RUAS GARIS BERARAH
9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana
Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian tentang ruas garis berarah sebagai berikut:
Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan titik akhir.
Apabila A dan B dua titik, lambang kita gunakan sebagai ruas garis berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Dengan dan AB melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa ⃗ menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui B.
Dua ruas garis dan disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB = CD, dan tidak perlu sama; adalah sebuah himpunan sedangkan AB adalah bilangan real. Jika dan kongruen ditulis ≅ .
Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah dan . Dalam membandingkan dua ruas garis berarah dan tidaklah sukup, jika AB = CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas garis berarah ekivalen dengan ruas garis berarah 㜊 yang ditulis sebagai
= .
Definisi: = apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah . Teorema 9.1:
Andaikan dan dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4 ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika = .
Bukti:
Akan ditunjukkan jika dan adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka ABCD jajargenjang ⟺ = .
Untuk menunjukkan hal tersebut pertama akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajargenjang dengan dan adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka = . Selanjutnya akan dibuktikan jika =
maka ABCD jajargenjang dengan dan adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.
(⟹) Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajargenjang dengan dan adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka =
Andaikan ABCD sebuah jajargenjang,
maka diagonal-diagonal dan berpotongan di tengah-tengah, misalkan di titik P, sehingga Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah maupun . Berdasarkan definisi keekivalenan, diperoleh = .
(⟸) Akan dibuktikan jika = maka ABCD jajargenjang dengan dan adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.
Andaikan = .
Buat titik tengah , misalkan titik P,
Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D. Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.
Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah segiempat ABCD. Dengan dan て adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi sama panjang di P.
Akibatnya segiempat ABCD adalah sebuah jajargenjang. Akibat Teorema 9.1:
Jika = maka AB = CD dan ⃖ ⃗ dan ⃖ ⃗ sejajar atau segaris. Bukti:
Akan dibuktikan = ⟹ = dan ⃖ ⃗ dan ⃖ ⃗ sejajar atau segaris. Andaikan =
Kasus ∈ ⃖ ⃗:
Karena = , menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan P adalah titik tengah , sehingga BP = PC.
Pilih titik P pada perpanjangan . Karena Sp(A) = D, artinya AP = PD
diperoleh AP = PD ⟺ AB + BP = PC + CD Karena BP = PC, maka AB = CD.
Buat garis yang melalui titik A dan D
diperoleh ⊂ ⃖ ⃗ dan ⊂ ⃖ ⃗ sehingga dan ∈ karena segaris dengan maka ⃖ ⃗ segaris dengan ⃖ ⃗. Kasus ∉ ⃖ ⃗:
Karena = , maka tidak segaris
Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajargenjang,
menurut karakteristik jajargenjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.
Karena // , ⊂ ⃖ ⃗ dan ⊂ ⃖ ⃗ maka ⃖ ⃗//⃖ ⃗. Teorema 9.2:
Diketahui ruas-ruas garis berarah , , dan maka 1. = (sifat reflexi);
2. jika = maka = (sifat simetrik);
3. jika = dan = maka = (sifat transitif). Bukti:
1. Akan dibuktikan = (sifat reflexi)
Misalkan P adalah titik tengah , maka Sp(A) = B Menurut definisi keekivalenan diperoleh = .
2. Akan dibuktikan jika = maka = (sifat simetrik)
Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang, diagonal-diagonal dan membagi sama panjang di P,
maka P dalah titik tengah akibatnya Sp(C) = B
menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah maka = .
3. Akan dibuktikan jika = dan = maka = (sifat transitif):
Diperoleh = apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah Diperoleh = apabila Sq(C) = F dengan Q titik tengah
Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang sehingga // dan // akibatnya // .
Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika = maka AB = CD, jika = maka CD = EF
Akibatnya AB = EF.
Karena AB = EF dan // maka ABFE jajargenjang. Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka // . Teorema 9.3:
Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah maka ada titik tunggal Q sehingga = .
Bukti:
Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga = Andaikan ada titik Q
misal R adalah titik tengah dengan Sp(A) = Q maka = Menurut teorema 9.2 (2) maka =
Akan dibuktikan Q tunggal,
Andaikan ada titik T sehingga = Karena R titik tengah maka SR(A) = T
Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga = Akibat 1:
Jika
Jika ( , ), ( , ), dan ( , ) titik-titik yang diketahui maka titik ( + − , + − ) adalah titik tunggal sehingga
= .
Andaikan P bukan titik tungga maka ≠ artinya − ≠ 0 diperoleh − =( − ) − ( − ) = [( + − , + − ) − ( , )] − [( , ) − ( , )] = [( + − − , + − − )] − [( 가 − , − )] = ( − , − ) − ( − , − ) = (0,0) = 0. Akibat 2: Jika = ( , ), = 1,2,3, … maka = ⟺ − = − , − = −
(⟹) Akan dibuktikan jika Jika = ( , ), = 1,2,3, … maka
= ⟹ − = − , − = −
Karena = maka = sehingga − = − ⟺ [( , ) − ( , )] = [( , ) − ( , )]
⟺ ( − , − ) = ( − , − )
menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A(a,b) = B(c,d) jika dan hanya jika = dan =
diperoleh − = − dan − = −
(⟸) Akan ditunjukkan jika − = − , − = − maka Jika = ( , ), = 1,2,3, … maka =
Dipunyai − = − , − = − maka dapat dibuat titik yang sama misalkan R dan S, dengan = ( − , − ) dan = ( − , − )
misalkan R = S ⟺ ( − , − ) = ( − , − ) ⟺ [( , ) − ( , )] = [( , ) − ( , )]
⟺ − = −
⟺ = ⟺ =
Jadi jika − = − , − = − maka Jika = ( , ), = 1,2,3, … maka =
Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar Definisi:
Andaikan sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka k adalah ruas garis berarah sehingga ∈ dan AP = k (AB) jika k>0.
Apabila k<0 maka k adalah ruas garis berarah dengan P anggota sinar yang berlawanan arah dengan ⃗ sedangkan AP = | | . Dikatakan bahwa adalah kelipatan .
SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN
1. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar?
a. = −
b. ( ) =
c. ( ) = ( )
d. Jika = ( ) maka ′ = 2
e. Jika = ( ) dan = ( ), maka = Jawab: a. Benar b. Benar c. Benar d. Benar e. Benar
2. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan: a. R sehingga =
b. S sehingga = c. T sehingga = Jawab:
a. R sehingga =
Berdasarkan teorema akibat jika = maka AR = BC sehingga
− = − ⟺ = − + ⟺ = −2 4 − 5 3 + 0 0 = −7 1 Jadi R = (-7,1). b. S sehingga =
Berdasarkan teorema akibat jika = maka CS = AB sehingga
− = − ⟺ = − + ⟺ = 5 3 − 0 0 + −2 4 = 3 7 Jadi R = (3,7). c. T sehingga =
Berdasarkan teorema akibat jika = maka TB = AC sehingga − = − ⟺ = − + ⟺ = 5 3 − −2 4 + 0 0 = 7 −1 Jadi R = (7,-1).
3. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan: a. D sehingga CD = AB b. E sehingga AE = BC c. F sehingga AF = Jawab: a. D sehingga CD = AB Karena CD = AB maka − = − ⟺ = − + ⟺ = 3 −4 − 2 1 + −1 5 = 0 0 Jadi D (0,0). b. E sehingga AE = BC Karena AE = BC maka − = − ⟺ = − + ⟺ = −1 5 − 3 −4 + 2 1 = −2 10 Jadi E (-2,10). c. F sehingga AF = Karena AF = maka − = − 〰 ⟺ =1 2 − + ⟺ =1 2 −1 5 − 2 1 + 2 1 = 1 2 3 Jadi koordinat E adalah ( ,3).
4. Jika A = (1,3), B = (2,7), dan C = (-1,4) adalah titik-titik parallelogram ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.
Jawab:
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka AB=CD dengan K adalah titik tengah BC dan AD.
Karena K titik tengah BC maka = , = , = ,
Karena K titik tengah AD maka = ,
⟺ 1 2, 11 2 = 1 + 2 , 3 + 2 ⟺1 + 2 = 1 2⟺ 1 + = 1 ⟺ = 0 ⟺3 + 2 = 11 2 ⟺ 3 + = 11 ⟺ = 8 Jadi koordinat D adalah (0,8).
5. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang ABCD, tentukan h dan k.
Jawab:
Karena ABCD jajargenjang maka = dan =
Dari = menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka
− = − ⟺ ℎ 3 − −2 4 = 3 0 − 5 ⟺ ℎ + 2 −1 = −2 −
Sehingga diperoleh ℎ + 2 = −2 ⟺ ℎ = −4 dan – = −1 ⟺ = 1.
6. Jika A(-h,-k), B(5,-2√3), C(k,8√3) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga = , tentukan h dan k.
Jawab:
Karena = maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD sehingga − = − ⟺ 5 + ℎ −2√3 + = −9 − ℎ − 8√3 ⟺ 5 + ℎ = −9 − ⟺ ℎ + = −14 ... (1) ⟺ −2√3 + = ℎ − 8√3 ⟺ ℎ − @ = 6√3 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3√3 dan h = - 7 + 3√3.
7. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi? a. Kesejajaran pada himpunan semua garis.
b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut. c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.
d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3. Jawab:
a. Relasi ekivalensi b. Relasi ekivalensi c. Relasi ekivalensi d. Bukan relasi ekivalensi e. Bukan relasi ekivalensi
8. Buktikan jika = dan = maka = dengan jalan memisahkan = ( , ), = ( , ), = (0,0) = ( , ).
Bukti:
Dari = diperoleh AB = CD maka − = −
⟺ = − + 0
− + 0 =
− −
Dari = diperoleh CD = EF maka − = −
⟺ − − − 0 0 = − ⟺ = − + − + Sehingga = −− ++ − = −− .
9. Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan: a. D sehingga AD = 3 AB b. E sehingga AE = c. F sehingga AF = -2 AB Jawab: a. D sehingga AD = 3 AB ( − ) = 3( − ) ⟺ ( − 0) = 3(1 − 0) ⟺ = 3
( − ) = 3( − ) ⟺ ( − 0) = 3(−3 − 0) ⟺ = −9 Jadi D = (3,-9). b. E sehingga AE = ( − ) =1 2( − ) ⟺ = 1 2( − ) + ⟺ =1 2(5 + 3) + 0 = 4 ( − ) =1 2( − ) ⟺ = 1 2( − ) + ⟺ =1 2(7 − 1) + 0 = 3 Jadi diperoleh E = (4,3). c. F sehingga AF = -2 AB ( − ) = −2( − ) ⟺ = −2( − ) + ⟺ = −2 + 3 ⟺ = −2.1 + 3.0 = −2 ( − ) = −2( − ) ⟺ = −2( − ) + ⟺ = −2 + 3 ⟺ = −2. (−3) + 3.0 = 6 Jadi diperoleh E = (-2,6).
10. Jika = (0,0), = ( , ), = ( , 쾈 ) dan = ( , ) sedangkan k>0, tentukan:
a. P sehingga = b. P sehingga =
c. Jika = maka = [ + ( − ), + ( − )] d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
Jawab:
a. P sehingga =
Karena = maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P =
kP0P1 sehingga − − = − − ⟺ − 0 − 0 = − 0 − 0 ⟺ = b. P sehingga =
Karena = maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P1P=kP1P2 sehingga − 呥− = − ⟺ − − = − − ⟺ − = − ⟺ = − ( − 1) ⟺ − = − ⟺ = − ( −1) Jadi = ( − ( − 1) , − ( −1) ) c. Jika = maka = [ + ( − ), + ( − )]
Karena = maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P3P=kP1P2 sehingga − − = − ⟺ − − = − − ⟺ − = − ⟺ = ( − ) + ⟺ − = − ⟺ = ( − ) + Jadi = ( ( − ) + , ( − ) + ) d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan.
11. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2) titik-titik diketahui, gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut: a. P sehingga = 4 b. R sehingga = c. S sehingga = 3 d. T sehingga = −2 Jawab: a. P sehingga = 4
Karena = 4 maka = 4 sehingga − = 4( − )
Diperoleh −− = 4 −− ⟺ = 4 −2 − 0 5 − 0 + 0 0 ⟺ = −8 20 Jadi koordinat P = (-8,20). b. R sehingga =
Karena = maka BR= BC sehingga R – B = ( − ) Diperoleh −− = −− ⟺ − 1− 3 = −2 − 1 5 − 3 ⟺ − 1 =−3 2 ⟺ = −1 2 ⟺ − 3 = 1 ⟺ = 4 Jadi koordinat R = ( , 4). c. S sehingga = 3
Karena = 3 maka DS = 3BC sehingga S – D = 3 (C – B)
Diperoleh −− = 3 −− ⟺ − 4 − (−2) = 3 −2 − 1 5 − 3 ⟺ − 4 = −9 ⟺ = −5 ⟺ + 2 = 6 ⟺ = 4 Jadi koordinat S = (−5,4). d. T sehingga = −2
Karena = −2 maka CT = -2DB sehingga T – C = -2 ( B – D ) Diperoleh − − = −2 − − ⟺ − (−2) − 5 = −2 1 − 4 3 − (−2) ⟺ + 2 = 6 ⟺ = 4 ⟺ − 5 = −10 ⟺ = −5 Jadi koordinat R = (4, −5).
12. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik Z dan W tidak pada garis-garis itu. Buktikan bahwa ′ = ′
Jawab:
Bukti bahwa ′ = ′
Tarik garis melalui Z’ dan W’ serta melalui Z dan W ′ dan ′ berpotongan di P
Jelas ′ ⊥ dan ′ ⊥ Jelas ′ ⊥ dan ′ ⊥ Jadi ZZ’// ′
1. ∠ = ∠ ′ (sudut dalam berseberangan)
2. ∠ = ∠ ′
3. ∠ = ∠
4. Berdasarkan teorema kekongruenan jika dan hanya jika segitiga sejenis yang berlaku ∠ = ∠ , ∠ = ∠ 㝡 , ∠ = ∠ (sd, sd, sd) maka kedua segitiga tersebut kongruen. Akibatnya ZZ’=WW’, Z’P=P, dan ZP=PW’
Jelas P adalah titik tengah ′ ′ dan W’=SP(Z) Jadi ′ = ′.
