Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Kegiatan Belajar 2

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat : a. Menentukan jarak titik dan garis dalam ruang

b. Menentukan jarak titik dan bidang dalam ruang c. Menentukan jarak antara dua garis dalam ruang

B. Uraian Materi 2

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

a. Jarak Titik ke Titik

Jarak antara dua titik adalah dengan menarik garis hubung terpendek antara kedua titik tersebut, jadi jarak antara titik A dan B adalah panjang garis AB

Jika titik dalam koordinat cartesius maka jarak kedua titik adalah

Panjang AB=

(

a₁−b₁

)

2 +

(

a₂−b₂

)

2 +

(

a₃−b₃

)

2

•

B(b1, b2, b3)

•

A (a1,a2,a3)

•

B

Contoh :

1. Tentukan jarak antara titik P (2, 5, 6) dengan titik R (6, 8, 6)

Penyelesaian Jarak PR=

(

2−6

)

2 +

(

5−8

)

2 +

(

6−6

)

2

(

)

(

)

( )

5 9 16 0 3 4 2 2 2 = + = + − + − = PR PR PR

Jadi jarak titik P dan R adalah 5 satuan panjang

2. Kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 6 cm, titik P merupakan perpotongan diagonal bidang atas, hitunglah jarak titik P dan A

Penyelesaian

Untuk mencari panjang garis AP maka perhatikan segitiga AEP yang terbentuk, segitiga AEP adalah segitiga siku-siku, dengan siku-siku di E,

Sehingga dengan teorema pythagoras panjang AP adalah

(

)

6 3 54 2 3 36 2 1 6 2 2 2 2 2 = = + =       + = + = EG EP AE AP

Jadi jarak titik A ke titik P adalah 3 6

A B C D E F G H

•

P

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd b. Jarak titik ke Garis

Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis, jarak terdekat diperoleh dengan menarik garis yang tegak lurus dengan garis yang dimaksud.

Jarak titik B dengan garis g adalah panjang garis BB’

Contoh :

1. Kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 8 cm, titik P merupakan perpotongan diagonal bidang atas, hitunglah jarak titik P dengan garis AD

Penyelesaian

Jarak antara titik P dan garis AD adalah garis PQ, sehingga

5 4 80 64 16 8 42 2 2 2 = = + = + = + = PR PQ PQ

Jadi jarak titik P Ke garis AD adalah 4 5 cm

2. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. tentukan jarak titik A ke garis CE adalah…

Penyelesaian

Jarak titik A pada garis CE adalah garis AP

•

B

•

B’ g A B C D E _F G H

•

P R

•

Q

•

A B C F G D E H 6 cm

•

P E P A 62 C 3 6 6 R 4 P 8 Q

(

) (

)

(

)(

)

3 6 cos 6 72 36 108 72 cos cos 3 6 2 6 2 3 6 2 6 62 2 2 = − + = − + = C C C maka 3 3 1 sinC= 6 2 2 6 3 3 sin = = = AP AP AC AP C

Jadi jarak titik A ke garis CE adalah 2 6

c. Jarak Titik dengan bidang

Untuk menentukan jarak sebuah titik pada suatu bidang, maka terlebih dahulu ditarik garis lurus yang terdekat dari titik ke bidang, sehingga memotong bidang dan garis tersebut harus tegak lurus dengan bidang.

Misalkan titik B terletak di luar bidang α maka jarak titik B ke bidang α dapat ditentukan sebagai berikut :

•

B α

•

B’ ∟

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Contoh :

1. Suatu limas segitiga beraturan, panjang rusuk tegaknya 8 cm dan panjang rusuk alasnya 6 cm. Jarak titik D ke bidang ABC adalah….

Penyelesaian

Jarak titik D ke bidang ABC adalah panjang garis DE

Dengan aturan cosinus maka

(

) (

)

( )

(

)

( )

13 4 1 sin 3 4 1 cos 3 48 36 cos cos 48 64 27 55 cos 8 3 3 2 8 3 3 55 2 2 2 = = = − + = − + = C C C C C

Dengan definisi sinus maka

13 2 4 13 8 8 4 13 sin = = = = DE DE DE DC DE C

Jadi jarak titik D ke bidang ABC adalah 2 13

(

)

55 3 8 3 3 27 3 6 2 2 2 2 = − = = = − = DO DO CO CO CO C

•

O B A D E 8 6 D E O C

2. Tentukan jarak titik B ke bidang AFC, pada kubus ABCDEFGH, jika panjang rusuk kubus adalah 6 cm.

Penyelesaian

Jarak titik B ke bidang AFC adalah BR

(

) (

)

(

)(

)

6 3 1 sin 3 3 1 cos 3 36 36 72 cos cos 3 36 54 18 36 cos 6 3 2 3 2 54 2 3 62 2 2 = = − = − + = − + = p maka p p P P

Dengan definisi sinus maka didapat panjang BR

3 2 2 3 3 6 sin = = = BR BR BP BR p

Jadi jarak titik B ke bidang AFC adalah 2 3 cm

d. Jarak Dua Garis Sejajar

Jika ada dua garis yang sejajar, maka jarak kedua garis dengan menarik garis yang tegak lurus dengan kedua garis tersebut. Seperti tampak pada gambar di samping, dimana garis g dan h adalah dua garis yang sejajar, maka jarak kedua garis tersebut adalah garis PR.

A B C F G D E H 6 cm

•

R

•

P P F B R 6 2 3 54 g h

•

P

•

R k

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Contoh

Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH , dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm dan tinggi 3 cm, tentukan jarak antara garis AB dengan garis GH

Penyelesaian

Jadi jarak garis AB ke garis GH adalah panjang garis PR

5 3 45 3 62 2 2 2 = = + = + = PQ QR PR

Jadi jarak garis AB ke garis GH adalah 3 5cm

e. Jarak Antara Dua Garis yang Bersilang

Dua garis dikatakan saling bersilang jika kedua garis tersebut tidak sejajar dan terletak pada dua bidang yang berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah

garis AH bersilangan dengan garis FC.

Untuk menentukan jarak kedua garis tersebut di atas lakukan langkah berikut :

a. Buatlah bidang α dan β yang sejajar, dengan ketentuan garis AH pada bidang α dan garis FC pada bidang β seperti pada gambar di bawah

A B C D E H G F A H β F C α D E B G A B C D E H G F β α

•

P

•

Q A B C D E H G F 8 6 3

•

P

•

Q

•

R P Q R 3 6

b. Carilah jarak antara dua bidang ADHE dan bidang BCGF. Sehingga jarak antara garis

AHdan FC adalah garis PQ.

Jadi jarak garis g dan garis h adalah PQ

Contoh

Suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya a cm, tentukan jarak garis BD dengan FC adalah….

Penyelesaian

Jarak antara BD dan FC adalah PR

2 2 4 2 2 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 a a a a QR PQ PR = =       +       = + =

Jadi jarak antara BD dan FC adalah 2 2 a cm. ∟ α β g’ h g

•

P

•

Q A B C D E _F G H

•

P

•

Q

•

R 2 a Q R P 2 a

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd f. Jarak Garis ke bidang yang sejajar

Untuk mengukur jarak garis ke bidang yang sejajar, maka terlebih dahulu kita tentukan titik sembarang pada garis kemudian kita tarik garis lurus dari titik tersebut ke bidang sehingga garis yang terbentuk tegak lurus terhadapa bidang. Seperti tampak pada gambar di bawah.

Jarak garis g ke bidang α adalah garik PP’.

Contoh :

Suatu kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, jarak AE dengan bidang BDHF adalah….

Penyelesaian

Jarak AE ke bidang BDHF adalah AC

2 1

Panjang AC adalah 4 2, sehingga

(

)

2 2 2 4 2 1 = = AE

Jadi jarak AE ke bidang BDHF adalah 2 2

g. Jarak Bidang ke Bidang

untuk mengukur jarak dua bidang, pilihlah sembarang titik pada salah satu bidang kemudian ditarik garik luruh dari titik yang telah ditentukan ke bidang lainya, sehingga

α g

•

P

•

∟ P’ A B C D E _F G H

•

P

•

Q

garis yang terbentuk tegak lurus terhadap kedua bidang. Seperti tampak pada gambar berikut :

Jarak antara bidang β dan α adalah garis AB.

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2a cm, tentukan jarak antara AFH dan DBG.

Penyelesaian

Jarak bidang AFH dan bidang DBG adalah garis PQ

(

)

( )

6 2 2 2 2 2 2 a a a AE ES AS = + = + =
Segitiga EPA α β

•

A

•

B A F H G D B

•

P

•

∟ Q S R S R A E 2a 2 a

•

P C G 2a 2 a

•

Q A B C D E _F G H

•

P

•

Q S • R
Segitiga GQC 3 3 2 6 2 2 2 sin a a a a BG BC a G CG CQ = × = × = = 3 3 2 3 1 2 6 2 2 2 sin a a a a a AS ES a A EA EP = = × = × = =

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Karena CE = EP + PQ + QC

Maka PQ = CE – EP – QC

CE adalah diagonal ruang maka panjang CE adalah 2a 3

3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 a a a a PQ = − − =

Sehingga jarak bidang AFH dan DBG adalah 3

3 2a

cm

C. Lembar Kerja 2

1. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = 6 cm, dan TA = 5 cm

a. Jarak T ke AB adalah… Perhatikan gambar di atas

Buatlah garis tinggi limas yakni dengan menarik garis dari titik…. Ke titik…
Tentukan titik tengah garis AB adalah E

Perhatikan garis TP dengan segitiga ABT, kemudian tariklah garik dari titik T ke titik E, sehingga terbentuk segitiga siku-siku …… dengan siku di titik……

Jarak titik T ke garis AB adalah garis……….

Panjang TP dapat kita tentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, pada segitiga TPB

(

)

(

)

... ... ... ... ... .. ... ...2 2 = = + = TP TP TP

Panjang antara titik P ke E adalah

(

...

)

2 1 . A B C T D P

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com

Jarak titik T dengan garis AB dapat di tentukan yakni

(

)

(

)

... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 = = + = TP

b. jika dari limas di atas titik F adalah titik tengah AD, maka jarak titik F ke bidang TBC adalah..
Tentukan daluhu titik tengah garis BC adalah G

Panjang TF = ……….= TG
Buatlah segitiga TFG

Pada segitiga TFG buatlah garis tinggi dari F ke garis TG, titik potong garis tinggi dengan garis TG di titik…..

Jarak titik F ke bidang TBC adalah………

Dengan menggunakan aturan kosinus maka di dapat nilai cos ∠ G

(

)

(

)(

)

... ... .. ... cos .. ... ... ... . ... ... cos cos .... ... ... ... .... ... . ... 2 = − + = − + = G G G TF

Dari nilai cos G tentukan nilai sinG

... ... ... ... sin ... ... ... ... ... ... ... .. ... cos = = − = − = = G nilai maka y y y G

Dengan menggunakan definisi sinus maka dapat ditentukan panjang garis tinggi

... ... ... ... ... .. ... . ... sin = = = FG G

Jadi jarak titik F ke bidang TBC adalah...

2. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

C D

E _F

G H

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

a. Jarak garis HD dan BC adalah..

Tentukan titik P adalah titik tengah garis HD, dan titik Q adalah titik tengah garis BC, maka panjang garis DP = ……… dan panjang garis CQ = …………

Buatlah segitiga dari titik P, Q dan D, sehingga terbentuk segitiga siku-siku ………. Dengan siku di titik ………..

Jarak antara garis HD dan BC adalah…………..

Dengan teorema Pythagoras maka panjang PQ dapat ditentukan

(

)

(

)

... ... ... ... .... ... .. ... ...2 2 = + = + = PQ

jadi jarak antara garis HD dan BC adalah ...

b. Pada kubus di atas jarak antara bidang BDE dan CFH adalah...
buatlah diagonal ruang AG

Tentukan titik tengah garis BD adalah R dan titik tengah garis FH adalah S

Buatlah garis tinggi pada bidang BDE dari titik E ke BD sehingga terbentuk dua segitiga siku-siku yaitu segitiga …….. dan ……., begitu juga pada bidang CFH di buat garis tinggi dari C ke FH sehingga terbentuk dua segitiga siku-siku, yakni segitida …….. dan…….
Tentukan titik potong diagonal ruang AG dengan ER adalah P dan titik potong AG dengan

CS adalah Q

Jarak antara bidang BDE dan CFH adalah……..

Dengan teorema Pythagoras maka kita tentukan panjang ER dan CS

(

)

(

)

.. ... .. ... ... . ... 2 2 = + = + = ER ER EA ER

Dengan menggunakan sinus maka kita dapat menentukan panjang

... ... ... ... ... ... sin sin = × = × = = = ER AR E EA AP EA AP E

(

)

(

)

.. ... .. ... ... . ... 2 2 = + = + = CS CS CG CS ... ... ... ... ... ... sin sin = × = × = = = CS GS c CG GQ CG GQ C

CE = CQ +pq+pe…… +……. PQ = CE – ………… – ……

Jadi jarak antara bidang BDE dan CFH adalah...

D. Rangkuman 2

1. Jarak antara dua titik adalah jarak terpendek dari kedua titik tersebut.

2. Jarak antara dua titik pada bidang, untuk A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2) adalah

(

)

(

)

(

)

2 2 1 2 2 1 2 2 1 x y y z z x AB = − + − + − E. Tugas 2

1. Pada kubus ABCD.EFGH yang mempunyai panjang rusuk 5 cm, jarak antara AG dan BD adalah ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2. Diketahui kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 8 cm. Misalkan titik T terletak diperpanjangan CG sehingga CG = GT. Tentukan jarak titik C terhadap bidang TBD ...

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3. Sebuah prisma segitiga sama kaki di bawah, ABE dan CDF merupakan segitiga sama kaki. Jika AB = 8 cm, tinggi segitiga ABE = 3 cm dan panjang BC adalah 5 kali panjang BE, tentukan jarak titik E ke C.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A B C D F E

4. Sebuah kamar berbentuk balok seperti gambar di bawah. Sebuah lampu terletak ditengah-tengah atap kamar, sedangkan saklarnya terletak di pojok dinding. Jika panjang kamar adalah 12 m, lebarnya 8 m, sedangkan ketinggian saklar dari lantai adalah 1,5 m. Apabila seutas kabel dipasang untuk menghubungkan lampu dan saklar dengan arah dari A (lampu) kemudian ke B dan selanjutnya ke C (saklar), perkirakan panjang kabel tersebut

... ... ... ... ... ... ... ... ... F. Tes Formatif

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, K adalah titik tengah rusuk AB. Jarak titik K ke garis HC adalah...

a. 4 6 cm d. 9 2 cm

b. 6 3cm e. 6 5 cm

c. 5 6 cm

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jika titik Q adalah titik potong diagonal bidang ABCD, jarak B ke QF adalah....

a. 2cm 2 3 d. 3 2 cm

•

A (lampu)

•

C (Skalar)

•

B

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd b. 7 cm 2 3 e. 2 3cm c. 3 6 cm

3. Limas segitiga T.ABC dengan panjang rusuk AB = 4 cm dan rusuk TA = 6 cm. jarak titik A ke garis TB adalah….

a. 2 3 cm d. 2 cm 3 4 b. 2 cm 3 7 e. 2 cm 3 5 c. 2 cm 3 8

4. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, jika titik K, L dan M berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG, jarak antara bidang AFH dan KLM adalah...

a. 2 3 cm d. 6 3 cm

b. 4 3 cm e. 7 2 cm

c. 5 3 cm

5. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a, jarak A ke BH adalah...

a. 6 2 a d. 6 5 a b. 6 3 a e. 6 6 a c. 6 4 a

6. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk12 3 cm jarak titik H ke bidang

EGDadalah...

a. 24 3 d. 12

b. 24 e. 8 3

7. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a, jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, jarak titik S ke A adalah…..

a. 3 3 1 a d. a 3 b. 6 3 1 a e. a 2 c. 6 3 2 a

8. PQRSadalah sebuah bidang empat beraturan yang panjang rusuknya 6 cm. jarak titik Q ke bidang PRS adalah…

a. 2 3 d. 3 6

b. 2 6 e. 4 3

c. 3 3

9. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, jarak AC dan DF adalah...

a. 2 2 d. 6 3 2 b. 2 3 e. 6 4 3 c. 6 3 1

10. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a, jarak AH pada BD adalah….

a. a 3 d. 2 2 1 a b. a 2 e. 3 3 1 a c. 3 2 1 a

11. Diketahui bidang empat beraturan D.ABC dengan rusuk 7 2 jarak D ke ABC adalah… a. 3 3 14 d. 6 2 7

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd b. 7 3 e. 6 6 7 c. 6 3 7

12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Jarak titik D dengan bidang BPQE adalah …. a 2 3 d. 4,5 b 3 3 8 e. 3 3 16 c 4

13. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik E ke bidang AFH adalah …cm. a. ₃4 2 b. ₃8 2 c. ₃4 3 d. ₃8 3 e. ₃4 6

14. Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF, AB = 4 cm dan TA = 8 cm. Jarak T ke bidang alas = … cm.

a. 4 3 d. 4 5

b. 2 15 e. 6 3

c. 2 17

15. Diketahui kubus ABCD.EFGH, P titik tengah EG, Q titik tengah AC, dan HQ = 6 2 cm. Jarak P ke bidang ACH sama dengan….

a. 4 cm d. 4 3 cm F E H _G B C D A 4 cm

b. 2 6 cm e. 8 cm c. 6 cm

16. Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm . M adalah titik tenganh HE jarak titik M dengan garis AG adalah……..

a. 3 6 cm d. 3 2 cm

b. 3 5 cm e. 3 cm

c. 3 3 cm

17. Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah …cm. a. ₃4 2 d. 8₃ 3 b. ₃8 2 _{e. 6} 3 4 c. ₃4 3

18. Diketahui prisma segiempat beraturan ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 3 2 cm dan AE = 4 cm. Jika P titik tengah bidang alas ABCD, maka jarak titik C ke garis PG adalah … cm.

a. 20_{3 d. 2}

b. 1₃ 3 _{e. 3}

c. ₂1 2

19. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 6 cm. jarak titik T ke bidang ABC adalah…

a. 2 6 cm d. 3 2 cm

b. 2 3 cm e. 3 cm

c. 3 3 cm

20. Limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk tegak 3 6 cm. jarak titik B ke garis TD adalah….

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

a. 3 6 cm d. 2 2 cm

b. 2 3 cm e. 6 3 cm