k atau vektor k.
O
A
x
y
O
A
x
y
B
x
Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sbb : 1. Vektor kolom ( matriks kolom )
Jika A(xA,yA,zA) dan B(xB,yB,zB) maka
A A A
z y x a
OA dan
B B B
z y x b
OB ,
sehingga :
A B
A B
A B
z z
y y
x x
a b AB
2. Vektor baris ( matriks baris )
Jika A(xA,yA,zA) dan B(xB,yB,zB) maka OA a
xA yA zA
dan
xB yB zB
b
OB , sehingga :AB ba
xB xA yB yA zB zA
3. Vektor basis
Jika A(xA,yA,zA) dan B(xB,yB,zB) maka OA a xA i yA j zA k dan k
z j y i x b
OB B B B , sehingga :
k z z j y y i x x a b
AB ( B A) ( B A) ( B A)
Diketahui titik-titik A(10,3,7) , B(6,2,5) dan C(8,4,1) 1 . Nyatakan vektor OA a dengan vektor kolom.
2 . Nyatakan vektor BC dengan vektor baris. 3 . Nyatakan vektor AB dengan vektor basis.
1 . Vektor OA a dinyatakan dengan vektor kolom :
7 3 10
a OA
2 . Vektor BC dinyatakan dengan vektor baris : BC cb ( 8 4 1 ) ( 6 2 5 ) = ( 14 6 4 )
3 . Vektor AB dinyatakan dengan vektor basis : AB ba (6i 2j 5k) (10i 3j 7k)
= 4 i 5j 2k
B . MODULUS VEKTOR ( PANJANG VEKTOR )
Jika A(xA,yA,zA) dan B(xB,yB,zB) maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :
a xA2 yA2 zA2
Dan panjang vektor AB adalah :
AB (xB xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2
1 . Hitunglah panjang vektor r14i 2j 5k !
2 . Jika A(10,8,4) dan B(2,3,1) hitunglah panjang vektor AB !
1 . Panjang vektor r14i 2j 5k adalah : r 142 22 (5)2
25 4 169
15 225
2 . Jika A(10,8,4) dan B(2,3,1) panjang vektor AB adalah :
2 2
2 (3 8) ( 1 4) )
) 10 ( 2
(
AB
= 82 (5)2(5)2 = 642525= 114
1. Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :
a. 6 i 2j 3k d.
4 0 3
e.
10 4 8
b. 4 i 4 j 2k c. 7 i 5j 5k
2. Diketahui titik : A ( 1 , 3 , 6 ) , B ( 12 , 2 , 7 ) dan C ( 5 , 4 , 8 ) . Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :
a. OC b. AB c. AC d. CB
3. Diketahui titik D ( 3 , 6 , 1 ) dan E ( m , 4 , 2 ) .
C . PEMBAGIAN RUAS GARIS
Tentukan koordinat titik P !Koordinat P dapat ditentukan sbb :
1. Tentukan koordinat titik P jika diketahui : a. A ( 3 , 2 , 4 ) , B ( 6 , 5 , 10 ) , dan AP : PB = 2 : 1 b. R ( 8 , 3 , 1 ) , S ( 1 , 9 , 2 ) , dan RP : PS = 4 : 2 c. K ( 4 , 1 , 3 ) , L ( 4 , 2 , 1 ) , dan KP : PL = 3 : 5 d. M ( 7 , 11 , 5 ) , N ( -2 , 5 , 8 ) , dan MP : PN = 4 : 3 e. C ( 1 , 5 , 3 ) , D ( 2 , 1 , 1 ) , dan CP : PD = 6 : 3
2. Titik A ( 6 , 5 , 4 ) dan B ( 5 , 3 , 4 ) . Titik P terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga AP : PB = 1 : 3 . Tentukan koordinat titik B !
D . OPERASI VEKTOR
1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil
Diketahui vektor a dan k R .
Secara geometris vektor k a adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya searah dengan vektor a .
Secara aljabar , jika
A A A
z y x
a maka :
A A A
A A A
z k
y k
x k
z y x k a k
1 . Jika
12 3 7
a maka
72 18 42
12 6
3 6
) 7 ( 6
12 3 7
6 6a
2 . Jika b 8 i 4j 2k , maka 2b 2(8 i 4j 2k ) 16 i 8j 4k
2. Penjumlahan Vektor
Diketahui vektor a dan b .
Secara geometris vektor a dan b dapat dijumlahkan dengan cara sbb :
Dengan aturan jajaran genjang . Dengan aturan segitiga
Contoh : Contoh :
Jika
A A A
z y x
a dan
B B B
z y x
3. Pengurangan Vektor
Diketahui vektor a dan b . Pengurangan vektora b dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan vektor a + ( b ) , dengan vektor b adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor b dan arahnya berlawanan dengan vektor b .
1. Diketahui titik A ( 24 , 18 , 12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 , 5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ). Hitunglah :
a. AD CB b. BA 10 AC
c. BD 6 DA 4AB d. 8AD DB OB
e. CA7AD 3AO
f. DA DB
g. 2AC 3CB
h. 5 OA2CD 9AD
2. Diketahui a 50i 12 j k , b 36 i 18 j 40k , dan
k j
i
c 25 10 16
Hitunglah : a. c a 2b b. b 8a 3c
c. 4b 6c
3. Diketahui :
11 9 7
r ,
5 8 13
s , dan
40 12 16
t , hitunglah :
a. t r b. s 8t 9r
4. Diketahui titik H ( m , 6 , 2 ) , I ( 12 , n , 10 ) , dan J ( 3 , -4 , r ). Jika HI 4JH 6JI , hitunglah m , n , dan r !
E . PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Definisi
: Perkalian skalar antara vektor a dan b adalah a b , dengan :a b a b cos
Dengan adalah sudut antara vektor a dan b .
Jika
A A A
z y x
a dan
B B B
z y x
b , maka : a b xA.xB yA.yB zA.zB
Sifat-sifat perkalian skalar
1. a b b a
2. a ( b c ) a b a c
3. a a a 2
1. Diketahui a 5 dan b 12, sudut antara vektor a dan b adalah 60 , hitunglah
dapat ditentukan sebagai berikut : 0 Hitunglah :
a. AB CD
b. (DB AB )(BC AD )
c. (8BD 3BA )(2DA5DC ) d AC (5BA CA) 5. Tentukan nilai m jika vektor-vektor berikut saling tegaklurus :
a. h 2mi 8 j 7k dan g 5i 3m j 2k b. x 2mi 4m j 4k dan q mi 3j 4k
F . SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
kosinus dapat ditentukan sebagai berikut :
G . PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL
Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah ‘bayangan tegak lurus’ dari vektor a pada vektor b.
Ada dua macam proyeksi vektor ortogonal , yaitu :
1. Proyeksi vektor .
Proyeksi vektor ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah vektor ‘bayangan’ nya , yaitu vektor c , dengan :
b b
b a
c
2
2. Proyeksi skalar ortogonal
.
Proyeksi skalar ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah panjang ( modulus ) dari vektor
‘bayangan’ nya , yaitu c , dengan :
b b a
c
Diketahui vektor : a 10i 6 j 3k dan b 4i 8j 6k Tentukan : a . proyeksi vektor a pada vektor b !
b . proyeksi skalar a pada vektor b !
a . Proyeksi vektor a pada b adalah
b b
b a
c
2
(4 8 6 )36 64 16
18 48 40
2 i j k
(4 8 6 ) 116
10
k j
i
) 6 8 4 ( 58
5
k j
i
i j k
58 30 58 40 58 20
k j i
29 15
29 20
29 10
b . Proyeksi skalar a pada b adalah 29
29 5 29 2
10 116
10 36
64 16
18 48 40
1. Diketahui vektor p 4i 7 j 2k dan q 3i 6j 6k , tentukan : a. Proyeksi vektor p pada q b. Proyeksi vektor q pada p
2. Diketahui vektor
6 8 12
k dan
2 4 3
m , tentukan :
a. Proyeksi vektor m pada k b. Proyeksi skalar k pada m
3. Diketahui K ( 14 , 3 , 8 ) , L ( 10 , 1 , 6 ) , M ( 4 , 7 , 0 ) dan N ( 8 , 12 , -6 ). Tentukan : a. Proyeksi vektor KN pada LK
b. Proyeksi skalar LM pada KL
c. Proyeksi vektor MN pada NL d. Proyeksi skalar LM 2MK pada LN
4. Proyeksi skalar a 28i m j 16k pada b 4i 3j 5k sama dengan 2 5 2
.
