Pertemuan ke-3. Vektor dalam R2 dan R3 serta Arti Geometrinya

Vektor dalam R 2 dan R 3 Serta Arti Geometrinya

Pertemuan Ke-3

Vektor

 Vektor-vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah dalam R² dan R³ . Ekor panah dinamakan Titik Permulaan (Titik awal, titik initial) sedangkan ujung panah sering disebut Titik Akhir (Titik terminal) Vektor.

Definisi 9.1

 Dua vektor

v

dan w dikatakan sama

(Ekuivalen) Jika kedua vektor tersebut sama panjang dan arahnya dan dapat dituliskan v

= w

Definisi 9.2

 Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka v + w adalah vektor yang titik permulaannya berimpit dengan titik awal v dan titik akhirnya berimpit dengan titik akhir vektor w.

Arti Geometri Vektor

 Definisi 5.3

Vektor Nol adalah vektor yang panjangnya nol disimbolkan dengan 0.

juga terlihat bahwa : w + 0 = 0 + w = w

 Definisi 5.4

Apabila v sebuah vektor, maka –v adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan

vektor v.

Definisi 9.3

 Jika a dan b adalah dua buah vektor sembarang, pengurangan vektor didefinisikan sebagai :

a – b = a + (-b)

Definisi 9.4

 Vektor Posisi di R²

Dalam R² , v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)

 v + w = (v1,v2) + (w1 ,w2)= (v1 + v2, w1 + w2)

 v - w = (v1,v2) - (w1 ,w2)= (v1 - v2, w1 - w2)

 k v = (k v1, k v2) dengan k suatu skalar

Vektor Posisi di R³

Dalam R³ , v = (v1, v2,v3) dan w = (w1, w2,w3)

 v + w = (v1,v2,v3) + (w1 ,w2,w3)= (v1 + w1, v2 + w2, v3+w3)

 V - w = (v1,v2) - (w1 ,w2)= (v1 - w1, v1 - w2, v3 – w3 )

 k v = (k v1, k v2, kv3) dengan k suatu skalar

 Kadang-kadang vektor tidak mempunyai titik awal dititik asal sehingga:

 Untuk R² , bila suatu vektor v mempunyai titik awal di p₁ (x₁, y₁) dan titik akhir di P₂ (x₂ , y₂),

Maka v = P1P2 = (x2 – x1 , y2 – y1)

 Untuk R³ , bila suatu vektor v mempunyai titik awal di p₁ (x₁, y_1, z₁) dan titik akhir di P₂ (x₂ , y_2, z₂),

Maka v = P1P2 = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1)

Contoh. 1

 Tentukan komponen vektor v yang mempunyai titik awal di (2, 0, -3) dan mempunyai titik akhir

di (1, 2, 3)?

A

^

B

^

Definisi

 Vektor di Rⁿ adalah matriks berukuran n x 1 yaitu

dengan u₁, u₂, … , u_n disebut komponen dari vektor u

Vektor di Rⁿ tidak dapat digambarkan dalam koordinat kartesius.



















un

u u

u 

2 1

OPERASI PADA VEKTOR

Definisi

Misalkan dan

Jumlahan dari vektor u dan v adalah :



















un

u u

u 

2 1



















vn

v v

v 

2 1



























n n v u

v u

v u

v

u 

2 2

1 1

Definisi

Jika dan c adalah sebarang skalar, maka perkalian

skalar didefinisikan sebagai



















un

u u

u 

2 1

u c



















cun

cu cu u

c 

2 1

Contoh. 3

Jika dan dan , maka:

Tentukan:

















  5

3 1 2

u

















 2 4 0 3 v

? ....

. ).

? ....

. ).

? ...

).







 v c c

u c b

v u

a

3

 

C

Contoh. 4

1. Jika A (2, 3, -1) dan B (3, 4, 7) dengan c = 4 Tentukan:

? . ).

? . ).

? ).

B c c

A c b

B A

a 

SIFAT

 Misalkan vektor – vektor di Rⁿ; dan misalkan c dan d adalah skalar – skalar, maka

1. Sifat penjumlahan a.

b.

c.

d.

2. Sifat perkalian skalar a.

b.

c.

d.

w v u , ,

u v

v

u   

w v

u w

v

u  (  )  (  )  u

u u  0  0  

0 )

(    

 u u u

u

v c u

c v

u

c(  )  

u d u

c u

d

c  )   (

u cd u

d

c( )  ( )

u u  .

1

DOT PRODUCT (HASIL KALI TITIK) DI RUANG n

DEFINISI

Jika dan ,

maka DOT PRODUCT / HASIL KALI TITIK vektor u dan v didefinisikan sebagai



















un

u u

u 

2 1



















vn

v v

v 

2 1

n nv u v

u v

u v

u   1 1  2 2 

Contoh. 5

Misalkan dan maka:

Tentukan :

















  4

2 9 1 u

















 2 0 3 1 v

?

 ....

 v

u

Contoh. 6

1. Jika A (2, 1, 4) dan B (1, -1, 2) serta C (4, -1, 1)

Tentukan:

? .

).

? ).

? .

).

B C c

B x A b

B

A

a

Contoh. 7

Misalkan , dan maka:

Tentukan :

















  2

4 6 3 a

















 7 5 1 2 b

? ...

. )

? ...

. )

? ....

. )





 b a c

c b b

c a a

















 8 6 3 5 c

Definisi Norm

Panjang / Besar / Norm dari vektor adalah



















un

u u

u 

2 1

2 22

12 u un

u

u   

Jarak antara

Sedangkan jarak antara dan adalah



















un

u u

u 

2 1



















vn

v v

v 

2 1

2 2 2

2 2 1

1 ) ( ) ( )

(u v u v u_n v_n

v

u       

Contoh. 8

Diberikan vektor dan maka

Jarak antara vektor u dan vektor v adalah





















1 2 3 2

u

















 3 1 2 4 v

...

u

...

v

...

v u

Contoh. 9

 Jika diberikan dan

 Maka Tentukan?



















 1 1 3 4

u

















 5 4 3 2 v

? ...

).

? ...

).

? ...

).









v u c

v b

u a

Hubungan dot product dan panjang vektor

Jika maka dot product juga dapat dituliskan sebagai

Atau



















un

u u

u 

2 1

u u u  

u u u ²  

Sifat – Sifat Dot Product

Jika adalah vektor – vektor di Rⁿ dan c adalah skalar, maka

1. Untuk dan jika dan hanya jika

2.

3.

4.

w v

u , ,

 0

u

u ^{u  0}

 0

u

u u  0

u v v

u   

w v w u w

v

u  )     (

) (

) ( )

(cu v  u  cv  c u v

SUDUT ANTARA 2 VEKTOR

Jika vektor u dan v adalah vektor di Rⁿ , maka

Dengan  adalah sudut yang terbentuk antara vektor u dan v.

Persamaan di atas juga dapat dituliskan :

 cos . v

u v

u  

v u

v u 

  cos

Contoh. 9

 Misalkan dan maka

 Tentukan :

















 1 0 0 1

u

















 1 0 1 0 v

? ...

).

? ...

cos ).

).

? ...

).

? ...

).

.

















 e

d c

v b

u a

v

u

Contoh. 10

Jika diberikan : dan

Tentukan :























2 0 0

2

2 1 21

u

















 1 0 0 1 v

? ...

).

? ...

cos ).

).

? ...

).

? ...

).

.

















 e

d c

v b

u a

v

u

Teorema (Ketaksamaan Cauchi-Schwartz)

^Jika dan vektor di Rⁿ, maka

Teorema (Ketaksamaan Segitiga) Jika dan vektor di Rⁿ, maka

u v

v u v

u  

u v

v u

v

u   

Definisi

 Vektor satuan u di Rⁿ adalah vektor yang panjangnya 1.

Jika sembarang vektor yang tak nol, maka vektor satuan yang

searah dengan adalahv v

v v

u 1



Contoh

Jika maka vektor satuan apakah yang searah dengan ?

















 1 0 0 1

v v

Contoh. 11

Jika maka apakah vektor satuan yang searah dengan ?

















 1 1 1 0

v v

TERIMAKASIH