TRANSFORMASI. 1) T(A) = A 2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis. Selidiki apakah

TRANSFORMASI. Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif, artinya : Jika T suatu transformasi, maka tiap titik B
V ada prapeta A
V sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A dan A dinamakan prapeta dari B. 2. Injektif, artinya : Jika    dan T(   , T(    maka    , atau jika T(     dan T(     sedangkan    maka    . Contoh : Andaikan A


. Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V. Jadi T : V. V yang didefinisikan sebagai berikut :. 1) T(A) = A . Selidiki apakah 2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis . padanan T tersebut suatu transformasi ?. Jawab : A. R. P. Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri. Ambil sebarang titik R  pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis sehingga ada tepat satu titik S dengan yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis . S antara A dan R, sehingga AS = SR. Ini berarti untuk setiap X
V ada satu Y dengan Y = T(X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V..

1) Apakah T surjektif , atau apakah daerah nilai T juga V ? untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y


apakah ada X


yang bersifat T(X) = Y ? Menurut ketentuan pertama, kalau Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A.. Y = T(X) A. Apabila Y. X. A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X.
  sehingga AY = YX.. yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y = Jadi Y adalah titik tengah  T(X). Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang surjektif.. 2) Apakah T injektif ? Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik  ,     . P,Q,A tidak segaris (kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q). A. T(P). P. T(Q). Q. Andaikan T(P) = T(Q)    
  maka dalam hal ini .     memilki Oleh karena T(P)
. dua titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). ini berarti bahwa garis . berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa
.     .

Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P). T(Q). Jadi, T injektif.. Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. Ditulis T : V. V..

Tugas: 1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut: Apabila P ∈ g maka P' = T ( P) = PA ∩ h a) Apakah daerah nilai T ? b) Apabila D ∈ g , E ∈ g , D ≠ E , buktikan bahwa D ' E ' = DE ; D ' = T ( D ), E ' = T ( E ) c) Apakah T injektif Jawab: g. P A. h. P’=T(P) a) Daerah nilai T adalah h b) D ∈ g , E ∈ g , D ≠ E D ' = T ( D ), E ' = T ( E ). D. E. g. A E’. D’. h. Perhatikan segitiga ADE dan segitiga AD’E’   . (Bertolak belakang).   . (Karena A tengah-tengah  dan ).   . (Karena A tengah-tengah  dan ). Diperoleh ∆ " ∆ menurut definisi sisi sudut sisi Akibatnya #   .

c) Akan dibuktikan T injektif. x. g. y A. h x’=T(x) y’=T(y) Ambil dua titik  dan  pada g, X ≠ Y Akan dibuktikan T ( X ) ≠ T (Y ) Andaikan    Oleh karena T ( X ) = XA ∩ h dan T (Y ) = YA ∩ h Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan   . Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat   . Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) ≠ T (Y ) Jadi T injektif 2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB , K ∉ AB dan sebuah garis g sehingga g // AB dan jarak K dan AB , adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K dan g. Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila P ∈ AB maka T ( P) = P' = KP ∩ g .. a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P’ kalau P bergerak pada AB b) Buktikan bahwa T injektif. c) Apabila E dan F dua titik pada AB , apakah dapat dikatakan tentang jarak E’F’ jika E’ = T(E) dan F’ = T(F)? Jawab:. K P’. A. P. a) K ∉ AB , g // AB , T: AB → g. B.

P ∈ AB maka T ( P) = P' = KP ∩ g. P' = KP ∩ g sehingga P '∈ g Jadi bentuk himpunan peta-peta P’ adalah ruas garis yang berimpit dengan g. b) Akan dibuktikan T injektif Ambil dua titik  dan  pada AB , X ≠ Y Akan dibuktikan T ( X ) ≠ T (Y ) Andaikan    Oleh karena T ( X ) = KX ∩ g dan T (Y ) = KY ∩ g Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan   . Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat   . Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) ≠ T (Y ) Jadi T injektif c) K F’. E’ E. F. Dipunyai , $
  , maka  # , $
 sehingga $ %% $ Perhatikan ∆&$ dan ∆&$ Jelas  # &$ #   &$. &$  &$. (dalam bersebrangan). &$  &$. (dalam bersebrangan). Diperoleh fakta ∆&$~∆&$ menurut teorema sudut-sudut-sudut Akibatnya ( ) *) (*. Jadi. . +) ( ) +(. .  .  # $ #   $. Jarak $ adalah setengah jarak $.

3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang dedefinisikan sebagai berikut: T(A) = A, T(P) = P’ sehingga P titik tengah AP' a) Lukislah R’ = T(R) b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S c) Apakah T suatu transformasi? jawab:. A R. T(Z) = S. z P. R’ =T(R). P’ =T(P). c) Akan diselidiki apakah T surjektif T surjektif jika ,


terdapat prapeta  sehingga    Jika    maka prapetanya adalah  sendiri sebab    Apabila    maka terdapat  tunggal dengan 
  sehingga   . Jadi  adalah titik tengah . Artinya   . Jadi ,


terdapat prapeta  sehingga    Artinya T Surjektif Akan diselidiki T injektif Ambil titik  ,   dan  , , ,  tidak segaris Andaikan     .  dan  
  maka dalam hal ini .  dan   memiliki Oleh karena  
.  dan   dua titik sekutu yaitu  dan     . Ini berarti bahwa garis . . Dengan kata lain , ,  segaris. berimpit, sehingga mengakibatkan
. Ini suatu kontradiksa dengan pernyataan , ,  tidak segaris Pengandaian ditinggalkan, sehingga      Dengan kata lain T injektif Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi. {. }. 2 2 4. Diketahui P = (0,0), C1 = ( x, y ) | x + y = 1.

{. }. C2 = ( x, y ) | x 2 + y 2 = 25. T : C1 → C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila X ∈ C1 maka T ( X ) = X ' = PX ∩ C 2 a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A) b) Tentukan prapeta dari B(4,3) c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ’, dengan Z’ = T(Z). d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang jarak E’F’? Jawab: B(4,3) F’ A P. E’. a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5) b) Perhatikan segitiga Berlaku:. 1 / 1   5 4 3 4. 6. 3 /  5 dan 1  5 4 6. Sehingga prapeta B adalah  7 , 8 5 5. c) Dipunyai 9
daerah asal  Maka 9
: Berarti 9  / , 1  dimana / ; 1  1 Jelas 9  </ = 0 ; 1 = 0  </ ; 1  √1  1 Selanjutnya 9 #  9.

Maka 9
: Berarti 9  / , 1  dimana / ; 1  25 Jelas 9  </ = 0 ; 1 = 0  </ ; 1  √25  5 Jelas , 9, 9 segaris. 9 #  9 # 9 ; 9. 3 5  9#9 ; 1 3 9#9  5 = 1 3 5  9#9 ; 1 3 99 #  9 # 9  4 Jadi jarak 99 #  4 d) Dipunyai , $
: ,   $ Maka panjang busur $.  $ . CDEFEF : 2A  $  . 2A. 1 2A .   $. Selanjutnya  #   dan $ #  $ Maka panjang busur $.  .  $ . CDEFEF : 2A  $ . 2A. 5 2A.  5.  $. Karena , ,  segaris Dan , $, $ segaris Maka  $   $ Sehingga.  # $ #  5.  # $ #   5.  $  5. $ Jadi  # $ #  5$.

5. Diketahui f : V → V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|) a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6) b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2) c) Apakah bentuk daerah nilai f? d) Apakah f suatu transformasi? Jawab : a) f(A) =(3,6) b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2) c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I d) Ambil   4,2


,   4, =2


Jelas    Selanjutnya G   4,2 dan G   4,2 Diperoleh fakta G   G  Jadi terdapat    dan G   G  Artinya f tidak injektif Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi 6. Diketahui fungsi g : sumbu X → V yang didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2). a) Tentukan peta A(3,0) oleh g b) Apakah R(-14, 196) ∈ daerah nilai g? c) Apakah g surjektif? d) Gambarlah daerah nilai g. Jawab : a) A=(3,0), g(A)=(3,9) b) Jelas R ∈ V , dan  mempunyai prapeta yaitu =14,0 pada sumbu  Jadi 
daerah nilai  c) Ambil titik #


, maka # , H dengan H   Jelas terdapat , 0 sehingga    Jadi, g surjektif.

d). g(P)=(x,x2). (0,0). P(x,0). 7. T : V → V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0 ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0 a) Apakah T injektif? b) Apakah T suatu transformasi? Jawab : a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga P ≠ Q Akan dibuktikan T ( P ) ≠ T (Q ) Karena P ≠ Q maka x1 ≠ x2 atau y1 ≠ y2 Untuk x > 0 T(P) = (x1+1, y1) T(Q) = (x2+1, y2) Jelas x1 ≠ x2 ⇒ x1 + 1 ≠ x2 + 1 atau y1 ≠ y 2 Sehingga T ( P ) ≠ T (Q ) Untuk x < 0 T(P) = (x1-1, y1) T(Q) = (x2-1, y2) Jelas x1 ≠ x2 ⇒ x1 − 1 ≠ x2 − 1 atau y1 ≠ y 2 Sehingga T ( P ) ≠ T (Q ) b) Ambil # 0, 1 Andaikan terdapat /, 1 Sehingga    # Kasus / I 0.

Maka    / ; 1, 1  0. J/;10 J /  =1 K 0 Kontradiksi dengan pernyataan / I 0 Kasus / K 0 Maka    / = 1, 1  0, 1. J/=10 J/1L0 Kontradiksi dengan pernyataan / K 0 Jadi tidak terdapat /, 1 Sehingga    # Dengan kata lain T tidak surjektif Karena T tidak surjektif, maka T bukan transformasi 8.. Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini A B C. T : V → V didefinisikan sebagai berikut : i. Jika P ∈ S maka T(P) = P ii.. Jika P ∉ S maka T(P) = P’, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas PP ' a) Lukislah A’ = T(A), B’ = T(B) b) Lukislah prapeta titik C c) Apakah T suatu transformasi ? d) Buktikan bahwa A’B’ = AB.

Jawab : a) dan b) A B A’ C. B’ C’. c) Akan diselidiki T surjektif Dalam hal ini T surjektif jika ,


Terdapat 


sehingga    Jika   M maka prapetanya adalah  sendiri sebab   . N garis O dan O sumbu Jika   M maka terdapat dengan tunggal  sehingga  . ruas . Jadi    Berarti ,


P/


Q    Jadi T surjektif Akan diselidiki apakah T injektif Ambil ,


dengan  . Jika ,
O maka T(P)=P dan T(Q)=Q Sehingga      Jika , R O akan diselidiki kedudukan T(P) dan T(Q) Andaikan T(P) = T(Q) Menurut definisi     sehingga O adalah sumbu ruas garis.  dengan demikian O N . #. Kemudian     sehingga O adalah sumbu ruas garis  dengan demikian. O N #.

Karena #   dan dari satu titik di luar O hanya dapat ditarik satu garis yang. berimpit, akibatnhya  .  dan  tegak lurus O maka Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan  . Jadi harusnya      Artinya T injektif Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi. d) Akan dibuktikan A’B’=AB. D. A B. A’. E. B’ Akan dibuktikan bahwa # #  . Misal  titik potong garis O dengan ruas garis  dan  titik potong garis O. dengan ruas garis . Perhatikan ∆ dan ∆. #    (menurut definisi O adalah sumbu  sehingga  tengah-tengah ) #     90T   . maka O N (karena O sumbu  ). (berimpit). Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi ∆ " ∆ Akibatnya #    dan #    Perhatikan ∆  dan ∆ . #   . (diketahui). …1). sehingga  tengah-tengah  ) #    (menurut definisi O adalah sumbu  …2).

 #      90T. maka O N  ) (karena O sumbu .  #     =       =     =  Berakibat  #    . …3). Dari 1), 2) dan 3) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut ∆  " ∆  Akibatnya # #  .