Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah

19  288 

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

001

Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh panjang

danarahnya.Duavektor dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.

Vektor digambarkan sebagai ruas garis dari titik pangkal ke titik ujung dengan tanda panah diujung, dan diberi lambang huruf kecil cetak tebal.

Panjang vektor Panjang vektor v adalah jarak dari titik pangkal ke titik

ujungnya, dan ditulis ||v||.

Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan.

Untuksebarangvektor vdiperolehvektor satuan || ||vv yangpanjangnya1.

v titik ujung ||v|| titik

pangkal

v

u

u=v

v

u

u u

v v uπv

z

v3

v=(v1,v2,v3) k

j v2 0 y

v1 (v1,v2,0)

x

1 2 3

v v v

= + +

v i j k

2 2 2

1 2 3

|| ||v = v + +v v

Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah

(0,0,0) dan titik ujungnya (v1,v2,v3), maka v

dina-makan vektor posisi, dan ditulis v = ·v1,v2,v3Ò. Panjang vektorvv1,v2,v3Ò ∫ || ||v = v12+ +v22 v32.

Vektor basis Vektor satuan i=·1,0,0Ò, j=·0,1,0Ò,

dan k=·0,0,1Ò sebagai pembentuk ruang

dinama-kan vektor basis untuk ruang \3. Vektor v dapat

dinyatakan sebagai v = v1i+v2j+v3k.

i

(2)

Vektor di bidang Vektor posisi di bidang adalah v = ·v1,v2Ò, vektor

de-ngan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (v1,v2). Panjang vektor ini adalah

2 2 1 2

|| ||v = v +v . Basis baku di bidang terdiri dari vektor satuan i = ·1,0Ò

dan j = ·0,1Ò. Vektor v = ·v1,v2Ò di bidang ditulis v=v1i+v2j.

Vektor nol Vektor nol adalah vektor dengan titik pangkal berimpit

de-ngan titik ujung, arahnya sebarang. Vektor nol di \3 adalah 0 = ·0,0,0Ò.

Kesamaan dua vektor posisi Vektor uu1,u2,u3Ò=u1i+u2j+u3k dan

vv1,v2,v3Ò=v1i+v2j+v3k sama, ditulis u=v ¤ u1=v1, u2=v2, u3=v3.

Vektor dari ruas garis Jika P dan Q adalah titik di bidang (ruang),

ma-ka vektor dengan titik pangma-kal P dan titik ujung Q ditulis PQJJJG. Jika titik

pangkalnya Q dan titik ujungnya P, maka diperoleh vektor QPJJJG.

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor

u+v

v

v

u

u+v

v

v

u

v

v

u -v u-v

v u-v

v

u

u-v

Perkalian vektor dengan skalar u

Penjumlahan vektor Untuk vektor u dan v dengan titik ujungu ∫ titik

pangkalv, jumlah u dan v (ditulis u+v) adalah vektor dari titik pangkal

u ke titik ujung v. Jumlah dari vektoru= ·u1,u2,u3Òdanvv1,v2,v3Ò ada-lah u+vu1+v1,u2+v2,u3+v3Ò.

Perkalian vektor dengan skalar Hasilkalivektoru dengan skalar c (di-tulis cu) adalah vektor yang searah u jika c > 0, berlawanan arah dengan

u jika c > 0, dan vektor nol jika c = 0. Hasil kali skalar dari uu1,u2,u3Ò

dengan skalar c adalah cucu1,cu2,cu3Ò dan panjangnya |c|||u||.

Pengurangan vektor Selisih dari vektor u dan v (ditulis u-v) adalah vektor u+(-v). Selisih dari vektor uu1,u2,u3Ò dan vv1,v2,v3Òadalah

u-vu1-v1,u2-v2,u3-v3Ò.

-v

3u

(3)

Sifat Vektor Untuk sebarang vektor u, v, w dan skalar a, b berlaku:

¾ u+v = v+u ¾ u+(-u) = 0 ¾ (a+b)u = au+bu ¾ (u+v)+w = u+(v+w) ¾ a(bu) = (ab)u ¾ 1u = u

¾ u+0 = 0+u = u ¾ a(u+v) = au+av ¾ ||au|| = |a|||u||.

Contoh

C

D

Q E B

A

Pada gambar diperlihatkan jajargenjang ABCD

de-ngan diagonal AC dan BD yang berpotongan di E,

P titik-tengah BC, dan Q titik-tengah ED.

Jika AB = u dan AD = v, nyatakan ruas garis

ber-arah AP, AQ, dan CQ dalam vektor u dan v.

¾Dari sifat jajargenjang diperoleh

DC=AB=u, BC=AD=v, CD BA= = -u, dan CB DA= = -v.

¾Karena P titik-tengah BC, maka 1 1

2 2

AP=AB BP+ = +u BC= +u v.

¾Karena Q titik-tengah ED dan E titik potong diagonal AC dan BD, maka

3 4

BQ= BD, sehingga

3 3 3 1 3

4 4

(

)

4( ) 4 4

AQ=AB BQ+ = +u BD= +u BA AD+ = + - + =u u v u+ v.

¾Dengan argumentasi yang sama diperoleh

3 3 3 3 1

4 4

(

)

4( ) 4 4 .

CQ CB BQ= + = - +v BD= - +v BA AD+ = - + - + = -v u v u- v

Contoh Jika u = (1,0,0), v = (1,1,0), w = (1,1,1), dan x = (2,-3,4),

ten-tukan konstanta a, b, dan c agar memenuhi x=au+bv+cw.

Dari x=au+bv+cw diperoleh (2,-3,4)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1), atau

(2,-3,4) = (a+b+c,b+c,c) Berdasarkan kesamaan dua vektor diperoleh

a+b+c = 2, b+c = -3, dan c = 4.

Akibatnya b = -3 - c = -3 - 4 = -7, dan a = 2 - b - c = 2 - (-7) - 4 = 5.

Jadi konstanta a, b, dan c yang memenuhi x=au+bv+cw adalah

a = 5, b = -7, dan c= 4.

(4)

Contoh Jikau=·8,1,-4Ò danv=·6,-2,-3Ò, tentukan panjang vektor u,

v,dan u-2v.

¾Panjang vektor u adalah || ||u = 82+ + -12 ( 4)2= 81 9= .

¾Panjang vektor v adalah || ||v = 22+ - + -( 3)2 ( 6)2= 49 7= .

¾Karena u-2v = ·8,1,-4Ò-2·6,-2,-3Ò = ·8,1,-4Ò-·12,-4,-6Ò=·4, 5,-2Ò,

maka panjang vektor u-2v adalah ||u-2 ||v = - + + =( 4)2 5 22 2 45 3 5.=

60∞ 45∞

v

60∞ 45∞

w

Contoh Pada gambar diperlihatkan sebuah benda dengan berat 200 newton yang

digan-tung dua kawat bersudut 60∞ dan 45∞ dengan

horisontal. Jika semua gaya terletak di dalam satu bidang dan benda dalam keadaan setim-bang, tentukan besarnya gaya tegangan pada setiap kawat.

¾Misalkan gaya tegangan pada kawat kiri adalah vektor u, pada kawat

ka-nan adalahvektor v, dangaya berat benda adalahvektor w. Uraikan gaya

tegangan u dan v atas komponen horisontal dan vertikal.

¾Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah kiri dan

ka-nan harus sama, akibatnya || || cos 60u =|| || cos 45 .v Dari sini diperoleh

1 1

2|| ||u = 2 2 || ||v , sehingga || ||u = 2 || ||v .

¾Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah atas dan

ba-wah harus sama, akibatnya || || sin 60u +|| || sin 45v =|| || 200w = .

¾Selesaikan persamaan ini dengan data soal dan || ||u = 2 || ||v , diperoleh

1 1

2 3◊ 2 || ||v + 2 2 || || 200v = ,

400 400 6 2

6 2 6 2 6 2

|| || - 100

(

6 2

)

103,5

+ +

-= = ◊ = - ª

v newton.

dan

|| ||u = 2 || ||v = 2 100◊

(

6- 2

)

= 200

(

3 1- ª

)

146, 4 newton.

u

(5)

Perkalian titik Hasilkali titik dari vektor u dan v, ditulis u vi , didefini-sikan sebagai berikut.

¾ Untuk vektor di bidang: u vi = ·u u1 2, Ò ·i v v1 2, Ò = u v1 1+u v2 2.

¾ Untuk vektor di ruang : u vi = ·u u u1 2, , 3Ò ·i v v v1 2 3, , Ò =u v1 1+u v2 2+u v3 3.

Sifat Perkalian titik Untuk vektor u, v, w dan skalar c berlaku

¾ u vi = v ui ¾ u v wi( + ) =u v u wi + i ¾ c(u vi ) = ( )cu vi

¾ 0 ui = 0 ¾ u ui =|| ||u 2≥ 0, u ui > ¤ π0 u 0, u ui = ¤ =0 u 0 Kaitan hasilkali titik dengan sudut antara dua vektornya Jika u,vπ0

dan q = sudut terkecil dari u dan v, maka u vi =|| || || || cos .u v q

Kriteria dua vektor saling tegak lurus u v^ ¤u vi = 0.

(Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol)

Dua vektor yang saling tegak lurus dinamakan ortogonal.

u-v

u v

q

Bukti dari sifat u vi =|| || || || cos .u v q

Rumus kosinus dari segitiga pada gambar memberikan

2 2 2

||u v- || =|| ||u +|| ||v -2 || || || || cos .u v q

Dari sifat perkalian titik diperoleh

2

2 2

|| || ( ) ( ) ( ) ( )

|| || || || 2

- = - - = - -

-= - - + = +

-u v u v u v u u v v u v

u u u v v u v v u v u v

i i i

i i i i i

Samakan kedua bentuk dari ||u v- ||2 ini, diperoleh u vi =|| || || || cos .u v q

Contoh Tentukan sudut antara vektor u=·8,4,-1Òdanv=·4,-4,-2Ò.

Jika u,vπ0 dan q= sudut terkecil dari u dan v, maka

|| |||| ||

cosq = uu vi v . Untuk

soal ini, || ||u = 82+ + - =42 ( 1)2 81 9= , || ||v = 42+ - + -( 4)2 ( 2)2= 36 6= ,

dan u vi =8(4) 4( 4) ( 1)( 2) 18+ - + - - = , sehingga 18 1

9 6 3

cosq = = . Akibatnya

sudut antara vektor u dan v adalah q =cos-113 ª 71 .

Ilustrasi Vektor u=·8,-1,-4Ò danv=·1,-4,3Ò saling tegak lurus karena

8, 1, 4 1, 4,3 8 4 12 0

= · - - Ò · - Ò = + - =

(6)

Contoh Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus u=·1,6,4Ò dan

v= ·1,2,2Ò.

¾Misalkan w = ·a,b,cÒ adalah suatu vektor yang tegak lurus u dan v, maka

·a,b,cÒ ∑ ·1,6,4Ò = 0 dan ·a,b,cÒ ∑ ·1,2,2Ò = 0. Dari sini diperoleh persamaan

6 4 0

a+ b+ c = dan a+2b+2c = 0.

¾Selisih duapersamaaninimemberikan 4b+2c= 0,sehingga c = -2b dan

2 2 2 4 2

a = - -b c= - +b b = b.

¾Jadi w = ·a,b,cÒ = ·2b,b,-2bÒ = b·2,1,-2Ò dan || ||w = b2(4 1 4)+ + =3| |b ,

sehingga semua vektor satuan yang tegak lurus u dan v adalah

2,1, 2 1

|| || 3| | 3 2,1, 2

b b · - Ò

= ww = = ± · - Ò

s .

Sudut arah dan kosinus arah

z

v

k

g a b j

0 y

i x

Sudut tak negatif terkecil antara vektor ruang

vπ0 dengan vektor basis i, j, k dinamakan su

-dut arah dari v,dinyatakan dengana,b, dang; di sini a =–(v,i), b =–(v,j), dan g =–(v,j).

Dalam kaitan ini, cos a, cosb, dan cosg

dina-makan kosinus arah dari v.

Jika v = v1i+v2 j+v3k, maka

1

|| |||| || || ||

cosa = v iv ii = vv , cosb = || |||| ||vv ji j = || ||vv2 , dan cosg = || |||| ||v kv ki = || ||vv3

Catatlah bahwa

2

2 2

3

1 2

2 2 2

2 2 2

|| || || || || ||

cos a +cos b +cos g = v + v + v =1

v v v dan vektor

(cosa,cosb,cosg) adalah suatu vektor satuan yang searah dengan v.

Contoh Tentukan sudut arah vektor v= ·2,3,-6Ò.

Karena || ||v = 4 9 36+ + = 7, maka cosa =27, cosb =37, dan cosg = -67,

sehingga sudut arah dari vektor v= ·2,3,-6Ò adalah

(7)

Vektor Proyeksi Proyeksi vektor u pada v adalah vektor 2

Contoh Jikasudutantaratanjakanjalandanhorisontal

adalah 25

, tentukan gaya tegangan tali agar dapat

me-nahan mobil seberat 2 ton dalam keadaan setimbang.

Buatlahsistem koordinat xoy dengan titik asal sebagai

ti-tik pusat massa mobil. Dalam sistem koordinat ini,

W=·0,-2Ò dan T=·-a,atan25∞Ò,a>0.

Gaya tegangan tali untuk menahan mobil dalam keadaan

setimbang adalah panjang proyeksi dari w pada T, yaitu

(8)

Contoh Jika gax+ by+ c = 0, a dan b tak semua 0, tunjukkan vektor

Untuk a dan b tak semua 0, terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi

(9)

Ilustrasi Jika u=·1,6,4Ò dan v= ·1,2,2Ò, maka

Torsi Padagambarkiri diperlihatkan sebuah benda dengan titik tetap O

dan P titik lain pada benda. Di P bekerja gaya F yang memutar benda

terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang (OP,F). Vektor

OP

t = ¥F dinamakan torsi, yangsearah dengansumbu putar dan

besar-nya ||OP|| || || sin ,F q q = –(OP, )F .

Arti geometri perkalian silang Padagambartengah diperlihatkan

sebu-ah jajargenjang yang dibentuk oleh vektor v dan w dengan q = –(v,w).

Arti geometri Perkalian tripel skalar Padagambar kanandiperlihatkan

(10)

n

Q(x,y,z)

P(x1,y1,z1)

1, 1, 1

PQ= · -x x y y z z- - Ò

Persamaan kartesis bidang di ruang Pada gambar

diperlihatkan bidang a yang tegak lurus vektor

tak-nol n = ·a,b,cÒ dan melalui titik P(x1,y1,z1). Jika titik

Q(x,y,z) pada a, maka vektor PQ= · -x x y y z z1, - 1, - Ò1

terletak pada a . Karena PQ ^n, maka PQin =0,

akibatnya a: a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0.

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk ax+by+cz=ax1+by1+cz1=k,

k konstanta. Jadi persamaan bidang a adalah

a: ax+by+cz=d; a, b, dan c tak semua nol.

Vektor yang terletak pada bidang a adalah

(1,1,3) (2, 2, 1) 1,3, 4 Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua vektor normalnya. Di sini

(11)

Tampilan parameter kurva bidang Suatu kurva bidang dapat

ditulis-kan dalam persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t ΠI, kedua fungsi ini

kontinupada suatuselang I.Cara penulisanlainnyaadalah bentuk vektor

r(t) = x(t)i + y(t)j, tΠI = [a,b].

Kurva tutup dan kurva sederhana Pada persamaan parameter x= x(t),

y=y(t),tŒ[a,b], titik ujung kurva adalah P

(

x(a),y(a)

)

dan titik pangkal

kurva adalahQ

(

x(b),y(b)

)

.

¾ Suatu kurva dengan titik pangkal dan titik ujung berimpit dinamakan

kurva tutup.

¾ Suatu kurva yang dijalani tepat satu kali (kecuali titik pangkal dan

ti-tik ujungnya) dinamakan kurva sederhana.

Contoh Tentukan persamaan parameter untuk lingkaran L: x2+ =y2 a2.

y

2 2 2

x + =y a (x,y)

t

-a 0 x a x

L -a

x=acost y=asint

Lintasan tutup sederhana

Persamaan parameter L adalah x = acos t, y = asint,

t£2p, atau r(t) = acosti + asint j, 0£t£2p.

Titikpangkal Lr(0)=(a,0) dantitikujungLr(2p)

=(a,0), sehingga L adalah lintasan tutup. Karena L

di-jalani tepat satu kali kecuali titik (a,0), maka L adalah

lintasan tutup sederhana. Dari x=acost dan y=asint

diperoleh persamaan lingkaran x2+ =y2 a2.

Lintasan tidak tutup dan tidak sederhana Q

P

Lintasan tidak tutup dan sederhana Q

P

Lintasan tutup dan tidak sederhana

Lintasan tutup dan sederhana

Kurva bidang Persamaan kartesis Persamaan parameter

Elips x22 y22 1

a + b = x=acost, y=bsint,0£t£2p

Hiperbol x22 y22 1

a - b = , x > 0

x=asect, y=btant, -12p < <t 12p x=acosht, y=bsinht, -•<t<•

(12)

Keterdiferensialan fungsi parameter Jika x = x(t), y = y(t), t ΠI

mem-punyai turunan pertama yang kontinu dan x¢(t) π 0 pada selang buka I,

maka y adalah fungsi terdiferensialkan terhadap x dengan /

/

¾ Gambar iniadalahrodalingkaranyangberpusatdiCdanberjari-jari a

digelindingkan sepanjang sb-x dengan jejak titik P mulai dari (0,0).

¾ Pilih parameter t sudut searah jarum jam antara CP dengan posisi

ver-tikalnya saat P di titik O. Karena ON =PN=at, maka x dan y adalah

Luas daerah di bawah satu busur sikloid dan di atas sb-x adalah

(13)

Fungsi Parameter di Bidang dan Ruang

Fungsi parameter di bidang adalah r( )t = x t( )i+ y t( ) ,j a £ £t b dan di

ruang adalah r( )t = x t( )i+ y t( )j+ z t( ) ,k a £ £t b . Fungsi parameter ini

bernilai vektor dengan peubah skalar.

Fungsi ini memuat informasi titik pangkal, titik ujung, arah, dan berapa

kalikurvadijalani;arahnya terbalikjika tdigantidengan (-t). (kekuatan)

Suatu kurva dapat ditulis sebagai fungsi parameter dengan lebih dari

(14)

Contoh Tentukan persamaan parameter dari y= -4x x2, 0£ £x 4, arah, titik pangkal, titik ujung, gambarkan kurva, dan arah terbalik dari kurva.

y

Contoh Tentukan persamaan parameter garis di ruang dengan vektor

a-rah bπ0 dan vektor penyangga a. Tentukan juga persamaan kartesisnya.

z

Contoh Tentukan persamaan kurva yang merupakan perpotongan dari

(15)

Limit fungsi parameter Untuk fungsi parameter r=r(t),a£t£b dan

(r(t)dapatdibuat sebarangdekatkeLdengan cara membuat t cukup de-kat ke t0 tetapi t π t0)

Sifat limit dan kekontinuan fungsi parameter Untuk fungsi parameter

r= r(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k, a £t£b, a £ t0£ b, dan L = ( ,1 2, 3),

Turunan fungsi parameter Turunan fungsi parameter

z

Sifat turunan fungsi parameter Turunan dari fungsi parameter r=r(t)

=x(t)i+y(t)j+z(t)k,a£t£b adalah r¢( )t = x t¢( )i+ y t¢( )j+ z t¢( )k.

Jika fungsi r=r(t)dan s=s(t) terdiferensialkan di tŒ[a,b], maka

¾ (r + s)¢(t)= r¢(t) + s¢(t) ¾(rs)¢(t) = r(t)∑s¢(t) + r¢(t)∑s(t)

(16)
(17)

sepan-Contoh Hitunglah

¾ KarenatitikAtercapaipada saatt= p,makapersamaangarissinggung di

A pada kurva C adalah s(t) = r(p) + tr¢(p) = (-1,0,p) + t(0,-1,1).

¾ Untuk menentukan persamaan kartesisnya, misalkan s(t) = (x,y,z), maka

x = -1, y = -t, dan z = p + t. Eliminasi t menghasilkan -y = z - p. Jadi

persamaan kartesis garis singgungnya adalah x = -1 dan y = p - z.

Contoh Suatu partikel bergerak dengan r(t)=costi+sintj+etk, tΠ. Tentukan sudut antara vektor kecepatan dan percepatannya pada saat 0.

¾ Vektor kecepatan partikel ∫ v(t)=r¢(t)=-sinti + costj + etk, sehingga

Contoh Hitunglah panjang busur (keliling) lingkaran berjari-jari a > 0.

Tulislah lingkarannya dalam bentuk C: r(t)=acosti+asintj,0£t£2p.

Karena ||r

¢

(t)|| = a, maka 2 2

0 0

keliling || ( )|| 2 .

(18)

Contoh Jika r(t)=sinti+sin2tj+sin3tk, hitunglah

Ú

r( )t dtdan

Contoh Hitunglah panjang busur heliks lingkaran

C: r(t)=acosti+asintj+btk,0£t£2p.

Sebutir peluru ditembakkan dari titik asal O dengan

laju awal v0 m/det dan –(peluru,sb-x positif) = q.

Ji-sehinggayfungsikuadratdalamxdanlintasanpelurunyaadalahparabol.

(19)

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...