VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

VEKTOR

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

Pengertian Dasar

 Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran

dan suatu arah

 Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah,

panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor

 Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah

dinamakan titik terminal

P

S R

 Jika titik awal suatu vektor v

adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan

v = PQ

 Vektor yang mempunyai panjang

dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama)

 Vektor nol merupakan vektor

yang mempunyai besar 0

P

Q

v

t

Penjumlahan Vektor

c b + c a + b + c a + b b a

Pengurangan Vektor



Jika a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka

pengurangan vektor a dari b didefinisikan

oleh : a – b = a + (-b)

a + b b a - b a - b

Skalar dikalikan Vektor

Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama

seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0

v

2v

0,5v

Operasi Vektor di R2

x v1 w1 w2 v2 w v ( v1+w1 , v2+w2 ) (v1,v2) (w1,w2) v + w y

CONTOH :

Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka :

v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3)

v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7)

5v = 5 (3,-2) = (15,-10)

Operasi Vektor di R2

 Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal,

jika vektor P₁P₂ mempunyai titik awal P₁ (x₁,y₁) dan titik terminal P₂ (x₂,y₂) maka  P₁P₂ = (x₂-x₁ , y₂-y₁) x (x1,y1) y P1P2 P1 P2 (x2,y2)

Panjang Vektor

 Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan

dengan

 Panjang suatu vektor a (a

1 , a2) diruang 2 adalah

a

atau

a

2 2 2 1

a

a

a

=

+

y x (a1,a2) a

CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2



Salah satu sistem yang menggunakan vektor

adalah perhitungan daya pada bidang Listrik



Terdapat tiga Komponen Daya Listrik

 Daya Kompleks (S) -- VA  Daya Aktif (P) -- Watt

 Daya Reaktif (Q) -- VAr

P(Watt) QL (VAr) Qc(VAr) S = P + QL ° ϕ P = (x,0) Q = (0,y) S = P + Q = (x,y)



Power Factor

Correction

P(Watt) Qc(VAr) S (VA) last last ϕ° last ϕ° QL(VAr) S new

Panjang Vektor di R-3

x y z 0 D C B A (a1,a2,a3)

a

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

)

(

)

0

(

)

0

(

)

(

)

0

(

a

a

a

a

a

a

a

a

CA

D

B

a

CA

C

a

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

 Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik

diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah : 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) , , ( z z y y x x P P d z z y y x x P P − + − + − = = − − − = x y z P2 (x2,y2,z2) P1 (x1,y1,z1) v

ORIENTASI RUANG

 Vektor i panjangnya 1 unit searah

sumbu x

 Vektor j panjangnya 1 unit searah

sumbu y

 Vektor k panjangnya 1 unit searah

sumbu z x y z k j i (0,0,1) (1,0,0) (0,1,0)

Triple i,j,k disebut

vektor basis

Setiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan

i,j,k sehingga

v =(v₁,v₂,v₃) = v₁i + v₂j + v₃k

Definisi

 Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan

ruang-3 dan θ adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :

.

cos jika u 0 dan v 0

.

0 jika u=0 dan v=0

u v

u v

u v

θ

=

≠

≠

=

θ θ v u v u

Contoh

Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2) dan sudut antara u dan v adalah 45o (lihat gambar)

maka u.v adalah :

x y z (0,2,2) θ u v (0,0,1)

(

)(

)

2

2

1

2

2

0

1

0

0

.

cos

.

2 2 2 2 2 2

₌













+

+

+

+

=

=

v

u

v

u

v

u

θ

Jika u, v dan w adalah vektor di ruang

dimensi 2 atau 3, dan k merupakan skalar, maka:



i.i=1 j.j=1 k.k=1



i.j=0 j.k=0 k.i=0

x y z k j i (0,0,1) (1,0,0) (0,1,0)

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH



Jika u=(u

x

,u

y

,u

z

) adalah vektor yang

panjangnya satu, maka u disebut vektor

satuan.



u

x

= u.i = 1 x 1 cos

α

= cos

α

dengan

α

adalah sudut antara vektor u dan arah positif

sumbu x.



u

_y

= cos

β



u

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH

 Vektor a mempunyai komponen a

x,ay,az. Jika a

adalah vektor bukan nol maka :

Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen yang merupakan cosinus arah :

a

k

a

j

a

i

a

a

a

₌

x

+

y

+

z

a

a

a

a

a

a

_x y _z

=

=

=

β

γ

α

cos

cos

cos

Sudut antar Vektor

3 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

)

(

2

1

.

)

(

2

1

cos

cos

2

v

u

v

u

v

u

v

u

u

v

v

u

v

u

u

v

v

u

v

u

u

v

PQ

v

u

v

u

PQ

+

+

=

−

−

+

=

−

−

+

=

−

=

−

+

=

θ

θ

x y z (v1,v2,v3) θ u v (u1,u2,u3) Q P

v

u

v

u.

cos

θ

=

Contoh

Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah sudut diantara vektor u dan v.

u.v = u₁v₁+ u₂v₂+ u₃v₃ = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3

6

dan

6

=

=

v

u

o v u v u 60 5 , 0 6 3 ) 6 )( 6 ( 3 . cos = = = = =

θ

θ

(2,-1,1) x y z θ u v (1,1,2)

Resume sudut

Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol

dan

θ

adalah sudut diantara kedua vektor

tersebut maka :



θ

lancip , jika dan hanya jika u.v > 0



θ

tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0



θ

tegaklurus (

π

/2), jika dan hanya jika u.v =

PROYEKSI ORTHOGONAL



w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a

Dinyatakan dengan : proy

_a

u



w2 dinamakan komponen vektor u yang

orthogonal terhadap a

w2 = u – w1 = u - proy

_a

u

a

w2

w1

u

Formula Proyeksi

a) orthogonal u (komponen . 2 a) sepanjang u (komponen . 1 2 2 a a a u u u proy u w a a a u u proy w a a − = − = = =

a

w2

w1

u

a a a u a a a a u w a a u a u a u u u w a u a u 2 1 cos 1 cos • = • = • = • = = • = θ θ

 w1=ka

 u= w1 + w2 = ka + w2

 u.a = (ka+w2).a = k + w2.a

 Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0

2 a 2 . a a u k =

Panjang Komponen Proyeksi

θ

θ

cos

cos

1

.

1

.

.

1

_{2 2}

u

a

a

u

u

proy

w

a

a

u

u

proy

w

a

a

a

u

a

a

a

u

u

proy

w

a a a

=

=

=

=

=

=

=

=

a w2 w1 u

Contoh



Carilah rumus untuk jarak D diantara titik

P

_o

(x

_o

,y

_o

) dan garis ax + by + c = 0



Misal Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis

2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 : sehingga 0 maka tersebut garis pada terletak ) , ( titik karena ) ( ) ( ) ( ) ( . ) , ( b a c by ax D Substitusi by ax c c by ax y x Q b a y y b x x a D b a n y y b x x a n QP y y x x QP o o o o o o o o o o + + + = − − = = + + + − + − = + = − + − = − − = ax+by+c=0 x y Q(x1,y1) P(x0,y0) n=(a,b)

DEFINISI CROSS PRODUCT

 Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah

vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut θ antara keduanya.

 Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang

memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan

n

sin

x

v

uv

θ

u

=

Hasil Cross pada Vektor basis



i x i = j x j = k x k = 0



i x j = k



j x k = i



k x i = j

x y z k j i (0,0,1) (1,0,0) (0,1,0) k j i = =     − = (0,0,1) 1 0 0 1 , 0 0 0 1 , 0 1 0 0 x

j x i = - k k x j = -i i x k = -j

i k j

DEFINISI CROSS PRODUCT

 Jika u=(u₁,u₂,u₃) dan v =(v₁,v₂,v₃) adalah vektor diruang 3 maka hasil

kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh : u x v = (u₁i + u₂j + u₃k) x (v₁i + v₂j + v₃k)

= u₁i x (v₁i + v₂j + v₃k) + u₂j x (v₁i + v₂j + v₃k) + u₃z x (v₁i + v₂j + v₃k)

 Atau dalam notasi determinan :









−

=

k

v

v

u

u

j

v

v

u

u

i

v

v

u

u

v

u

2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2

,

,

x





















=

3 2 1 3 2 1

x

v

v

v

u

u

u

k

j

i

v

u

 Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka :  u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u)  v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v)  u x v = - ( v x u )  u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w )  ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w )  k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v)  u x u = 0

Contoh Soal

 Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)

1 2 2 3 0 1 2 2 1 2 1 2 x , , 0 1 3 1 3 0 x (2, 7, 6) i j k u v i j k u v    ₋         − −  = _ − _   = − −

HASIL KALI VEKTOR DARI

VEKTOR TRIPEL



Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c )

dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor

tripel.



Tanda kurung sangat mempengaruhi :

 ( i x i ) x j = 0

Latihan



Diketahui segitiga ABC

Buktikan

b a c α β γ 2 2 2

1.

a

=

b

+ −

c

2 cos

bc

α

2.

sin

sin

sin

a

b

c

α

=

β

=

γ

1

3. Luas Segitiga ABC = (

)

2

AB AC

×

A B

(

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

( )

2 2 2 2

(

)

2

cos 180

2

cos

b c

b c

b b

b c

c b

c c

b

c

b c

b

c

b c

α

α

= + • +

= • + • + • + •

=

+

+

−

=

+

−

a a

•

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

0

sin

sin

sin

sin

a a

a

b c

a b

a c

a b

a c

a b

a c

b

c

γ

β

β

γ

× = × +

= × + ×

− × = ×

=

=

1

2

1

sin

2

1

2

L ABC

AB t

AB AC

AB AC

α

∆

=

=

=

×

SOAL Vector

 Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah

komponen vektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w

 Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah

skalar c1, c2 dan c3 sehingga : c₁u + c₂v + c₃w = (6,14,-2)

 Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0)  Carilah semua skalar sehingga dimana v =

SOAL Dot Product

 Tentukanlah apakah u dan v membentuk sudut

lancip, tumpul atau ortogonal  u=(7,3,5) v=(-8,4,2)

 u=(1,1,1) V=(-1,0,0)  u=(6,1,3) v=(4,0,6)  u=(4,1,6) v=(-3,0,2)

 Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah

satu sisinya

 carilah komponen vektor u yang ortogonal ke a jika :

 u=(-7,1,3) v=(5,0,1)  u=(0,0,1) v=(8,3,4)

SOAL Cross Product

 Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah

vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut

 Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k

b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A

terhadap bidang 0BC A b a 0 C B c s