BAB VIII BAB VIII
BIDANG RATA DAN GARIS LURUS BIDANG RATA DAN GARIS LURUS
8.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata 8.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata
Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada bidang rata V:
bidang rata V:
Titik
Titik PP
x x11,, y y11,, z z11
,, QQ
x x22,, y y22,, z z22
,, dan Rdan R
x x33,, y y33,, z z33
PQPQ
x x22
x x11,, y y22
y y11,, z z22
z z11
PRPR
x x33
x x11,, y y33
y y11,, z z33
z z11
Untuk setiap titik sembarangUntuk setiap titik sembarang X X
x x, , y y,, z z
ppaadda a bbiiddaanng g rraata ta V V bbeerlrlaakkuu
PQPQ PRPR ,, PX PXTerlihat jelas pada gambar bahwa
Terlihat jelas pada gambar bahwa OX OX ==OP + PX OP + PX Atau:
Atau:
x x,, y y,, z z
x x11,, y y11
,, z z11
x x
22
x x11,, y y22
y y11,, z z22
z z11
x x
33
x x11,, y y33
y y11,, z z33
z z11
11
,,
aaddaallaah h ppeerrssaammaaaan n vveekktotorriis s bbiiddaanng g rraata ta mmeellaalluui i titigga a titititikk.. Kedua vektorKedua vektor PQ PQ dandan PR PR disebut vektor–vektor arah bidang (setiap dua vektor, yangdisebut vektor–vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vektor–vektor arah bidnag tersebut) sehingga tidak segaris, pada bidang merupakan vektor–vektor arah bidnag tersebut) sehingga persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P
persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P
x x11,, y y11,, z z11
dan diketahuidan diketahui kedua vektor arahnyakedua vektor arahnya a a
x xaa,, y yaa,, z zaa
dan bdan b
x xbb,, y ybb,, z zbb adalah:adalah:
x x,, y y,, z z
x x11,, y y11,, z z11
x xaa,, y yaa,, z zaa
x xbb,, y ybb,, z zbb
……… (2)……… (2)
~~
~,~,
~~
~~
dan persamaan 2 dapat ditulis menjadi bidang parameter bidang rata: dan persamaan 2 dapat ditulis menjadi bidang parameter bidang rata:
b b a a x x x x x x x x
11
………(3)………(3) b b a a y y y y y y y y
11
……….. (4)……….. (4) b b a a z z z z z z z z
11
……… (5)……… (5)8.2. Persamaan Linier Bidang Rata 8.2. Persamaan Linier Bidang Rata
Kalau
Kalau dandan kita eleminasikan dari persamaan 3 dan 4 diatas diperoleh :kita eleminasikan dari persamaan 3 dan 4 diatas diperoleh :
C C y y y y x x x x x x y ybb
11
bb
11
dandan
cc x x x x y y y y y y x xaa
11
aa
11
di mana di mana C C b b b b a a a a b b a a b b a a y y x x y y x x x x y y y y x x
...(6)...(6) dan misalkan dan misalkan
00 kemudian Kalaukemudian Kalau dandan di atas kita substitusikan ke persamaan 5 diperoleh:di atas kita substitusikan ke persamaan 5 diperoleh:
z z
z z11
z z
y y
x x
x x11
x x
y y
y y11
z z
x x
y y
y y
11
y y
x x
x x
11
00 CC aa bb bb bb aa aa
atau
atau
y yaa z zbb
z zaa y ybb
x x
x x11
z zaa x xbb
x xaa z zbb
y y
y y11
C C
z z
z z11
00... (7)... (7)A A z z y y z z y y y y z z z z y y b b b b a a a a b b a a b b a a
B B z z y y z z y y z z x x x x z z b b b b a a a a b b a a b b a a
dandan Ax Ax11
By By11
CzCz11
D D persamaanpersamaan 7 7 menjadi menjadi Ax Ax
By By
CzCz
00………...………...………. …. (8)(8) yang merupakan persamaan linear (umum) dari suatuyang merupakan persamaan linear (umum) dari suatu bibidang ratdang rata.a.
8.3. Vektor Normal dari Bidang Rata 8.3. Vektor Normal dari Bidang Rata
V
V
Ax + By + Cz + DAx + By + Cz + D = 0 terlihat bahwa vektor= 0 terlihat bahwa vektor
ii z z y y z z y y C C B B A A b b b b a a a a
,, ,, ++ j j x x z z x x z z b b b b a a a a + + k k y y x x y y x x b b b b a a a a = = b b b b b b a a a a a a z z y y x x z z y y x x k k j j ii ==a x ba x b, jadi merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang, jadi merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh
n
n = [= [ A,B,C A,B,C ] disebut vektor normal dari bidang rata] disebut vektor normal dari bidang rata V V = 0 tersebut. Vektor= 0 tersebut. Vektor normal ini
normal ini akan memegang akan memegang peranan penting dalam peranan penting dalam pembapembahasan hasan suatu bidang rata.suatu bidang rata. Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik
titik
x x11,, y y11,, z z11
dengan vektor normalnyadengan vektor normalnya
A A,, B B,,C C
bbeerrbbeennttuukk::
x x
x x11
B B
y y
y y11
C C
z z
z z11
00 AA ………. (9)………. (9)
Catatan: Catatan:
Hal-hal khusus dari bidang rata
Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + DV = Ax + By + Cz + D = 0.= 0. 1
1 bilabila D D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O(0,0,0) dan sebaliknya,= 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O(0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga D
D = 0.= 0. 2
2 apabilaapabila D D
0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 00 dapat ditulis menjadidapat ditulis menjadi Ax/ -D Ax/ -D ++ By/ -D + Cz/ -DBy/ -D + Cz/ -D= 1dan sebut berturut-= 1dan sebut berturut-turut A/ -D turut A/ -D = p, = p, B/ -D= q, C/ B/ -D= q, C/ -D = r,-D = r, didapat persamaan x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu
didapat persamaan x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X X didi
p p,,00,,00
sumbusumbu Y Y didi
00,, p p,,00
, sumbu Z , sumbu Z didi
00,,00,, p p
..3
3 bilabila A A = 0, bidang rata sejajar sumbu= 0, bidang rata sejajar sumbu X X bila
bila B B = 0, bidang rata sejajar sumbu= 0, bidang rata sejajar sumbu Y Y bila
bila C C = 0, bidang rata sejajar sumbu= 0, bidang rata sejajar sumbu Z Z 4
4 bilabila AA == B B= 0, bidang rata sejajar bidang= 0, bidang rata sejajar bidang XOY XOY bila
bila B B == C C = 0, bidang rata sejajar bidang= 0, bidang rata sejajar bidang XOZ XOZ bila
bila C C == C C = 0, bidang rata sejajar bidang= 0, bidang rata sejajar bidang ZOZ ZOZ Contoh 28 :
Contoh 28 : 1.
1. Persamaan vekPersamaan vektoris bidang rata toris bidang rata melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7) adalah
adalah
x x,, y y,, z z
11,,11,,22
22
11,,33
11,,55
22
11
11,,33
11,,77
22
atauatau
x x,, y y,, z z
11,,11,,22
11,,22,,33
00,,22,,55 persamaan parameternya adalah:persamaan parameternya adalah:
11 x x .. y y
11
22
22 .. z z
22
33
55 ..Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dengan mencari vektor normal Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dengan mencari vektor normal sebagai hasil cross product
sebagai hasil cross product
11,,22,,33
00,,22,,55
44,,
55,,22
Kita dapat mengunakan hubungan (9):Kita dapat mengunakan hubungan (9):
x x
x x11
B B
y y
y y11
C C
z z
z z11
00
44
x x
11
55
y y
11
22(( z z
22))
00 AA atauatau
0 0 13 13 2 2 5 5 4 4 x x
y y
z z
2.2. BidangBidang 2x + 3y – 4z2x + 3y – 4z = 12 dapat ditulis menjadi= 12 dapat ditulis menjadi x/6 + y/4 + z/3 x/6 + y/4 + z/3 = 1 akan memotong= 1 akan memotong sumbu-sum
sumbu-sumbu di (6,bu di (6,0,0), (0,4,0) dan (0,0,3).0,0), (0,4,0) dan (0,0,3).
3.
3. Bidang x + y – z = 0 akan melalui titik asal (0,0,0). Untuk menggambarnya kitaBidang x + y – z = 0 akan melalui titik asal (0,0,0). Untuk menggambarnya kita tentukan garis-garis potong dengan bidang-bidan
tentukan garis-garis potong dengan bidang-bidang koorg koordinat :dinat : Garis potong dengan
Garis potong dengan XOY : z XOY : z = 0,= 0, x + y x + y= 0= 0 Garis potong dengan
Garis potong dengan XOZ : y XOZ : y = 0,= 0, x – z x – z = 0= 0 Garis potong dengan
4.
4. BidangBidang x = 2y x = 2y, bidang ini sejajar sumbu, bidang ini sejajar sumbu Z Z (hal di mana(hal di mana C C = 0) dan melalui titik asal= 0) dan melalui titik asal (hal di mana
(hal di mana D D = 0) berarti bidang ini melalui sumbu Z. garis potonngnyadengan= 0) berarti bidang ini melalui sumbu Z. garis potonngnyadengan bidang
bidang XOY XOY adalahadalah z = 0, x = 2y. z = 0, x = 2y.
5.
5. BidangBidang x + y x + y = 4, bidang ini sejajar sumbu= 4, bidang ini sejajar sumbu X X (hal ini di mana A = 0 ). Garis potongnya(hal ini di mana A = 0 ). Garis potongnya dengan bidang
dengan bidang YOZ YOZ adalahadalah x = x = 00 , y + z , y + z= 4.= 4.
Catatan: Catatan: 1.
1. Kalau persamaan (7), (pada bagian 2) yang lalu :Kalau persamaan (7), (pada bagian 2) yang lalu :
y yaa z zbb
z zaa y ybb
x x
x x11
z zaa x xbb
x xaa z zbb
y y
y y11
x xaa y ybb
y yaa x xbb
z z
z z11
00 kita tuliskita tulis dalam bentuk dot prudoct akan menjadi :dalam bentuk dot prudoct akan menjadi :
x x
x x11 ,, y y
y y11 ,, z z
z z11
..
y yaa z zbb
z zaa y ybb
,,
z zaa x xbb
x xaa z zbb
,,
x xaa y ybb
y yaa x xbb
…… (10)…… (10) atauatau
r r
r r 11
. n = 0 di mana. n = 0 di mana r r = vektor posisi sebarang titik pada bidang,= vektor posisi sebarang titik pada bidang, 11 r
2.
2. TapiTapi nn
aa
bb. di mana. di mana a a dandan b b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10)adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10) dapat ditulis sebagaidapat ditulis sebagai
r r
r r 11
..
aa
bb
= 0 atau:= 0 atau:b b b b b b a a a a a a z z y y x x z z y y x x z z z z y y y y x x x x
11
11
11 = = 0...0...(11)...(11)adalah persamaan bidang melalui titik
adalah persamaan bidang melalui titik PP
x x11,, y y11,, z z11
dengan vektor-vektor arahdengan vektor-vektor arah
x xaa y yaa z zaa
a
a
,, ,, dandan bb
x xbb,, y ybb,, z zbb
.. 3.3. KalauKalau a a kita ambil bertitik awal dikita ambil bertitik awal di PP
x x11,, y y11,, z z11
dan titik udan titik ujungnyjungnyaa
x x22,, y y22,, z z22
Q
Q sertaserta b btitik awalnyatitik awalnya
1 1 1 1 1 1,, y y ,, z z x x PP dan titik ujungnyadan titik ujungnya
x x33,, y y33,, z z33
R
R maka bentuk (11) menjadimaka bentuk (11) menjadi
0 0 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x …………...(12) …………...(12)adalah persamaan bidang rata diketahui melalui 3 tit
adalah persamaan bidang rata diketahui melalui 3 titik ik PP
x x11,, y y11,, z z11
,,
x x22,, y y22,, z z22
Q
Q dandan R R
x x33,, y y33,, z z33
yang ditulis dalam bentuk diterminan.yang ditulis dalam bentuk diterminan. 4.4. Jadi empat buah titik( xJadi empat buah titik( x11, y, y11, z, z11), ( x), ( x22, y, y22, z, z22), ( x3), ( x3, y, y33, z, z33), ( x), ( x44, y, y44, z, z44) akan) akan
sebidang jika dan hanya jika : sebidang jika dan hanya jika :
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x
= 0 = 0 ...………...………(13)(13)8.4. Persamaan Normal Bidang Rata 8.4. Persamaan Normal Bidang Rata
Misakan
Misakan nn
A A,, B B,,C C
adalah vektor normal bidangadalah vektor normal bidang ,, ,, ,, 0 0
Ax Ax By By CzCz D D VV berturut- turutberturut- turut sudut antara n dengan sumnu-sumbu koordinat (yang sudut antara n dengan sumnu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j, dan k).
Ternyata bahwa : Ternyata bahwa : cos cos == n n A A ii n n ii n n..
cos cos == n n B B j j n n j j n n..
………...….(14) ………...….(14) cos cos == n n C C k k n n k k n n..
atau : [cosatau : [cos ,cos,cos ,cos,cos ] =] =
n n n n n n C C B B A A
,, ,, cos cos ,, cos cos ,, cos cos …...(15)…...(15)yaitu vektor satuan yang searah dengan
yaitu vektor satuan yang searah dengan n n, juga berarti bahwa, juga berarti bahwa 22 22 2 2 cos cos cos cos cos
cos
11..nn
coscos22 ,,coscos22 ,,coscos22
disebut vektor cosinus daridisebut vektor cosinus dari bidang V. atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan, bidang V. atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan, PP= jarak titik = jarak titik
0 0 ,,00,,00
kke e bbiiddaanngg V V = 0, dimana= 0, dimana PP
00 dandan X X
x x, , y y,, z z
ttiittiik k sseebbaarraanngg pada bidang, maka P adalah proyekpada bidang, maka P adalah proyek OX OX
x x,, y y,, z z
pada ň yaitu : pada ň yaitu :P = OP = O X.ň X.ň= [= [ x,y,z x,y,z].].
ccooss22 ,,coscos22 ,,coscos22
aattaauu :: p p
22 22 2 2 cos cos cos cos ccooss ...……....((1166)) yang disebut persamaan normal (yang disebut persamaan normal ( HESSE HESSE ) dari bidang) dari bidang V V = 0. untuk megubah bentuk = 0. untuk megubah bentuk 0 0
Ax Ax By By CzCz D DV
V ke bentuk normal maka (dari persamaan-persamaan 14)ke bentuk normal maka (dari persamaan-persamaan 14) diperoleh:
diperoleh: nn
ccooss
coscos
coscos
D D...((1177)) kita selalu menghendaki bahwa –kita selalu menghendaki bahwa – D D /| /|nn| =| = PP positif. Jadi, kalaupositif. Jadi, kalau D D negatif, maka maing-negatif, maka maing-masing ruas persamaan (17) kita bagi dengan
masing ruas persamaan (17) kita bagi dengan
nn
A A22
B B22
C C 22 dan kalaudan kalau D D positif, masing-masing ruas kita bagi denganpositif, masing-masing ruas kita bagi dengan
nn .. Contoh 29 :Contoh 29 :
Carilah bentuk normal dari 3
Carilah bentuk normal dari 3 x x+ 6+ 6 y y – 2– 2 z z+ 6 = 0 !+ 6 = 0 ! Penyelesaian :
Penyelesaian : D
D = 6 adalah positif, sedangkan |= 6 adalah positif, sedangkan |nn| = | = 99
3636
44 = 7. jadi persamaan normalnya= 7. jadi persamaan normalnya7 7 6 6 7 7 2 2 9 9 7 7 3 3
z z y y x x8.5.Sudut Antara Dua Bidang Rata 8.5.Sudut Antara Dua Bidang Rata
Sudut antara dua bidang rat
Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya.a merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya. Misanya,
Misanya, sudut sudut antara antara V V 11
A A11 x x
B B11 y y
C C 11 z z
D D11
00 dandan 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 22
A A x x
B B y y
C C z z
D D
V
V adalah sudut antara normal-normal.adalah sudut antara normal-normal.
11 11 11
1
1 A A ,, B B ,,C C
n
n
dandan nn22
A A22,, B B22,,C C 22
yaitu :yaitu :2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos n n n n n n n n
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 C C B B A A C C B B A A C C C C B B B B A A A A
...(18)...(18) Contoh 30 : Contoh 30 :Tentukan besar Sudut antara
Tentukan besar Sudut antara x + y + z x + y + z+ 3 = 0 dan 2+ 3 = 0 dan 2 x x ++ y y + 2+ 2 z z– 11 = 0 !– 11 = 0 ! Penyelesaian : Penyelesaian : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos C C B B A A C C B B A A C C C C B B B B A A A A
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 )) 2 2 (( 1 1 )) 1 1 (( 1 1 )) 2 2 (( 1 1 cos cos
9 9 3 3 5 5 cos cos
3 3 3 3 5 5 cos cos
962 962 ,, 0 0 cos cos ar ar
o o 79 79 ,, 15 15
Catatan: Catatan:
Kedudukan sejajar : Kedudukan sejajar :
Bila
Bila V V 11dandan V V 22sejajar makasejajar makann11dandan nn22sama (atau berkelipasama (atau berkelipatan),tan),
berarti [
berarti [ A A11 , B , B11 , C , C 11] =] = [[ A A22 , B , B22 , C , C 22] adalah syarat bidang] adalah syarat bidang V V 11dandan V V 22 sejajarsejajar
(( sebarangsebarang
00)) Contoh 31 :Contoh 31 :
Tentukan persamaan bidang rata V
Tentukan persamaan bidang rata V22 yang sejajar dengan bidang rata Vyang sejajar dengan bidang rata V11= x + y + 5z = 9= x + y + 5z = 9
jika bidang rata V
jika bidang rata V22melalui titik (0,2,1) !melalui titik (0,2,1) !
Penyelesaian : Penyelesaian : V
V11= x + y + 5z = 9, karena V= x + y + 5z = 9, karena V11 sejajar Vsejajar V22 maka nmaka n11= = nn22
n
n11= = [1,1,5] m[1,1,5] maka aka VV22akan berbentuk akan berbentuk x + y + 5z + x + y + 5z + DD22= 0,= 0,
Sehingga bidang rata V
Sehingga bidang rata V22 melalui titik (0,2,1) maka :melalui titik (0,2,1) maka :
V V 22= x + y + 5z + D= x + y + 5z + D22= 0= 0 0 + 2 + 5(1) + 0 + 2 + 5(1) + D D22 = 0= 0 7 + 7 + D D22 = 0= 0 D D22 = -7= -7 Jadi, persamaan Jadi, persamaan V V 22 == x + y x + y + 5+ 5 z z -7 = 0-7 = 0 Catatan: Catatan:
Kedudukan tegak lurus : Kedudukan tegak lurus :
Bila
Bila VV11 tegak lurustegak lurusV V 22, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,
n
n11
nn22, , atau atau nn11..nn22
00
A A11 A A22
B B11 B B22
C C 11C C 22
00Contoh 32 :
Contoh 32 :
Tentukan persamaan bidang rata
Tentukan persamaan bidang rata V V 22yang tegak lurus pada bidang ratayang tegak lurus pada bidang rata V V 11
x + y + zx + y + z = 1= 1serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) ! serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) !
Penyelesaian : Penyelesaian : Misalkan
MisalkanV V 22
A2A2 x + B x + B22 y + C y + C 22 z + D z + D22= 0, tegak lurus= 0, tegak lurusV V 11 berarti :berarti : AA11 A A22+ B+ B11 B B22+ C + C 11C C 22= 0 atau= 0 atau A A22+ B+ B22+ C + C 22 = 0= 0 C
C 22= - A= - A22 – B– B22…………(1)…………(1) V
V22 melalui (0,0,0) berarti Dmelalui (0,0,0) berarti D22 = 0, dan melalui (1,1,0) berarti := 0, dan melalui (1,1,0) berarti : A
A22+ B+ B22= 0 atau= 0 atau A A22= - B= - B22……(2)……(2) (1) (1) dan (2)dan (2) C C 22= - (- B= - (- B22) – B) – B22 C C 22= 0= 0 Jadi persamaan
Jadi persamaan V V 22: -B: -B22 x + B2 x + B2 y + 0z + y + 0z + 0 = 0 atau –0 = 0 atau – x + y = x + y =00
8.6. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata
8.6. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara DuaDan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar
Bidang Sejajar Pandang bidang
Pandang bidang V V 11 = xcos= xcos + ycos+ ycos + zcos+ zcos = p= p. kita hendak menentukkan jarak . kita hendak menentukkan jarak titik
titik R(x R(x11 , y , y11 , z , z11) ke bidang) ke bidang V V 11. kita buat . kita buat bidanbidangg V V 22 melaluimelalui R R yang sejajaryang sejajar V V 11. jadi,. jadi, Vektor normal
Vektor normal V V 11 dandanV V 22sama. Sedangkan jarak titik asal 0 kesama. Sedangkan jarak titik asal 0 ke V V 22adalahadalah p p
d d (tergantung letak(tergantung letak V V 11 dandanV V 22terhadap titik 0)terhadap titik 0) V
V 22 = xcos= xcos + ycos+ ycos + zcos+ zcos = p= p
d,d, dan karenadan karena R(xR(x11 , y , y11 , z , z11))padapada V V 22, maka terpenuhi, maka terpenuhi x x11cocoss ++ y
y11coscos + z+ z11coscos == p p
d d atauatau dd == || x x11coscos + y+ y11coscos + z+ z11coscos -p-p|| , , adalah jarak adalah jarak titik
titik R(x R(x11 , y , y11 , z , z11))ke bidangke bidang V
V11 = xcos= xcos + ycos+ ycos + zcos+ zcos == p p.. Kalau V
Kalau V11 berbentuk berbentuk Ax + By + Cz Ax + By + Cz + D+ D = 0 maka := 0 maka :
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 C C B B A A D D Cz Cz By By Ax Ax d d
Untuk mencari jarak dua bidang sejajar
Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V V 22, kita , kita ambil sembaranambil sembarang titg titik padaik padaV V 22, lalu, lalu menghitung jarak titik tersebut ke
Contoh 33 : Contoh 33 :
1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2
1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2 x x+ 6+ 6 y y– 3– 3 z z= 13 != 13 ! Penyelesaian : Penyelesaian : 2 2 2 2 2 2 )) 3 3 (( 6 6 2 2 13 13 3 3 )) 3 3 (( 7 7 6 6 4 4 2 2
d d 9 9 36 36 4 4 13 13 9 9 42 42 8 8
d d 49 49 28 28
d d 7 7 28 28
d d d = 4 d = 4 2.2. DiketahuiDiketahuiV V 11= x + y + z – = x + y + z – 2 = 0 dan2 = 0 dan V V 22 = x + y + z= x + y + z – 5 = 0. jika– 5 = 0. jika R R padapada V V 22, hitunglah, hitunglah jarak tersebut ke
jarak tersebut ke V V 11 !! Penyelesaian :
Penyelesaian : Misal, kita ambil
Misal, kita ambil R Rpadapada V V 22 : x = 0, y = 0: x = 0, y = 0 dandan z z= 5, didapat= 5, didapat R R(0,0,5). Maka jarak titik (0,0,5). Maka jarak titik
R Rkeke V V 11 adalahadalah 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 5 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
d d 3 3 3 3
d d d d = = 338.7. Berkas Bidang Rata 8.7. Berkas Bidang Rata
Bidang–bidang 0
Bidang–bidang V V 11
A A11 x x
B B11 y y
C C 11 z z
D D11
0 dandan 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 22
A A x x
B B y y
C C z z
D D
V
V berpotongan menurut berpotongan menurut sebuah garis lurus. Setiap tsebuah garis lurus. Setiap titik itik pada
pada garis garis potong potong tersebut tersebut akan akan memenuhi memenuhi persapersamaan maan 11V V 11
22V V 22
00 , (dimana, (dimana 11dandan2 2
parameter). Persamaan diatas merupakan himpunan bidang-bidang yang melaluiparameter). Persamaan diatas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong
0 0 2 2 1 1
V V
VV , adalah persamaan berkas bidang melalui garis potng bidang-bidang, adalah persamaan berkas bidang melalui garis potng bidang-bidang 0 0 1 1
V V dandan V V 22
00.. KalauKalau V V 11 dandan
V
V
22sejajar sejajar maka maka berkas berkas bidang bidang V V 11
V V 22
00 merupakan himpuna bidang-merupakan himpuna bidang-bidang 0bidang V V 11
0 dan dan V V 22
00.. Dapat kita tulis menjadi : Dapat kita tulis menjadi :k k D D z z C C y y B B x x A
A11
11
11
11
k k = parameter= parameterContoh 34 :
Contoh 34 :
Tentukan persamaan bidang rata
Tentukan persamaan bidang rata V V yang melalui titik yang melalui titik
00,,00,,00
sseerrta ta mmeellaallui ui ggaariris s ppoottoonngg bidang-bidan bidang-bidang g :: 0 0 24 24 3 3 2 2 1 1
x x
y y
V V 12 12 2 2 2 2
x x
y y
z z
V V Penyelesaian : Penyelesaian :V dapat dimisalkan berbentuk : V dapat dimisalkan berbentuk :
22 1212
00 14 14 3 3 2 2 0 0 2 2 11
V V
x x
y y
x x
y y
z z
V
V ...(*)...(*) Karena
Karena V V 11 melaluimelalui
0 0 ,,00,,00
tteerrppeennuuhhi i :: 22..00
33..00
2424
00
00
22..00
1212
00
22,, y8.8.
8.8. Jaringan Bidang RataJaringan Bidang Rata
Pandang
Pandang bidang bidang rata rata V V 11
00 dan dan V V 22
00 dandan 00 3 3
V
V yang terletak dalam sebuah berkas yang samayang terletak dalam sebuah berkas yang sama (tidak berpotongan pada satu garis apapun sejajar (tidak berpotongan pada satu garis apapun sejajar atau
atau sama sama lain). lain). Persamaan Persamaan V V 11
V V 22
V V 33
00 merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang diatas (pada gambar titik potong ketiga bidang diatas (pada gambar melalui titikmelalui titik T T ). Dan himpunan bidang-bidang rata itu). Dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang.
disebut jaringan bidang. Contoh 35 :
Contoh 35 :
Tentukan persamaan bidang rata
Tentukan persamaan bidang rata V V yang sejajar bidangyang sejajar bidang U = x + y +zU = x + y +z = 1 serta melalui titik = 1 serta melalui titik potongan bidang
potongan bidang V V 11
x x
33
00.. V V 22
y y
44
00.. V V 33
z z
00 Penyelesaian :Penyelesaian :
Bidang rata V berbentuk
Bidang rata V berbentuk V V 11
V V 22
V V 33
00
x x
33
y y
44
z z
00 0 0 4 4 3 3
x x y y z z ...(*)...(*) Karena sejajar dengan U makaKarena sejajar dengan U maka
1 1 ,,11,,11 aaddaallaah h nnoorrmmaal l ddaariri V V atauatau
1 1 ,, ,,
kkeelliippaattaann daridari
11,,11,,11
11,, jadi jadi subsitusikan subsitusikan ke ke (*) (*) menmenghasilkanghasilkan V V
x x
y y
z z
77
00..yang diminta. yang diminta.
8.9. Persamaan Vektoris Garis Lurus 8.9. Persamaan Vektoris Garis Lurus
Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis tersebut. Misalkan, titik
tersebut. Misalkan, titik PP
x x11,, y y11,, z z11
dandan QQ
x x22,, y y22,, z z22
terletak pada garis lurus g.terletak pada garis lurus g. MakaMaka OPOP
x x11,, y y11,, z z11
OQOQ
x x22,, y y22,, z z22
, dan, dan PQ PQ
x x22
x x11,, y y22
y y11,, z z22
z z11
, untuk , untuk setiap sembarangsetiap sembarang X X
x x,, y y,, z z
ppaadda a gg. . BBeerrllaakkuu PX PX
PQPQ,,
.. Jelas bahwaJelas bahwa
x x,, y y,,
z z
x x11,, y y11,, z z11
x x22 x x11,, y y22 y y11,, z z22 z z11
PX PX OP OP OX OX
...(20)...(20) adalah persamaan veadalah persamaan vektoris garis lurus melalui satu tktoris garis lurus melalui satu t itik Pitik P
x x11,, y y11,, z z11
dandan
x x22,, y y22,, z z22
Q
Vektor PQ (atau vektor lain
Vektor PQ (atau vektor lain
00 yanyang tg terletak pada garis) disebut vektor erletak pada garis) disebut vektor arah garisarah garis lurus, jadi bila garis lurus melalui satu titiklurus, jadi bila garis lurus melalui satu titik PP
x x11,, y y11,, z z11
dan mempunyai arah vektordan mempunyai arah vektor aa
aa,,bb,,cc
, persamaan, persamaan
x x,, y y,, z z
x x11,, y y11,, z z11
aa,,bb,,cc ...(21)...(21)
Contoh 36 :
Contoh 36 :
Persamaan garis lurus melalui titik (1,3,2) dan
Persamaan garis lurus melalui titik (1,3,2) dan
55,,
33,,22
AdalahAdalah
x x, , y y,, z z
==
11,,33,,22
55
11,,33
33,,22
22
x x,, y y,, z z
11,,33,,22
44
66,,00
...(*)...(*) sedangkan pesedangkan persamaan garis lurus melalui trsamaan garis lurus melalui titik (1,0,2) dengan vekitik (1,0,2) dengan vektor tor araharah a a
aa,,bb,,cc
adalahadalah aa
x x,, y y,, z z
11,,00,,22
11,,33,,77 ...(**)...(**) persamaan (21) dapat kita tpersamaan (21) dapat kita tulis menjadi tiga persamaan:ulis menjadi tiga persamaan:
a a x x x x
11
a a y y y y
11
... (22)... (22) a a z z z z
11
Yang persamaan parameternya garis lurus Yang persamaan parameternya garis lurus gg..
Catatan : Catatan :
Persamaan garis lurus dalam bentuk lain. Kalau persamaan (22),
Persamaan garis lurus dalam bentuk lain. Kalau persamaan (22), dieliminasi,dieliminasi, diperoleh : diperoleh : cc z z z z b b y y y y a a x x x x 11 11 11 ,, ,,
Atau Atau cc z z z z b b y y y y a a x x x x
11
11
11 ... ... ... (23)(23)Adalah persamaan garis lurus diketah
Adalah persamaan garis lurus diketahui meleui tui meleui titik itik PP
x x11,, y y11,, z z11
dengan vektor arahdengan vektor arah aa
aa,,bb,,cc
, atau :, atau :1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 z z z z z z z z y y y y y y y y x x x x x x x x
(bila(bila x x22
x x11
00,, y y22
y y11
00,, z z22
z z11
00... (24)... (24) Adalah persamaan garis lurus diketahCatatan : Catatan :
Komponren-kom
Komponren-komponen vektor ponen vektor arah yaituarah yaitu a. b a. b. dan. dan c c masinmasing-masing disebut g-masing disebut bilanganbilangan arah garis dan kalau
arah garis dan kalau .. , , ddaann berturut-turut sudut antara garis berturut-turut sudut antara garis lurus (sudut-sudulurus (sudut-sudutt antara vektor arahnya,
antara vektor arahnya, a a = [a,b,c]) = [a,b,c]) dengan sumbudengan sumbu-sumbu koordinat (-sumbu koordinat (vektor-vekvektor-vektortor ii =[1,0,0],
=[1,0,0], j j = [0,1,0], dan= [0,1,0], dan k k = [0,0,1]. Maka= [0,0,1]. Maka
a a cc a a b b a a a a
,,coscos ,,coscos ccooss aattaauu 1 1 cos cos cos cos cos
cos22
22
22
. Jadi adalah vektor arah arah garis lurus dengan panjang. Jadi adalah vektor arah arah garis lurus dengan panjang = 1, dan disebut vektor cosinus dari garis lurus (sedangkan masing-masing komponen = 1, dan disebut vektor cosinus dari garis lurus (sedangkan masing-masing komponen disebut cosinus arah). Jadi persamaan garis lurus dapat pula berbentuk :disebut cosinus arah). Jadi persamaan garis lurus dapat pula berbentuk :
coscos cos cos cos cos 1 1 1 1 1
1 y y y y z z z z x x x x
... ... ... (25)(25) Atau Atau a a x x x x
11
a a y y y y
11
... ... ... (26)(26) a a z z z z
11
Di siniDi sinit t = jarak titik = jarak titik
x x, , y y,, z z
keke
x x11,, y y11,, z z11
Contoh 37 :Contoh 37 :
Persamaan garis melalui titik-titik (3,2,-2) dan (4,-2,-1) adalah Persamaan garis melalui titik-titik (3,2,-2) dan (4,-2,-1) adalah
x x,, y y,, z z
33,,22,,
22
44
33,,
22
22,,
11
22
x x,, y y,, z z
33,,22,,
22
11,,
44
11
Dengan persamaan parameternya
Dengan persamaan parameternya x x
33 ,, y y
22
44 ,, z z
22
dan dengandan dengan mengeliminasimengeliminasi diperoleh :diperoleh :
1 1 2 2 4 4 2 2 1 1 3 3
y y z z x xVektor cosinus dari garis diatas
Vektor cosinus dari garis diatas adalah :adalah :
11,, 44,,11
18 18 1 1
atau atau
18 18 1 1 ,, 18 18 4 4 ,, 18 18 1 1 , berarti garis , berarti garisdapat pula berbentuk
dapat pula berbentuk ,,
18 18 1 1 3 3
x x ,, 18 18 4 4 2 2
y y 18 18 1 1 2 2
z z ..8.10. Hal Khusus dari Garis Lurus Dengan
8.10. Hal Khusus dari Garis Lurus Dengan Vektor Arah [a,b,c]Vektor Arah [a,b,c] 1.
1. Garis lurus yang melalui asal (0,0,0) akan berbentuk Garis lurus yang melalui asal (0,0,0) akan berbentuk
x x,, y y,, z z
aa,,bb,,cc atau atau cc z z b b y y a a x x
2.
2. BilaBilaaa = 0, vektor= 0, vektor
0 0 ,,bb,,cc
teterlrletetak ak papada da bibidadanng rg ratata a yyanang sg sejejajajar ar bibidadanngg YOZ YOZ BilaBilabb = 0, garis lurus sejajar bidang= 0, garis lurus sejajar bidang XOZ XOZ Bila
Bilacc = 0, garis lurus sejajar bidang= 0, garis lurus sejajar bidang XOY XOY
Dalam hal ini, lihat salah satu bilangan arah (misalkan.
Dalam hal ini, lihat salah satu bilangan arah (misalkan. aa = 0) persamaan garis= 0) persamaan garis lurus menjadi
lurus menjadi
x x,, y y,, z z
x x11,, y y11,, z z11
00,,bb,,cc
x x
x x11,, y y
y y11
bb,, ccz z z
z
11
dan dengan mengeliminasidan dengan mengeliminasi diperoleh dua persamaan :diperoleh dua persamaan :cc z z z z b b y y y y x x x
x
11..
11
11 yang bersama menyatakan garis lurus tersebut.yang bersama menyatakan garis lurus tersebut.3.
3. BilaBilaa = 0, b =a = 0, b = 0, vektor0, vektor
00,,00,,cc
sseejjaajjaar dr deennggaan n aarraah h ssuummbbuu Z Z yaituyaitu
00,,00,,11
, j, jadadi i gagariris ls lururus us tetersrsebebut sut sejejajajar ar ssumumbbuu Z Z bilabilaa = ca = c = 0, garis lurus sejajar sumbu= 0, garis lurus sejajar sumbu Y Y bila
bilaaa ==cc = 0, garis lurus sejajar sumbu= 0, garis lurus sejajar sumbu X X Contoh 38 :
Contoh 38 : Garis lurus
Garis lurus
x x,, y y,, z z
11,,33,,22
44,,
66,,00
bersifat sejajar dengan bidang X0Y (hal dimanabersifat sejajar dengan bidang X0Y (hal dimanacc = 0) dan dapat kita tulis sebagai := 0) dan dapat kita tulis sebagai :
6 6 3 3 4 4 1 1
y y x x z = 2. z = 2. Garis lurusGaris lurus
x x,, y y,, z z
22,,33,,
22
00,,44,,00 bersipat sejajar sumbubersipat sejajar sumbu Y Y (hal dimana(hal dimana a = ca = c = 0)= 0) dapat kita tulis sebagaidapat kita tulis sebagai x x = 2,= 2, z z= – 2 (dimana berlaku untuk setiap= – 2 (dimana berlaku untuk setiap y y)) 8.11. Garis lurus sebagai
8.11. Garis lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang RataPerpotongan Dua Bidang Rata
Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sembarang dua Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata.
perpotongan bidang rata.
0
0
1 1 1 1 1 1 1 1 11
A
A
x
x
B
B
y
y
C
C
z
z
D
D
V
V
dan dan V V 22
A A22 x x
B B22 y y
C C 22 z z
D D22
00, maka, maka persamaan garis lurus g dapat ditulis :persamaan garis lurus g dapat ditulis :
0 0 0 0 :: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D D z z C C y y B B x x A A V V D D z z C C y y B B x x A A V V g gContoh 39 : Contoh 39 : Persamaan Persamaan
6 6 5 5 5 5 3 3 7 7 2 2 z z y y x x z z y y x x adalahadalah persamaapersamaan-persamaan garis n-persamaan garis lurus ylurus yang mang merupakan perpotongan erupakan perpotongan bidang-
bidang-bidang 7
bidang x x
22 y y
z z
7 dan dan 33 x x
y y
55 z z
66Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, kita perhatikan Gambar berikut:
kita perhatikan Gambar berikut:
0 0 0 0 :: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D D z z C C y y B B x x A A V V D D z z C C y y B B x x A A V V g g
11 11 11
1 1 A A ,, B B ,,C C n n
,, nn22
A A22,, B B22,,C C 22
Jelas bahwaJelas bahwa nn11
nn22
a a merupakan vektor arah dari garismerupakan vektor arah dari garis g.g.Jadi a Jadi a
2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ,, ,, C C B B A A C C B B A A k k j j ii cc b b a a
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ,, ,, B B A A B B A A A A C C A A C C C C B B C C B BDimana untuk mudah mengingatny
Dimana untuk mudah mengingatnya, kita ta, kita tulis sebagai berikut :ulis sebagai berikut :
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B B b b A A C C A A B B A A cc C C B B a a A A ... ... ... (28)(28)
Untuk Mengubah Bentuk Persamaan
Untuk Mengubah Bentuk Persamaan V V 11
00
V V 22 menjadi bentuk menjadi bentuk
cc z z z z b b y y y y a a x x x x 11 11 11. Kita harus menentukan pula koordinat
. Kita harus menentukan pula koordinat
x x11,, y y11,, z z11
.. Sembarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil tSembarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil t itik potong denganitik potong dengan bidang
bidang koordinatkoordinat, , misalnya,misalnya, XOY XOY
Z Z
00, diperoleh :, diperoleh :0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
D D z z C C y y B B x x A A D D z z C C y y B B x x A AYang bila diselesaikan diperoleh : Yang bila diselesaikan diperoleh :
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 B B A A B B A A B B D D B B D D x x
dandan 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 B B A A B B A A D D A A D D A A Y Y
Contoh Contoh 40 40 :: GarisGaris lurus lurus x x
22 y y
z z
11. . 33 x x
y y
55 z z
88mempunyai vektor arah :mempunyai vektor arah :1 1 3 3 5 5 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
b b cc a a Diman Dimanaa 99 5 5 1 1 1 1 2 2
;; bb 22 3 3 5 5 1 1 1 1
;; cc 55 1 1 3 3 2 2 1 1
. Atau. Atau
aa,,bb,,cc
99,,
22,,55
Ambil Ambil 33 3 3 15 15 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 8 8 2 2 1 1 0 0
x x z z . . 11 5 5 8 8 3 3 1 1 1 1
y yTitik (3,1,0) pada garis lurus, persamaan dapat ditulis :
Titik (3,1,0) pada garis lurus, persamaan dapat ditulis :
aa,,bb,,cc
33,,11,,99
99,,
22,,55
8.12. Kedudukan Dua Garis Lurus8.12. Kedudukan Dua Garis Lurus Didalam ruang berdimensi tiga, dua
Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin sejajar, berimpit,garis lurus mungkin sejajar, berimpit, berpotongan
berpotongan, at, atau bersilangan. Diketahui garis lurus :au bersilangan. Diketahui garis lurus :
11 11 11
11 11 11
1
1 :: x x,, y y,, z z x x ,, y y ,, z z aa ,,bb ,,cc g
g
dandan gg22 ::
x x,, y y,, z z
x x22,, y y22,, z z22
aa22,,bb22,,cc22
1.1. gg11sejajarsejajar gg22 bila arah merika berkelipatan. Jadi bilabila arah merika berkelipatan. Jadi bila
aa11,,bb11,,cc11
aa22,,bb22,,cc22
;; bilangan
bilangan
00, atau bila, atau bila2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 cc cc b b b b a a a a
... ... ... (29)(29)Kalau disamping sipat diatas berlaku pu
Kalau disamping sipat diatas berlaku pula :la :
