a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3

(1)

 Definisi Vektor di RDefinisi Vektor di R²² dan Rdan R³³ 

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

(2)

Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar

• Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil

• Vektor, simbol atau variabelnya juga akan dituliskan menggunakan huruf kecil (akan berbeda dengan skalar sesuai konteksnya): cetak tebal (bold) bila

menggunakan “topi” (tanda caping, ^) di atasnya atau cetak biasa bila menggunakan tanda panah di atasnya.

• Vektor satuan, adalah suatu vektor yang

ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1 (satu satuan).

• Umumnya dituliskan dengan menggunakan topi (bahasa Inggris: hat), sehingga: ˆu ^dibaca

"u-topi" ('u-hat').

(3)

Teori Ruang Vektor (#1) Teori Ruang Vektor (#1)

  ^Ru ^R û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^ve ^v ê ^k ^k ^to ^t ôr ^r â â ^d ^d â â ^l ^l â â ^h ^h ^s ^s ^t ^t ^r ^r û û ^k ^k ^t ^t û û ^r ^r ^m ^m â â ^t ^t ê ê ^m ^m â â ^t ^t ⁱ ⁱ ^k ^k â â ^y ^y â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^d ^d ⁱ ⁱ ^b ^b ê ê ⁿ ⁿ ^t ^t û û ^k ^k

o o le l e h h s se e k k um u m p p u u l l a a n n v v e e kt k t o o r r , , y ya a i i t t u u o o b b j j e e k k y y a a n n g g d d a a p p a a t t d d i i j j u u m m la l ah h k k an a n d d an a n d d i i k k a a li l ik ka a n n d d e e n n g g a a n n su s u a a tu t u s s k k a a la l a r r . .

  ^R ^R û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^v ^v ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^m ^m ê ê ^ru ^r ûp ^p â â ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^s ^s û û ^b ^b ^je ^j ê ^k ^k ^y ^ya â ⁿ ⁿ ^g ^g ^h ^h â â ^r ^r û û ^s ^s ^d ^d ⁱ ⁱ ^p ^p âh â ^h â â ^m ^m ⁱ ⁱ

d d e e n n g g a a n n b b a a i i k k d d a a l l a a m m a a l l j j a a b b a a r r l l i i n n i i e e r r , , t t e e r r u u t t a a m m a a k k a a r r e e n n a a r r u u a a n n g g v v e e k k t t o o r r y y a a n n g g d d i i c c i i r r i i k k a a n n o o l l e e h h d d i i m m e e n n s s i i n n y y a a   s s p p e e s s i i f f i i k k a a s s i i

b b a a n n y y a a kn k n y y a a a a ra r a h h i i nd n d e e pe p e n n de d e n n d d a a la l am m r ru u a a n n g g . .

  ^T ^T ê ê ô ô ^r ^r ⁱ ⁱ ^r ^r û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^v ^v ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^j ^j û û ^g ^g â â ^d ^d ⁱ ⁱ ^k ^k ê ê ^m ^m ^b ^b â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^d ^d ê ê ⁿ ⁿ ^g ^g â â ⁿ ⁿ

m m e e m m p p e e r r k k e e n n a a l l k k a a n n s s t t r r u u k k t t u u r r t t a a m m b b a a h h a a n n , , s s e e p p e e r r t t i i n n o o rm r m a a a a t t a a u u h h a a s s i i l l k k a a l l i i d d a a l l a a m m . .

  ^R ^R û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^s ^s ê ê ^p ^p ê ê ^r ^r ^t ^t ⁱ ⁱ ⁱ ⁱ ⁿ ⁿ ⁱ ⁱ ^m ^m û û ⁿ ⁿ ^c ^c û û ^l ^l ^d ^d ê ê ⁿ ⁿ ^g ^g â â ⁿ ⁿ â â ^l ^l â â ^m ^m ⁱ ⁱ â â ^h ^h ^d ^d â â ^l ^l â â ^m ^m â â ⁿ ⁿ â â ^l ^l ⁱ ⁱ ^s ^s ⁱ ⁱ ^s ^s

m m a a te t em m a a ti t i k k a a , , d d a a la l am m b be e n n tu t u k k r ru ua a ng n g f f un u n g g s s i i b b e e rd r d i i m m e e n n si s i

t t a a kh k h i i ng n gg ga a , , d d e e n n ga g a n n ve v e kt k t o o r r n n ya y a a a d d a a la l a h h f f u u n n g g s s i. i .

(4)

Teori Ruang Vektor (#2) Teori Ruang Vektor (#2)

  ^Sk ^S ^k âl â ^la â ^r ^r û û ^m ^m û û ^m ^m ⁿ ⁿ ^y ^y â â ^bi ^b ⁱ ^la ^l ân ^ng ^ga â ⁿ ⁿ ^r ^ri ⁱ ⁱ ⁱ ^l ^l ^, ^, ^t ^t â â ^p ^p ⁱ ⁱ ^p ^p ê ê ^r ^r û û ^m ^m û û ^s ^s â â ⁿ ⁿ ^r ^r û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g

ve v ek kt t or o r d da a pa p at t j ju ug ga a b be er ru up pa a pe p er rk ka al li i an a n s sk ka al l ar a r d de en n ga g an n b b i i l l a a n n g g a a n n k k o o m m p p l l e e k k s s , , b b i i l l a a n n g g a a n n r r a a s s i i o o n n a a l l , , a a t t a a u u b b a a h h k k a a n n m m ed e da an n. .

  Ô Ô ^pe ^p êr ^ra âs ^si ⁱ ^p ^pe ên ^nj ^ju ûm ^m ^l ^l âh â ^ha â ⁿ ⁿ ^d ^da ân ⁿ ^p ^pe êr ^rk ^ka âl ^li îa ân ⁿ ^v ^v êk ê ^kt ^to ôr ^r ^h ^ha âr ^ru ûs ^s

m m em e m en e nu uh h i i p p er e rs sy ya ar ra at ta an n t te er rt t en e nt t u u   a a k k s s i i o o m m a. a .

  ^Co ^C ôn ^nt ^to ôh ^h ^ru ^r ûa ân ^ng ^g ^v ^ve êk ^kt ^t ôr ô ^r â â ^da ^d âl ^la âh ^h ^ve ^v êk ^k ^to ^t ôr ^r Ê Êu ûk ^kl ^li îd ^de ês ^s ^ya ^y ân ^ng ^g

s s e e r r i i n n g g d d i i g g u u n n a a k k a a n n u u n n t t u u k k m m e e l l a a m m b b a a n n g g k k a a n n b b e e s s a a r r a a n n f f i i s s i i k k a a se s ep pe e rt r ti i g ga ay ya a. .

  ^Du ^D ûa â ^g ^ga ây ^ya â ^d ^d ê ê ⁿ ⁿ ^g ^g â â ⁿ ⁿ ^je ^j ên ⁿⁱ îs ^s ^s ^sa âm ^m â â ^d ^d â â ^p ^p â â ^t ^t ^di ^d îj ^ju ûm ^m ^l ^l âh â ^hk ^ka ân ⁿ û û ⁿ ⁿ ^t ^t û û ^k ^k

m m en e ng gh ha as si il lk ka an n g g a a y y a a k k e e t t i i g g a, a , d da an n p p e e r r k k a a l l i i a a n n v v e e k k t t o o r r g g a a y y a a d d e e n n g g a a n n b b i i l l a a n n g g a a n n r r i i i i l l m m e e n n g g h h a a s s i i l l k k a a n n ve v ek k to t or r ga g ay ya a l la ai i n. n .

  ^V ^V ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^y ^y â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^m ^m ê ê ^l ^l â â ^m ^m ^b ^b â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^p ^p ê ê ^r ^r ^p ^p ⁱ ⁱ ⁿ ⁿ ^d ^d â â ^h ^h â â ⁿ ⁿ ^p ^pa â ^da ^d â ^bi ^b îd ^da ân ^ng ^g

a a t t a a u u p p a a d d a a r r u u a a n n g g t t i i g g a a d d i i m m e e n n s s i i j j u u g g a a m m e e m m b b e e n n t t u u k k r r u u a a n n g g

ve v ek kt to o r. r .

(5)

Sifat dan Aplikasi Ruang Vektor Sifat dan Aplikasi Ruang Vektor

  ^R ^R û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^v ^v ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^s ^s û û ^d ^d â â ^h ^h ^b ^b â â ⁿ ⁿ ^y ^y â â ^k ^k ^d ^d ⁱ ⁱ ^t ^t ê ê ^r ^r â â ^p ^p ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^d ^d ⁱ ⁱ ^s ^s ê ê ^l ^l û û ^r ^r û û ^h ^h ^b ^b ⁱ ⁱ ^d ^d â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^: ^:

m m a a t t e e m m a a t t i i k k a a , , s s a a i i n n s s da d an n r r e e k k a a y y a a s s a a . .

  ^Ru ^R ûa ân ^ng ^g ^ve ^v êk ^kt ^to ôr ^r ^m ^me êr ^r û û ^pa ^p âk ^ka ân ⁿ ^ko ^k ôn ^ns ^se êp ^p â â ^l ^l ^j ^j â â ^b ^b â â ^r ^r ^l ^l ⁱ ⁱ ⁿ ⁿ ê ê â â ^r ^r ^y ^ya ân ^ng ^g ^se ^s ês ^su ûa âi ⁱ

u u n n t t u u k k p p e e n n y y e e l l e e s s a a i i a a n n s s i i s s t t e e m m p p e e r r s s a a m m a a a a n n l l i i n n e e a a r r ( ( S S P P L L ) ) , , s s e e b b a a g g a a i i k k er e ra an ng gk k a a ke k er r j j a a un u nt t uk u k d d e e r r e e t t F F o o u u r r i i e e r r ( ( un u nt t uk u k p pe em m am a m pa p at ta an n ci c i t t r r a) a ) , , at a t au a u un u nt t uk u k da d ap pa at t di d i g g un u na ak ka an n da d al l am a m t t ek e kn ni i k k so s ol l us u si i p pe er r s s am a ma aa an n d d i i f f e e r r e e n n s s i i a a l l p p a a r r s s i i a a l l ( ( P P D D P P ) ) . .

  ^Le ^L êb ^bi ⁱ ^h ^h ^j ^j âu â ûh ^h ^la ^l âg ^gi ⁱ ^, ^, ^r ^r ûa û ân ^ng ^g ^ve ^v êk ^kt ^t ôr ô ^r ^me ^m ên ^ny ^ya âj ^j ⁱ ⁱ ^k ^k ân â ⁿ ^ca ^c âr ^r â â âb â ^bs ^st ^t ^r ^r âk â ^k ^da ^d ân ⁿ

b b e e b b a a s s k k o o o o r r d d i i n n a a t t u u n n t t u u k k p p e e n n g g a a n n a a n n o o b b j j e e k k g g e e o o m m e e t t r r i i s s d d a a n n f f i i s s i i s s s s e e p p e e r r t t i i t t en e n so s o r r . .

  ^D ^D û û â â ^b ^b û û â â ^h ^h ^v ^v ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^d ^d ⁱ ⁱ ^k ^k â â ^t ^t â â ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^s ^s â â ^m ^m â â â â ^p ^p â â ^b ^b ⁱ ⁱ ^l ^l â â ^k ^k ê ê ^d ^d û û â â ⁿ ⁿ ^y ^y â â ^m ^m ê ê ^m ^m ⁱ ⁱ ^l ^l ⁱ ⁱ ^k ^k ⁱ ⁱ

p p a a n n j j a a n n g g d d a a n n a a r r a a h h y y a a n n g g s s a a m m a a

  ^D ^D û û â â ^b ^b û û â â ^h ^h ^v ^v ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^d ^d ⁱ ⁱ ^s ^s ê ê ^b ^b û û ^t ^t ^s ^s ê ê ^j ^j â â ^j ^j â â ^r ^r ⁽ ⁽ ^p ^p â â ^r ^r â â ^l ^l ê ê ^l ^l ⁾ ⁾ â â ^p ^p â â ^b ^b ⁱ ⁱ ^l ^l â â ^g ^g â â ^r ^r ⁱ ⁱ ^s ^s ^y ^y â â ⁿ ⁿ ^g ^g

me m er r ep e pr r es e se en nt t as a si ik ka an n k ke ed du ua an ny ya a ad a da al la ah h s s ej e j aj a j ar a r . .

(6)

Resultan Penjumlahan dan Dilatasi dalam Ruang Vektor Resultan Penjumlahan dan Dilatasi dalam Ruang Vektor

P

en

e

nj j um

u

ml l ah

a

ha an n v ve ek kt t or

o

r da

d

an n pe

p

er rk ka al l ia

i

an n sk

s

k al

a

l ar

a

r: : S

S

eb

e

bu ua ah h ve

v

ek kt t or

o

r v v ( ( bi

b

i r

r

u)

u

) di

d

i t

t

am

a

m ba

b

ah hk ka an n k ke e ve

v

ek k t

t

or

o

r l

l

ai

a

i n

n

w w ( (

mmereraahh)

). .

Resultan =

v+w

w v

B

e

r

i

k

u

t

i

n

i

,

w w d

d

i

r

e

g

a

n

g

k

a

n

(

d

i

l

a

t

a

s

i

)

d

e

n

g

a

n

f

a

k

t

o

r

2

,

m

e

n

g

h

a

s

i

l

k

a

n

j

um

u

m la

l

ah h v v +

+

2·

2

· w w .

.

Resultan =

v+ 2 · w

2 · w

v

(7)

Beberapa Notasi dan Pengertian Vektor Beberapa Notasi dan Pengertian Vektor

• Secara umum, suatu vektor merupakan vektor kolom,

,1

,2

, k

k

k n

v

 

 

 

 

 v 

v v v

• namun jika ingin menuliskan vektor baris:

,1 ,2 ,

b b b n

v

T



^_

v v

^

v

^_

maka diberi indeks-atas yang menyatakan simbol “transpos” (x

^T

)

• Jika Jika diperlukan, dimensi vektor dan atau

vektor dapat dituliskan dalam indeks-bawah

(u

_mxn

, y

_nx1

, dlsb)

(8)

Notasi Matriks (Ulangan) Notasi Matriks (Ulangan)

• Matrik, dalam matematika dan fisika, adalah kumpulan

bilangan, simbol, atau ekspresi (ungkapan), berbentuk

persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.

• Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.

• Matriks, simbolnya dituliskan dalam huruf besar (kapital).

• Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom (2 x 3) yaitu:

1 7 11

17 3 4

M   

     

1,1 1,2 1,3

2 3

2,1 2,2 3,3

a a a

A

^

a a a

 

  

 

(9)

Skalar [#1]

 Konsep skalar dipakai dalam ilmu matematika dan fisika serta ilmu teknik sebagai terapannya. Konsep yang dipakai dalam ilmu fisika dan teknik adalah versi yang lebih konkret (aplikatif yang nyata) dibandingkan yang ada dalam matematika.

 Dalam ilmu matematika (mathematics), arti skalar bergantung pada konteksnya; kata ini dapat berkaitan dengan bilangan nyata atau bilangan kompleks atau bilangan rasional.

 Secara umum, ketika vektor ruang dalam medan F dipelajari, maka F disebut medan skalar. Dalam aljabar matriks, skalar didefinisikan sebagai matriks berordo 1×1 dan memiliki sifat-sifat seperti bilangan belaka.

 Dalam ilmu fisika (physics), skalar adalah kuantitas yang dapat dijelaskan dengan suatu angka (baik tanpa dimensi, atau dalam suatu kuantitas fisika). Berbeda dengan vektor, kuantitas skalar mempunyai besar (magnitude), tetapi tidak mempunyai arah.

 Secara lebih formal, suatu skalar adalah besaran yang tidak berubah dalam rotasi koordinat (atau transformasi Lorentz, untuk relativitas).

(10)

Skalar [#2]

Bila kita mengukur suatu “besaran fisika”, maka kita akan dapatkan suatu angka, nilai atau kumpulan angka-angka dan susunan tertentu.

Contoh: jika kita mengukur massa, jarak, waktu, muatan listrik, suhu (temperatur), volume, usaha, kerja, kecepatan, energi, densitas, dsb, maka akan didapatkan

“besaran” sebagai skalar.

Beberapa skalar dapat diperbandingkan bila mereka memiliki satuan yang sama.

Misalnya, kita dapat membandingkan

variabel-variabel kecepatan yang memiliki

satuan km/jam (atau bahkan m·s

^-1

), namun

kita tak dapat membandingkan suatu variabel

kecepatan dengan densitas, densitas

dengan viskositas dan seterusnya.

(11)

Skalar dan Larik (

Skalar dan Larik ( Array Array ) ₎

Suatu barisan atau runtunan (sequence) skalar dalam order tertentu disebut juga suatu larik (array).

Sebagai contoh, bila pengukuran kita lakukan dalam 1 hari penuh dan mencatatnya dalam sekuens (urutan yang teratur) maka akan kita dapatkan suatu “larik pengukuran” (array of a mesurements)

Suatu “larik dari larik” yang disusun berdasarkan nilai-nila skalar seperti di atas sehingga membentuk tabel berbentuk persegi panjang, maka tabel yang terbentuk dinamakan juga suatu matriks.

Sebagai contoh, bila pengukuran seperti di atas kita lanjutakan sampai beberapa hari berbeda dan setiap harinya kita lakukan

sejumlah pengukuran yang sama seperti hari-hari sebelumnya, sehingga kita dapat menyusunnya sebagai sebuat tabel persegi-empat, maka tabel tersebut dinamakan matriks.

Suatu matriks terdiri atas m baris dan n kolom.

(12)

Produk Skalar (#1) Produk Skalar (#1)

Konsep produk skalar (scalar dot product) berkaitan dengan operasi 2 buah vektor yang dapat dijelaskan sbb:

 Bila vektor u   u u

1

, ,

2

 , u

_n

 dan v   v v

1

, ,

2

 , v

_n

 , maka

 “produk skalar” dari kedua vektor di atas didefinisikan sebagai

 

1

2

1 2

1

, , ,

ⁿ

T

n i i

i

n

u v uv



   

     

   

 



 

v

u u u v u v

v

di mana Σ melambangkan notasi penjumlahan (summation

notation) dan n adalah dimensi ruang vektor.

(13)

Produk Skalar (#2) Produk Skalar (#2)

Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar dari vektor-vektor:

 ^{1, 3, 5}   ^{4, 2, 1} 

u   dan v    adalah

 ^{1, 3, 5}  ⁴ ² ^{(1 4)} ⁽³ ²⁾ ^{( 5} ¹⁾

1 3

u v u v

T

   

               

  

 



Hal “produk skalar” seperti di atas akan dibahas lebih jauh dan komprehensif dalam pembahasan vektor

selanjutnya.

(14)

Vektor:

Vektor: Definisi dan Konsep Definisi dan Konsep

Vektor dalam ilmu matematika dan fisika didefinisikan sebagai suatu obyek geometri yang memiliki besar dan arah dalam ruang.

Vektor, jika digambarkan dalam ruang, dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah.

Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai

Vektor memiliki peran yang sangat penting dalam ilmu fisika, yaitu dalam perhitungan dan penentuan:

posisi, medan listrik, kecepatan dan percepatan (dari suatu obyek yang bergerak), serta gaya.



AB

(15)

Vektor

Vektor secara Geometris (#1) secara Geometris (#1)

Vektor sebagai panah dapat “ditranslasikan” sepanjang garis lintasan vektor tersebut (disebut garis aplikasi) dan dapat

dipindahkan (digeser) sejajar dengan garis aplikasi tersebut dan

vektor dapat juga diaplikasikan ke setiap titik ruang sepanjang

besarnya (magnitude) dan arahnya tidak berubah.

(16)

Vektor

Vektor secara Geometris (#2) secara Geometris (#2)

 Setiap VEKTOR dinyatakan secara geometris sebagai segmen

garis berarah pada bidang (R²

) atau ruang (R

³

), dengan notasi

garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik

awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung atau pucuk) vektor tersebut (Gambar [a])

 Vektor-vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen (Gambar [b])

A

B

a   

AB

[a]

A

B

[b]

(17)

Vektor

Vektor sebagai sebagai “ “ titik titik ” ”

Ketika vektor direpresentasikan sebagai titik di dalam ruang, kita juga dapat memandangnya bahwa vektor tersebut sebagai panah yang dimulai dari awal suatu sistem koordinat yang mengarah (menuju) ke titik tersebut.

Karena sistem koordinatnya tidak berubah, maka kita hanya perlu untuk menggambarkan titik-titik jalurnya tanpa panah.

Menggunakan vektor sebagai titik, akan mewakilkan nilai multidimensi hanya sebagai satu titik dalam ruang multidimensi. Hal ini sangat

menyderhanakan.

(18)

Vektor

Vektor secara Aljabar secara Aljabar

 Misalkan

u

⁽

ˆu

atau kadang ditulis

u 

) merupakan suatu vektor di



1 2



2

u ˆ u , u

R  

^{, dimana}

u , u

₁ ₂

 R

 Misalkan pula bahwa

ˆv

(atau

v 

) merupakan suatu vektor di



1 2 3



3

v v , v , v R   

, dimana

v , v , v

₁ ₂ ₃

 R

 Maka: dalam hal seperti di atas:

u , u

₁ ₂^disebut

u 

komponen , sedangkan

v , v , v

₁ ₂ ₃ disebut

v 

komponen

 Dua buah vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar dan arahnya sama atau dengan kata lain: komponen yang

“bersesuaian sama”

Contoh:

Diketahui

u   u , u

1 2



dan

q   q , q

1 2



1 1 2 2

u w u w

u  w   dan 

(19)

Vektor Posisi Vektor Posisi



Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik asal ordinat

y

x



1, 1



A = x y

a 



1, 1



, vektor posisi titik OA =

A x y

O

(20)

Vektor dan Larik (

Vektor dan Larik ( Array Array ) )

Tidak seperti larik (array) biasa, vektor adalah sesuatu yang khusus yang dapat kita bisa dilihat dalam sudut pandang yang berbeda, baik dalam pengertian aljabar atau pun geometris.

Secara aljabar, sebuah vektor adalah hanyalah sebuah larik yang beranggotakan elemen-elemen skalar.

Dari sudut pandang komputasi (aplikasi pemrograman komputer), suatu vektor direpresentasikan sebagai larik 2-dimensi, sementara larik biasa direpresentasikan sebagai larik 1-dimensi, seperti telah dibahas di atas.

Secara geometris, vektor direpresentasikan sebagai

panah atau titik dalam ruang.

(21)

Vektor:

Vektor: Contoh dan Perbandingan Contoh dan Perbandingan

Contoh dari vektor dalam ilmu fisika, adalah: perpindahan (displacement), kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan listrik, dll.

Dua buah vektor (atau lebih) dapat diperbandingkan jika mereka memiliki satuan fisik dan dimensi geometrik yang sama.

Sebagai contoh, suatu gaya 2-dimensi dapat bandingkan dengan gaya 2-dimensi yang lain, tetapi suatu gaya 2- dimensi tak dapat dibandingkan dengan gaya lain yang 3- dimensi.

Demikian pula, kita tak dapat membandingkan suatu

gaya dengan kecepatan karena keduanya tidak

memiliki satuan fisik yang sama.

(22)

Vektor:

Vektor: Ukuran Ukuran dan dan Panjang Panjang

Jumlah total elemen (anggota) himpunan dalam suatu vektor disebut juga sebagai dimensi atau ukuran dari vektor. Karena vektor dapat memiliki sejumlah n elemen, maka ruang di mana vektor tersebut berada disebut sebagai ruang multidimensi dengan dimensi n.

Ukuran (magnitude) suatu vektor disebut juga sebagai panjang vektor, atau norma suatu vektor.

Arah suatu vektor dalam ruang diukur (secara relatif) dengan vektor sejenis lainnya (yaitu: standard basis vector), direpresentasikan oleh sudut cosinus yang terbentuk di antara kedua vektor tersebut.

x y

0 φ

v

cos 0

0 x

  v

(23)

Vektor Satuan (

Vektor Satuan (Unit Vector Unit Vector ) )

 Vektor satuan (unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang "satu satuan"  digunakan

untuk menunjukkan arah.

 Seperti sebelumnya, suatu vektor satuan dapat diindikasikan dengan sebuah "topi" di atas

huruf " a " kecil sebagaimana â ^.

 Vektor satuan dari sebuah vektor dapat juga dihitung dengan cara sbb:

1

ˆ

2

ˆ

3

ˆ

ˆ  a  a  a  a

a i j k

a a a a

(24)

Normalisasi Vektor (

Normalisasi Vektor (Vector Normalizing Vector Normalizing ) )

 Vektor satuan (unit vector) adalah suatu vektor dengan

panjang "satu satuan"  digunakan untuk menunjukkan arah.

 Normalisasi (normalizing) vektor: suatu vektor dengan panjang sembarang dibagi oleh panjangnya untuk mendapatkan vektor satuan. Untuk normalisasi vektor a ^{= [} a

1

, a

2

, a

3

], bagilah vektor tersebut dengan panjangnya || a ||, sehingga:

1 2 3

ˆ  a  a  a  a

a e e e

a a a a

 Normalisasi suatu vektor a menjadi vektor satuan â:

(25)

Menentukan

Menentukan Panjang Vektor Panjang Vektor

Menentukan panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian 3-dimensi, digunakan cara berikut:

2 2 2 2 2 2

1 2 3

a

_i _j _k

       

a a a

a e e e

sebagai konsekuensi logis dari Teorema Pythagoras, karena pada dasarnya e

₁

, e

₂

, e

₃

merupakan vektor-

vektor satuan yang saling tegak-lurus (ortogonal).

Persamaan di atas, sebenarnya identik dengan akar

pangkat dua dari produk titik (dot product) dari vektor itu sendiri:

ˆ ˆ a a

     

a a a

(26)

Vektor Nol (

Vektor Nol ( Null Vector Null Vector ) )

 Vektor nol (null vector atau zero vector)

adalah suatu vektor yang panjangnya “nol".

 Penulisan dalam koordinat vektor ini adalah (0,0,0), dan biasanya diberi lambang 

0 ^,

atau 0 ^.

 Vektor nol tidak dapat dinormalisasi (tak ada vektor satuan sebagai kelipatan vektor nol).

 Jumlah vektor nol dengan vektor

sembarang a ^adalah a (artinya: 0 ⁺ a ⁼ a ^).

(27)

Aksioma Operasi Vektor Ruang Aksioma Operasi Vektor Ruang

Suatu ruang vektor adalah kumpulan vektor V, bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, yang memenuhi aksioma- aksioma berikut:

Aksioma dan Definisi Pernyataan (Ungkapan)

Sifat asosiatif penjumlahan u + (v + w) = (u + v) + w

Sifat komutatif penjumlahan v + w = w + v

Elemen identitas penjumlahan Terdapat elemen 0 ∈ V, dinamakan sebagai vektor nol, sedemikian sehingga v + 0 = v untuk semua v ∈ V Elemen invers penjumlahan Untuk semua v ∈ V, terdapat elemen w ∈ V, dinamakan

sebagai invers penjumlahan v, sedemikan sehingga v + w = 0. Invers penjumlahan ini dilambangkan sebagai −v

Sifat distributif perkalian skalar terhadap

penjumlahan vektor a(v + w) = av + aw

Sifat distributif perkalian skalar terhadap

penjumlahan medan (a + b)v = av + bv

Kesesuaian perkalian skalar dengan perkalian medan

a(bv) = (ab)v

Aksioma ini tidak menyatakan sifat asosiatif operasi, karena ada dua operasi dalam hal ini, perkalian skalar: bv; dan perkalian medan: ab

Elemen identitas pada perkalian skalar 1v = v, dengan 1 melambangkan entitas perkalian dalam F

(28)

Operasi

Operasi--operasi Vektor:operasi Vektor:

[#01]. Penjumlahan Vektor [#01]. Penjumlahan Vektor

Hanya vektor-vektor yang berukuran (jumlah elemen) dan berbentuk (kolom atau baris) sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jika:



³ ^{1 0 ;}



^{3 ;}⁴ ² ^;



^{1 5 ;}



⁴

3 2

1

a b c d e

 

   

                 

maka

 a  b  tidak dapat hasil

 a  c  tidak dapat hasil

 a  d  tidak dapat hasil

 a  e  tidak dapat hasil

 b  c  tidak dapat hasil

 b  d  tidak dapat hasil

 b  e  tidak dapat hasil

 c  d  tidak dapat hasil

 c  e  diperoleh hasil

 d  e  tidak dapat hasil

(29)

Operasi

[#02]. Perkalian Vektor dengan Skalar [#02]. Perkalian Vektor dengan Skalar

Semua jenis vektor, yang berukuran (jumlah elemen) atau berbentuk (kolom atau baris) apapun dapat dikalikan dengan suatu vektor (konstanta).

Jika:



³ ^{1 0 ;}



^{3 ;}⁴ ²

1 3

a b c

 

   

          

maka

 r  3a 



⁹ ^^{3 0}



 s  1b 

4 3 1

  

  

 

 t  5c  10 15

 

 

 

(30)

Operasi

[#03a]. Transpos Vektor [#03a]. Transpos Vektor

Operator “transpos” (transpose) mengindikasikan atau menyatakan “pertukaran posisi” atau

“perubahan tempat” antara baris dengan kolom dan sebaliknya. Misalnya: jika u adalah suatu vektor kolom, maka vektor barisnya dinyatakan sebagai u^T ^.

Jika:



³ ^{1 ;}



^{3 ;}⁴ ² ³

0 1 1

a b c

 

  

          

maka

 a^T  3 1

  

 

 b^T 



^^{4 3} ^¹



 c^T  2 0

3 1

 

 

 

(31)

Operasi

[#03b]. Sifat

[#03b]. Sifat- -sifat Transpos Vektor sifat Transpos Vektor

Operator “transpos” (transpose) mengindikasikan atau menyatakan “pertukaran posisi” atau “perubahan tempat”

antara baris dengan kolom dan sebaliknya. Misalnya: jika u adalah suatu vektor kolom, maka vektor barisnya dinyatakan sebagai u

^T

.

Jika:

 Suatu operasi transpos merupakan "involusi"

(self-inverse)

 Operasi transpos mengikuti operasi penjumlahan

atau pengurangan

(32)

SOAL - Latihan

Diketahui dua vektor berikut ini:

 P  2 i  4 j  3 k

 R  6 i  2 j  k

Selesaikanlah hasil-hasil operasi vektor seperti di bawah ini:

(a). P · R

(b). P x R

(33)

(34)

Operasi Vektor dan Hasil Kali Vektor Operasi Vektor dan

Operasi Vektor dan Hasil Kali VektorHasil Kali Vektor

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x b

     

      

     

(35)

Aritmetika Vektor

Aritmetika Vektor (Review #1) (Review #1)

Q R

S P

u 

v 

w 

 

u   v   w 

 ^u ^ ^ ^v ^  ^ ^w ^

P P er e rh ha at ti ik ka an n ! !

V V e e k k t t o o r r ^u ^ ^  ^v ^ ^ ^w ^  ^dan  ^u ^ ^ ^v ^  ^ ^w ^ adalah sama!

(36)

Aritmetika Vektor

Aritmetika Vektor (Review #2) (Review #2)

Q R

P S

u 

v 

w 

P P e e r r ha h a ti t ik ka a n! n !

Ve V e kt k to or r ^u ^ ^  ^v ^ ^ ^w ^  ^dan  ^u ^ ^ ^v ^  ^ ^w ^ adalah sama

(37)

Norma

Norma suatu suatu Vektor Vektor (Review #1) (Review #1)

  J J i i k k a a v =  v v

1

,

2

 a a d d a a l l a a h h v v e e k k t t o o r r d d i i R

²

( ( r r u u a a n n g g d d i i m m e e n n s s i i 2 2 ) ) , , m m ak a k a a " " n n o o rm r ma a" " ( ( p p an a nj j a a n n g g ) ) v v ek e k to t or r v d d i i t t u u l l is i s v d d i i d d e e f f i i n n i i s s i i k k a a n n s s e e b b a a g g a a i i ( ( i i n n g g a a t t r r u u m m u u s s p p h h y y t t a a g g o o r r a a s s ! ! ) ) : :

1 2

2 2

= +

v v v

  D D i i R

³

( ( r r u u a a ng n g d d i i m m e e n n s s i i 3 3 ), ) , j j ik i ka a v v e e k k t t o o r r w =  w w w

1

,

2

,

3



m m a a k k a a “ “ n n o o r r m m a a ” ” d d a a r r i i v v e e k k t t o o r r w tersebut adalah:

1 2 3

2 2 2

= + +

w w w w

(38)

Norma

Norma suatu suatu Vektor Vektor (Review #2) (Review #2)

  ^J ^J îk ⁱ ^k â â ^P

₁

⁼ _ ^{x y z}

₁

^,

₁

^,

₁

_ ^da ^d ^an ⁿ ^P

₂

⁼ _ ^x

₂

^, ^y

₂

^, ^z

₂

_ â â ^d ^d âl â ^la âh ^h ² ²

t t i i t t i i k k d d i i R

³

( ( r r u u a a n n g g d d i i m m e e n n s s i i 3 3 ) ) , , m m a a k k a a j j a a r r a a k k d d d i i a a n n t t a a r r a a k k e e d d u u a a t t i i t t i i k k t t e e r r s s e e b b u u t t a a d d a a l l a a h h n n o o r r m m a a v v e e k k t t o o r r

1 2

P P



, , k k a a r r e e n n a a : :

 

1 2

=

2 1

,

2 1

,

2 1

P P x  x y  y z  z



Ma M ak k a, a , ja j ar ra ak k d dapat dihitung sebagi berikut:



2 1



²



2 1



²



2 1



²

1 2

=

d P P

x x y y z z



    



(39)

Norma

Norma suatu suatu Vektor Vektor (Review #3) (Review #3)

  J J a a r r a a k k d d a a r r i i t t i i t t i i k k ^P

1

=  x y z

1

,

1

,

1

 k k e e ^P

2

=  x

2

, y z

2

,

2



ad a d al a la ah h n no o rm r ma a v ve ek kt to or r P P

₁ ₂



, , y ya an ng g d di ig g am a mb ba ar rk k an a n: :

 

P₂ = x₂, y₂, z₂

 

P₁ = x y z₁, ₁, ₁

x

z

y

  S S u u a a t t u u v v e e k k t t o o r r b b e e r r n n o o r r m m a a 1 1 ( ( s s a a t t u u ) ) , , d d i i s s e e b b u u t t v v e e k k t t o o r r s s a a t t u u a a n n

(40)

Resultan Penjumlahan Dua Buah Vektor Resultan Penjumlahan Dua Buah Vektor

Pe P e n n j j u u m m l l a a ha h an n du d u a a bu b ua ah h ve v ek k to t or r: : p p e e r r h h at a t ik i ka an n d d i i ba b aw wa ah h in i ni i, , ve v e k k to t o r r

v v ( ( b b i i r r u u ) ) d d i i t t a a m m b b a a h h k k a a n n k k e e v v e e k k t t o o r r w w ( ( m m e e r r a a h h ) ) , , i i l l u u s s t t r r a a s s i i n n y y a a a a d d a a l l a a h h : :

Resultan

= r

w v

w

v _ ^

r 

J J i i k k a a r 

a a d d a a l l a a h h h h a a s s i i l l p p e e n n j j u u m m l l a a h h a a n n ( ( = = r r e e s s u u l l t t a a n n ) ) d d u u a a b b u u a a h h v v e e k k t t o o r r , , m m a a k k a a : :

2

2 cos( )

v v

r   w    w  

(41)

Hal PENTING yang perlu diketahui

Jika dua buah vektor

₁

F  dan

₂

F  dengan besar nilai yang sama

dan keduanya membentuk sudut 120º, maka resultan kedua vektor tersebut besarnya sama dengan besar salah satu vektornya. Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini:

120º

60º 60º

F1

F

2

F

1

F

2

1 2

 

R F F

(42)

(Ulangan #1) (Ulangan #1)

Operasi Penjumlahan Vektor di R Operasi Penjumlahan Vektor di R

²



Penjumlahan di

R

² (bidang atau ruang 2 dimensi):

Jika ada 2 buah vektor di

R

² , masing-masing adalah



1

,

1



p   x y

dan

r    x

2

, y

2



, maka hasil penjumlahan keduanya adalah:



1 2

,

1 2



p   r   x  x y  y

Secara geometri dapat digambarkan sbb:

y

x

 

p

1 1

= x y,

 

r

2 2

= x , y

 1 

p r

2 1 2

= x + x , y + y

(43)

Operasi Penjumlahan Vektor di R Operasi Penjumlahan Vektor di R

³

 Penjumlahan di R

³

(ruang 3 dimensi):

Jika ada 2 buah vektor di R

³

^{, masing-} masing u    x y z

1

,

1

,

1



dan v    x

2

, y z

2

,

2



, maka hasil penjumlahan keduanya adalah:



1 2

,

1 2

,

1 2



u   v   x  x y  y z  z

(44)

Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar

 Perkalian Vektor dengan SKALAR:

Definisi: u    x y

1

,

1



adalah sembarang vektor di

R

2

(ruang 2 dimensi) dan k adalah bilangan riil (nyata) “tak nol” (berupa SKALAR), maka hasil kali

k u 

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya

k kali panjang u 

dan arahnya sama seperti arah

u 

jika k  0 dan berlawanan arah jika k  0 ^.

(45)

Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor

 Perkalian “dot” Vektor:

Hasil kali titik (dot product) merupakan operasi perkalian antara dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar.

Misal

a 

dan

b 

adalah vektor-vektor pada ruang yang sama, maka hasil kali titik dari dua vektor tersebut didefinisikan:

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3

a a x b

a a x b

     

      

     

a a x b

a a x b

     

      

     

Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar

• Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil

• Vektor, simbol atau variabelnya juga akan dituliskan menggunakan huruf kecil (akan berbeda dengan skalar sesuai konteksnya): cetak tebal (bold) bila

menggunakan “topi” (tanda caping, ^) di atasnya atau cetak biasa bila menggunakan tanda panah di atasnya.

• Vektor satuan, adalah suatu vektor yang

ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1 (satu satuan).

• Umumnya dituliskan dengan menggunakan topi (bahasa Inggris: hat), sehingga: ˆu dibaca

"u-topi" ('u-hat').

Teori Ruang Vektor (#1) Teori Ruang Vektor (#1)

  Ru R u a a n n g g ve v e k k to t or r a a d d a a l l a a h h s s t t r r u u k k t t u u r r m m a a t t e e m m a a t t i i k k a a y y a a n n g g d d i i b b e e n n t t u u k k

  R R u u a a n n g g v v e e k k t t o o r r m m e e ru r up p a a k k a a n n s s u u b b je j e k k y ya a n n g g h h a a r r u u s s d d i i p p ah a h a a m m i i

b b a a n n y y a a kn k n y y a a a a ra r a h h i i nd n d e e pe p e n n de d e n n d d a a la l am m r ru u a a n n g g . .

  T T e e o o r r i i r r u u a a n n g g v v e e k k t t o o r r j j u u g g a a d d i i k k e e m m b b a a n n g g k k a a n n d d e e n n g g a a n n

m m e e m m p p e e r r k k e e n n a a l l k k a a n n s s t t r r u u k k t t u u r r t t a a m m b b a a h h a a n n , , s s e e p p e e r r t t i i n n o o rm r m a a a a t t a a u u h h a a s s i i l l k k a a l l i i d d a a l l a a m m . .

  R R u u a a n n g g s s e e p p e e r r t t i i i i n n i i m m u u n n c c u u l l d d e e n n g g a a n n a a l l a a m m i i a a h h d d a a l l a a m m a a n n a a l l i i s s i i s s

m m a a te t em m a a ti t i k k a a , , d d a a la l am m b be e n n tu t u k k r ru ua a ng n g f f un u n g g s s i i b b e e rd r d i i m m e e n n si s i

t t a a kh k h i i ng n gg ga a , , d d e e n n ga g a n n ve v e kt k t o o r r n n ya y a a a d d a a la l a h h f f u u n n g g s s i. i .

Teori Ruang Vektor (#2) Teori Ruang Vektor (#2)

  Sk S k al a la a r r u u m m u u m m n n y y a a bi b i la l an ng ga a n n r ri i i i l l , , t t a a p p i i p p e e r r u u m m u u s s a a n n r r u u a a n n g g

  O O pe p er ra as si i p pe en nj ju um m l l ah a ha a n n d da an n p pe er rk ka al li ia an n v v ek e kt to or r h ha ar ru us s

m m em e m en e nu uh h i i p p er e rs sy ya ar ra at ta an n t te er rt t en e nt t u u   a a k k s s i i o o m m a. a .

  Co C on nt to oh h ru r ua an ng g v ve ek kt t or o r a a da d al la ah h ve v ek k to t or r E Eu uk kl li id de es s ya y an ng g

s s e e r r i i n n g g d d i i g g u u n n a a k k a a n n u u n n t t u u k k m m e e l l a a m m b b a a n n g g k k a a n n b b e e s s a a r r a a n n f f i i s s i i k k a a se s ep pe e rt r ti i g ga ay ya a. .

  Du D ua a g ga ay ya a d d e e n n g g a a n n je j en ni is s s sa am m a a d d a a p p a a t t di d ij ju um m l l ah a hk ka an n u u n n t t u u k k

  V V e e k k t t o o r r y y a a n n g g m m e e l l a a m m b b a a n n g g k k a a n n p p e e r r p p i i n n d d a a h h a a n n p pa a da d a bi b id da an ng g

a a t t a a u u p p a a d d a a r r u u a a n n g g t t i i g g a a d d i i m m e e n n s s i i j j u u g g a a m m e e m m b b e e n n t t u u k k r r u u a a n n g g

ve v ek kt to o r. r .

Sifat dan Aplikasi Ruang Vektor Sifat dan Aplikasi Ruang Vektor

  R R u u a a n n g g v v e e k k t t o o r r s s u u d d a a h h b b a a n n y y a a k k d d i i t t e e r r a a p p k k a a n n d d i i s s e e l l u u r r u u h h b b i i d d a a n n g g : :

m m a a t t e e m m a a t t i i k k a a , , s s a a i i n n s s da d an n r r e e k k a a y y a a s s a a . .

  Ru R ua an ng g ve v ek kt to or r m me er r u u pa p ak ka an n ko k on ns se ep p a a l l j j a a b b a a r r l l i i n n e e a a r r y ya an ng g se s es su ua ai i

  Le L eb bi i h h j j au a uh h la l ag gi i , , r r ua u an ng g ve v ek kt t or o r me m en ny ya aj j i i k k an a n ca c ar r a a ab a bs st t r r ak a k da d an n

b b e e b b a a s s k k o o o o r r d d i i n n a a t t u u n n t t u u k k p p e e n n g g a a n n a a n n o o b b j j e e k k g g e e o o m m e e t t r r i i s s d d a a n n f f i i s s i i s s s s e e p p e e r r t t i i t t en e n so s o r r . .

  D D u u a a b b u u a a h h v v e e k k t t o o r r d d i i k k a a t t a a k k a a n n s s a a m m a a a a p p a a b b i i l l a a k k e e d d u u a a n n y y a a m m e e m m i i l l i i k k i i

p p a a n n j j a a n n g g d d a a n n a a r r a a h h y y a a n n g g s s a a m m a a

  D D u u a a b b u u a a h h v v e e k k t t o o r r d d i i s s e e b b u u t t s s e e j j a a j j a a r r ( ( p p a a r r a a l l e e l l ) ) a a p p a a b b i i l l a a g g a a r r i i s s y y a a n n g g

me m er r ep e pr r es e se en nt t as a si ik ka an n k ke ed du ua an ny ya a ad a da al la ah h s s ej e j aj a j ar a r . .

Resultan Penjumlahan dan Dilatasi dalam Ruang Vektor Resultan Penjumlahan dan Dilatasi dalam Ruang Vektor

P

en

nj j um

ml l ah

ha an n v ve ek kt t or

r da

an n pe

er rk ka al l ia

an n sk

k al

l ar

r: : S

eb

bu ua ah h ve

ek kt t or

r v v ( ( bi

i r

u)

) di

i t

am

m ba

ah hk ka an n k ke e ve

ek k t

or

r l

ai

i n

w w ( (

). .

v+w

• Umumnya dituliskan dengan menggunakan topi (bahasa Inggris: hat), sehingga: ˆu ^dibaca

  ^Ru ^R û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^ve ^v ê ^k ^k ^to ^t ôr ^r â â ^d ^d â â ^l ^l â â ^h ^h ^s ^s ^t ^t ^r ^r û û ^k ^k ^t ^t û û ^r ^r ^m ^m â â ^t ^t ê ê ^m ^m â â ^t ^t ⁱ ⁱ ^k ^k â â ^y ^y â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^d ^d ⁱ ⁱ ^b ^b ê ê ⁿ ⁿ ^t ^t û û ^k ^k

  ^R ^R û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^v ^v ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^m ^m ê ê ^ru ^r ûp ^p â â ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^s ^s û û ^b ^b ^je ^j ê ^k ^k ^y ^ya â ⁿ ⁿ ^g ^g ^h ^h â â ^r ^r û û ^s ^s ^d ^d ⁱ ⁱ ^p ^p âh â ^h â â ^m ^m ⁱ ⁱ

  ^T ^T ê ê ô ô ^r ^r ⁱ ⁱ ^r ^r û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^v ^v ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^j ^j û û ^g ^g â â ^d ^d ⁱ ⁱ ^k ^k ê ê ^m ^m ^b ^b â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^d ^d ê ê ⁿ ⁿ ^g ^g â â ⁿ ⁿ

  ^Sk ^S ^k âl â ^la â ^r ^r û û ^m ^m û û ^m ^m ⁿ ⁿ ^y ^y â â ^bi ^b ⁱ ^la ^l ân ^ng ^ga â ⁿ ⁿ ^r ^ri ⁱ ⁱ ⁱ ^l ^l ^, ^, ^t ^t â â ^p ^p ⁱ ⁱ ^p ^p ê ê ^r ^r û û ^m ^m û û ^s ^s â â ⁿ ⁿ ^r ^r û û â â ⁿ ⁿ ^g ^g

  Ô Ô ^pe ^p êr ^ra âs ^si ⁱ ^p ^pe ên ^nj ^ju ûm ^m ^l ^l âh â ^ha â ⁿ ⁿ ^d ^da ân ⁿ ^p ^pe êr ^rk ^ka âl ^li îa ân ⁿ ^v ^v êk ê ^kt ^to ôr ^r ^h ^ha âr ^ru ûs ^s

  ^Co ^C ôn ^nt ^to ôh ^h ^ru ^r ûa ân ^ng ^g ^v ^ve êk ^kt ^t ôr ô ^r â â ^da ^d âl ^la âh ^h ^ve ^v êk ^k ^to ^t ôr ^r Ê Êu ûk ^kl ^li îd ^de ês ^s ^ya ^y ân ^ng ^g

  ^Du ^D ûa â ^g ^ga ây ^ya â ^d ^d ê ê ⁿ ⁿ ^g ^g â â ⁿ ⁿ ^je ^j ên ⁿⁱ îs ^s ^s ^sa âm ^m â â ^d ^d â â ^p ^p â â ^t ^t ^di ^d îj ^ju ûm ^m ^l ^l âh â ^hk ^ka ân ⁿ û û ⁿ ⁿ ^t ^t û û ^k ^k

  ^V ^V ê ê ^k ^k ^t ^t ô ô ^r ^r ^y ^y â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^m ^m ê ê ^l ^l â â ^m ^m ^b ^b â â ⁿ ⁿ ^g ^g ^k ^k â â ⁿ ⁿ ^p ^p ê ê ^r ^r ^p ^p ⁱ ⁱ ⁿ ⁿ ^d ^d â â ^h ^h â â ⁿ ⁿ ^p ^pa â ^da ^d â ^bi ^b îd ^da ân ^ng ^g

  ^Ru ^R ûa ân ^ng ^g ^ve ^v êk ^kt ^to ôr ^r ^m ^me êr ^r û û ^pa ^p âk ^ka ân ⁿ ^ko ^k ôn ^ns ^se êp ^p â â ^l ^l ^j ^j â â ^b ^b â â ^r ^r ^l ^l ⁱ ⁱ ⁿ ⁿ ê ê â â ^r ^r ^y ^ya ân ^ng ^g ^se ^s ês ^su ûa âi ⁱ

  ^Le ^L êb ^bi ⁱ ^h ^h ^j ^j âu â ûh ^h ^la ^l âg ^gi ⁱ ^, ^, ^r ^r ûa û ân ^ng ^g ^ve ^v êk ^kt ^t ôr ô ^r ^me ^m ên ^ny ^ya âj ^j ⁱ ⁱ ^k ^k ân â ⁿ ^ca ^c âr ^r â â âb â ^bs ^st ^t ^r ^r âk â ^k ^da ^d ân ⁿ