matematika, alizya ayu

(1)

NAMA : ALIZYA AYUSIFHA ALEXANDRA KELAS : X.1

EKSPONEN DAN LOGARITMA 1. SIFAT PERKALIAN

a. 𝟐^𝟑× 𝟐^𝟒= 𝟐^𝟕

𝟐 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐

=128

b. 𝟓^𝟓×𝟓^𝟐=𝟓^𝟕

𝟓 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓

=78.125 c. 𝟔^𝟏×𝟔^𝟒=𝟔^𝟓 𝟔 × 𝟔 × 𝟔 × 𝟔 × 𝟔

=7.776

2. SIFAT PEMBAGIAN a. 𝟖^𝟔÷ 𝟖^𝟒= 𝟖^𝟐 𝟖 × 𝟖

=64

b. 𝟑^𝟓÷ 𝟑^𝟐 =𝟑^𝟑 𝟑 × 𝟑 × 𝟑

= 𝟐𝟕

c. 𝟕^𝟖÷𝟕^𝟓=𝟕^𝟑 𝟕 × 7 × 7

= 𝟐𝟒𝟑

3. SIFAT EKSPONEN 0 a. 𝟑^𝟐÷ 𝟑^𝟐= 𝟑^𝟏

= 𝟑

b. 𝟒^𝟑÷ 𝟒^𝟑 = 𝟒^𝟏

= 𝟒

c. 𝟏𝟎^𝟓÷ 𝟏𝟎^𝟓 = 𝟏𝟎^𝟏

= 𝟏𝟎

4. SIFAT PERPANGKATAN a. (𝟓^𝟐)³

=𝟓^𝟐×𝟑

=𝟓^𝟔

=15.625 b. (𝟗^𝟐)⁴

=𝟗^𝟖

43.046.721 c. (𝟑^𝟐)⁵

=𝟑^𝟏𝟎

=59.049

A. FUNGSI EKSPONEN F (×) = K.a^x atau Y = K.a^x

Contoh : gambarlah fungsi eksponen Y = (¹

2)^x =( ¹

2)^-2 = (²

1)³= ⁴

1 = 4

(2)

X -2 -1 0 1 2

Y 4 2 1 1

2

1 4

5. SIFAT EKSPONEN PERKALIAN DUA BILANGAN (a×b)ⁿ= aⁿ×bⁿ

a. (2×3)² = (6)² = 6×6= 36 b. 2²×3² = 4×9 = 36

6. SIFAT EKSPONEN PEMBAGIAN DUA BILANGAN (a÷b)ⁿ = aⁿ÷bⁿ

a. (6÷3)³ = 2³= 2×2×2 = 8

b. 6³÷3³ = 6×6×6 ÷ 3×3×3 = 216 ÷ 27 = 8

7. SIFAT EKSPONEN NOL A⁰ = 1

a. 3⁶ ÷ 3⁶= 3^6-6 = 3⁰ = 1 b. 3² ÷ 3²= ^𝟑×𝟑_𝟑×𝟑 = ^𝟗_𝟗 = 1

8. SIFAT EKSPONEN NEGATIF aⁿ = ^𝟏

𝒂^𝒏

a. 2^-5 =^𝟏

𝟐^𝟓 = ^𝟏

𝟐×𝟐×𝟐×𝟐×𝟐 = ^𝟏

𝟑𝟐

b. _𝟏𝟐𝟓^𝟏 = _{𝟓×𝟓×𝟓}^𝟏 = _𝟓^𝟏_𝟑 = 5³

9. BILANGAN PECAHAN BERPANGKAT (^𝒂

𝒃)ⁿ= (^𝒂

𝒃 × ^𝒂

𝒃 ... ×^𝒂

𝒃 ) a. (^𝟐_𝟓)^-4(^𝟓_𝟐)⁴ = ^𝟓_𝟐^𝟒_𝟒 = ^{𝟓×𝟓×𝟓×𝟓}_{𝟐×𝟐×𝟐×𝟐} = ^𝟔𝟐𝟓_𝟏𝟔 b. (^𝟑

𝟒)³ × (^𝟑

𝟒)³ = (^𝟑

𝟒)²⁺³ = ^𝟑^𝟓

𝟒^𝟓 = ^{𝟑×𝟑×𝟑×𝟑×𝟑}

𝟒×𝟒×𝟒×𝟒×𝟒 = ^𝟐𝟒𝟑

𝟏.𝟎𝟒𝟐

- TUGAS

(3)

1. (^𝟓_𝟑)^-4= (^𝟑_𝟓)⁴ = ^𝟑_𝟓^𝟒_𝟒 = ^{𝟑×𝟑×𝟑×𝟑}_{𝟓×𝟓×𝟓×𝟓} = _𝟔𝟐𝟓^𝟖𝟏

2. ^𝟏

𝟐𝟓𝟔 = ^𝟏

𝟒×𝟒×𝟒×𝟒 = ^𝟏

𝟒^𝟒 = 4⁴ 3. 7⁹÷ 7⁹= 7^9-9 = 7⁰ = 1

4. (8÷2)⁵ = 4⁵ = 4×4×4×4×4 = 1.024 5. 3³× 6³ = 27 × 216 = 5.832

16⁴/²=(4²)⁴/²=4²×⁴/²=4⁴=4×4×4×4=256

MERASIONALKAN BENTUK AKAR (SEKAWAN)

a. ^𝒂

√𝒃 × ^√𝒃

√𝒃 = ^{𝟖 ×}

√𝒃 ×

√𝒃

√𝒃 = ^{𝒂 √𝒃}

√𝒃 𝒙 √𝒃 = ^𝒂√𝒃_𝒃 b. ^𝒂

𝒃+ √𝒄 = ^𝒂

𝒃+ √𝒄 × ^{𝒃−√𝒄}

𝒃−√𝒄

c. ^𝒂

𝒃−√𝒄 = ^𝒂

𝒃−√𝒄 × ^𝒃+√𝒄

𝒃+√𝒄

d. ^𝒂

√𝒃+√𝒄 = ^𝒂

√𝒃+√𝒄 × ^{√𝒃− √𝒄}

√𝒃−√𝒄

e. ^𝒂

√𝒃−√𝒄 = ^𝒂

√𝒃−√𝒄 × ^{√𝒃+√𝒄}

√𝒃+√𝒄

1. D. ^𝟑

√𝟒+√𝟑 = ^𝟑

√𝟒+√𝟑 = ^{√𝟒−√𝟑}

√𝟒− √𝟑 = ^{𝟑√𝟒−𝟑√𝟑}_𝟒−𝟑 = ^{𝟑√𝟒−𝟑√𝟑}_𝟏

ARITMATIKA Bentuk umum barisan aritmatika

U1,U2,U3 ... dengan F bilangan asli Contohnya :

1,2,5,7... dst Keterangan : b = beda

(4)

Un = suku ke-n

Un – 1 = suku sebelum suku ke-n

Un = 2 + (n – 1 ) b

Suku ke-45 dari bilangan 3,7,11,15,19,... adalah Un = a + (n – 1 ) b

U45 = 3 + (45 – 1 ) 4 U45 = 3 + 44 x 4 U45 = 3 + 176 U45 = 179

Suku tengah dari barisan aritmatika Ut = ¹

2 (U1 +Un )

Tentukan suku tengah dari barisan aritmatika 3,7,13 sampai dengan 113 Jawab :

Ut = ¹

2 ( U1 + Un ) Ut = ¹₂ ( 3 + 113 )

Ut = ¹₂ (116) Ut = 58

BARISAN GEOMETRI Pengertian dan rumus suku ke-n barisan geometri

Un = ar^n-1

Dengan a = U1 = suku pertama r = ^𝑈_𝑈²

1

n = banyak suku contoh :

diketahui barisan geometri 4,-8,16,32

(5)

1. Tentukan rasio dan rumus suku ke-n 2. Contoh suku ke-10 barisan

Jawab :

1. Dik : a = U1 = 4 U2 = -8 r = ^𝑈_𝑈²

1 = ⁻⁸₄ = -2 dalam hal ini

Un = ar^n-1 Un = 4 (-2)^n-1

Jadi nilai rasionya -2

Dan suku ke-n nya Un = 4(-2)^n-1 2. Un = 4×(-2)^n-1

U10 = 4×(-2)^10-1 U10 = 4×(-2)⁹ U10 = 4×(512) U10 = -2,048

SUKU TENGAH BARISAN GEOMETRI

Ut = U1 = Un

Dengan Ut = suku tengah Contoh :

Diketahui barisan geometri

2,6,18,...,162 tentukan suku tengah barisan tersebut Jawab :

U1 = 2 Un = 162

Ut = √𝑈₁𝑥 𝑈_𝑛 = √2 𝑥 162 = √324 = 18 Jadi suku tengah barisannya adalah 18

DERET BILANGAN 1. Deret bilangan

Sn = ¹₂𝑛 (U1 + Un Sn = ¹₂𝑛 (2a + (n-1) x b ) Dengan Sn = jumlah n suku pertama U1 = a = suku pertama Un = Sn – Sn -1

Contoh :

Hitunglah jumlah 12 suku pertama dari deret 3+9+15+21+....

Jawab : Dik : a = 3 b = U2 – U1 9-3 = 6

(6)

Sn = ¹

2𝑛 (2a + (n-1)x b ) S12 = ¹₂12 (2×3 + (12-1) × 6 ) S12 = 6 (6+(11) × 6 )

S12 = 6 (6+66) S12 = 6 (72) S12 = 432

Jadi jumlah 12 suku pertama adala =h 432 DERET GEOMETRI

Sn = ^{𝑎 (𝑟}_𝑟−1^𝑛⁻¹ Contoh :

Diketa =hui deret geometri dengan U9 = 8 dan U9 = -2 a. Tentukan rumus ke-n dan deret geometri

b. Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut Jawab :

a (U9 = 8  ar³= -8... (1)

U9 = 265

 ar⁸ =-265... (1) berdasarkan kesamaan (1) dan (2)

𝑎𝑟⁸

𝑎𝑟³ = ^{−𝟐𝟓𝟔}_−𝟖  r⁵ = 32  r⁵= 2^r

 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1)¹ a. 2³ = -8

 a.8 = -8

 a = 8 -1 Dengan demikian Un = ar^n-1 = (-1).2^n-1

Jadi, rumus suku ke-n berisan tersebut adalah Un = (-1).2^n-1

b. Sn = ^{𝑎 (𝑟}_𝑟−1^𝑛^{−1 )}

c. S10 = ⁽²¹⁰₂₋₁^{−1 )} = −1 (1.024−1)

1 = 1.023

terminologi vektor

(7)

Yaitu segala sesuatu yg dapat diukur/dihitung dinyatakan dalam bentuk angka dan mempunyai satuan

Suatu vektor digambarkan dengan ruas Garis berarah.besar/panjang vektor dinyatakan dengan panjang ruas garis.sedangkan arah vektor dinyatakan dengan arah ruas garis

Vektor dapat dinotasikan sebagai berikut :

a. vektor dapat dituliskan menggunakan huruf tebal misalnya a,b,dan c

b. vektor dapat dituliskan menggunakan huruf kecil dengan anak panah diatasnya misalnya

→a,→b,dan→c

c. vektor dapat dituliskan menggunakan huruf kecil dengan tanda garis dibawahnya.misalny -a,-b, d. vektor dapat dituliskan menggunakan huruf besar dengan tanda anak panah diatasnya.misalny OA contohnya :

Titik pangkal vektor adalah O, sedangkan titik ujung vektor adalah A.vektor tersebut dapat ditulis a atau →a cara lain menuliskan vektor tersebut dengan menuliskan ruas garis OA yg disertai tanda anak panah diatasnya yaitu →OA

(8)

Diketahui vektor : 𝑚⃗⃗ = 4𝑖̂ – 2𝑗̂ + k dan 𝑛⃗ = 3𝑗̂ + 2𝑗̂ – 5k Tentukan hasil 2𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 3𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ...

Jawab :

2 (4𝑖̂-2𝑗̂+k)- 3 (3𝑗̂+2𝑗̂-5k) 8𝑖̂-4𝑗̂+2k – 9𝑗̂ – 6𝑗̂ – 15k

= 1𝑗̂ -10𝑗̂-13k

(9)

Diketahui vektor a = 2𝑖̂ + 4𝑗̂ b = 4𝑖̂ + 3𝑗̂ dan c = 3𝑖̂ + 5𝑗̂ tentukan hasil dari a+b+c...

Jawab : a+b+c

= (a𝑖̂ + 4𝑗̂) – (4𝑖 - 3𝑗̂) + (3𝑖̂ + 5𝑗̂)

= -2𝑖̂ - 4𝑖̂ + 3𝑖̂ + 4𝑗̂ - 3𝑗̂ + 5𝑗̂

= 3𝑖̂ + 6𝑗̂

Bab 4

Perbandingan trigometri pada segitiga siku-siku 1. Suatu pengukur sudut

untuk menyatakan besaran suatu sudut yaitu derajat ( °) dan radian (rad) hubungan antara satuan derajat dan radian yaitu

1 rad = ^180°

𝜋

Dan 1° = ^𝜋

180°rad

Contoh : nyatakan besar sudut berikut dalam satuan derajat a. ¹

4putaran b. ¹

3𝜋 𝑟𝑎𝑑 Jawab :

A. Satu putaran = 360° sehingga ¹₄ putaran = ¹₄ x 360° = 90°

B. Satu radian = ^180°_𝜋 sehingga ¹₃𝜋 rad = ¹

3𝜋 x ^180°

𝜋 = ^180°₃ = 60°

2. Konsep Dasar Perbandingan A

Dengan teorema phytagoras diperoleh : D

C B

E 3cm 3cm

8cm 4cm

Dua buah segitiga yang sebangun disajikan seperti gambar disamping terdapat dua siku-siku yaitu

ABC dan DEC

(10)

AC = √3²+ 4² = √9 + 6 = √25 = 5 cm AC = √6²+ 8² = √36 + 64 = √100 = 10 cm A

Perhatikan gambar diatas diketahui ABC siku-siku di B dengan BCA = ∝ dan CAB = 𝛽 hubungan perbandingan sudut (lancip) dengan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku berikut :

Sin = ∝ = ^𝐴𝐶

𝐴𝐵 Cosec ∝ = ^𝐴𝐶

𝐴𝐵 Sin 𝛽 = ^𝐵𝐶

𝐴𝐶 Cosec 𝛽 = ^𝐴𝐶

𝐵𝐶

Cos = ∝ = ^𝐵𝐶

𝐴𝐶 Sec ∝ = ^𝐴𝐶

𝐵𝐶 Cos 𝛽 = ^𝐴𝐵

𝐴𝐶 Sec 𝛽 = ^𝐴𝐶

𝐴𝐵

Tan = ∝ = ^𝐴𝐵

𝐵𝐶 Cotan ∝ = ^𝐵𝐶

𝐴𝐵 Tan 𝛽 = ^𝐵𝐶

𝐴𝐵 Cotan 𝛽 = ^𝐴𝐵

𝐵𝐶

Perbandingan trigonometri segitiga siku-siku yang lebih mudah dengan gambar berikut :

1. Sinus sudut = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔

2. Cosinus sudut = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡

3. Tangen sudut = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡

4. Cosecan sudut = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡

5. Secan sudut = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡

6. Cotangen sudut = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡

B C 𝛽

∝

Sisi depan sudut

Sisi samping sudut sudut

(11)

Soal perhatikan gambar dibawah ini A

Tentukan nilai a. AB... ? b. Cos A c. Tan A d. Sin C e. Cos C f. Tan C

Perbandingan trigonometri sudut istimewa

∝ 0° 30° 45° 60° 90°

Sin ∝ 0 1

2

1

2√2 1

2√3 1

Cos ∝ 1 1

2√3 1

2√2 1

2

0

Tan ∝ 0 1

3√3 1 √3 ∞

Cosec ∝ ∞ 2 √2 2

3√3 1

Sec ∝ 1 2

3√3 √2 2 ∞

Cotan ∝ ∞ √3 1 1

3√3 0

B C

4 cm

(12)