PROGR JURUSAN PE
SEKOLAH T PERS
OLEH :
1. ASRIA HIRDA YANTI ( 4007 2. ANNIE RACHMAWATI ( 40061 3. RUPITA FITRIANI ( 40070 4. PERA HIJA TERISTIANA ( 40070 5. HARTATI SUSANTI ( 40071
RAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIK PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
TINNGI KEGURUAN DAN ILMU PENDI RSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI LUBUKLINGGAU) 2010
007014 ) 06116 ) 07036 ) 07001 ) 07166 )
TIKA MU ALAM
RUAS GARIS BERARAH
Definisi : Suatu ruas (garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan (titik) pangkal dan ujung yang lain dinamakan (titik) akhir.
Apabila A dan B dua titik. Lambang kita gunakan sebagai ruas berarah
dengan pangkal A dan titik akhir B.
Definisi : apabila SA (A) = D dengan titik P titik tengah BC
• B •D
• P
A• •C
Contoh :
Diberikan titik A, B, C dan F pada bidang Euclid seperti berikut :
B•
A•
C•
F•
Lukis : i) D sehingga
ii) E sehingga
Penyelesaian
i. apabila SP (A) = D, dengan P titik tengah . Akibatnya titik D
diperoleh dengan cara menarik titik tengah , anda namakan titik P,
ii. apabila SQ (B) = E, dengan Q merupakan titik tengah .
Karena SQ (A) = F maka Q merupakan titik tengah . Karena Q titik
tengah maka SQ (B) = E. sehingga titik Q, kemudian mencari titik E
sehingga E = SP (B)
B • •D
A • •C
•F
• E
Teorema : Andaikan dan dua garis berarah yang tidak segaris, maka segi
empat ABCD sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika dan
Bukti:
1. Andaikan dan . Jika P titik tengah , maka Sp (A) = D menurut
definisi ke-ekivalenan: diagonal segiempat ABDC membagi sama panjang
di P. Ini berarti ABDC sebuah paralelogram.
2. Andaikan ABDC sebuah paralelogram maka diagonal-diagonal dan
berpotongan dititik P. Sehingga Sp (A) = D sebuah titk tengah
maupun titik tengah . Jadi =
Akibat : Jika = dan dan sejajar atau segaris.
Contoh :
Buktikan bahwa apabila maka AB = CD dan // atau = .
Penyelesaian :
Kita perhatikan dua kasus, yaitu
ii. Apabila A, B dan c tidak kolinear, maka // , = . Jadi apabila
maka = dan // atau =
Teorema : Diketahui ruas-ruas garis berarah , , dan maka
1. ( sifat refleksi )
2. Jika maka (simetrik)
3. Jika dan maka (transitif)
Bukti :
1. Namakanlah titik tengah dengan P, maka Sp (A) = B. Jadi
2. Karena maka segiempat ABDC jajaran genjang. Karena
segiempat CDBA = segiempat ABDC, maka segiempat CDBA jajaran
genjang. Akibatnya
3. Karena maka segiempat ABDC jajaran genjang. Akibat lebih
lanjut = dan // . . . (1)
Karena = maka segiempat CDEF jajaran genjang. Akibat lebih
lanjut = dan // . . . (2)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimppulkan bahwa :
= dan //
Jadi segiempat sebuah jajaran genjang. Akibatnya
Teorema : Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas berarah maka ada titik
tunggal Q sehingga =
• B
A • •R •Q
Bukti :
Untuk membuktikan keberadaan Q andaikan R titik tengah . Jika Q – Sr (A)
maka atau .
Untuk membuktikan ketunggalan titik Q. Andaikan . Jadi SR (A) = T
oleh karena R titik tengah . Berhubung peta A oleh SR tunggal, maka T = Q.
Jadi ini berarti satu-satunya ruas garis berarah dengan pangkal P dan titik
akhir Q yang ekivalen dengan .
Akibat I : Jika P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) dan P3P = (x3, y3) titik- titik yang
diketahui maka titik P (x3 + x2 – x1, y3 + y2 – y1) adalah titik tunggal sehingga
Akibat II : Jika Pn = (xn, yn), n = 1, 2, 3, 4 maka jika dan hanya
jika x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 – y1 = y4 - y3
Bukti akibat I :
Misalkan P = (x, y), karena dan misal R titik tengah maka SR
(P3) = P2 atau R titik tengah . Akibatnya diperoleh hubungan
R =
,
=,
Jadi, x = x3 + x2 – x1 dan y = y3 + y2 – y1
P = (x3 + x2 – x1, y3 + y2 – y1)
Bukti akibat II :
Karena , misalkan titik tengah , maka R titik tengah
akibatnya R =
,
=,
Atau x2 - x1 = x4 - x3 dan y2 - y1 = y4 - y3
Karena x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 – y1 = y4 - y3
dan !"! # $%x – x"( ) %y – y"(
!+!, # $%x, – x+( ) %y, – y+( - !"! # !+!, . . . . (1)
Karena x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 - y1 = y4 - y3 dan koefisien arah dari adalah
. .
Koefisien arah dari adalah .
.
-
// . . . .(2)Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan
Definisi : Andaikan sebuah garis berarah dan k suatu bilangan real. Apabila
k > 0, maka k /01 adalah ruas garis berarah /!1 sehingga P 2 /01 dan AP = k
(AB).
Apabila k > 0 maka k adalah ruas gari berarah dengan P anggota sinar
yang berlawanan arah dengan sedangkan AP = |k| AB. Dikatakan bahwa
adalah kelipatan .
Contoh :
Apabila diberikan titik-titik A dan B seperti dibawah ini, lukislah :
i. "
ii. 3+,
Penyelesaian :
i. Karena K = " > 0, maka " adalah sehinggga P 2 dengan AP = "
ii. Karena k = 3+, < 0, maka 3+, adalah sehingga Q anggota sinar
yang berlawanan dengan , dengan AQ = | 3+, | AB = +, AB.
B•
• P
• A
•Q
Soal :
1. Diketahui titik A, B, C, D tiap tiga titik tak ada yang segaris. Lukislah :
a) Titik E sehingga
b) Titik F sehingga
c) SA ( )
2. Diketahui A = (2,1), B = (3,4) dan C = (-1,5). Tentukan
a) D sehingga
b) E sehingga
c) F sehingga "
3. Jika A = (1, 3), B = (2, 7) dan C = (-1, 4) adalah titik-titik sudut
parallelogram ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.
Penyelesaian :
1. Karena maka . Akibatnya SP (A) = E dengan titik tengah
dari . Sehingga titik E diperoleh dengan cara mencari titik P sebagai titik
tengah dari , kemudian mencari E sehingga E = SP (A).
Karena maka . Akibatnya SP (B) = F dengan Q titik
tengah . Sehingga titik F diperoleh dengan cara mencari titik Q sebagai
titik tengah dari , kemudian mencari titik F sehingga F = SP (B).
Karena SA (A) = A dan BI = SP (B) dengan A titik tengah dari 4, maka SP
D • •C
• P
B• • A •B1
Q •
E• •F
2. Karena , dimisalkan D = (x, y) didapat hubungan
x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
x – (-1) = 3 – 2 dan y – 5 = -4 – 1. Sehingga x = 0 dan y = 0. Jadi D = (0, 0).
Karena , dimisalkan E = (x, y) didapat hubungan
x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
x – 2 = -1 – 3 dan y – 1 = 5 + 4. Sehingga x = -2 dan y = 10. Jadi D = (-2, 10).
Karena " , k > 0, maka F 2 dan AF = " AC. Jadi F titik tengah
. Jadi D = ( ", 3)
3. Karena ABCD suatu jajaran genjang, maka . Misalkan D = (x, y)
maka didapat hubungan x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
