Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

49 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

BAB VIII BAB VIII

BIDANG RATA DAN GARIS LURUS BIDANG RATA DAN GARIS LURUS

8.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata 8.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata

Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak  Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak  segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada bidang rata V:

bidang rata V:

Titik 

Titik PP

 

 x x11,, y y11,, z z11



,, QQ

 

 x x22,, y y22,, z z22



,, dan R

dan R

 

 x x33,, y y33,, z z33



PQ

PQ

 

 x x22

 x x11,, y y22

 y y11,, z z22

 z z11



PR

PR

 

 x x33

 x x11,, y y33

 y y11,, z z33

 z z11



Untuk setiap titik sembarang

Untuk setiap titik sembarang X  X 

 

 x x, ,  y y,, z z



ppaadda a bbiiddaanng g rraata ta V V bbeerlrlaakkuu

 







  PQPQ   PRPR    ,,    PX  PX 

Terlihat jelas pada gambar bahwa

Terlihat jelas pada gambar bahwa OX OX ==OP + PX OP + PX  Atau:

Atau:

 x x,, y y,, z z

 x x11,, y y11

,, z z11

  

 x x

22

 x x11,, y y22

 y y11,, z z22

 z z11

   x x

33

 x x11,, y y33

 y y11,, z z33

 z z11

  

11

 

  

,,





  



aaddaallaah h ppeerrssaammaaaan n vveekktotorriis s bbiiddaanng g rraata ta mmeellaalluui i titigga a titititikk.. Kedua vektor

Kedua vektor PQ PQ dandan PR PR disebut vektor–vektor arah bidang (setiap dua vektor, yangdisebut vektor–vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vektor–vektor arah bidnag tersebut) sehingga tidak segaris, pada bidang merupakan vektor–vektor arah bidnag tersebut) sehingga persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P

persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P

 

 x x11,, y y11,, z z11



dan diketahuidan diketahui kedua vektor arahnya

kedua vektor arahnya a a

 

 x xaa,, y yaa,, z zaa



dan bdan b

 x xbb,, y ybb,, z zbb adalah:adalah:

 

  

 x x,, y y,, z z

 x x11,, y y11,, z z11

 

  

 x xaa,, y yaa,, z zaa

 

  

 x xbb,, y ybb,, z zbb



……… (2)……… (2)

 

~~

  

~,~,

~~

  

~~



dan persamaan 2 dapat ditulis menjadi bidang parameter bidang rata: dan persamaan 2 dapat ditulis menjadi bidang parameter bidang rata:

b b a a  x x  x  x  x  x  x  x

11

  

   ………(3)………(3) b b a a  y y  y  y  y  y  y  y

11

  

   ……….. (4)……….. (4) b b a a  z z  z  z  z  z  z  z

11

  

   ……… (5)……… (5)

(2)

8.2. Persamaan Linier Bidang Rata 8.2. Persamaan Linier Bidang Rata

Kalau

Kalau    dandan    kita eleminasikan dari persamaan 3 dan 4 diatas diperoleh :kita eleminasikan dari persamaan 3 dan 4 diatas diperoleh :

 

 

 

C  C   y  y  y  y  x  x  x  x  x  x  y  ybb

11

bb

11

    dandan

 

 

 

cc  x  x  x  x  y  y  y  y  y  y  x  xaa

11

aa

11

    di mana di mana C C  b b b b a a a a b b a a b b a a  y  y  x  x  y  y  x  x  x  x  y  y  y  y  x  x

...(6)...(6) dan misalkan dan misalkan

00 kemudian Kalau

kemudian Kalau   dandan    di atas kita substitusikan ke persamaan 5 diperoleh:di atas kita substitusikan ke persamaan 5 diperoleh:

 

 

 z z

 z z11

 z z

 y y

 

 x x

 x x11

 

 x x

 

 y y

 y y11

 z z

 x x

 y y

 y y

11

 y y

 x x

 x x



11



00 C 

aa bb bb bb aa aa

atau

atau

 y yaa z zbb

 z zaa y ybb



 

 x x

 x x11

 

 z zaa x xbb

 x xaa z zbb

 

  

 y y

 y y11

C C 

 

 z z

 z z11

00... (7)... (7)

 A  A  z  z  y  y  z  z  y  y  y  y  z  z  z  z  y  y b b b b a a a a b b a a b b a a

 B  B  z  z  y  y  z  z  y  y  z  z  x  x  x  x  z  z b b b b a a a a b b a a b b a a

dan

dan Ax Ax11

 By By11

CzCz11

 D D persamaan

persamaan 7 7 menjadi menjadi  Ax Ax

 By By

CzCz

00………...………...………. …. (8)(8) yang merupakan persamaan linear (umum) dari suatu

yang merupakan persamaan linear (umum) dari suatu bibidang ratdang rata.a.

8.3. Vektor Normal dari Bidang Rata 8.3. Vektor Normal dari Bidang Rata

Ax + By + Cz + DAx + By + Cz + D = 0 terlihat bahwa vektor= 0 terlihat bahwa vektor

 



ii  z  z  y  y  z  z  y  y C  C   B  B  A  A b b b b a a a a

,, ,, ++  j j  x  x  z  z  x  x  z  z b b b b a a a a + + k k   y  y  x  x  y  y  x  x b b b b a a a a = = b b b b b b a a a a a a  z  z  y  y  x  x  z  z  y  y  x  x k  k   j  j ii =

=a x ba x b, jadi merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang, jadi merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh

(3)

n

n = [= [ A,B,C  A,B,C ] disebut vektor normal dari bidang rata] disebut vektor normal dari bidang rata V V = 0 tersebut. Vektor= 0 tersebut. Vektor normal ini

normal ini akan memegang akan memegang peranan penting dalam peranan penting dalam pembapembahasan hasan suatu bidang rata.suatu bidang rata. Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik 

titik 

 

 x x11,, y y11,, z z11



dengan vektor normalnyadengan vektor normalnya

 

 A A,, B B,,C C 



bbeerrbbeennttuukk::

 

 x x

 x x11

 

 B B

 y y

 y y11

 

C C 

 

 z z

 z z11

00  A

 A ………. (9)………. (9)

Catatan: Catatan:

Hal-hal khusus dari bidang rata

Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + DV = Ax + By + Cz + D = 0.= 0. 1

1 bilabila D D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O(0,0,0) dan sebaliknya,= 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O(0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga  D

 D = 0.= 0. 2

2 apabilaapabila D D

0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 00 dapat ditulis menjadidapat ditulis menjadi Ax/ -D Ax/ -D ++  By/ -D + Cz/ -D

 By/ -D + Cz/ -D= 1dan sebut berturut-= 1dan sebut berturut-turut A/ -D turut A/ -D = p, = p, B/ -D= q, C/ B/ -D= q, C/ -D = r,-D = r, didapat persamaan x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu

didapat persamaan x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X  X didi

 

 p p,,00,,00



sumbusumbu Y Y didi

 

00,, p p,,00



, sumbu Z , sumbu Z didi

 

00,,00,, p p



..

3

3 bilabila A A = 0, bidang rata sejajar sumbu= 0, bidang rata sejajar sumbu X  X  bila

bila B B = 0, bidang rata sejajar sumbu= 0, bidang rata sejajar sumbu Y Y  bila

bila C C = 0, bidang rata sejajar sumbu= 0, bidang rata sejajar sumbu Z  Z  4

4 bilabila AA == B B= 0, bidang rata sejajar bidang= 0, bidang rata sejajar bidang  XOY  XOY  bila

bila B B == C C = 0, bidang rata sejajar bidang= 0, bidang rata sejajar bidang  XOZ  XOZ  bila

bila C C == C C = 0, bidang rata sejajar bidang= 0, bidang rata sejajar bidang  ZOZ  ZOZ  Contoh 28 :

Contoh 28 : 1.

1. Persamaan vekPersamaan vektoris bidang rata toris bidang rata melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7) adalah

adalah

 

 x x,, y y,, z z

 

 

11,,11,,22

 

  

22

11,,33

11,,55

22

 

  

11

11,,33

11,,77

22



atau

atau

 x x,, y y,, z z

  

  

11,,11,,22

  

 

11,,22,,33

 

  

 

00,,22,,55 persamaan parameternya adalah:

persamaan parameternya adalah:    

11  x  x .. y y

11

22  

22  .. z z

22

33  

55  ..

(4)

Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dengan mencari vektor normal Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dengan mencari vektor normal sebagai hasil cross product

sebagai hasil cross product

 

11,,22,,33

 

 

00,,22,,55

 

44,,

55,,22



Kita dapat mengunakan hubungan (9):

Kita dapat mengunakan hubungan (9):

 

 x x

 x x11

 

 B B

 y y

 y y11

 

C C 

 

 z z

 z z11

00

44

 

 x x

11

 

55

 

 y y

11

22(( z z

22))

00  A

 A atauatau

0 0 13 13 2 2 5 5 4 4 x x

 y y

 z z

2.

2. BidangBidang 2x + 3y – 4z2x + 3y – 4z = 12 dapat ditulis menjadi= 12 dapat ditulis menjadi x/6 + y/4 + z/3 x/6 + y/4 + z/3 = 1 akan memotong= 1 akan memotong sumbu-sum

sumbu-sumbu di (6,bu di (6,0,0), (0,4,0) dan (0,0,3).0,0), (0,4,0) dan (0,0,3).

3.

3. Bidang x + y – z = 0 akan melalui titik asal (0,0,0). Untuk menggambarnya kitaBidang x + y – z = 0 akan melalui titik asal (0,0,0). Untuk menggambarnya kita tentukan garis-garis potong dengan bidang-bidan

tentukan garis-garis potong dengan bidang-bidang koorg koordinat :dinat : Garis potong dengan

Garis potong dengan XOY : z XOY : z = 0,= 0, x + y x + y= 0= 0 Garis potong dengan

Garis potong dengan XOZ : y XOZ : y = 0,= 0, x – z x – z = 0= 0 Garis potong dengan

(5)

4.

4. BidangBidang x = 2y x = 2y, bidang ini sejajar sumbu, bidang ini sejajar sumbu Z  Z (hal di mana(hal di mana C C = 0) dan melalui titik asal= 0) dan melalui titik asal (hal di mana

(hal di mana D D = 0) berarti bidang ini melalui sumbu Z. garis potonngnyadengan= 0) berarti bidang ini melalui sumbu Z. garis potonngnyadengan bidang

bidang XOY  XOY adalahadalah z = 0, x = 2y. z = 0, x = 2y.

5.

5. BidangBidang x + y x + y = 4, bidang ini sejajar sumbu= 4, bidang ini sejajar sumbu X X (hal ini di mana A = 0 ). Garis potongnya(hal ini di mana A = 0 ). Garis potongnya dengan bidang

dengan bidang YOZ YOZ adalahadalah x = x = 00 , y + z , y + z= 4.= 4.

Catatan: Catatan: 1.

1. Kalau persamaan (7), (pada bagian 2) yang lalu :Kalau persamaan (7), (pada bagian 2) yang lalu :

 y yaa z zbb

 z zaa y ybb



 

 x x

 x x11

 

 z zaa x xbb

 x xaa z zbb



 

 y y

 y y11

 

 x xaa y ybb

 y yaa x xbb



 

 z z

 z z11



00 kita tuliskita tulis dalam bentuk dot prudoct akan menjadi :

dalam bentuk dot prudoct akan menjadi :

 

 



 

 x x

 x x11 ,, y y

 y y11 ,, z z

 z z11

 

..

 

 y yaa z zbb

 z zaa y ybb

,,

 z zaa x xbb

 x xaa z zbb

,,

 x xaa y ybb

 y yaa x xbb





…… (10)…… (10) atau

atau

 

r r 

r r 11



. n = 0 di mana. n = 0 di mana r r = vektor posisi sebarang titik pada bidang,= vektor posisi sebarang titik pada bidang, 1

1 r 

(6)

2.

2. TapiTapi nn

aa

bb. di mana. di mana a a dandan b b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10)adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10) dapat ditulis sebagai

dapat ditulis sebagai

 

r r 

r r 11



..

 

aa

bb



= 0 atau:= 0 atau:

b b b b b b a a a a a a  z  z  y  y  x  x  z  z  y  y  x  x  z  z  z  z  y  y  y  y  x  x  x  x

11

11

11 = = 0...0...(11)...(11)

adalah persamaan bidang melalui titik 

adalah persamaan bidang melalui titik PP

 

 x x11,, y y11,, z z11



dengan vektor-vektor arahdengan vektor-vektor arah

 

 x xaa  y yaa  z zaa



a

a

,, ,, dandan bb

 

 x xbb,, y ybb,, z zbb



.. 3.

3. KalauKalau a a kita ambil bertitik awal dikita ambil bertitik awal di PP

 

 x x11,, y y11,, z z11



dan titik udan titik ujungnyjungnyaa

 

 x x22,, y y22,, z z22



Q

Q sertaserta b btitik awalnyatitik awalnya

 



1 1 1 1 1 1,, y y ,, z z  x  x P

P dan titik ujungnyadan titik ujungnya

 

 x x33,, y y33,, z z33



 R

 R maka bentuk (11) menjadimaka bentuk (11) menjadi

0 0 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

 z  z  z  z  y  y  y  y  x  x  x  x  z  z  z  z  y  y  y  y  x  x  x  x  z  z  z  z  y  y  y  y  x  x  x  x …………...(12) …………...(12)

adalah persamaan bidang rata diketahui melalui 3 tit

adalah persamaan bidang rata diketahui melalui 3 titik ik PP

 

 x x11,, y y11,, z z11



,,

 

 x x22,, y y22,, z z22



Q

Q dandan R R

 

 x x33,, y y33,, z z33



yang ditulis dalam bentuk diterminan.yang ditulis dalam bentuk diterminan. 4.

4. Jadi empat buah titik( xJadi empat buah titik( x11, y, y11, z, z11), ( x), ( x22, y, y22, z, z22), ( x3), ( x3, y, y33, z, z33), ( x), ( x44, y, y44, z, z44) akan) akan

sebidang jika dan hanya jika : sebidang jika dan hanya jika :

1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2  z  z  z  z  y  y  y  y  x  x  x  x  z  z  z  z  y  y  y  y  x  x  x  x  z  z  z  z  y  y  y  y  x  x  x  x

= 0 = 0 ...………...………(13)(13)

8.4. Persamaan Normal Bidang Rata 8.4. Persamaan Normal Bidang Rata

Misakan

Misakan nn

 

 A A,, B B,,C C 



adalah vektor normal bidangadalah vektor normal bidang            ,, ,, ,, 0 0

 Ax Ax  By By CzCz  D D

V  berturut- turutberturut- turut sudut antara n dengan sumnu-sumbu koordinat (yang sudut antara n dengan sumnu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j, dan k).

(7)

Ternyata bahwa : Ternyata bahwa : cos cos   == n n  A  A ii n n ii n n..

cos cos   == n n  B  B  j  j n n  j  j n n..

………...….(14) ………...….(14) cos cos   == n n C  C  k  k  n n k  k  n n..

atau : [cos

atau : [cos  ,cos,cos  ,cos,cos  ] =] =

 



n n n n n n C  C   B  B  A  A

,, ,, cos cos ,, cos cos ,, cos cos         …...(15)…...(15)

yaitu vektor satuan yang searah dengan

yaitu vektor satuan yang searah dengan n n, juga berarti bahwa, juga berarti bahwa             22 22 2 2 cos cos cos cos cos

cos

11..nn

 

coscos22  ,,coscos22  ,,coscos22  



disebut vektor cosinus daridisebut vektor cosinus dari bidang V. atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan, bidang V. atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan, P

P= jarak titik = jarak titik 

 

0 0 ,,00,,00



kke e bbiiddaanngg V V = 0, dimana= 0, dimana PP

00 dandan X  X 

 

 x x, ,  y y,, z z



ttiittiik k sseebbaarraanngg pada bidang, maka P adalah proyek 

pada bidang, maka P adalah proyek OX OX 

 

 x x,, y y,, z z



 pada ň yaitu : pada ň yaitu :P = OP = O X.ň X.ň= [= [ x,y,z x,y,z].].

 

ccooss22  ,,coscos22  ,,coscos22  



aattaauu ::  p  p

          22 22 2 2 cos cos cos cos ccooss ...……....((1166)) yang disebut persamaan normal (

yang disebut persamaan normal ( HESSE  HESSE ) dari bidang) dari bidang V V = 0. untuk megubah bentuk = 0. untuk megubah bentuk  0 0

 Ax Ax  By By CzCz  D D

V  ke bentuk normal maka (dari persamaan-persamaan 14)ke bentuk normal maka (dari persamaan-persamaan 14) diperoleh:

diperoleh: nn

 

ccooss  

coscos  

coscos  



 D D...((1177)) kita selalu menghendaki bahwa –

kita selalu menghendaki bahwa – D D /| /|nn| =| = PP positif. Jadi, kalaupositif. Jadi, kalau D D negatif, maka maing-negatif, maka maing-masing ruas persamaan (17) kita bagi dengan

masing ruas persamaan (17) kita bagi dengan

nn

 A A22

 B B22

C C 22 dan kalaudan kalau D D positif, masing-masing ruas kita bagi dengan

positif, masing-masing ruas kita bagi dengan

nn .. Contoh 29 :

Contoh 29 :

Carilah bentuk normal dari 3

Carilah bentuk normal dari 3 x x+ 6+ 6 y y – 2– 2 z z+ 6 = 0 !+ 6 = 0 ! Penyelesaian :

Penyelesaian :  D

 D = 6 adalah positif, sedangkan |= 6 adalah positif, sedangkan |nn| = | = 99

3636

44 = 7. jadi persamaan normalnya= 7. jadi persamaan normalnya

7 7 6 6 7 7 2 2 9 9 7 7 3 3

 z  z  y  y  x  x

(8)

8.5.Sudut Antara Dua Bidang Rata 8.5.Sudut Antara Dua Bidang Rata

Sudut antara dua bidang rat

Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya.a merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya. Misanya,

Misanya, sudut sudut antara antara V V 11

 A A11 x x

 B B11 y y

C C 11 z z

 D D11

00 dandan 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

 A A x x

 B B y y

C C  z z

 D D

V  adalah sudut antara normal-normal.adalah sudut antara normal-normal.

 

11 11 11



1

1  A A ,, B B ,,C C 

n

n

dandan nn22

 

 A A22,, B B22,,C C 22



yaitu :yaitu :

2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos n n n n n n n n



    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 C  C   B  B  A  A C  C   B  B  A  A C  C  C  C   B  B  B  B  A  A  A  A



...(18)...(18) Contoh 30 : Contoh 30 :

Tentukan besar Sudut antara

Tentukan besar Sudut antara x + y + z x + y + z+ 3 = 0 dan 2+ 3 = 0 dan 2 x x ++ y y + 2+ 2 z z– 11 = 0 !– 11 = 0 ! Penyelesaian : Penyelesaian : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos C  C   B  B  A  A C  C   B  B  A  A C  C  C  C   B  B  B  B  A  A  A  A



    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 )) 2 2 (( 1 1 )) 1 1 (( 1 1 )) 2 2 (( 1 1 cos cos



    9 9 3 3 5 5 cos cos



    3 3 3 3 5 5 cos cos  

962 962 ,, 0 0 cos cos ar  ar 

    o o 79 79 ,, 15 15

   

(9)

Catatan: Catatan:

Kedudukan sejajar : Kedudukan sejajar :

Bila

Bila V V 11dandan V V 22sejajar makasejajar makann11dandan nn22sama (atau berkelipasama (atau berkelipatan),tan),

berarti [

berarti [ A A11 , B , B11 , C  , C 11] =] =   [[ A A22 , B , B22 , C  , C 22] adalah syarat bidang] adalah syarat bidang V V 11dandan V V 22 sejajarsejajar

((  sebarangsebarang

00)) Contoh 31 :

Contoh 31 :

Tentukan persamaan bidang rata V

Tentukan persamaan bidang rata V22 yang sejajar dengan bidang rata Vyang sejajar dengan bidang rata V11= x + y + 5z = 9= x + y + 5z = 9

 jika bidang rata V

 jika bidang rata V22melalui titik (0,2,1) !melalui titik (0,2,1) !

Penyelesaian : Penyelesaian : V

V11= x + y + 5z = 9, karena V= x + y + 5z = 9, karena V11 sejajar Vsejajar V22 maka nmaka n11= = nn22

n

n11= = [1,1,5] m[1,1,5] maka aka VV22akan berbentuk akan berbentuk  x + y + 5z +  x + y + 5z + DD22= 0,= 0,

Sehingga bidang rata V

Sehingga bidang rata V22 melalui titik (0,2,1) maka :melalui titik (0,2,1) maka :

V  V 22= x + y + 5z + D= x + y + 5z + D22= 0= 0 0 + 2 + 5(1) + 0 + 2 + 5(1) + D D22 = 0= 0 7 + 7 + D D22 = 0= 0  D  D22 = -7= -7 Jadi, persamaan Jadi, persamaan V V 22 == x + y x + y + 5+ 5 z z -7 = 0-7 = 0 Catatan: Catatan:

Kedudukan tegak lurus : Kedudukan tegak lurus :

Bila

Bila VV11 tegak lurustegak lurusV V 22, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,

n

n11

nn22, , atau atau nn11..nn22

00

 A A11 A A22

 B B11 B B22

C C 11C C 22

00

Contoh 32 :

Contoh 32 :

Tentukan persamaan bidang rata

Tentukan persamaan bidang rata V V 22yang tegak lurus pada bidang ratayang tegak lurus pada bidang rata V V 11

x + y + zx + y + z = 1= 1

serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) ! serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) !

(10)

Penyelesaian : Penyelesaian : Misalkan

MisalkanV V 22

A2A2 x + B x + B22 y + C  y + C 22 z + D z + D22= 0, tegak lurus= 0, tegak lurusV V 11 berarti :berarti :  A

 A11 A A22+ B+ B11 B B22+ C + C 11C C 22= 0 atau= 0 atau A A22+ B+ B22+ C + C 22 = 0= 0 C 

C 22= - A= - A22 – B– B22…………(1)…………(1) V

V22 melalui (0,0,0) berarti Dmelalui (0,0,0) berarti D22 = 0, dan melalui (1,1,0) berarti := 0, dan melalui (1,1,0) berarti :  A

 A22+ B+ B22= 0 atau= 0 atau A A22= - B= - B22……(2)……(2) (1) (1) dan (2)dan (2) C  C 22= - (- B= - (- B22) – B) – B22 C  C 22= 0= 0 Jadi persamaan

Jadi persamaan V V 22: -B: -B22 x + B2 x + B2 y + 0z + y + 0z + 0 = 0 atau –0 = 0 atau – x + y = x + y =00

8.6. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata

8.6. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara DuaDan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Bidang Sejajar Pandang bidang

Pandang bidang V V 11 = xcos= xcos   + ycos+ ycos   + zcos+ zcos   = p= p. kita hendak menentukkan jarak . kita hendak menentukkan jarak  titik 

titik  R(x R(x11 , y , y11 , z , z11) ke bidang) ke bidang V V 11. kita buat . kita buat bidanbidangg V V 22 melaluimelalui R R yang sejajaryang sejajar V V 11. jadi,. jadi, Vektor normal

Vektor normal V V 11 dandanV V 22sama. Sedangkan jarak titik asal 0 kesama. Sedangkan jarak titik asal 0 ke V V 22adalahadalah p p

d d  (tergantung letak 

(tergantung letak V V 11 dandanV V 22terhadap titik 0)terhadap titik 0) V 

V 22 = xcos= xcos   + ycos+ ycos   + zcos+ zcos   = p= p

d,d, dan karenadan karena  R(x

 R(x11 , y , y11 , z , z11))padapada V V 22, maka terpenuhi, maka terpenuhi x x11cocoss   ++  y

 y11coscos   + z+ z11coscos   == p p

d d atauatau d 

d == || x x11coscos   + y+ y11coscos   + z+ z11coscos  -p-p|| , , adalah jarak adalah jarak  titik 

titik  R(x R(x11 , y , y11 , z , z11))ke bidangke bidang V

V11 = xcos= xcos   + ycos+ ycos   + zcos+ zcos   == p p.. Kalau V

Kalau V11 berbentuk berbentuk  Ax + By + Cz  Ax + By + Cz + D+ D = 0 maka := 0 maka :

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 C  C   B  B  A  A  D  D Cz Cz  By  By  Ax  Ax d  d 

Untuk mencari jarak dua bidang sejajar

Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V V 22, kita , kita ambil sembaranambil sembarang titg titik padaik padaV V 22, lalu, lalu menghitung jarak titik tersebut ke

(11)

Contoh 33 : Contoh 33 :

1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2

1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2 x x+ 6+ 6 y y– 3– 3 z z= 13 != 13 ! Penyelesaian : Penyelesaian : 2 2 2 2 2 2 )) 3 3 (( 6 6 2 2 13 13 3 3 )) 3 3 (( 7 7 6 6 4 4 2 2







d  d  9 9 36 36 4 4 13 13 9 9 42 42 8 8

d  d  49 49 28 28

d  d  7 7 28 28

d  d  d = 4 d = 4 2.

2. DiketahuiDiketahuiV V 11= x + y + z – = x + y + z – 2 = 0 dan2 = 0 dan V V 22 = x + y + z= x + y + z – 5 = 0. jika– 5 = 0. jika R R padapada V V 22, hitunglah, hitunglah  jarak tersebut ke

 jarak tersebut ke V V 11 !! Penyelesaian :

Penyelesaian : Misal, kita ambil

Misal, kita ambil R Rpadapada V V 22 : x = 0, y = 0: x = 0, y = 0 dandan z z= 5, didapat= 5, didapat R R(0,0,5). Maka jarak titik (0,0,5). Maka jarak titik 

 R  Rkeke V V 11 adalahadalah 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 5 5 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1







d  d  3 3 3 3

d  d  d  d = =  33

8.7. Berkas Bidang Rata 8.7. Berkas Bidang Rata

Bidang–bidang 0

Bidang–bidang V V 11

 A A11 x x

 B B11 y y

C C 11 z z

 D D11

0 dandan 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

 A A x x

 B B y y

C C  z z

 D D

V  berpotongan menurut berpotongan menurut sebuah garis lurus. Setiap tsebuah garis lurus. Setiap titik itik  pada

pada garis garis potong potong tersebut tersebut akan akan memenuhi memenuhi persapersamaan maan   11V V 11

  22V V 22

00 , (dimana, (dimana   11dandan

2 2  

  parameter). Persamaan diatas merupakan himpunan bidang-bidang yang melaluiparameter). Persamaan diatas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong

(12)

0 0 2 2 1 1

V V 

V     , adalah persamaan berkas bidang melalui garis potng bidang-bidang, adalah persamaan berkas bidang melalui garis potng bidang-bidang 0 0 1 1

V  V  dandan V V 22

00.. Kalau

Kalau V V 11 dandan

22sejajar sejajar maka maka berkas berkas bidang bidang V V 11

  V V 22

00 merupakan himpuna bidang-merupakan himpuna bidang-bidang 0

bidang V V 11

0 dan dan V V 22

00.. Dapat kita tulis menjadi : Dapat kita tulis menjadi :

k  k   D  D  z  z C  C   y  y  B  B  x  x  A

 A11

11

11

11

k k = parameter= parameter

Contoh 34 :

Contoh 34 :

Tentukan persamaan bidang rata

Tentukan persamaan bidang rata V V yang melalui titik yang melalui titik 

 

00,,00,,00



sseerrta ta mmeellaallui ui ggaariris s ppoottoonngg bidang-bidan bidang-bidang g :: 0 0 24 24 3 3 2 2 1 1

 x x

 y y

V  V  12 12 2 2 2 2

 x x

 y y

 z z

V  V  Penyelesaian : Penyelesaian :

V dapat dimisalkan berbentuk : V dapat dimisalkan berbentuk :

 

22 1212



00 14 14 3 3 2 2 0 0 2 2 1

1

V V 

 x x

 y y

 x x

 y y

 z z

V        ...(*)...(*) Karena

Karena V V 11 melaluimelalui

 

0 0 ,,00,,00



tteerrppeennuuhhi i :: 22..00

33..00

2424

  

 

00

00

22..00

1212



00

  

22,, y

(13)

8.8.

8.8. Jaringan Bidang RataJaringan Bidang Rata

Pandang

Pandang bidang bidang rata rata V V 11

00 dan dan V V 22

00 dandan 0

0 3 3

V  yang terletak dalam sebuah berkas yang samayang terletak dalam sebuah berkas yang sama (tidak berpotongan pada satu garis apapun sejajar (tidak berpotongan pada satu garis apapun sejajar atau

atau sama sama lain). lain). Persamaan Persamaan V V 11

  V V 22

  V V 33

00 merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang diatas (pada gambar titik potong ketiga bidang diatas (pada gambar melalui titik 

melalui titik T T ). Dan himpunan bidang-bidang rata itu). Dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang.

disebut jaringan bidang. Contoh 35 :

Contoh 35 :

Tentukan persamaan bidang rata

Tentukan persamaan bidang rata V V yang sejajar bidangyang sejajar bidang U = x + y +zU = x + y +z = 1 serta melalui titik = 1 serta melalui titik  potongan bidang

potongan bidang V V 11

 x x

33

00.. V V 22

 y y

44

00.. V V 33

 z z

00 Penyelesaian :

Penyelesaian :

Bidang rata V berbentuk 

Bidang rata V berbentuk V V 11

  V V 22

  V V 33

00

 x x

33

  

 

 y y

44



   z z

00 0 0 4 4 3 3

 x x    y y    z z    ...(*)...(*) Karena sejajar dengan U maka

Karena sejajar dengan U maka

  

1 1 ,,11,,11 aaddaallaah h nnoorrmmaal l ddaariri V V  atauatau

 

1 1 ,,  ,,  



kkeelliippaattaann dari

dari

  

11,,11,,11

  

  

11,, jadi  jadi subsitusikan subsitusikan ke ke (*) (*) menmenghasilkanghasilkan V V 

 x x

 y y

 z z

77

00..

yang diminta. yang diminta.

8.9. Persamaan Vektoris Garis Lurus 8.9. Persamaan Vektoris Garis Lurus

Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis tersebut. Misalkan, titik 

tersebut. Misalkan, titik  PP

 

 x x11,, y y11,, z z11



dandan QQ

 

 x x22,, y y22,, z z22



terletak pada garis lurus g.terletak pada garis lurus g. Maka

Maka OPOP

 

 x x11,, y y11,, z z11



OQOQ

 

 x x22,, y y22,, z z22



, dan, dan PQ PQ

 

 x x22

 x x11,, y y22

 y y11,, z z22

 z z11



, untuk , untuk  setiap sembarang

setiap sembarang  X  X 

 

 x x,, y y,, z z



ppaadda a gg. . BBeerrllaakkuu PX PX 

  PQPQ,,

 

  



.. Jelas bahwa

Jelas bahwa

 x x,, y y,,

 z z

 x x11,, y y11,, z z11

 x x22  x x11,, y y22  y y11,, z z22  z z11



PX  PX  OP OP OX  OX 

  

...(20)...(20) adalah persamaan ve

adalah persamaan vektoris garis lurus melalui satu tktoris garis lurus melalui satu t itik Pitik P

 

 x x11,, y y11,, z z11



dandan

 

 x x22,, y y22,, z z22



Q

(14)

Vektor PQ (atau vektor lain

Vektor PQ (atau vektor lain

00 yanyang tg terletak pada garis) disebut vektor erletak pada garis) disebut vektor arah garisarah garis lurus, jadi bila garis lurus melalui satu titik 

lurus, jadi bila garis lurus melalui satu titik PP

 

 x x11,, y y11,, z z11



dan mempunyai arah vektordan mempunyai arah vektor  a

 a

 

aa,,bb,,cc



, persamaan, persamaan

 

 x x,, y y,, z z

 

 x x11,, y y11,, z z11

 

  

 

aa,,bb,,cc ...(21)...(21)

 

  



Contoh 36 :

Contoh 36 :

Persamaan garis lurus melalui titik (1,3,2) dan

Persamaan garis lurus melalui titik (1,3,2) dan

 

55,,

33,,22



AdalahAdalah

 

 x x, ,  y y,, z z



==

 

11,,33,,22

 

  

55

11,,33

33,,22

22

 

 

 x x,, y y,, z z

 

 

11,,33,,22

 

  

44

66,,00



...(*)...(*) sedangkan pe

sedangkan persamaan garis lurus melalui trsamaan garis lurus melalui titik (1,0,2) dengan vekitik (1,0,2) dengan vektor tor araharah a a

 

aa,,bb,,cc



adalahadalah  a

 a

 x x,, y y,, z z

 

 

11,,00,,22

 

  

 

11,,33,,77 ...(**)...(**) persamaan (21) dapat kita t

persamaan (21) dapat kita tulis menjadi tiga persamaan:ulis menjadi tiga persamaan:

a a  x  x  x  x

11

   a a  y  y  y  y

11

   ... (22)... (22) a a  z  z  z  z

11

  

Yang persamaan parameternya garis lurus Yang persamaan parameternya garis lurus gg..

Catatan : Catatan :

Persamaan garis lurus dalam bentuk lain. Kalau persamaan (22),

Persamaan garis lurus dalam bentuk lain. Kalau persamaan (22),   dieliminasi,dieliminasi, diperoleh : diperoleh : cc  z  z  z  z b b  y  y  y  y a a  x  x  x  x 11 11 11 ,, ,,

          Atau Atau cc  z  z  z  z b b  y  y  y  y a a  x  x  x  x

11

11

11 ... ... ... (23)(23)

Adalah persamaan garis lurus diketah

Adalah persamaan garis lurus diketahui meleui tui meleui titik itik PP

 

 x x11,, y y11,, z z11



dengan vektor arahdengan vektor arah  a

 a

 

aa,,bb,,cc



, atau :, atau :

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1  z  z  z  z  z  z  z  z  y  y  y  y  y  y  y  y  x  x  x  x  x  x  x  x

(bila

(bila x x22

 x x11

00,, y y22

 y y11

00,, z z22

 z z11

00... (24)... (24) Adalah persamaan garis lurus diketah

(15)

Catatan : Catatan :

Komponren-kom

Komponren-komponen vektor ponen vektor arah yaituarah yaitu a. b a. b. dan. dan c c masinmasing-masing disebut g-masing disebut bilanganbilangan arah garis dan kalau

arah garis dan kalau   .. ,   , ddaann    berturut-turut sudut antara garis berturut-turut sudut antara garis lurus (sudut-sudulurus (sudut-sudutt antara vektor arahnya,

antara vektor arahnya, a a = [a,b,c]) = [a,b,c]) dengan sumbudengan sumbu-sumbu koordinat (-sumbu koordinat (vektor-vekvektor-vektortor ii =[1,0,0],

=[1,0,0], j j = [0,1,0], dan= [0,1,0], dan k k = [0,0,1]. Maka= [0,0,1]. Maka

a a cc a a b b a a a a



,,coscos   ,,coscos  

ccooss aattaauu 1 1 cos cos cos cos cos

cos22



22   

22  

. Jadi adalah vektor arah arah garis lurus dengan panjang. Jadi adalah vektor arah arah garis lurus dengan panjang = 1, dan disebut vektor cosinus dari garis lurus (sedangkan masing-masing komponen = 1, dan disebut vektor cosinus dari garis lurus (sedangkan masing-masing komponen disebut cosinus arah). Jadi persamaan garis lurus dapat pula berbentuk :

disebut cosinus arah). Jadi persamaan garis lurus dapat pula berbentuk :

        coscos cos cos cos cos 1 1 1 1 1

1  y y  y y  z z  z z  x  x  x  x



... ... ... (25)(25) Atau Atau a a  x  x  x  x

11

   a a  y  y  y  y

11

   ... ... ... (26)(26) a a  z  z  z  z

11

   Di sini

Di sinit t = jarak titik = jarak titik 

 

 x x, ,  y y,, z z



keke

 

 x x11,, y y11,, z z11



Contoh 37 :

Contoh 37 :

Persamaan garis melalui titik-titik (3,2,-2) dan (4,-2,-1) adalah Persamaan garis melalui titik-titik (3,2,-2) dan (4,-2,-1) adalah

 

  

 x x,, y y,, z z

 

33,,22,,

22

 

  

44

33,,

22

22,,

11

22

  

  

 x x,, y y,, z z

 

33,,22,,

22

 

  

11,,

44

11



Dengan persamaan parameternya

Dengan persamaan parameternya  x x

33  ,, y y

22

44  ,, z z

22

   dan dengandan dengan mengeliminasi

mengeliminasi   diperoleh :diperoleh :

1 1 2 2 4 4 2 2 1 1 3 3

 y y  z z  x  x

Vektor cosinus dari garis diatas

Vektor cosinus dari garis diatas adalah :adalah :

 

11,, 44,,11



18 18 1 1

atau atau













18 18 1 1 ,, 18 18 4 4 ,, 18 18 1 1 , berarti garis , berarti garis

dapat pula berbentuk 

dapat pula berbentuk  ,,

18 18 1 1 3 3

 x  x ,, 18 18 4 4 2 2

 y  y 18 18 1 1 2 2

 z  z ..

8.10. Hal Khusus dari Garis Lurus Dengan

8.10. Hal Khusus dari Garis Lurus Dengan Vektor Arah [a,b,c]Vektor Arah [a,b,c] 1.

1. Garis lurus yang melalui asal (0,0,0) akan berbentuk Garis lurus yang melalui asal (0,0,0) akan berbentuk 

 

 x x,, y y,, z z

 

  

 

aa,,bb,,cc atau atau cc  z  z b b  y  y a a  x  x

(16)

2.

2. BilaBilaaa = 0, vektor= 0, vektor

 

0 0 ,,bb,,cc



teterlrletetak ak papada da bibidadanng rg ratata a yyanang sg sejejajajar ar bibidadanngg YOZ YOZ  Bila

Bilabb = 0, garis lurus sejajar bidang= 0, garis lurus sejajar bidang XOZ  XOZ  Bila

Bilacc = 0, garis lurus sejajar bidang= 0, garis lurus sejajar bidang XOY XOY 

Dalam hal ini, lihat salah satu bilangan arah (misalkan.

Dalam hal ini, lihat salah satu bilangan arah (misalkan. aa = 0) persamaan garis= 0) persamaan garis lurus menjadi

lurus menjadi

 

 x x,, y y,, z z

 

 x x11,, y y11,, z z11

 

  

 

00,,bb,,cc

 x x

 x x11,, y y

 y y11

  bb,, cc

 z  z  z

 z

11

   dan dengan mengeliminasidan dengan mengeliminasi   diperoleh dua persamaan :diperoleh dua persamaan :

cc  z  z  z  z b b  y  y  y  y  x  x  x

 x

11..

11

11 yang bersama menyatakan garis lurus tersebut.yang bersama menyatakan garis lurus tersebut.

3.

3. BilaBilaa = 0, b =a = 0, b = 0, vektor0, vektor

 

00,,00,,cc



sseejjaajjaar dr deennggaan n aarraah h ssuummbbuu Z Z  yaitu

yaitu

 

00,,00,,11



, j, jadadi i gagariris ls lururus us tetersrsebebut sut sejejajajar ar ssumumbbuu Z  Z  bila

bilaa = ca = c = 0, garis lurus sejajar sumbu= 0, garis lurus sejajar sumbu Y Y  bila

bilaaa ==cc = 0, garis lurus sejajar sumbu= 0, garis lurus sejajar sumbu X  X  Contoh 38 :

Contoh 38 : Garis lurus

Garis lurus

 

 x x,, y y,, z z

  

  

11,,33,,22

  

44,,

66,,00



bersifat sejajar dengan bidang X0Y (hal dimanabersifat sejajar dengan bidang X0Y (hal dimana

cc = 0) dan dapat kita tulis sebagai := 0) dan dapat kita tulis sebagai :

6 6 3 3 4 4 1 1

 y y  x  x z = 2. z = 2. Garis lurus

Garis lurus

 

 x x,, y y,, z z

 

22,,33,,

22

 

  

 

00,,44,,00 bersipat sejajar sumbubersipat sejajar sumbu Y Y (hal dimana(hal dimana a = ca = c = 0)= 0) dapat kita tulis sebagai

dapat kita tulis sebagai x x = 2,= 2, z z= – 2 (dimana berlaku untuk setiap= – 2 (dimana berlaku untuk setiap y y)) 8.11. Garis lurus sebagai

8.11. Garis lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang RataPerpotongan Dua Bidang Rata

Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sembarang dua Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata.

perpotongan bidang rata.

0

0

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

 A

 A

 x

 x

 B

 B

 y

 y

 z

 z

 D

 D

dan dan V V 22

 A A22 x x

 B B22 y y

C C 22 z z

 D D22

00, maka, maka persamaan garis lurus g dapat ditulis :

persamaan garis lurus g dapat ditulis :







0 0 0 0 :: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  D  D  z  z C  C   y  y  B  B  x  x  A  A V  V   D  D  z  z C  C   y  y  B  B  x  x  A  A V  V  g g

(17)

Contoh 39 : Contoh 39 : Persamaan Persamaan







6 6 5 5 5 5 3 3 7 7 2 2  z  z  y  y  x  x  z  z  y  y  x  x adalah

adalah persamaapersamaan-persamaan garis n-persamaan garis lurus ylurus yang mang merupakan perpotongan erupakan perpotongan bidang-

bidang-bidang 7

bidang  x x

22 y y

 z z

7 dan dan 33 x x

 y y

55 z z

66

Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, kita perhatikan Gambar berikut:

kita perhatikan Gambar berikut:







0 0 0 0 :: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  D  D  z  z C  C   y  y  B  B  x  x  A  A V  V   D  D  z  z C  C   y  y  B  B  x  x  A  A V  V  g g

 

11 11 11



1 1  A A ,, B B ,,C C  n n

,, nn22

 

 A A22,, B B22,,C C 22



Jelas bahwa

Jelas bahwa nn11

nn22

 a a merupakan vektor arah dari garismerupakan vektor arah dari garis g.g.

Jadi a Jadi a

 



2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ,, ,, C  C   B  B  A  A C  C   B  B  A  A k  k   j  j ii cc b b a a













2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ,, ,,  B  B  A  A  B  B  A  A  A  A C  C   A  A C  C  C  C   B  B C  C   B  B

Dimana untuk mudah mengingatny

Dimana untuk mudah mengingatnya, kita ta, kita tulis sebagai berikut :ulis sebagai berikut :

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  B  B b b  A  A C  C   A  A  B  B  A  A cc C  C   B  B a a  A  A ... ... ... (28)(28)

Untuk Mengubah Bentuk Persamaan

Untuk Mengubah Bentuk Persamaan V V 11

00

V V 22 menjadi bentuk menjadi bentuk 



 

 

 

 



 

 

 

 

cc  z  z  z  z b b  y  y  y  y a a  x  x  x  x 11 11 11

. Kita harus menentukan pula koordinat

. Kita harus menentukan pula koordinat

 

 x x11,, y y11,, z z11



.. Sembarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil t

Sembarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil t itik potong denganitik potong dengan bidang

bidang koordinatkoordinat, , misalnya,misalnya, XOY XOY 

 Z  Z 

00, diperoleh :, diperoleh :

0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

 D  D  z  z C  C   y  y  B  B  x  x  A  A  D  D  z  z C  C   y  y  B  B  x  x  A  A

(18)

Yang bila diselesaikan diperoleh : Yang bila diselesaikan diperoleh :

2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1  B  B  A  A  B  B  A  A  B  B  D  D  B  B  D  D  x  x

dandan 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1  B  B  A  A  B  B  A  A  D  D  A  A  D  D  A  A Y  Y 

Contoh Contoh 40 40 :: Garis

Garis lurus lurus  x x

22 y y

 z z

11. . 33 x x

 y y

55 z z

88mempunyai vektor arah :mempunyai vektor arah :

1 1 3 3 5 5 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

b b cc a a Diman Dimanaa 99 5 5 1 1 1 1 2 2

;; bb 22 3 3 5 5 1 1 1 1

;; cc 55 1 1 3 3 2 2 1 1

. Atau. Atau

 

  

aa,,bb,,cc

99,,

22,,55



Ambil Ambil 33 3 3 15 15 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 8 8 2 2 1 1 0 0

 x x  z  z . . 11 5 5 8 8 3 3 1 1 1 1

 y  y

Titik (3,1,0) pada garis lurus, persamaan dapat ditulis :

Titik (3,1,0) pada garis lurus, persamaan dapat ditulis :

 

aa,,bb,,cc

 

 

33,,11,,99

 

  

99,,

22,,55



8.12. Kedudukan Dua Garis Lurus

8.12. Kedudukan Dua Garis Lurus Didalam ruang berdimensi tiga, dua

Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin sejajar, berimpit,garis lurus mungkin sejajar, berimpit, berpotongan

berpotongan, at, atau bersilangan. Diketahui garis lurus :au bersilangan. Diketahui garis lurus :

 

  

11 11 11

 

11 11 11



1

1 :: x x,, y y,, z z  x x ,, y y ,, z z aa ,,bb ,,cc g

g

   dandan gg22 ::

  

 

 x x,, y y,, z z

 x x22,, y y22,, z z22

 

  

aa22,,bb22,,cc22



1.

1. gg11sejajarsejajar gg22 bila arah merika berkelipatan. Jadi bilabila arah merika berkelipatan. Jadi bila

aa11,,bb11,,cc11

 

  

aa22,,bb22,,cc22



;;  

bilangan

bilangan

00, atau bila, atau bila

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 cc cc b b b b a a a a

... ... ... (29)(29)

Kalau disamping sipat diatas berlaku pu

Kalau disamping sipat diatas berlaku pula :la :

 x x22

 x x11,, y y22

 y y11,, z z22

 z z11

  

aa11,,bb11,,



cc11 maka

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :